מאטעמאטיק: א טויש אינעם נומערן סיסטעם!

[ניו יארק]

אז מען טוישט שוין במילא, מיין איך אז 16 איז בעסער, עס קען ציטיילט ווערן אין 11(!) וועגן
16
15
14
12
10
8
6
5
4
2
1
ביי דע וועי, אין די קאמיוטער וועלט ארבעט עס אויף דעם וועג נאר אויף די גרעסערע נאמבערס 16GB 32GB 64GB 128GB 256GB 512GB א.א.וו.

[מאטי]

כבר היה לעולמים אז מ׳האט געטוישט פון מדה מדבריות, צו ״ירושלמי״ דערנאך ״צפורי״ און די לוג׳ן זענען פיין אריין אין פלאץ. ס׳איז נישט ריקארדעט קיין כאאס Y 2 K style.

Chosen People דער טויש האט דאכט זיך געקאסט א שיינע פאהר בלעטער דאס מסביר צו זיין ספעציעל אז ס׳ווערט דערמאנט אסאך מאהל אין ש״ס (וויפיל?) .

[געפילטע פיש]

וויאזוי צוטיילסטו 16 אויף 15?
און אין קאמפיוטערס ארבעט עס אדער אויף ביינארי, וואס איז בעיס 2, אדער העקסאדעסימאל, וואס איז ר16. אבער די 16 GB האט נישט צו טוהן מיט 16, נאר מיט ביינארי. 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 וכן הלאה.

[ניו יארק]

וויאזוי צוטיילסטו 16 אויף 15?
און אין קאמפיוטערס ארבעט עס אדער אויף ביינארי, וואס איז בעיס 2, אדער העקסאדעסימאל, וואס איז ר16. אבער די 16 GB האט נישט צו טוהן מיט 16, נאר מיט ביינארי. 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 וכן הלאה.

15 קען מען צוטיילן אויף דריי פינעווערס

[יאיר]

וויאזוי צוטיילסטו 16 אויף 15?
און אין קאמפיוטערס ארבעט עס אדער אויף ביינארי, וואס איז בעיס 2, אדער העקסאדעסימאל, וואס איז ר16. אבער די 16 GB האט נישט צו טוהן מיט 16, נאר מיט ביינארי. 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 וכן הלאה.

15 קען מען צוטיילן אויף דריי פינעווערס

דאס איז נישט קיין מעלה לגבי דעם נייעם סיסטעם. יעצט קען מען אויך צוטיילן פופצן אין דריי. מ'זוכט א סיסטעם וואס דער בעיס נומער (12) זאל קענען ווערן צעטיילט די מערסטע וואס שייך.

[משולם שטיינפעלד]

יישר כח יידל פאר די מאמר.

זר איז נישט מסכים צום טויש, ווייל זיין מספר תגובות וועט דראסטיש טראסקענען.

דאס אז מען קען אין קאפ רעכענען פיר און זעכציג מאל צעהן אין אן אויגנבליק וועט ווייטער בלייבן? אין פאקט יא, ווייל 64 * 10 גייט ווייטער זיין 640, אבער די ריכטיגע צאל פון קענדיס גייט זיין קאמפליצירטער אויסצורעכענען, ווייל עס גייט זיין 12 * 64 =768 לויטן דעסימעל סיסטעם.

אין קורצן, צוטיילן וועט זיין גרינגער מיטן דאזענעל סיסטעם, אבער מאלטיפלייען גייט זיין שווערער אין דאזענעל סיסטעם

[שליח]

ר' ניו יארק, ווי אנדערע האבן שוין געענטפערט, מיר זוכן א base וואס צוטיילט זיך וואס מער, 16 צוטיילט זיך בלויז אויף 2, 4, און 8.

ר' משולם, סיי צוטיילן און סיי דאפלן זענען די גרינגסטע ווען דער נומער האט שייכות מיטן base (וויפיל איז 640 צוטיילט אין 10?). דער אויפטו מיט 12 איז אז מער נומערן האבן שייכות (וויבאלד ס'צוטיילט זיך אויף מער נומערן).

למעשה, פאר די אלע וואס זארגן זיך אזויפיל, ס'איז נישט עפעס א נייע אויפטו וואס האט נאך ערנסטע שאנסן, גאנצע ביכער זענען שוין ארויסגעקומען דערוועגן זינט 1935 (אפשר נאך פריער). כולא עלמא מודי אז כמה מעלות טובות צום דאזענל איבערן דעסימל, אבער למעשה איז שוין כמעט אוממעגליך צו טוישן. ס'איז נישט קיין ראי' פון די פארשידענע טוישונגען ווי מדה מדברית ציפורית וירושלמית און אימפעריאל ומעטריק, דארט דארף מען בסך הכל קאנווערטן פון איינס צום צווייטן (פונקט ווי טוישט דאלארן אויף ענגלישע פונט אהן קיין באזונדערע אנשטרענגונג), דא דארף מען אבער טוישן געוויסע מושגי יסוד אינעם מהות פון נומערן, וואס דער המון-עם וועט שווער כאפן. ס'איז נאך ערגער ווי די פארשידענע געפלאנטע טוישונגען אין לענג פון די וואך, וואס האבן זיך קיינמאל נישט איינגעגעבן. אפילו דער טויש פון Roman numerals צו Hindu–Arabic, וואס איז בכלל נישט קיין טויש אינעם קאנצעפט פון מספר, האט גענומען הונדערטער יארן מיט גאנצע וויכוחים (הגם ס'וואלט מסתמא גענומען שנעלער היינט).
באמת א שאד.

[ניו יארק]

ר' ניו יארק, ווי אנדערע האבן שוין געענטפערט, מיר זוכן א base וואס צוטיילט זיך וואס מער, 16 צוטיילט זיך בלויז אויף 2, 4, און 8.

וואס הייסט?

[יאיר]

אויסער דעם וואס שליח דערמאנט איבער דארפן טוישן כללים אין מאטעמאטיק, וועט מען דארפן טוישן א גאנצע רייע מיט יסודות. צום ביישפיל, ווי אזוי וועט מען ציילן, צום יאר הונדערט אדער צום יאר צוועלף הונדערט? צען פראצענט וועט מיינען צען פון הונדערט אדער פון הונדערט צוואנציג? ס'איז ממש א שינוי אין סדרי בראשית.

[יאיר]

דער מחבר פונעם שליח נומער האט מיר מודיע געווען אין אן אישי אז כ'האב געמאכט א טעות און געשריבן 120 אנשטאט 144. כ'האב גארנישט געגלייבט ווי קאמפליצירט דער נייער סיסטעם וועט זיין, ערשט יעצט כאפ איך פארוואס מ'האט נישט לכתחילה געמאכט דעם קאמפליצירטן סיסטעם.

[משולם שטיינפעלד]

מען גייט נישט קענען טוישן פונעם יעצטיגן סיסטעם, ווייל די וועלט איז באשאפן געווארן מיט די נומבער צעהן.

עס איז אינטערגרעיטעד אין די בריאה די נומער צעהן, בעשרה מאמרות נברא העולם, די צעהן מידות, חג"ת נהי"מ חב"ד, ווען מען באשאפט עפעס מיט צעהן, בלייבט עס ביי דעם

[MickyMouse]

ייש"כ פאר די ייש"כ, קופערניקוס. די דעסימעל סיסטעם ווערט שוין גענוצט אין די תורה, לדוגמא ויהיו חיי שרה, מאה שנה ועשרים שנה ושבע שנים שני חיי שרה.

קודם א יישר כח פאר די רייכע ארטיקל. (איך בין נאר יעצט אנגעקומען דערצי).

אבער למעשה איז נישט קיין ראיה אז ׳מאה׳ קומט נאך ניין און ניינציג און ׳עשרים׳ נאך ניינצען, עס קען פונקט אזוי זיין אז מאה קומט נאך שליח און שליחציג (לויט [tag]moti107[/tag]) און עשרים נאך שליחצען. און אזוי מיט אלע חשבונות אין די תורה איז נישט קלאר אז צען קומט נאך ניין, און אפשר האט שרה געלעבט 127 יאר אויף אן אנדערע רעכענען גאנג (וואס קען זיין מער אדער ווייניגער פון די דעסימעל גאנג).
וואס יא, אין אלע חשבונות אין די תורה זעט מען נישט קיין יידל אדער שליח, מען זעט איינצעלע נומערען פון איינס ביז ניין און צענער נומערען פון צען ביז ניינציג.

און אז מען רעדט שוין, איז דא איבערגעבליבען פון די עלצטע ציוויליזאציעס, די מעיען (the Mayan), וועלכע האבן געהאט א רעכענען סיסטעם פון צוואנציג. ליין מער וועגן זייער און אנדערע רעכענען סיסטעםס דא http://www.storyofmathematics.com/mayan.html
איר האט אפשר שוין געהערט פון די מעיענס א יאר צוריק ווען מאנכע האבן פארפירט אז די וועלט גייט אינטער אויף דעסעמבער 21 2012. ווייל זייער לאנגע קאלאנדער ענדיגט זיך מיט יענע טאג. http://en.m.wikipedia.org/wiki/Maya_calendar

זייער קאלאנדער הייבט זיך אן אויף די יידישע לוח אין יאר תרמ״ו לבריאות העולם. איך האב נאך נישט אויסגעפיגערט וואס יענע יאר איז אזוי ספעציעל אז זיי זאלן דארט אנהייבן.

[דעת תורה]

למעשה, וואס איז טאקע די פשט אז 11 און 12 זאגט מען אין אלע שפראכן אנדערש ווי 21 און 22, און אנדערש ווי 13 און 14. האט דאס עפעס א שייכות מיט דעם חשבון?

[געפילטע פיש]

@מיקי מייזל, ס'טאקע נישטא קיין פסוק וואס זאגט "בספרך מספריך, והיה המספר אחר תשעה, עשרה", אבער פון אלע חשבונות אין תורה איז קלאר אן א וק"ל אז צוויי מאל פינף איז צען.

[פארוואס?]

און אט זענען מיינע הערות:
ווען איהר לייגט אראפ די פראבלעמען פון די צעהנער בעיס, אלס צוויי באזונדערע פראבלעמען, מאכט איהר א גרויסע טעות.
ווייל היא היא, די סיבה פארוואס מען קען צוטיילן צעהן נאר אין אזוי ווייניג נומערן, איז דערפאר ווייל עס איז א נומער וואס איז געדאפעלט נאר אין 2 פריים נומערן (אדער: פאקטארס). (5,2), נישט אזוי ווי 12 וועלכע איז געדאפעלט אין 3 פריים נומערן (2,2,3).
און איך ווייס נישט פארוואס דו שרייבסט אז נאר איינע פון די דיווייזערס פון צעהן איז א פריים. דער נומער 2 איז דאך אויך א פריים. (באופן כללי, ס׳איז נישטא אזא מין זאך א נומער וואס איז נישט א פריים, און ער האט נאר 1 פריים אלס א דיווייזער).

ולגופו של ענין, לעניות דעתי, איז זייער נאריש צו מדמה זיין דער קאנאדישער טויש פונעם פיס/יארד צום מעטער סיסטעם, צו דער טויש פונעם דעסימאל צום דאזענאל סיסטעם.
איך וואלט איבער געלאזט די ארבעט פאר די געבענטשטע בעלי-דמיון און שרייבער דא אינעם שטיבל, אויף צו באשרייבן ווי אזוי עס וואלט אויסגעזעהן אזא טויש, וואס א כאאוס עס וואלט גורם געווען. אונז ווייסן מיר אפילו נישט ווי ווייט די נומערן איז אריינגעפלאכטן אין אונזער מוח.
(און איך וועל נישט אריינגיין, אין די זעלבסט פארשטענדליכע התבדלות, וועלכע אונז פרומע ארטאדאקסישע אידן וועלן זיכער אננעמען, און נישט נאכגיין די טריפה׳נע גאס, ווייל אין די תורה הקדושה געפונען מיר ציילן אויף די צעהנער בעיס. און די בלעטער גמרא זענען דאך אויך אנגעצייכענט לויט דעם. איי, וועט איהר פרעגן, אין די תורה זעהן מיר אויך מעסטן אין אמות און טפחים, איז ווי אזוי האבן מיר זיך נישט מתבדל געווען בשעת דעם טויש צו די אנדערע מעטאדן? דער תירוץ איז אז דער טויש איז נאך פארגעקומען בעפאר ווען די חידוש פון התבדלות איז אראפגעקומען אין עולם התורה. לאמיר זיך נישט נארן, פון וואו קומט די היינטיגע חסיד׳ישע לבוש? וד״ל).
און ככלל, איך זעה נישט איין די מעלה פונעם דאזענאל סיסטעם, ווייל כאטש וואס 3 צוטיילט זיך שיין אין איהם, איז אבער 5 און 11 צוטיילן זיך נישט.
און ס׳איז פשוט אז עס איז נישט מעגליך צו טרעפן א נומער וואס אלע נומערן וואס זענען קלענער איהם צוטיילן איהם, (אדער על כל פנים זיי זענען נישט ״פרעמד״ צו איהם). ווייל יעדע נומער האט אונטער זיך לכל הפחות איין נומער וואס איז פרעמד צו איהם.
איך האב זייער א פשוטע הוכחה דערצו, און אויב עס וועט זיך אויספעלן, וועל איך עס מעלה זיין על שולחן מלכים.

[טאמבל סאס]

Watch "Base 12 - Numberphile" on YouTube - Base 12 - Numberphile: http://youtu.be/U6xJfP7-HCc

[מי אני]

ס׳איז נישט ממש אין דעם ענין, אבער אז מ׳רעדט פון די דעסימעל סיסטעם אז עס איז מיוסד אויף די צען פינגערס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם יפה ענף/תואר אויף איכ״ר (א לא, אין זיינע סימנים איז עס כ). ער איז מפרש אז דאס וואס רבן יוחנן בן זכאי האט געזאגט פאר אספסיאנוס ״חושבנא דאצבע״ אז עס מיינט א מאלטיפליקעישאן מעטאדע נוצענדיג די פינגערס.

ס׳איז געמאכט צו נוצן געוואר צו ווערן די פראדוקט פון א פראבלעם וואו די מאלטיפליקענד און די מאלטיפלייער זענען צווישן 5 און 10. דהיינו, איין האנט וועט רעפרעזענטירן איין נומער [די מאלטיפליקענד] און די אנדערע די אנדערע נומער [די מאלטיפלייער].

אונז וועלן נוצן א משל אז אונז ווילן געוואר ווערן 6x7 צו דעמאנסטרירן זיין מעטאדע. אויף איין האנט, וואס רעפרעזענטירט 6, וועלן מיר אויפהייבן איין פינגער [וויפיל ער איז מער פון 5; די מאס פינגערס אויפן האנט] און אראפלייגן די איבעריגע 4. די זעלבע זאך אויף די אנדערע האנט וואס רעפרעזענטירט 7 וועלן מיר אויפהייבן צוויי פינגערס [וויפיל ער איז מער פון 5] און אראפלייגן די איבעריגע 3.

יעצט, די אויפגעהויבענע פינגערס קוק איך אן ווי יעדע איינס איז 10, און איך רעכען זיי אלע צוזאמען וואס איז 3x10=30. דערנאך, מאלטיפליי איך די אראפגעלייגטע פינגערס פון איין האנט ביי די צווייטע; אין אונזער פאל איז 4x3=12. איך ליעד דאס נאכדעם צו צו די נומער וואס איך האב פריער באקומען, 30, צו באקומען דעם ענדגילטיגן ענטפער פון 42.

אגב, איך האב געהאט אויסגערעכענט די אלגעברעיק רעפרעזענטאציע דערפון כזה:
(k-x)(k-y)+(x-k/2)(k)+(y-k/2)(k)=xy

דאס ווייזט אז בעצם וואלט עס געארבעט ביי יעדע סארט מאלטיפליקעישאן פראבלעם. נאר אונז סעטען k אלס 10 מחמת די פינגערס.

[מי אני]

דער כוזרי (מאמר א אות נט ומאמר ד אות כז) נוצט דאס איבער די הסכמת בני אדם פאר׳ן דעצימעל סיסטעם אלס א שטיקל הוכחה פאר אמיתת התורה און אז אלעס האט זיך אנגעהויבן פון איין שורש. די סיבה פארוואס דוקא עפ״י 10 איז עפ״י די י׳ ספירות (עפ״י ספר יצירה) ע״ש.

[מי אני]

אין דעם ענין פון בּעיסעס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום ליטשרעל נומער פראגע אין (ריקריעישאנעל) מאטעמאטיקס.

צו ערשט דארף מען וויסן אז א פּאַלינדרוים איז אזא סארט נומער וואס ליינט זיך די זעלבע פאראויס און צוריקצווועגס ישר והפוך. למשל, 25,652 איז א פּאַלינדרוים.

עפי״ז שטעלט זיך די שאלה צו א ליטשרעל נומער עקזיסטירט. דהיינו, אויב טוהט מען א געוויסע פראצעדור צו יעדע נומער קומט מען אין אלגעמיין אן צו א פּאַלינדרוים. דאס ארבעט אזוי: למשל מיט די נומער 56 דריי איך עס ארום און איך נעם זייער סומע כזה 56+65 = 121. דאס איז א פּאַלינדרוים. אויב קומט עס נישט אויס צו א פּאַלינדרוים טוהט מען די פראצעדור נאכאמאל מיט די נומער וואס מ׳באקומט, ביז עס קומט אויס צו א פּאַלינדרוים. למשל, 59 נעמט דריי מאל כזה: 59+95 = 154, דערנאך 154+451 = 605, און דערנאך 605+506 = 1111. אסאך נעמען גאר אסאך מאל אנצוקומען צו א פּאַלינדרוים.

א ליטשרעל נומער איז אזא סארט נומער וואס וועט קיינמאל נישט אנקומען צו א פּאַלינדרוים מיט די פראצעדור. הגם עס זענען דא קאנדידאטן פאר אזא סארט נומער (196 איז די קלענסטע קאנדידאט דערפאר) איז עס נאכנישט אויפגעוואוזן אז אזא סארט נומער עקזיסטירט.

די שאלה איז נאר אין אונזער בּעיס-10/דעצימעל סיסטעם פון נומערן. אין די בּעיסעס פון 11, 17, 20, 26 און יעדע בּעיס וואס איז א פּאַוּער פון 2 [עני נומער וואס וועט ארויסקומען ווען איך גיב עני עקספּאָנענט צו א נומער [בּעיס] פון 2].

‏ואגב, דא הא׳מיר אביסל באשריבן די [טעקסיקעב] הארדי-ראמאנוזשאן נומער און קאַפּרעקאַר קאנסטענט, וואס זענען א משהו ענליך.

[יידל]

וואס איז דאס ריקריעשענאל מאטעמאטיקס?

[מי אני]

אז אזא חכם ווי [tag]יידל[/tag] פרעגט א שאלה פארשטייט מען שוין אז דאס ענטפער איז נישט אזוי פשוט. וכן הוא. לויט וויקיפידיע עפ״י די MAA (כ׳האב דאס נישט געקענט טרעפן ביי די MAA אליין) איז דאס נישט אזוי פשוט צו דעפינירן (וכן הוא ג״כ, למשל, כאן). אין אלגעמיין איז עס מאטעמאטיקס וואס האט מער א ״געים״ (נישט געים טעאריע... ) אדער פּאָזעל סארט יסוד/אויסשטעל.

ביי די ליטשעל נומער בין איך טאקע נישט (געווען) זיכער, וויבאלד פון איין זייט איז דאס ענליך צום קאַפּרעקאר קאנסטענט (וואס איך האב צוגעצייכענט צו), וואס דאס קען לכאורה יא אפשר פאררעכענט ווערן ווי אזא סארט קלאס מאטעמאטיקס. אבער פון די אנדערע זייט איז עס מער דזשענערעלייזעבּעל און יא אונטער מער פארמאלע טעארעמס וכו׳ אויף אויפצוווייזן וכדומה. דעריבער האב איך דאס נאר געשריבן איינגערינגעלטערהייט. מ׳קען אפשר טענה׳ן אז נומער טעאריע בכלל האט א פיס אין ביידע די וועלטן.

ס׳איז מיר באמת א כבוד און אן עהרע אז דו באציהסט דיך צו מיינס א תגובה.

***

און אז מ׳האט דערמאנט טעקסיקעבּ נומערן [נומערן וואס קענען ווערן אויסגעשריבן אלס, איינס אדער מער סעטס פון, די סומע פון צוויי נומערן וואס מ׳האט גע׳קיוּבּ׳ט], איז אויך דא קעבּטעקסי נומערן וואס זענען נומערן וואס מ׳קען ארויסשרייבן אלס די סומע אדער דיפערענס פון (איינס אדער מער סעטס פון) צוויי נומערן וואס מ׳האט גע׳קיוּבּ׳ט.

די געדאנק פון טעקסיקעבּ נומערן קען מען בכלל דזשענערעלייזן צו נומערן וואס מען קען ארויסשרייבן אלס די סומע פון א געוויסע צאל פון סעטס פון א געוויסע צאל נומערן געהעכערט צו א געוויסע עקספּאָנענט. למשל, ראמאנוזשאן׳ס נומער נוצט צוויי סעטס פון צוויי נומערן צו די דריטע פּאַוּער. למשל, לעאנהארד אוילער האט געוואוזן אז די נומער 635,318,657 קען ארויסגעשריבן ווערן אין צוויי אנדערע סעטס פון צוויי נומערן צום פערדן פּאַוּער: 59⁴+158⁴ אדער 133⁴+134⁴.

[מי אני]

[מי אני]

אז מ׳רעדט פון טעקסיקעבּ נומערן און נומערן וואס זענען די סומע פון עקספּאנענטס איז דא אין דעם די סומע פון דריי קיוּבּס קאנדזשעקטשור. דאס האלט אז יעדע נומער קען מען ארויסשרייבן אלס די סומע פון דריי קיוּבּס פון גאנצע נומערן. דאס אבער חוץ אויב די נומער קען ווערן ארויסגעשריבן אלס 9 מאל א נומער און דערנאך לייגט מען צו דערצו 4 אדער 5. אבער חוץ מזה קען מען יעדע נומער ארויסשרייבן אלס די סומע פון דריי נומערן וואס זענען יעדע איינע געקיוּבּד. מען קען אבער נוצן נעגאטיווע נומערן, און ווי ערווענט דא איז א נעגאטיווע נומער צו אן אַדד עקספּאנענט וועט נאך אלס גיבן א נעגאטיווע ענטפער.

למשל, די נומער 53 קען מען ארויסשרייבן אלס:
3³+3³+ -1³ וואס דאס איז 27+27+(-1) וואס קומט אויס צו 53. ס׳דא וואס מ׳ווייסט דורך קאמפיוטערס צו האבן גאר גרויסע נומערן, מיט נעגאטיווע נומערן, צוצוקומען צום פשוט׳ן נומער. עס איז אבער נישט אויפגעוואוזן פאר אלע נומערן (אחוץ די נומערן וואס מען האט סתם אזוי מוציא געווען מן הכלל כנ״ל). ס׳דא אפאר נומערן, למשל 1, וואס מ׳ווייסט אז ס׳דא אן אינפיניט צאל פון וויאזוי ארויסצושרייבן די נומער אלס די סומע פון דריי קיוּבּס.

ועיין כאן בכעין ענין זה לגבי פערמאט׳ס לעצטע טעארעם.