אריטמעטיק חלק ג

[פארוואס?]

אריטמעטיק חלק ג

״פריים נומערן״
יעצט נאך וואס מיר האבן זיך שוין באקענט מיט די פיהר פונדאמענטלע אקטן פון אריטמעטיק, וועל איך אביסל ערקלערן די ״פריים נומערן״ (איך ווייס נישט ווי אזוי עס צו פאר׳אידיש׳ן, אפשר וועט זיך דיר עולם אנרופן ווארעם).
ס׳איז שוין דא ערגעצוואו דא אין שטיבל עפעס געשריבן אויף פריים נומערן, אבער איך וועל עס נאכאמאל איבערגיין, אלס א טייל פון די אריטמעטיק ארטיקלען.
אלזא, יעדע גאנצע נאטורליכע נומער פאלט נישט ארויס צו זיין איינע פון די צוויי, אדער איז ער א פריים, אדער איז ער א צוטיילבארע נומער. חוץ פון דער נומער 1.
יעדע נומער וואס קען ווערן צוטיילט אין אן אנדערע נומער (א חוץ פון 1 און זיך זעלבסט), איז א צוטיילבארע נומער.
יעדע נומער וואס קען נאר ווערן צוטיילט אין 1 אדער אין זיך זעלבסט, און נישט אין אנדערע נומערן. (דאס הייסט, אז טאמער מען וועט איהם צוטיילן אין אנדערע נומערן וועט מען באקומען נישט א גאנצע נומער), איז א פריים נומער.
אדער, יעדע גאנצע נומער וועלכע קען נישט ווערן געשריבן אלס א געדאפלטער פון צוויי קלענערע (גאנצע נאטורליכע) נומערן פון איהם.
לויט דעם קען מען שרייבן די ערשטע 10 פריים נומערן, ווי פאלגענד:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.
״פאקטארס״
יעדע צוטיילבארע נומער קען ווערן פאקטארייזד, דאס הייסט צוטיילט אין זיינע פאקטארס, די פאקטארס זענען די פריים נומערן אין וועלכע ער קען ווערן צוטיילט.
און דא קומט די פונדאמענטלע געזעץ פון אריטמעטיק, (וואס דוכט זיך מיר איז מיוחס צו אוקלידוס), אז יעדע צוטיילבארע נומער קען ווערן פאקטארייזד נאר צו ״איין״ וועג.
דאס הייסט, אז כאטש מ׳קען איהם צוטיילן אויף עטליכע וועגן, אבער אלעמאל וועט מען באקומען צום ענד די זעלבע פריים נומערן.
למשל, דער נומער 20, קען ווערן צוטיילט אין צוויי, און מ׳וועט באקומען 10, אבער 10 איז דאך אויך א צוטיילבארע נומער, דאן לאמיר איהם צוטיילן אין 5, באקום איך 2. קומט אויס אז זיינע פאקטארס זענען: 2,2,5. און אזוי קענסט איהר אויספראבירן אויף יעדע וועג, וועט איהר אייביג באקומען צום ענדע די זעלבע פריים נומערן. (כאטש דער וועג ביז אהין מוז נישט אלעמאל זיין די זעלבע).
נישט אייביג איז גרינג צו פאקטארייזן נומערן, און ס׳איז דא נומערן וואס אפילו פאר א קאמפיוטער איז עס עבודה קשה, (און עס ווערט טאקע גענוצט דערפאר פאר זיכערהייט צוועקן), אבער קליינע נומערן איז געווענליך גרינג צו פאקטארייזן.
און דערצו, יעדע נומער וואס ווערט צוטיילט אין 2,5,10 איז זייער גרינג צו דערקענען, נוצנדיג אונזער דעצימל בעיס), ווייל יעדע נומער וואס ווערט צוטיילט אין 2,5,10 איז זיין ערשטע נומער און רעכטס אויך צוטיילט אין זיי מיט שארית 0.
און דער נומער וואס ווערט צוטיילט אין 4 קען ווערן דערקענט אויב זיינע צוויי ערשטע נומערן פון רעכטס ווערן צוטיילט אין 4.
און דער נומער וואס ווערט צוטיילט אין 8, קען ווערן דערקענט, אויב זיינע דריי ערשטע נומערן ווערן צוטיילט אין 8. און אזוי ווייטער…

איבונגען:
ווער פון די נומערן זענען פריים, און ווער נישט?
59?
65?
91?
101?
119?
וואס זענען די פאקטארס פון די קומענדיגע נומערן?
120?
135?
258?
51?

״פרעמדע נומערן״
א יעדע נומער וואס האט כאטש איין פאקטאר די זעלבע ווי אן אנדערע, דאן ווערן די צוויי נומערן אנגערופן משותפ׳דיגע נומערן (אדער: זיי האבן א קאממאן דיווייזער), ווי למשל: 100 און 35, אדער 39 און 91. אויב אבער קיין איין פאקטאר איז נישט דומה צווישן די צוויי נומערן, דאן הייסן זיי פרעמדע נומערן. לויט דעם איז ווי פארשטענדליך אז יעדע צוויי פארשידענע פריים נומערן זענען פרעמד.
לויט די כלל פון אוקלידוס, ווערט אוועקגעשטעלט אז יעדע צוויי פארשידענע נומערן, די קאממאן דיווייזער וואס זיי פארמאגן איז דער קאממאן דיווייזער פון די הפרש צווישן זיי. ווי למשל 30 און 35, דער הפרש צווישן זיי איז 5, (35-30=5) און טאקע דער קאממאן דיווייזער צווישן ביידע איז 5. אדער 14 און 18, דער הפרש צווישן זיי איז 4, און דער קאממאן דיווייזער צווישן זיי אלע דריי (18,14,4) איז 2. און אזוי ווייטער.
לויט דעם כלל קומט אויס אז יעדע נומער מיט זיין נאכגייענדער נומער (למשל 14 און 15, אדער 105 און 106), זענען אלעמאל פרעמד, ווייל דער הפרש צווישן זיי איז 1.

יעצט קענען מיר אנקומען צו די באקאנטע הוכחה אז די ליסט פון די פריים נומערן איז ענדלאז.
די הוכחה איז געבויעט בדרך שלילה, אזוי: אויב לאמיר זאגן אז ס׳איז פארהאן א לעצטע פריים נומער, דאן לאמיר פראבירן צו נעמען די גאנצע ליסט פון פריים נומערן, און דאפלען איינע אין די אנדערע, און מיר וועלן באקומען עפעס א נומער וואס איז משותפ׳דיג מיט יעדע איינציגע פריים נומער, (און דערפאר מיט יעדע נומער), יעצט לאמיר צולייגן איינס צו דער דאזיגער נומער, לויט ווי פריער דערמאנט דארף ער זיין פרעמד צו איהם. אין אנדערע ווערטער, ער איז פרעמד צו אלע פריים נומערן. אויב אזוי האבן מיר א נייע פריים נומער.
סא, קומט אויס, אז עס איז נישט שייך צו זאגן אז די ליסט פון פריים נומערן האט א ענדע.

ווי אזוי קען מען וויסן צו א נומער איז פריים אדער נישט?
ס׳איז נישט באקאנט קיין גרינגערע וועג, ווי פשוט אויסרעכענען, צו ער קען ווערן צוטיילט אין אלע פריים נומערן וואס איז קלענער פון זיין סקווער רוט.
למשל, איך וויל וויסן אויב דער נומער 41 איז א פריים, דאן קודם רעכן איך זיין סקווער-רוט, וואס איז 6 מיט עפעס, דאן איז גענוג צו רעכענען אויב ער ווערט צוטיילט אין 2,3,5 אדער נישט.
(פאר די וועלכע ווייסן נאכנישט וואס א סקווער-רוט איז, זאלן צו-ווארטן ביז די קומענדיגע ארטיקל).

למעשה, נאך אזוי פיל יאהרן וואס די גרעסטע קעפ האבן שוין אינוועסטירט אסאך צייט צו פראבירן אויפקומען מיט עפעס א מהלך צו אויסגעפונען אויף יעדע נומער אויב איז ער א פריים אדער נישט, איז מען נאכנישט אויפגעקומען מיט אזוינס. אבער מ׳האט שוין געמאכט אין די לויף פון די יאהרן עטוואס פארשריט, און אויסגעטראפן פארשידענע וועגן, וואס קענען באשטעטיגן אויף אסאך נומערן צו זיי זענען פריים׳ס אדער נישט. ואין כאן המקום להאריך בזה.

המשך יבוא…

[ברסלבער]

[tag]פארוואס?[/tag] זייער שיין און קלאר מסביר געווען. יעצט הייב איך אן צו הערן וואו מיין טיטשער אין חדר ביי ענגליש האט געענדיגט..

צוויי זאכן זענען מיר שווער געבליבן.
1. וואס איז די גאנצע תועלת פון וויסן אויב עס א פריים נומער אדער נישט, אדער אויב די צוויי נומערן זענען פרעמד אדער נישט, ווען קומט דאס צוניץ אין חשבון?

2.

לויט די כלל פון אוקלידוס, ווערט אוועקגעשטעלט אז יעדע צוויי פארשידענע נומערן, די קאממאן דיווייזער וואס זיי פארמאגן איז דער קאממאן דיווייזער פון די הפרש צווישן זיי. ווי למשל 30 און 35, דער הפרש צווישן זיי איז 5, (35-30=5) און טאקע דער קאממאן דיווייזער צווישן ביידע איז 5. אדער 14 און 18, דער הפרש צווישן זיי איז 4, און דער קאממאן דיווייזער צווישן זיי אלע דריי (18,14,4) איז 2. און אזוי ווייטער.

די לעצטע ווערטער האב איך נישט פארשטאנען. דער הפרש צווישן זיי איז נישט 2, און די קאממאן דיווייזער (דיוויידער?) איז יא 2. ווי אזוי ארבעט דאס?

[פארוואס?]

[tag]פארוואס?[/tag] זייער שיין און קלאר מסביר געווען. יעצט הייב איך אן צו הערן וואו מיין טיטשער אין חדר ביי ענגליש האט געענדיגט..

צוויי זאכן זענען מיר שווער געבליבן.
1. וואס איז די גאנצע תועלת פון וויסן אויב עס א פריים נומער אדער נישט, אדער אויב די צוויי נומערן זענען פרעמד אדער נישט, ווען קומט דאס צוניץ אין חשבון?

2.

לויט די כלל פון אוקלידוס, ווערט אוועקגעשטעלט אז יעדע צוויי פארשידענע נומערן, די קאממאן דיווייזער וואס זיי פארמאגן איז דער קאממאן דיווייזער פון די הפרש צווישן זיי. ווי למשל 30 און 35, דער הפרש צווישן זיי איז 5, (35-30=5) און טאקע דער קאממאן דיווייזער צווישן ביידע איז 5. אדער 14 און 18, דער הפרש צווישן זיי איז 4, און דער קאממאן דיווייזער צווישן זיי אלע דריי (18,14,4) איז 2. און אזוי ווייטער.

די לעצטע ווערטער האב איך נישט פארשטאנען. דער הפרש צווישן זיי איז נישט 2, און די קאממאן דיווייזער (דיוויידער?) איז יא 2. ווי אזוי ארבעט דאס?

שכויח.
1. אין די המשך וועל איך נוצן אסאך די פריים נומערן, עס איז אסאך נוגע. איין דוגמא איז ביים סימפאליזירן פראקשנס.
2. דער ״הפרש״ איז 4, וואס איז 2*2, אבער די אנדערע צוויי נומערן זענען 7*2 און 3*3*2, האבן נאר איינמאל דער נומער צוויי אלס א פאקטאר, דאן דער קאממאן דיווייזער צווישן אלע דריי, איז 2.
דער כלל פון אוקלידוס זאגט נישט אז דער הפרש איז דער קאממאן דיווייזער, (זיכער נישט, למשל 7,5 וואס דער הפרש איז 2), נאר אז דער קאממאן דיווייזער פון דער הפרש מיט איינע פון די נומערן איז דער קאממאן דיווייזער פון אלע 3

[מצטמק ויפה]

עס איז דא עטליכע סימנים אויף צו זעהן אויב א נומער איז א פריים נומער אדער נישט, איך וועל דא ברענגען אפאר כללים, איך האף איך וועל מיך קענען מסביר זיין גענוג קלאר.

1) אויב די לעצטע דידזיט פון א נומער איז 0,2,4,6,8
דעמאלטס איז עס דעוויזעביל מיט די פריים נומער 2.

2) אויב די סומע פון אלע נומער'ן איז דעוויזעביל דורך 3 ,
ווי למשל 381 ( 3+8+1=12) און 12 קען ווערן צעטיילט מיט 3, (12 דעוויידעד דורך 3 איז 4), ממילא ווייסט מען אז די גאנצע נומער איז דעוויזעביל דורך די פריים נומער 3.

3) אויב די לעצטע צוויי דידזיט'ס קענען ווערן צוטיילט דורך 4,
ווי למשל 1312 איז ( 12 דעוויידעד דורך 4 =3 ), דאן ווייסט מען אז די גאנצע נומער איז דעוויזעביל דורך די פריים נומער 3.

4) אויב די לעצטע דידזיט איז 0 אדער 5,
ווי למשל 175, דאן איז די נומער דעוויזעביל דורך די פריין נומער 5.

5) אויב די דאפעלט'ס די לעצטע דידזיט, און נאכדעם סאבטרעקט מען עס פון די איבריגע נומער'ן, און די ענטפער איז 0, אדער די ענטפער איז דעוויזעביל דורך 7.
ווי למשל 672 ( דאבעל די 2 איז 4, דערנאך סאבטרעקט 4 פון 67, וואס קומט אויס צו 63, און 63 איז דעוויזעביל דורך 7, דאן ווייסט מען אז די גאנצע נומער איז דעוויזעביל דורך די פריים נומער 7.

6) אויב די לעצטע דריי דידזיט'ס איז דעוויזעביל דורך 8,
ווי למשל 109816 (816 דעוויידעד דורך 8 איז 102) , דאן ווייסט מען אז די גאנצע נומער איז דעוויזעביל דורך 8.

7) אויב די סומע פון אלע נומערען איז דעוויזעביל דורך 9,
ווי למשל 1629 (1+6+2+9=18) און 18 דעוויידעד ביי 9 איז 2, דאן ווייסט מען אז די גאנצע נומער איז דעוויזעביל דורך 9.

[פארוואס?]

עס איז דא עטליכע סימנים אויף צו זעהן אויב א נומער איז א פריים נומער אדער נישט, איך וועל דא ברענגען אפאר כללים, איך האף איך וועל מיך קענען מסביר זיין גענוג קלאר.

איך מיין אז די אלע סימנים וואס דו שרייבסט, קענען נאר זאגן אויף א געוויסע נומער, אז ער איז נישט א פריים, אבער זיי קענען נישט פעסטשטעלן אויף א נומער אויב ער איז א פריים. (כל זמן ער איז גרעסער פון 81).

[פארוואס?]

לאמיר פראבירן איבערגיין דער געזעץ פון אוקלידוס אביסל קלארער און פונקטליכער.
יעדע צוויי נאטורליכע נומערן האבן צוזאמען א gcd, (וואס שטייט פאר greatest common divisor. אדער אין העברעאיש: מ. מ. מ. וואס שטייט פאר מחלק משותף מקסימלי). דאס מיינט די גרעסטע צוטיילער וואס די צוויי נומערן טיילן מיט.
אויב די צוויי נומערן זענען פרעמד, דאן איז זייער gcd , דער נומער 1.
אויב נישט, דאן איז דאס וואס עס איז, ווי למשל (די גרעסטע קאממאן דיווייזער פון די צוויי נומערן אין די רינגלען) :
gcd(35,14)=7
gcd(45,18)=9
gcd(120,100)=20
gcd(39,65)=13
און אזוי ווייטער…

יעצט קומט דער כלל פון אוקלידוס, און זאגט אונז, אז פאר יעדע צוויי נומערן, a און b, וואס:
a-b=c
דאן, קען מען זאגן, אז:
gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(a,c).
אין יידיש גערעדט, דער gcd פון a און b, איז דער זעלבע ווי דער gcd פון b און c, און דער זעלבע ווי דער gcd פון a און c.

לאמיר געבן עטליכע משלים דערפאר:

קוד: וועל אויס אלע

99-81=18
gcd(99,81)=gcd(81,18)=gcd(99,81)=9

קוד: וועל אויס אלע

23-7=15
gcd(23,7)=gcd(7,15)=gcd(23,15)=1

78-54=24
gcd(78,54)=gcd(54,24)=gcd(78,24)=6

איך האף אז דער ענין איז גענוג קלאר.