מאטעמאטיק: פריים נומערן

[יאיר]

אין די משפחה מאגאזין איז די וואך געווען אן ארטיקל איבער פריים נומערן. דאס זענען די נומערן וואס מען קען נישט צוטיילן אין קיין אנדער נומער אויסער 1 און דער נומער אליין. למשל, 3 און 2 קען מען נאר צוטיילן אין דריי איינסערס, אזוי אויך פינף קען מען נאר צוטיילן אין איינסערס, נישט אין צווייערס אדער דרייערס. שטייט דארט וועגן דעם אז די פריים נומערן זענען אינפיניט, און אזוי אויך געדענק איך א שאלה איבער דעם כלל אז מען קען צוטיילן יעדן פאזיטיוון נומער אין צוויי פריים נומערן, צו ס'איז דא א הוכחה דערצו. און פיינעלי, שטייט דארט עפעס וואס כ'האב נישט פארשטאנען, אז עס זענען פארהאן קאוד שפראכן וואס ארבעטן אויף א סיסטעם אז מ'קען דאס נישט אויפברעכן נאר אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן, און אזוי ווי מ'רעדט פון גאר הויכע ציפערן איז כמעט אוממעגליך דאס אויפצוברעכן. איך וועל בעטן כבוד הרב הגאון, חכם וסופר, מדען וידען, @שליח יקירנו זאל מער מרחיב זיין את הדיבור.

[הוגה]

א גרויסע יישר כח יאיר פארן ארויף ברענגן דער נושא. איך האב אויך געליינט מיט שטארקע אינטערעסע די ארטיקל פון דאקטאר Andrew Goldfinger און איך האב עס אויסגעשניטן פאר ווייטערדיגע ריסערטש. (אגב, זיינע ארטיקלן זענען איינס ביי איינס געוואלדיג.)

כיאיר, וויל איך אויך פארשטיין דער נושא. וואס פונקטלעך איז א פריים נומער? איך פארשטיי אז ס'פארהאן אסאך even נומערן וואס זענען פריים, ווי אזוי קען עס זיין? און ס'פארהאן אסאך odd נומערן וואס זענען נישט פריים, ווי אזוי קען עס זיין? פארוואס האלטן מאטימאטיקער אז ס'דא אינפינייט פריים נומערן? און פארוואס זענען זיי נישט זיכער דערוועגן? ווי שווער איז עס שוין צו ערפינדן א קאמפיוטער עס אויס צו רעכענען?

יישר כח למפרע.

[מאטי]

חוץ נומבער ״2״ וועלכער איווען נומבער איז פריים ?

[שליח]

פריים נומערן זענען ווי די אטאמען אין עולם המספרים, יעדער נומער איז אדער א פריים אדער באשטייט ער פון פריים נומערן. למשל 3 און 5 זענען פריימס, 15 באשטייט פון 3 און 5 (15 = 5 * 3). דאס איז די פונדאמענטאלע טעארם פון אריטמעטיק. צוברעכן א נומער אויף זיינע באשטאנדטיילן ווערט אנגערופן integer factorization.

מיר ווייסן אז ס'זענען דא אינפיניט פריימס, די ליסטע ענדיגט זיך נישט קיינמאל. איינס פון די הוכחות איז כמעט טריוויאל: נעמט א ליסטע פון פריים נומערן (לאמיר זאגן אלע פריימס אונטער צען: 2, 3, 5, 7), רעכנט זיי צוזאמען (210 = 7 * 5 * 3 * 2), און לייגט צו איינס (האלטן מיר ביי 211). מיר וועלן זיך גאנץ שנעל איבערצייגן אז דער נומער צוטיילט זיך נישט אין די פריימס וואס מיר האבן אויף אונזער ליסטע, אבער מיר ווייסן דאך אז יעדע נומער צוטיילט זיך אין פריימס אדער איז אליינס א פריים! מוז זיין אז אונזער ליסטע פארמאגט נישט אלע פריימס וואס זענען פארהאן (אין אונזער פאל איז טאקע 211 אליינס א פריים). וויבאלד מ'קען אזוי אנגיין לעולם ועד, מוז זיין אז ס'זענען דא אין-סוף פריימס.
אבער וויבאלד מיר רעדן דאך אין דעם אשכול פון כמה מינים אינפיניטיס, וועלכע סארט אינפיניטי איז דאס? ווי געשריבן אויבן, אלף-זערא. אין אנדערע ווערטער: עס זענען דא פונקט אזויפיל פריים נומערן ווי (natural) נומערן בכלל! האט איר נאך א פאראדאקס בעניני אינפיניטי.

און אזוי אויך געדענק איך א שאלה איבער דעם כלל אז מען קען צוטיילן יעדן פאזיטיוון נומער אין צוויי פריים נומערן, צו ס'איז דא א הוכחה דערצו.

אין פונקטליכערע ווערטער: יעדע even נומער פון 4 און העכער קען אויסגעדריקט ווערן ווי דער סכום פון צוויי פריים נומערן, דאס איז גאלדבאך'ס שפעקולאציע. לדוגמא, 100 = 97 + 3. אויף ווי ווייט מ'האט בודק געווען (4000000000000000000) שטימט עס, אבער קיין proof האט מען נאכנישט. אויב איז דאס אמת, איז מוכרח פון דעם א צווייטע כלל: יעדע odd נומער העכער 5 קען אויסגעדריקט ווערן ווי דער סכום פון דריי פריים נומערן. ממש לעצטענס איז איינער אויפגעקומען מיט א proof, וואס כפי הנראה יש דברים בגו, הגם די מאטעמאטישע וועלט דארף עס נאך גרונטליכער דורכטון. אבער דער proof וועט לכאורה נישט ארבעטן אויף צוריק, מוכיח צו זיין אויך דער ערשטער כלל.

און פיינעלי, שטייט דארט עפעס וואס כ'האב נישט פארשטאנען, אז עס זענען פארהאן קאוד שפראכן וואס ארבעטן אויף א סיסטעם אז מ'קען דאס נישט אויפברעכן נאר אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן, און אזוי ווי מ'רעדט פון גאר הויכע ציפערן איז כמעט אוממעגליך דאס אויפצוברעכן. איך וועל בעטן כבוד הרב הגאון, חכם וסופר, מדען וידען, @שליח יקירנו זאל מער מרחיב זיין את הדיבור.

דאס האט שוין מיט computational complexity theory. אהן אריינצוגיין אין פרטים און סיבות, זענען דא חשבונות (אלגאריטמס) וואס זענען שווער און קאמפליצירט און אנדערע וואס זענען פיל גרינגער און פשוטער. למשל חיבור (addition) איז געווענליך גרינגער ווי כפל (multiplication), וואס איז גרינגער ווי חילוק (division). אויף וויפיל מ'ווייסט יעצט, איז factorization (צוברעכן א נומער אויף זיינע פריים חלקים) זייער שווער, ובפרט ווען ס'קומט צו העכערע נומערן. א היינטיגע קאמפיוטער וואלט נישט געהאט קיין גאר-גרויסע פראבלעמען אויסצורעכענען אז

קוד: וועל אויס אלע

33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489 

מאל

קוד: וועל אויס אלע

36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917 

איז

קוד: וועל אויס אלע

1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413

. ס'האט אבער גענומען צוויי יאר פאר הונדערטער קאמפיוטערס צוזאמען צו גיין דעם וועג פארקערט, געוואויר ווערן אז דער גרעסערער נומער באשטייט פון די צוויי קלענערע (PDF).

יעצט לאמיר כאפן א בליק אויף cryptography, נאר גענוג אויף צו פארשטיין דער געדאנק. ווען איינער שרייבט עפעס ביי זיך אויפן קאמפיוטער, און ער וויל קיינער אויסער ער זאל עס קיינמאל נישט קענען ליינען, קען ער עס ענקריפטן, "פארשפארן" מיט א געוויסע נומער. ס'זענען דא גאר אסאך אזעלכע פראגראמען, וואס מ'לייגט אריין א נומער, און דער פייל ווערט אומליינבאר ווילאנג מ'לייגט נישט נאכאמאל אריין דעם נומער. שטעלט אייך פאר ער לייגט אריין דעם אויבנדערמאנטן ריזיגן נומער, איז עס גאנץ פארזיכערט, קיינעם וועט קיינמאל נישט איינפאלן אזא נומער, אלעס פיין און וואויל. וואס איז אבער אויב וויל מען א encrypted connection, למשל כ'וויל פלוני זאל מיר שיקן עפעס אויף אימעיל, אבער די אלע קאמפאניס דורך וועמען דער אימעיל גייט אריבער זאלן עס נישט קענען ליינען? איינער זאל שרייבן פארן צווייטן וואס דער נומער איז איז אוודאי נישט קיין לעזונג, ווייל די קאמפאניס קענען דאך זעהן וואס מ'שרייבט. מיר זוכן א שלאס וואס סיי ווער קען צושפארן אבער נאר איינער קען עפענען.
דאס איז דער אויפטו פון public-key cryptography, נוץ צוויי נומערן אנשטאט איינס, איינס א באהאלטענע און א צווייטע וואס יעדער מעג וויסן. די צוויי נומערן האבן א שייכות, אבער ס'איז אוממעגליך (אדער אויסטערליש שווער) צו דערגיין דעם באהאלטענעם נומער פונעם אפענעם. וואו פארשאפט מען אזעלכע נומערן? איינס פון די וועגן איז וואס מ'האט אויסגעשמועסט אויבן, ווער ס'ווייסט דעם ריזיגן נומער ווייסט נאכנישט די פריימס פון וואס ער באשטייט, אבער ס'איז גענוג גרינג צו מאכן דעם גרויסן נומער פון די פריימס אז כ'זאל עס קענען נוצן. צוריק צו אונזער מעשה, כ'בין מודיע פאר פלוני ער זאל ענקריפטן דעם פייל מיטן ריזיגן נומער, כ'מאך בכלל נישט קיין סוד דערפון, יעדער מעג עס וויסן. מ'קען אבער נישט דעקריפטן דעם פייל מיט דעם נומער, מ'מוז אריינלייגן איינע פון זיינע פריימס, וואס ליגט ביי מיר במחתרת. ווען איך לייג אריין דעם פריים אינעם פראגראם נעמט אים נישט לאנג אויסצורעכענען אז ס'שטימט מיטן ריזיגן נומער מיט וואס דער פייל איז פארזיגלט, ווייל מאכן א נומער פון פריימס איז דאך נישט קיין 'ביג דיעל' כנ"ל, וממילא עפנט ער מיר דעם פייל.
כ'האף אז ס'איז גענוג קלאר, כ'האב במכוון אויסגעלאזט אסאך פרטים.

---

הוגה האקט, האפנטליך זענען אייערע שאלות פארענטפערט. נאר איין הערה:

ווי שווער איז עס שוין צו ערפינדן א קאמפיוטער עס אויס צו רעכענען?

האט איר פארגעסן אז נומערן גייען ביז אין-סוף? ביז וויפיל זאל דער קאמפיוטער רעכענען?
בעניני number theory קען א קאמפיוטער מערסטענס צושטעלן א פירכא, נישט קיין ראי'. עכ"פ נישט אויף די פשוטע וועג פון רעכענען נומערן איינס נאכן צווייטן.

[טאמבל סאס]

יעצט געלייענט שליח'ס הודעה. שטארקע קורת רוח געהאט און ס'מאכט זיך מיר שטארק בענקען צו אים. לאמיך אבער פרעגן עפעס און כהאף עמיצער אנדערש וועט זיך פרייען אויסצוקלארן.

ווען איך שיק מיין חבר דער ריזיגער סך הכול מיט וואס ער זאל פארשפארן די פייל וועט עס נאר ארבעטן אויב דער אינטעסעפטער'ס קאמפיוטער איז נאך צוריקגעבליבן פון מיינער און האט נאכנישט אויסגעפיגערט וועלכער פריים נומער וואס ווען צוזאם געשטעלט מיט דער אנדערער פריים נומער, וואס ליגט ביי מיר אין מחתרת, וועט מאכן די סך הכול. ריכטיג?
אין אנדערע ווערטער, די בעלים פון די אויבנדערמאנטע 100 קאמפיוטערס זענען אהעד אף די געים. (אויך נאר פאר א קורצע וויילע, אויב דער אינטערסעפטער=למשל דער קאמיוניקאציע קאמפאני, האט זיך אויך זיינע 100 קאמפיוטערס ארבעטנדיג אויף די זעלבע פראיעקט)

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

[פארוואס?]

איך פארשטיי נישט פונקטליך וואס דו מיינסט צו פרעגן.

די נומער וואס ליגט ביי מיר אין מחתרת (עי קעי עי, די פרייוואט קי) דארף קיינער אויף די וועלט נישט וויסן.

דו קענסט אויסקלויבן א רענדאם נומער, אדער נוצן אזא פראגראם ווי putty צו רענדאמלי דזשענערעיטן די צוויי שליסלען.

[טאמבל סאס]

אה, דאס האט נישט מער צוטוהן מיט די איווען נומער וואס איז געמאכט פון צוויי פריימס?!

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

[טאמבל סאס]

יאיר האט געפרעגט וואסי פשט אז מ'קען נישט ברעכן די קאוד חוץ אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן. האט שליח מסביר געווען אז די געדאנק איז באזירט דערויף וואס ס'איז גאר שווער צו וויסן פון וועלכע צוויי פריים נומערן א גרויסער נומער איז צוזאמענגעשטעלט. אלזא שיקט מען דעם חבר דער טאטאל, יענער שליסט צו דער פייל, שיקט דיר עס און דיין קאמפיוטער ווארט דו זאלסט אריינלייגן דער פריים נומער וואס וועט איבערלאזן פאר אים דער אנדערער פריים נומער מיט וואס משליםא צו זיין די טאטל? און אזוי ווייסט ער מעג דיר גיבן עקסעס. דא בין איך בין נישט קלאר.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

[שלום על ישראל]

...אבער מיר ווייסן דאך אז יעדע נומער צוטיילט זיך אין פריימס אדער איז אליינס א פריים!...

לא זכיתי להבין. 8 איז נישט קיין פריים און צוטיילט זיך צו 4 וואס איז אויך נישט קיין פריים.

[טאמבל סאס]

אבער סצעטיילט זיך אויך אין 3 און 5. ד.ה. אז ס'איז צאמגעשטעלט פון פריימס. אויך וועט זיך עס עווענטואל צעטיילן אין 2 וואס איז א פריים.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

[פארוואס?]

יאיר האט געפרעגט וואסי פשט אז מ'קען נישט ברעכן די קאוד חוץ אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן. האט שליח מסביר געווען אז די געדאנק איז באזירט דערויף וואס ס'איז גאר שווער צו וויסן פון וועלכע צוויי פריים נומערן א גרויסער נומער איז צוזאמענגעשטעלט. אלזא שיקט מען דעם חבר דער טאטאל, יענער שליסט צו דער פייל, שיקט דיר עס און דיין קאמפיוטער ווארט דו זאלסט אריינלייגן דער פריים נומער וואס וועט איבערלאזן פאר אים דער אנדערער פריים נומער מיט וואס משליםא צו זיין די טאטל? און אזוי ווייסט ער מעג דיר גיבן עקסעס. דא בין איך בין נישט קלאר.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

עס האט מער גארנישט צו טוהן מיט גאלדבאך׳ס השערה.

מ׳דארף נישט וויסן אלע פריים נומערן כדי צו דיקריפטן, און מ׳קען נישט וויסן אלע פריים נומערן (עס איז ענדלעס). מען דארף נישט מער ווי וויסן וואס זענען די צוויי פריים נומערן וואס בויען דעם ספעסיפיק נומער.

[פארוואס?]

...אבער מיר ווייסן דאך אז יעדע נומער צוטיילט זיך אין פריימס אדער איז אליינס א פריים!...

לא זכיתי להבין. 8 איז נישט קיין פריים און צוטיילט זיך צו 4 וואס איז אויך נישט קיין פריים.

8 ווערט צוטיילט אין 2*2*2, עס מוז נישט אנקומען גלייך צום פריים, אבער עווענטעאל וועט ער אנקומען צו די פריימס. (דאס ווערן אנגערופן פאקטארן).

[טאמבל סאס]

יאיר האט געפרעגט וואסי פשט אז מ'קען נישט ברעכן די קאוד חוץ אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן. האט שליח מסביר געווען אז די געדאנק איז באזירט דערויף וואס ס'איז גאר שווער צו וויסן פון וועלכע צוויי פריים נומערן א גרויסער נומער איז צוזאמענגעשטעלט. אלזא שיקט מען דעם חבר דער טאטאל, יענער שליסט צו דער פייל, שיקט דיר עס און דיין קאמפיוטער ווארט דו זאלסט אריינלייגן דער פריים נומער וואס וועט איבערלאזן פאר אים דער אנדערער פריים נומער מיט וואס משליםא צו זיין די טאטל? און אזוי ווייסט ער מעג דיר גיבן עקסעס. דא בין איך בין נישט קלאר.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

עס האט מער גארנישט צו טוהן מיט גאלדבאך׳ס השערה.

מ׳דארף נישט וויסן אלע פריים נומערן כדי צו דיקריפטן, און מ׳קען נישט וויסן אלע פריים נומערן (עס איז ענדלעס). מען דארף נישט מער ווי וויסן וואס זענען די צוויי פריים נומערן וואס בויען דעם ספעסיפיק נומער.

אבער אויב מיין קאמפיוטער ווייסט די צוויי נומערן וואס בויען די ספעסיפיק נומער קען דאך דער קאמיוניקאציע קאמפאני'ס קאמפיוטער אויך וויסן? אויב אזוי מה הועילו תקנת חכמים? דער ספעסיפיק נומער האב איך דאך געמאכט פובליק?

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

[פארוואס?]

דאס איז די חכמה דא, אז ווען דו האסט דו גרויסע נומער קענסטו נישט גרינג וויסן די פאקטארס.

לאמיר נעמען א פשוטע דוגמא דו נעמסט צוויי נומערן 13 און 59, ביידע זענען פריים נומערן. האבנדיג די צוויי נומערן קען א קאמפיוטער טוהן מאלטיפליקעישן (וואס איז זייער א גרינגע פונקציע פאר א קאמפיוטער צו טוהן) און ער שפייט אויס די גרויסע נומער וואס איז 767.

אויב געבסטו אבער דעם קאמפיוטער די גרויסע נומער 767 און דו בעטסט אים איינע אדער צוויי פון די פאקטארן, דאן האט ער זייער א שווערע עבודה. ער וועט דארפן ארומזוכן אלע מעגליכע נומערן. וואס קען נעמען שעות און צומאל יאהרן. (געוואנדן אין די גרויס פונעם נומער).

פארשטייט זיך אז ביי אונזער קליין נומער וועט ער עס שנעל טרעפן, אבער ווי גרעסער די נומערן ווערן, ווערט די עבודה שווערער.

עס איז פארהאן פונקטליכע טערמינען ווי אזוי צו מעסטן די שנעלקייט פון אן אלגאריטעם, אבער דאס איז שוין א לענגערע שמועס.

[טאמבל סאס]

דאס הייסט אז דער גרויסער נומער קען באשטיין פון מערערע סעטס? מוז דאס דוקא זיין פריים נומערן?

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

[פארוואס?]

דאס הייסט אז דער גרויסער נומער קען באשטיין פון מערערע סעטס? מוז דאס דוקא זיין פריים נומערן?

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

יעדע נומער קען האבן נאר איין מעגליכע סעט פון עטליכע פאקטארס, אויב אלע פאקטארס זענען פריים נומערן. למשל 24 באשטייט פון (2, 2, 2, 3).

בנידון דידן, געווענליך וועט מען נוצן צוויי גרויסע רענדאמלי פריים נומערן, און פון זיי בויען א גרויסע פאבליק שליסל. עס פעלט נישט אויס מער ווי צוויי.

[טאמבל סאס]

אה, איך מיין איך האב באקומען אן עפיפעני. איך פארשטיי עס מיין איך. סאו איך בעט מיין קאמפיוטער ער זאל מיר אויסשפייען א הויכע נומער מיט אירע צוויי פריים קאמפאנענטס. איינס שיק איך דיר איבערן ים. יעצט דאס אז די קאמפאני זעט איין קאמפאנענט, העלפט זיי נישט קיין סאך. (אביסל אויך נישט.) ווייל צו דער פריים נומער קען אטעטשד ווערן א נומבער פון פריים נומערן צו פארמירן א נומבער פון טאטלען (TOTALS). אבער דער ספעציפישער שליסל איז דאך נאר איינע פון די אלע טאטלען וואס איך האב מיט מיין קאמפיוטער שוין פריער אפגערעדט. אלזא ווען די קאמיוניקאציע קאמפאני גיבט די קאמפיוטער נאר איין קאמפאנענט, זאגט די קאמפיוטער, אבוויעסלי ווייסטו נישט וואס די טאטאל איז, זאג איך דיר נישט אויס. אבער ווען דו שיקסט מיר די פייל פארשלאסן, און איך וויל עס עפענען, לייג איך אריין דעם צווייטן פריים קאמפאנענט און קליק-קלאק: דער קאמפיוטער דערקענט דער צווייטער פריים אלס פעלנדער חלק און שותף צו דער ערשטער - כדי מיט דעם צו פארענדיגן די אינישאל אפגעשמועסטער טאטאל - און מאכט פתיחת הארון. איא?

[מי אני]

דאס איז די חכמה דא, אז ווען דו האסט דו גרויסע נומער קענסטו נישט גרינג וויסן די פאקטארס.

לאמיר נעמען א פשוטע דוגמא דו נעמסט צוויי נומערן 13 און 59, ביידע זענען פריים נומערן. האבנדיג די צוויי נומערן קען א קאמפיוטער טוהן מאלטיפליקעישן (וואס איז זייער א גרינגע פונקציע פאר א קאמפיוטער צו טוהן) און ער שפייט אויס די גרויסע נומער וואס איז 767.

אויב געבסטו אבער דעם קאמפיוטער די גרויסע נומער 767 און דו בעטסט אים איינע אדער צוויי פון די פאקטארן, דאן האט ער זייער א שווערע עבודה. ער וועט דארפן ארומזוכן אלע מעגליכע נומערן. וואס קען נעמען שעות און צומאל יאהרן. (געוואנדן אין די גרויס פונעם נומער).

פארשטייט זיך אז ביי אונזער קליין נומער וועט ער עס שנעל טרעפן, אבער ווי גרעסער די נומערן ווערן, ווערט די עבודה שווערער.

עס איז פארהאן פונקטליכע טערמינען ווי אזוי צו מעסטן די שנעלקייט פון אן אלגאריטעם, אבער דאס איז שוין א לענגערע שמועס.

אז מ׳רעדט שוין דערפון איז אינטרעסאנט אנצומערקן דעם P vs. NP פראבלעם. צו (אווער)סימפליפייען (אין גרויסן...), וואס מ׳וויל וויסן איז צו בעצם יעדע פראבלעם וואס מ׳קען גרינג מברר זיין לאחר זה וואס מ׳האט שוין אלע information [צוריקצווועגס], אזוי ווי ביי אונזער נושא פון די פריים פאקטארן פון א (גרויסע) נומער ווען מ׳האט שוין אלע דריי נומערן [אן NP פראבלעם], איז בעצם פונקט אזוי ווי [=] א געהעריגע פראבלעם [א P פראבלעם] וואס אויב מ׳האט די ספעציפישע אלגאריטם/סטראטעגיע דאס צו לייזן קען מען בעצם לייזן יעדע סארט פון אזא פראבלעם אפילו פאר מ׳ווייסט דעם ענטפער [גראד]. אויב איז P=NP (וואס רוב מאטעמאטיקער גלייבן אז נישט) דעמאלטס, אין אונזער נידון, איז בעצם דא א וועג [אלגאריטם/סטראטעגיע] ווי אזוי געוואר צו ווערן די פריים פאקטארן פון יעדע נומער (נישט קיין חילוק ווי גרויס) אן דארפן אדורכגיין נומערן איינס נאך איינס וכו׳; אונז ווייסן נאר עס פשוט נאך נישט.

דאס אות P מיינט Polynomial time און האט צוטוהן מיט וואס פארוואס? האט דערמאנט ווי אזוי מ׳מעסט די שנעלקייט פון אן אלגאריטם.

(איך פארשטיי אז די גאנצע שמועס איז פיל פיל מער קאמפליצירט ווי איך האב עס אראפגעלייגט.)

דאס איז איינע פון די 7 (היינט שוין 6) נישט געלייזטע מאטעמאטיק פראבלעמען וואס די קלעי אינסטיטוט ׳עט געבן $1,000,000 צו דער וואס לייזט [פרופט] עס [P=NP אדער נישט].

[מי אני]

מ׳האט שוין אפאר מאל געשמועסט דא אין שטיבל וועגן פאסקאל׳ס געוועט. אין די שמועס פון פריים נומערן, פאר אינטרעסאנטקייט, קען מען צושטעלן איינע פון די תוצאות וואס מען קען ארויסנעמען פון די נומער טרייענגעל וואס ווערט ביי אונז אויך נקרא על שמו; פאסקאל׳ס טרייענגעל.

דעם טרייענגעל זעהט אויס אזוי:

IMG_5372.JPG

דאס ארבייט אז ביי יעדע זייט לייגט מען די נומער 1 און דערנאך יעדע נומער אין די שורה איז די סומע פון די צוויי נומערן העכער עס [פון די שורה העכער עס], און אזוי קען מען בויען די טרייענגעל ווייטער און גרעסער ענדלאז. איינע פון די אינטרעסאנטע זאכן וואס קומען ארויס פון די נומער טרייענגעל איז אז אויב די שורה הויבט זיך אן מיט א פריים נומער, למשל 7 אדער 11 (מ׳קוקט נישט אויף די 1 אויף די זייטן), וועלן אלע נומערן אין יענע שורה (חוץ די 1 ביי די זייטן) זיין מאלטיפלס דערפון [מ׳וועט זיי קענען דיוויידען ביי יענע פריים אן א רימעינדאר].

ס׳דא נאך אינטרעסאנטע זאכן מיט די טרייענגעל.
https://www.livescience.com/42116-the-1 ... stmas.html

[מי אני]

אז מ׳רעדט פון נומער טרייענגעלס.

75abc99a-a835-41a2-b1eb-34ca46a43309.jpg

[מי אני]

אז מ׳האט דערמאנט גאלדבאך׳ס קאָנדזשעקשור בתוך פּריים נומערן איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען נאך דריי פראבלעמען אינעם געביט פון פּריים נומערן וואס דער אידישער מאטעמאטיקער דר. עדמונד לאנדא האט געשטעלט אין 1912, וואס אלע זענען נאך דערווייל נישט אויפגעוואוזן לכאן או לכאן.

1). די פריער-דערמאנטע גאלדבאך קאָנדזשעקשור. הגם עס איז נאכנישט דא דערויף קיין תשובה/פּרוּף, איז דא דערויף דעם (ערשטן חלק פונעם) טשען טעארעם. דאס איז א פּרוּף פונעם כינעזער מאטעמאטיקער דר. טשען דזשינגרון וואס לויטעט אז יעדע גרויסע איִווען נומער קען זיכער אדער צאמגעשטעלט ווערן אלס׳ן סומע פון צוויי פּריימס אדער (עכ״פ) פון א פּריים און א סעמי-פּריים [א נומער וואס איז טאקע נישט קיין פּריים אבער צאמגעשטעלט פון א פּראדוקט פון צוויי פּריימס]. דאס זאגט אויך אז יעדעס איִווען נומער איז די חילוק צווישן א פּריים און א סעמי-פּריים. דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער דר. אָליוויער ראמארעי האט אויפגעוואוזן אז יעדעס איִווען נומער איז זיכער נישט מער ווי צאמגעשטעלט פון 6 פּריימס.

אגב, גאלדבאך אליין האט געהאט געזאגט אז יעדע נומער גרעסער פון 5 איז די צאל פון צום מערסטענסט דריי פּריימס; זיין ״שוואכע״ קאָנדזשעקשור. און דאס האבן די מאטעמאטיקער דר. איוואן מאטוועיעוויטש ווינאגראדאוו און דר. האראלד העלפגאט געפּרוּווט; דאס ווייזט אבער נישט אויף די אויבן-דערמאנטע פארמולאציע פונעם (״שטארקע״) קאָנדזשעקשור. דער בארימטער מאטעמאטיקער לעאנהערד אוילער האט אים געזאגט אז ס׳איז (כעין) די זעלבע ווי זאגן אז יעדע איִווען נומער (גרעסער ווי צוויי) איז די סומע פון צוויי פּריימס; אויב דאס [די ״שטארקע״] ווערט אויפגעוואוזן ווערט די ״שוואכע״ אטאמאטיש אויך אויפגעוואוזן. דער פוילישער מאטעמאטיקער דר. אנדרעזש שניזעל האט געוואוזן אז די קאָנדזשעקשור איז די זעלבע ווי זאגן אז יעדע פּריים מער ווי 17 איז די סומע פון נישט מער ווי דריי אנדערע פּריימס.

2). די צווילינג פּריים קאָנדזשעקשור. א צווילינג פּריים איז אזא סארט פּריים וואס צווישן די פּריים מיט׳ן נעקסטן/פריערדיגן פּריים איז נאר דא א חילוק פון צוויי (כמו צווישן די צוויי פּריים נומערן פון 41 און 43). אגב, אויב איז די חילוק צווישן די פּריימס פיהר הייסט דאס א קאזין פּריים און אויב איז די חילוק צווישן זיי זעקס הייסט דאס א [שרייב נישט קיין אומאיידעלע ווערטער. מנהל] פּריים... די קאָנדזשעקשור וויל אויפטוהן אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריים נומערן.

(עס איז דא א ברייטערע קאָנדזשעקשור אין דעם וואס רופט זיך די פּאליגנאק קאָנדזשעקשור וואס וויל זאגן אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון פּריים נומערן וואס די חילוק צווישן זיי איז עני איִווען נומער וואס דו וועסט אנכאפן. דער כינעזער-אמעריקאנער מאטעמאטיקער דר. יִטאַנג זיאַנג האט געפּרוּווט אז עס איז זיכער דא איין אזא איִווען נומער ביז 246 וואס עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון פּריימס וואס די חילוק ביניהם איז די איִווען נומער.)

דער מאטעמאטיקער דר. וויגאָ בּרוּן האט אויפגעוואוזן אז אויב גייט מען נעמען די רעסיפּראקעל (עיין כאן וכאן) פון יעדע צווילינג פּריים און גאס אלס צאמעדדן וועט דאס אנקומען צו א ספעציפישע נומער, גערופן דעם בּרוּן קאנסטענט [1.9021605...].

פון די (צווייטע חלק פון די) אויבן-דערמאנטע טשען טעארעם קומט אויס אז עס זענען זיכער דא אן אינפיניט צאל פון נומערן וואס אויב איז איינס פּריים איז די נאך-די-נעקסטע [א חילוק פון צוויי] א פּריים אדער עכ״פ א סעמי-פּריים.

‏3). לעדזשענדרע׳ס קאָנדזשעקשור. דאס איז א קאָנדזשעקשור פונעם פראנצויזישן מאטעמאטיקער עידריען-מערי לעדזשענדרע וואס וויל זאגן אז אויב מ׳נעמט די סקווער פון איין נומער [יענע נומער מאל יענע זעלבע נומער] און די סקווער פון די נומער גראד נאכדעם, וועט אלס זיין א פּריים צווישן די צוויי סקווערס.

(דאס ווייסט מען אז די חילוק צווישן צוויי פּריימס איז נישט מער ווי צוויי מאל די סקווער רוט פון די פּריים וואס מ׳האט.)

4). דאס פרעגט אויב עס איז דא אן אינפיניט צאל פון סארטן פּריימס וואס די נומער פאר די פּריים איז א פּערפעקט סקווער [למשל, 25 איז א פּערפעקט סקווער, ווייל איר סקווער רוט איז א פונקטליכע נומער 5, ועיין באשכול זו]?

***

IMG_6937.png

דאס איז אולאם׳ס ספּיירעל. דאס ארבעט אז מען שרייבט אלע נומערן אין א(ן עקעדיגע) ספּיירעל. דערנאך נעמט מען ארויס אלע נומערן וואס זענען נישט קיין פּריימס [די פינטעלעך זענען די איבערגעבליבענע פּריימס]. מ׳קען דערין זעהן געוויסע פּעטערנס.

[ישעיה]

א גלאז וואסער האט עמיצער?

[מי אני]

א גלאז וואסער האט עמיצער?

״פּראַיים״ מיט׳ן כולל בגימטריא ״מים רבים״...

***

IMG_6938.jpg

דאס איז די קלויבּער טרייענגעל. ס׳איז ענליך צום אולאם ספּיירעל נאר עס שטעלט אויס די נומערן אין א טרייענגעל [1 און אונטער דעם 2,3,4 אא״וו], און דערנאך לאזט מען נאר איבער די פּריימס.