מאטעמאטיק: דער חילוק צווישן ℵ און ∞

[ידען]

איך פארשטיי נאך אפי׳ נישט זאכן וואס האט יא א סוף און עץ ווילץ פארשטיין אין סוף?

[שליח]

לאמיר פרובירן.

∞ איז אין סוף, העכער פון דעם קען נישט זיין. ∞ = 1 + ∞. ס'איז א מושג מער ווי א צאל.

אויב האב איך א קאלעקציע פון זאכן, און כ'קען זיי אויסרעכענען, קען איך זיי אויך ציילן. אויב האב איך געקויפט א שאכטל פון זעקס מהודר'דיגע מצות צום סדר, קען איך צושטעלן א נומער צו יעדע מצה, אנגעהויבן פון 1 און געענדיגט מיט 6. יעצט וואס טוט זיך מיט די קאלעקציע (פונקטליכער: סעט) פון אלע natural numbers? לאמיר אנהייבן מיט נומער איינס, און טאקע צושטעלן צו אים נומער 1, נומער צוויי באקומט 2, און אזוי ווייטער. ס'איז קלאר אז מען קען געבן א נומער צו יעדן מיטגליד פון די סעט, דער סעט האט די אייגנשאפט אז ס'איז countable. אבער פארשטייט זיך אז די סעט ענדיגט זיך קיינמאל נישט, צו יעדן נומער וואס מיר ווילן דערקלערן אלס די העכסטע קענען מיר דאך צולייגן איינס און צוקומען צו איין העכער. וויפיל מיטגלידער פארמאגט דער סעט למעשה? מיר גיבן דאס א ספעציעלן נאמען, aleph-zero. אלזא, פארהאן צוויי וועגן דער סעט זאל זיין ציילבאר, אדער ס'זאל האבן א סוף (ווי דער שאכטל מצות), אדער אפי' אויב איז עס אין-סוף, אויב פארמאגט עס aleph-zero מיטגלידער איז עס ציילבאר. אנדערע סעטס וועלכע פארמאגן aleph-zero מיטגלידער זענען די סעטס פון אלע גלייכע (even) נומערן, אלע אומגלייכע (odd) נומערן, אלע prime numbers.

אבער aleph-zero איז נישט פשוט אין סוף, ס'זענען דא מער real numbers צווישן איין natural number און די צווייטע ווי aleph-zero! אין אנדערע ווערטער, די צאל פון real numbers (אדער decimal numbers) וואס זענען צווישן 0 און 1 איז אומציילבאר, נישטא גענוג natural numbers פאר יעדע איינע פון זיי.
און די ראי' (proof) דערצו איז פשוט און הערליך. ס'זענען דא real numbers וואס דארפן געשריבן ווערן אין אומצאליגע דעצימעלס (למשל א דריטל פון צען איז 3.333..., אן אנדערע דוגמא איז π). שטעלט אייך פאר מיר מאכן א ליסטע פון אלע נומערן צווישן 0 און 1 וועלכע קענען געשריבן ווערן אין infinite decimals, קענען מיר אלעמאל מאכן א פרישע נומער ווי פאלגנד: קוק אויף די ערשטע דעצימעל פון די ערשטע נומער פון די ליסטע, און שרייב אראפ אן אנדערע נומער (אויב איז עס 0 שרייב אראפ 1, למשל). קוק אויף די צווייטע דעצימעל פון די צווייטע נומער פון די ליסטע, און שרייב אראפ אן אנדערע נומער, וכן עד עולם. וועלן מיר דאך ענדיגן מיט א נומער וואס איז נישט געווען אויף די ליסטע, איז דאך מוכרח אז די real numbers זענען אומציילבאר. וויפיל real numbers זענען למעשה דא? aleph-one (לויט געוויסע).

האפנטליך כאפט איר יעצט דעם חילוק צווישן די אלף נומערן און ∞.

(איבער מיין וואוינונג אינעם th dimension'∞, אלס קינד האב איך זיך אנגעשטויסן אין ר' שם טוב גפן'ס ספרים און שטארק באאיינפלוסט געווארן פון זיין 'תורת המימדים לאין ספורות'. ס'וואלט זיך אויסגעפעלט א באזונדער אשכול איבער מימדים בכלל, פון 3, 4, 10, 11, 26 ביז אין-סוף. וואס מיר שפירן, וואס מיר ווייסן, און וואס מיר קענען פאנטאזירן. אבער צו דעם וואלט איך געדארפט בארגן א צווייטן'ס פעדער).

[יידל]

יישר כח ר' שליח פאר די שיינע ערקלערונג, און שלום עליכם הני תרי צנתרי דדהבא, ר' ראובן ור' שליח, יהא בואכם לברכה!

[סאשי פיש]

איך פארשטיי נישט קיין איין ווארט

[יאיר]

וועלקאם, שליחא דרבנן! ווי עס איז ניכר בין כותלי מכתבך האסטו אסאך וואס צו פארקויפן, מאך דיך באקוועם און זיי אונז ווייטער מהנה!
אין אנדערע נייעס, איך פארשטיי נאך נישט פונקטליך די גאנצע סומאטאכע, איך האלט נאך אינמיטן ריסורטשן אלע טערמינען, פון אלף ביז זערא, דערנאך וועט מען זיך נעמען צום אין סוף ברוך הוא.

[שליח]

א שיינעם דאנק ראובן יידל ויאיר פאר די ווארימע אויפנאמע, עליכם השלום.

אין אנדערע נייעס, איך פארשטיי נאך נישט פונקטליך די גאנצע סומאטאכע, איך האלט נאך אינמיטן ריסורטשן אלע טערמינען, פון אלף ביז זערא, דערנאך וועט מען זיך נעמען צום אין סוף ברוך הוא.

אזוי? מיר האט אויסגעזעהן אז איר גייט פון אויבן אראפ, פון אין סוף ברוך הוא'ס ידיעה צו די בחירה פון quantum-scale particles...

[יידל]

נאכן אביסל זיך מעמיק זיין אין [tag]שליח[/tag]'ס ווערטער, פארשטיי איך אויבערפלעכליך אז אינפיניטי (∞) איז נישט קיין נומער -- אדער ריכטיגער, צאל -- נאר א מושג. די מושג פון אין סוף. ווידעראום אלף-זערא איז א צאל, כאטש צו ציילן 0ℵ וועט נעמען אן ∞ פון צייט. אינטערסעסאנט אז פונקט לעצטנס איז פארגעקומען א דעבאטע צווישן דזשארדזש דווארסקי פון io9 און טאם הארטספעלד פון ריעל קלער סייענס צו אינפיניטי עקזעסטירט צו נישט. מיר ווייסן דאך אז אין סוף עקזעסטירט און דאס איז דאך אין סוף ברוך הוא בכבודו ובעצמו, אבער זייער מחלוקת איז עפעס אנדערש, צו דאס עקזעסטירט אלס א מציאות בהאי עלמא. כולי עלמא מודי אז אינפיניטי אלץ א צאל/נומער עקזעסטירט נישט און איז אוממעגליך, די שאלה איז נאר צו דער מושג אינדרויסן פון א נומערן קאנטעקסט איז א גשמיות'דיגער מושג. לענ"ד איז הארטספעלד גערעכט, אינפיניטי איז נישט מער ווי אן אבסטראקט מושג, און אפילו צו מתאר זיין דעם רבוש"ע איז עס נישט מער ווי אן אבסטראקטער תואר, נישט דער רבוש"ע'ס מהות גופא. אשמח מאוד אויב די געערטע חכמים ונבונים, שליח, [tag]אבטולמוס[/tag] און [tag]יאיר[/tag] וועלן זאגן זייער מיינונג אויפן אינטערעסאנטן דעבאטע.

[יאיר]

איך זוך א שותף צו גיין נעכטיגן אין הילבערט'ס האטעל. איינער עוועלעיבל?

[יאיר]

יידל, איך פארשטיי נישט פונקטליך דיין ספק בנוגע גאט. ס'איז דאך זעלבסטפארשטענדליך אז אין סוף איז נישט דער "מהות" פון גאט, אין סוף איז נישט קיין הגדרה אויף א מהות. בעסער געזאגט, ס'איז בכלל נישט קיין הגדרה, ממילא אוףי אונזער גשמיות'דיגער וועלט איז עס... גארנישט. דאס איז דאך די בחינת אין פון וואס די מקובלים רעדן ארום. למעשה, ווי אזוי קאנעקט מען צו דעם אין, מוז מען לכאורה צוקומען צו די קערנדל פון קבלה אז גאט'ס "מהות" איז מאניפעסטירט אין די בריאה.

[יידל]

יאיר, גלייב מיר, עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון ניקס וועלכע זענען גרייט צו קומען מיט דיר.

מיט דיין צווייטן תגובה ברענגסטו דאך זייער גוט ארויס הארטספעלד'ס מיינונג אז אין סוך איז טאקע גארנישט און זאגאר עס עקזעסטירט נישט. דווארסקי וועט זיך אבער לכאורה קריגן און טענה'ן אז הא גופא אז דער אויבערשטער איז אין-סוף איז זיין מהות און דערפאר איז אין-סוף יא עפעס. איך וואלט אפשר געדארפט מער משקיע זיין צו מסביר זיין דווארסקי'ס דעה, איך בין אבער נישט אין די גיסטע צו שפילן טייוול'ס אדוואקאט

[יאיר]

יאיר, גלייב מיר, עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון ניקס וועלכע זענען גרייט צו קומען מיט דיר.

מיט דיין צווייטן תגובה ברענגסטו דאך זייער גוט ארויס הארטספעלד'ס מיינונג אז אין סוך איז טאקע גארנישט און זאגאר עס עקזעסטירט נישט. דווארסקי וועט זיך אבער לכאורה קריגן און טענה'ן אז הא גופא אז דער אויבערשטער איז אין-סוף איז זיין מהות און דערפאר איז אין-סוף יא עפעס. איך וואלט אפשר געדארפט מער משקיע זיין צו מסביר זיין דווארסקי'ס דעה, איך בין אבער נישט אין די גיסטע צו שפילן טייוול'ס אדוואקאט

די שאלה איז צו איך בין אינטערעסירט אין די אינפיניט צאל. קוים וואס איך קען זיך באכלעפטשען מיט די פיניט צאל.
איך קריך דא אריין אין אומבאקאנטע וואסערן, אבער לאמיר פרובירן. מיט מיין פשוט'ער שכל זעט מיר אויס דווארסקי אדער סיי ווער קען נישט זאגן אז אין סוף איז דער "מהות" פון סיי וואס, ווייל ס'איז אזוי ווי כ'זאל זאגן אז "גארנישט" איז דער מהות פון עפעס. פונדעסטוועגן קען זיין עפעס א "מהות" וואס איז אין סוף. איי, מיר האבן גארנישט דערפון, ווייל מיר קענען נישט משיג זיין אין סוף? איז דער תירוץ איז דאס קען זיך מאניפעסטירן אין א מוגבל'דיגע זאך. למשל, דער אבסטראקט פלאטאניק מושג פון ליבשאפט איז אין סוף, אבער עס עקספרעסט זיך אין מוגבל'דיגע מושגים. פאקטיש, אויב נעמען מיר אוועק אלע אין סוף'דיגע מהותים, וועט אויסקומען אז מיר בלייבן מיט גארנישט. ווייל יעדער גשמיות'דיגער מושג איז נישט מער ווי א גדר וואס איז מגביל א געוויסע סוף. למשל א טיש איז א קעסטל פון דריי ביי פיר פיס, געמאכט פון א געוויסע סארט אטאם מיט אזא און אזא צאל פארטיקלס וכו'. אבער אויב דער גאנצער מושג פון די זאך באשטייט נאר פון די גדר, דעמאלט נעם אראפ אלע גבולים און דו בלייבסט מיט... גארנישט.

[יאיר]

שליח, איך פרוביר צו פארשטיין דיינע ווערטער, אבער עס גייט מיר נישט. דעם ערשטן האלב איז לכאורה פשוט, לאמיר דאס פרובירן צו ערקלערן אויף אנדערע ווערטער: אפילו אויב מען קען טראכטן פון א צאל נאטורליכע נומערן, נאך און נאך, אד אינפיניטום, וועט מען סוף כל סוף קענען ציילן די נומערן. ס'וועט נישט קענען מקויים ווערן אשר לא יספר מרוב.
דערנאך פרובירסטו אבער זאגן אז אויב מיר וועלן אריינגיין צווישן די נומערן, צו די דעצימעל נומערן, דאן וועט אויסקומען אז מ'וועט דאס נישט קענען ציילן. פארוואס, איז מיר אומפארשטענדליך. אויב קענסטו עס ערקלערן אויף א פשוט'ערע שפראך אז איך אלס איינער וואס האט כמעט קיין שום ידיעה אין מאטעמאטיק זאל דאס קענען פארשטיין דאן וועל איך דיך אודאי מכיר טוב זיין. און אויב נישט וועלן מיר זיך מוזן באגנונגן מיט וואס מיר האבן יא פארשטאנען, איך וועל דורכשלאפן רואיג די נאכט דא אין האטעל אזוי אויך.

[מאטי]

איך מיין אז ער מיינט צו זאגן אז צווישן איינס און צוויי קען אייביג צוברעקלט ווערן אויף נאך א קלענער שטיקל
עד אין סוף.
הגם דו קענסט דאס בעצם זאגן אויפן איינס אויך, וואס איז כולל אין זיך די אלע פרעקשאנס.
אבער למעשה ווען מ'באהאנדלט דעם איינס רעדט מען שוין פון א גאנצע, א גאנצע מצה, א גאנצע קענדי.
אבער ווען די צוטיילסט דער מצה/קענדי, ווערט דער צאהל אין סוף.(הגם אויף חומר איז
יא דא א סוף ווען מקומט אן צום אטאם אבער דאס איז א זייטיגע נקודה און האט נישט מיטן חלק החשבון.)

[שליח]

[tag]שליח[/tag], איך האב גארנישט געוואוסט אין וואספארא פיין ביסן איך האב אריינגעביסן.

א דאנק פאר דיין ערקלערונג פאר ℵ - איך מיין אז איך האב פארשטאנען. אבער וויבאלד דו האסט געשפארט ווערטער איבער ∞, בין איך נאך נישט זיכער וואס דער חילוק איז.

[tag]אבטולמוס[/tag], וויפיל קען מען דען מסביר זיין אין סוף? וואס מער הגדרה אלץ מער מוגדר...
אבער ווי [tag]יידל[/tag] האט שוין אביסל פארברייטערט, ∞ איז דער אבסטראקטער מושג פון absolute infinite, אזא אין סוף וואס העכער קען נישט זיין. ס'וועט טאקע נעמען ∞ צייט צו ציילן אלע מיטגלידער פון די סעטס וועמען'ס cardinality די אלף נומערן באצייכענען, ווייל מ'וועט קיינמאל נישט ענדיגן, אבער ווען מ'באטראכט דעם סעט as a whole קענען מיר נישט זאגן אז דער סעט באשטייט פון ∞ מיטגלידער, ווייל מ'קען דאך יא גיין העכער! אלף-איינס איז העכער ווי אלף-נול, און נאך אלף קומט בית. אין פאקט זענען פארהאן אין סוף אין-סופים צווישן דער אלף-זערא'דיגער אין סוף ביז דער אין סוף אליינס! די אלף נומערן קענען פונקטליכער באצייכנט ווערן אלס transfinite, טאקע נישט finite, אבער פארט נישט דאס וואס infinity באצייכנט.
(infinity איז א מאדנע, גליטשיגע באשעפעניש, אין פילאזאפיע, אפיסטמאלאגיע, מאטעמאטיקס, פיזיקס און רעליגיע. ענליך צו א מעלאנע קערל, וויפיל מ'מיינט אז מ'כאפט אים אן גליטשט ער זיך ארויס. אסאך mathematically proven פאקטן איבער אים זעען אויס counter-intuitive און אפי' קעגן די יסודות פון לאגיק. ס'נעמט אביסל ביז דער מושג זאפט זיך איין אין מח).
חוץ פון דער מהות'דיגער חילוק, זענען זיי אויך אנדערש אין טערמינאלאגיע. ∞ איז א מושג העומד מצד עצמו, בעת וואס די אלף-נומערן ווערן בעיקר באנוצט אין set theory אויף צו באצייכענען די cardinality פון געוויסע סעטס המבוארים לעיל, נישט אזוי ווייט אלס נומערן פאר זיך.

און וועגן דיין ∞'דיגן עקזיסטענץ, כ'פארבארג דיר גערן מיין פענע...

דיין פענע איז מסתמא זייער פאסיג, אבער חוץ פון דעם דארף איך אויך מער פונעם פערטן דימענציע...

אינטערסעסאנט אז פונקט לעצטנס איז פארגעקומען א דעבאטע צווישן דזשארדזש דווארסקי פון io9 און טאם הארטספעלד פון ריעל קלער סייענס צו אינפיניטי עקזעסטירט צו נישט. מיר ווייסן דאך אז אין סוף עקזעסטירט און דאס איז דאך אין סוף ברוך הוא בכבודו ובעצמו, אבער זייער מחלוקת איז עפעס אנדערש, צו דאס עקזעסטירט אלס א מציאות בהאי עלמא. כולי עלמא מודי אז אינפיניטי אלץ א צאל/נומער עקזעסטירט נישט און איז אוממעגליך, די שאלה איז נאר צו דער מושג אינדרויסן פון א נומערן קאנטעקסט איז א גשמיות'דיגער מושג. לענ"ד איז הארטספעלד גערעכט, אינפיניטי איז נישט מער ווי אן אבסטראקט מושג, און אפילו צו מתאר זיין דעם רבוש"ע איז עס נישט מער ווי אן אבסטראקטער תואר, נישט דער רבוש"ע'ס מהות גופא. אשמח מאוד אויב די געערטע חכמים ונבונים, שליח, [tag]אבטולמוס[/tag] און [tag]יאיר[/tag] וועלן זאגן זייער מיינונג אויפן אינטערעסאנטן דעבאטע.

כ'בין נאכנישט אנגעקומען צו זען זייערע ווערטער, אבער אויבנאויפיג וואלט איך געזאגט אקוראט ווי אייך און [tag]יאיר[/tag]. מיט די השגחה פונעם אין סוף ב"ה האב איך זיך פונקט היינט אנגעשטויסן אין די הארה פון ידידנו החשוב [tag]פשוט-קאמפליצירט[/tag]:

אין דער פסוק שטייט "אז הוחל לקרוא בשם ה'", הוחל איז א לשון פון תחילה. דער 'אבן עזרא' זאגט פשט "מגזרת תחלה והטעם שהחלו להתפלל", הייסט דאס פאר א גרויסע מעלה פון זיי, אז זיי האבען אנגעהויבען צו דאווענען, אזוי ווי דער 'תרגום': "ביומןהי חלו בני אנשא מצלאה בשמם דהשם", אין דאס איז לשבח. דער רד"ק איז מסביר אז ביז דער דור אנוש איז בכלל נישט אנגעפאלען אז תפילה העלפט, נאר זיי האבען געטראכט אז דער גזירת המקום אין להשיב, אבער בימי אנוש האבען זיי אנגעהויבען צו דאווענען. אסאך פרעגן אז מ'זעט שוין אז אדם הראשון האט געבעטן אויף רעגן, נאר ס'דא וואס פארענפערען אז אדם הראשון האט געבען לכבוד המקום, אבער די דור אנוש האט געבען בעד ישיעות ורפואות.

אבער פון רוב מדרשים איז משמע אז בימי דור אנוש איז נאר געוועהן א ירידה, נישט קיין עליה, דער הייליגע מהר"ל מפראג שרייבט (גור אריה בראשית ד כו): "והראב"ע שפירש אותו לשבח אין רוח חכמים נוחה הימנו, לפי שיש ללמוד מענין הפרשה דלא בא לספר בשבחם, וכי אפשר לפרש להיות קוראים עתה בשם ה', ומצאנו כאשר החל לרוב היו תמיד חוטאים יותר, ואיך נאמר אכשר דרי".

בדרך אפשר יש לפרש אז ביים דור אנוש האבן מענטשן אנגעהויבן דעפינירן דעם אין סוף וואס מיר ברואים קענען נישט אנהייבן משיג זיין. נעמט אין אכט: "אין סוף" פאר זיך איז א קאנצעפט וואס מיר מענטשן האבן באשאפן. דער אויבערשטער איז מופשט פון יעדער השגה, אריינגערעכנט דער קאנצעפט פון נישט קענען משיג זיין. ביז'ן דור אנוש האבן מענטשן זיך מבטל געווען און מדבק געווען אין דעם עפעס וואס דער שכל קען נישט משיג זיין. ביים דור אנוש האבן מענטשן שוין אנגעהויבן "מאכן סדר" און ראציאנאליזירן. דאס איז א גרויסע ירידה, ווייל עס מאכט אזויפיל שווערער דאס דביקות.

(אזוי האב איך אפגעלערנט דעם פסוק. איך האף אז עס שטייט פון א פריערדיגן.)

דער רבוש"ע איז נישט "אין סוף", ס'איז נאר א וועג וויאזוי מיר קענען אים באצייכענען, ווי דער מורה איז שוין מאריך בענין תוארי השלילה.

שליח, איך פרוביר צו פארשטיין דיינע ווערטער, אבער עס גייט מיר נישט. דעם ערשטן האלב איז לכאורה פשוט, לאמיר דאס פרובירן צו ערקלערן אויף אנדערע ווערטער: אפילו אויב מען קען טראכטן פון א צאל נאטורליכע נומערן, נאך און נאך, אד אינפיניטום, וועט מען סוף כל סוף קענען ציילן די נומערן. ס'וועט נישט קענען מקויים ווערן אשר לא יספר מרוב.
דערנאך פרובירסטו אבער זאגן אז אויב מיר וועלן אריינגיין צווישן די נומערן, צו די דעצימעל נומערן, דאן וועט אויסקומען אז מ'וועט דאס נישט קענען ציילן. פארוואס, איז מיר אומפארשטענדליך. אויב קענסטו עס ערקלערן אויף א פשוט'ערע שפראך אז איך אלס איינער וואס האט כמעט קיין שום ידיעה אין מאטעמאטיק זאל דאס קענען פארשטיין דאן וועל איך דיך אודאי מכיר טוב זיין. און אויב נישט וועלן מיר זיך מוזן באגנונגן מיט וואס מיר האבן יא פארשטאנען, איך וועל דורכשלאפן רואיג די נאכט דא אין האטעל אזוי אויך.

ווי מאטל דער הונדערט און זיבעטער האט שוין אביסל מסביר געווען, ס'איז נישטא קיין חלק בלתי מתחלק ביי real numbers. אויב פרעג איך דיר וואס קומט (ביי natural numbers) נאך 1, וועסטו מיר קענען ענטפערן 2. דער וועג פירט טאקע צום אין סוף, אבער מ'קען אהין שפאנען מיט געמאסטענע טריט. אויב פרעג איך דיר אבער, וואס קומט (ביי real numbers) נאך 1.1, קענסטו מיר גארנישט ענטפערן. נישט קיין חילוק ווי פיצל דער טריט וואס מיר ווילן שטעלן, וועלן מיר אלעמאל איבערהיפן אין סוף נומערן, בלייבן מיר געפרוירן אויפן ארט. (דאס דערמאנט זינון'ס פאראדאקסן).
(און אז הסתפקות במיעוט איז נישט אלעמאל א גוטע מדה דארף איך אייך מסתמא נישט זאגן).

[הציץ ונפגע]

א דאנק אייך אלע באטייליגטע אין דעם העכסט אינטערעסאנטן מאטעמאטישער שמועס. איינס פון זענאָ'ס פאַראַדאָקסן איז טאקע איבער דאס וואס שליח און ר' מאטל האבן דערמאנט, אז די צאל עכטע נומערען צווישן 1 און 2 זענען ציילבאר עד-אין-סוף, און אויב אזוי, וויאזוי איז בכלל שייך אנצוקומען פון 1 צו 2? איך האב אמאל געברענגט דא אין קאווע הויז אן XKCD קאָמיקס וואס קוקט אן די זאך פון א קאמישן שטאנדפונקט:
[center]
באווייז

די פּראָקוראָר רופט גאָטפריד לייבּניץ.[/center]

[געפילטע פיש]

כ'האב פראבירט צו שטודירן אביסל די נושא ווייטער, און זיך אנגעשטויסן אין דעם ארטיקל, אבער ווען ער הייבט אן רעדן פון די ביינערי צו דעסימיל קאנטיניואם סומאטאכע בין איך געווארן דיזי. עפטער אלל האב איך דאך נישט קיין היי סקול לעוועל אין מאטעמאטיקס...

נ'אפשר קען דער שליח עס צולייגן פון אונז אמעראצעם אויף קליין געלט.

[שליח]

ייש"כ [tag]געפילטע פיש[/tag], א שיינער ארטיקל.
אבער כ'פארשטיי נישט פונקטליך וואס איר מיינט, דוכט זיך אז וואס איר פרעגט האבן מיר שוין אויסגעשמועסט, אפשר טאקע פעלט הסבר.

דאס איז קלאר, אז countably infinite (א שטייגער ווי די סעט פון אלע natural numbers) איז די קלענסטע סארט אינפיניטי, אויך באוואוסט אלס אלף-זערא.
דאס איז אויך קלאר, אז די סעט פון אלע real numbers, וועלכער איז uncountable, איז גרעסער, ווי שוין אויפגעוויזן אויבן.
יעצט איז די שאלה, וויפיל גרעסער? דהיינו, איז טאקע די גרויס פון דער סעט די נעקסטע אינפיניטי אין די רייע נאך אלף-זערא, אדער איז דא עפעס אינצווישן?

קאנטאר, דער מענטש וואס איז אויפגעקומען מיט די אלע סארטן אינפיניטיס וועלכע דרייען אייך יעצט דעם קאפ, האט אנגענומען אז יא, דער סעט פון אלע real numbers (אויך גערופן the continuum) לו משפט הבכורה, אים קומט זיך דער טיטול אלף-איינס, זייענדיג גלייך נאך אלף-זערא. דאס ווערט אנגערופן די continuum hypothesis. אבער ס'איז טאקע בלויז א hypothesis, ער האט עס נישט געקענט אויפווייזן, געוויסע גרויסע מאטעמאטיקער האבן געהאלטן אז ס'איז פאלש. דוד הילבערט (אין וועמענס האטעל יאיר האט גענעכטיגט) האט דאס אויסגערעכנט דער ערשטער אין זיין באוואוסטע ליסטע פון 23 שאלות וואס ווארטן אויף א תשובה.
וואס ווייסט מען היינט? מ'ווייסט נישט. נישט נאר דאס, מ'ווייסט אויף כמעט זיכער אז מ'וועט קיינמאל נישט וויסן אויף זיכער.

[געפילטע פיש]

כ;האב פארשטאנען די חילוק ציווישן countable infinity און די טעארעטישע אבסעלוטע infinity, נאר זיין הוכחה פארוואס ס'מוז זיין, פון סעטס פון ביינערי נאמבערס וואס מ'לויפט דורך זיי diagonally, דאס האב איך נישט פארשטאנען.

[שליח]

ס'דארף נישט זיין ביינערי נאמבערס, נאר דער שרייבער דארט שרייבט עס אזוי עס צו מאכן פשוטער. כ'האב אויך מתחילה אזוי געשריבן, אבער כ'האב עס געטוישט ווייל כ'האב געטראכט אז אריינברענגען ביינערי וועט נאר צומישן. דאס איז וואס כ'האב געשריבן אויבן.

אבער aleph-zero איז נישט פשוט אין סוף, ס'זענען דא מער real numbers צווישן איין natural number און די צווייטע ווי aleph-zero! אין אנדערע ווערטער, די צאל פון real numbers (אדער decimal numbers) וואס זענען צווישן 0 און 1 איז אומציילבאר, נישטא גענוג natural numbers פאר יעדע איינע פון זיי.
און די ראי' (proof) דערצו איז פשוט און הערליך. ס'זענען דא real numbers וואס דארפן געשריבן ווערן אין אומצאליגע דעצימעלס (למשל א דריטל פון צען איז 3.333..., אן אנדערע דוגמא איז π). שטעלט אייך פאר מיר מאכן א ליסטע פון אלע נומערן צווישן 0 און 1 וועלכע קענען געשריבן ווערן אין infinite decimals, קענען מיר אלעמאל מאכן א פרישע נומער ווי פאלגנד: קוק אויף די ערשטע דעצימעל פון די ערשטע נומער פון די ליסטע, און שרייב אראפ אן אנדערע נומער (אויב איז עס 0 שרייב אראפ 1, למשל). קוק אויף די צווייטע דעצימעל פון די צווייטע נומער פון די ליסטע, און שרייב אראפ אן אנדערע נומער, וכן עד עולם. וועלן מיר דאך ענדיגן מיט א נומער וואס איז נישט געווען אויף די ליסטע, איז דאך מוכרח אז די real numbers זענען אומציילבאר. וויפיל real numbers זענען למעשה דא? aleph-one (לויט געוויסע).

דער חשבון גייט, אז מ'מאכט קודם אן הנחה אז מ'קען טאקע מאכן א ליסטע פון אלע real numbers (ס'איז countable), און דערנאך באשאפט מען א נייע נומער וואס איז נישט געווען אויף די ליסטע, דורכן זיכער מאכן אז כאטש איין digit איז אנדערש ווי יעדע נומער, (מ'מוז נישט גיין דוקא diagonally, דער עיקר איז אז מ'האט א חשבון אז צום סוף זאלן אלע נומערן זיין 'געדעקט'). ממילא שטעלט זיך דאך ארויס אז אונזער הנחה איז נישט ריכטיג, און מ'קען טאקע נישט מאכן קיין ליסטע. דאס ווערט אנגערופן proof by contradiction, כ'ווייז דיר אויף אז אן הנחה (reals זענען countable) איז אומריכטיג ווייל אויב יא קומט אויס א סתירה.

איז יעצט קלארער?

[געפילטע פיש]

יא, שקויעך.

[הוגה]

[justify]

אינטערסעסאנט אז פונקט לעצטנס איז פארגעקומען א דעבאטע צווישן דזשארדזש דווארסקי פון io9 און טאם הארטספעלד פון ריעל קלער סייענס צו אינפיניטי עקזעסטירט צו נישט. מיר ווייסן דאך אז אין סוף עקזעסטירט און דאס איז דאך אין סוף ברוך הוא בכבודו ובעצמו, אבער זייער מחלוקת איז עפעס אנדערש, צו דאס עקזעסטירט אלס א מציאות בהאי עלמא.

איך האב שוין פון לאנג געטראכט, עס איז נישט מעגליך צו פארשטיין אין סוף, ווייל איין מאל מיר פארשטייען עס איז עס דאך שוין נישט אין סוף. למשל, איך וויל ווייזן פאר ראובן אז אונזער וועלט איז בעצם אין סוף, דהיינו, כאטש אפילו עס זעהט אויס מוגבל'דיג דאך איז עס אין סוף. איך פיר אים צו צום גבול צום עק פונעם וועלט און איך זאג אים, "דו מיינסט אודאי אז די וועלט ענדיגט זיך דא ביי דעם גבול, אמת? קום לאמיר נעמען א לייטער און קוקן וואס טוט זיך איבער די וואנט". ער קריכט ארויף און עס אנטפלעקט זיך פאר אים נאך מיילן מיילן פון א הערליכע האריזאנט. ער רופט זיך אן מיט התפעלות "אהא, יעצט זעה איך שוין אז די וועלט איז אין סוף ווייל איך זעה אז עס ציט זיך ווייטער ביז ווי ווייט איך קען נאר זעהן". איך מאך אויף א טיר אין די וואנט און מיר זעצן זיך אריין אין א קאר און מיר פארן מיילן אריין אינעם האריזאנט , אבער ווי טיפער און ווייטער וואס מיר פארן אנטפלעקט זיך אלץ מער מיילן. דער ראובן וועט אבער קיינמאל נישט פארשטיין וואס איז דאס אין סוף, ער קען אפשר האבן אן idea אביסל בדרך משל, אבער ער ווייסט נישט בכלל וואס איז דאס אין סוף. אז א human being - א בריה המוגבל זאל קענען קאמפריהענדן וואס איז דאס אין סוף מוז עס ווערן אויס אין סוף.

(עס דערמאנט מיר א מעשה וואס האט זיך ארום געדרייט פאר בערך צען יאר צוריק. די תולדות א"י רבי האט געפרעגט המהרנ"ץ מבאבוב אויב זיין טאטע - רבי שלמה מבאבוב - האט אמאל געלערנט קבלה, האט ער געענטפערט אז נישט. האט ער אים געפרעגט אויב מען האט געלערנט בצנעה, האט די באבובער רב געענטפערט "אז ס'געווען בצנעה, פון ווי זאל איך וויסן". ) היוצא לנו, ווען איינער פרעגט אז מען זאל ערקלערן "אין סוף" איז די ענטפער, אויב ערקלערט מען עס וועט עס שוין נישט זיין אין סוף. די זעלבע איז לכאורה בנוגע די שאלה צו עס עקזיסטירט בהאי עלמא, אויב עקזיסטירט עס דא דאן איז עס דאך שוין נישט אין סוף.

איך ווייס נישט אויב איינער האט עס געשריבן שוין אבער די נענסטע זאך צו אין סוף וואס מיר קענען (אולי ואולי) פארשטיין איז בחירה.


.[/justify]

[יידל]

הוגה, וואס מיינסטו מיט דעם ווארט אז בחירה איז די נענטסטע זאך צו אין סוף? לא זכיתי לרדת לסוף דעתך.

[יאיר]

הוגה, וואס מיינסטו מיט דעם ווארט אז בחירה איז די נענטסטע זאך צו אין סוף? לא זכיתי לרדת לסוף דעתך.

בחירה = אומפארשטענדליך.
אין סוף = אומפארשטענדליך.
אומפארשטענדליך + אומפארשטענדליך = אומפארשטענדליך.
(דער חשבון שטימט, שליחנו היקר?)