א געאמאטרישע פראבלעם (1)

[פארוואס?]

איך בין געגאנגען קוקן א לאט צו קויפן, איך האב גערעדט מיטן ריעל-איסטעיט עידזשענט, וואס איז צו מיין מזל א קוריאזער מענטש, און איך האב איהם געפרעגט וואס זענען די פונקטליכע מאסן פון די לאט, האט ער מיר געזאגט אזוי:
איך גיי דיר נישט אלעס זאגן נאר אזוי פיל, אז די לאט איז א פונקטליכע רעקט-ענגל, די ברייט איז 15 מעטער, און אז די סקווער מעטער פונעם לאט מיינוס די ברייט פונעם לאט איז 420.
איז דא א מעגליכע וועג צו אויסגעפונען די פונקטליכע מאסן (די לענג, ברייט, סקווער-מעטער) פונעם לאט?
איז דא א מעטאד ווי אזוי עס אויסצורעכענען?

נ. ב. מיין ענטפער וועט נאכפאלגן.

[געפילטע פיש]

איך וואלט געזאגט 29x15=435
ער זאגט אז "און אז די סקווער מעטער פונעם לאט (435) מיינוס די ברייט פונעם לאט (15) איז 420".

[פארוואס?]

אוקעי.
סארי אידן, איך האב געמאכט א ביטערע מיסטעיק. ער האט אזוי געזאגט:
די שטח פונעם לאט מיינוס די לענג פונעם לאט איז 420.
נו, [tag]אבטולמוס[/tag] [tag]געפילטע פיש[/tag] לאמיר איבער הערן אייער מיינונג.

[געפילטע פיש]

כ'האב געהאט אזא פילינג, די שאלה איז געווען צו גרונג אז [tag]פארוואס?[/tag] זאל מאכן אנייסעק דערפון.

[געפילטע פיש]

די תירוץ איז 30. 420 פלוס 30 איז 450, צוטיילט אויף 15 איז 30.
קיין פארמאלע פאר דעם האב איך אבער נישט. לאמיר זעהן...

[פארוואס?]

די תירוץ איז 30. 420 פלוס 30 איז 450, צוטיילט אויף 15 איז 30.
קיין פארמאלע פאר דעם האב איך אבער נישט. לאמיר זעהן...

ריכטיג.

[פארוואס?]

שוין, איז [tag]געפילטע פיש[/tag] האט שוין געענטפערט די פראגע, עס איז מיר נאר געבליבן צו ערקלערן ווי אזוי מען רעכנט דאס אויס.
איז אזוי, די ערשטע זאך וואס מען דארף טוהן דא איז פארמאלייזן די פראגע, לאמיר ארויסנעמען אלע אומ-רעלעווענטע דעטאלן, און לאמיר זעהן וואס ווייסן מיר יא, און וואס נישט.
איז אזוי די ברייט ווייסן מיר דאך אז עס איז 15. די לענג ווייסן מיר נישט, דאן לאמיר איהם א נאמען געבן לעת עתה x. די סקווער מעטער (די שטח/area), ווייסן מיר אויך נישט, דאן לאמיר איהם רופן y.
יעצט, מיר ווייסן אז ביי יעדע רעקטענגל, די לענג טיימס די ברייט באטרעפט די שטח דערפון, לענייננו, האבן מיר א גלייכונג, וואס זאגט אזוי:

קוד: וועל אויס אלע

15*x=y

אויף אידיש גערעדט פופצן מאל x, איז די זעלבע ווי y.
האבן מיר עפעס דערפון? ניין! ווייל עס קען זיין אסאך נומערן וואס זאל פרעזענטירן דעם x און דעם y, ווי למשל:
x=2, y=30
x=3, y=45
x=7/2, y=105/2
און אזוי ווייטער…
אבער לאמיר עפעס יא קלאר שטעלן, מיר קענען טאקע נישט וויסן וואס זאל זיין דער x, און וואס דער y, אבער אזוי פול קענען מיר יא זאגן, אז פאר יעדע x וואס מיר קלויבן אויס, מוז זיין איין איינציגע y, וואס צוזאמען וועלן זיי שטימען אינעם גלייכונג, ווי למשל, איינמאל מיר קלויבן אויס 4 פאר x, קען שוין זיין נאר 1 לייזונג פאר y, וואס דאס איז 60.
יעצט, אויב אזוי קענען מיר זאגן, אז היות די גלייכונג האט טאקע נישט קיין איין איינציגע לייזונג, נאר א סעט מיט לייזונגען, דאס הייסט, אז מיר האבן א גאנצע ליסט (ענדלעס) מיט א פאר פון צוויי נומערן וואס מיר וועלן געבן איינס פאר x, און איינס פאר y.
ווי אזוי קענען מיר אראפשרייבן די ליסט אויפן פאפיר? אויב זאלן מיר אנפאנגען צו שרייבן מיט די הענט:
(1,15) (2,30) (3,45)…
יכלה הזמן והם לא יכלו, און פארגעס נישט אז עס קען אויך זיין נישט גאנצע (אדער אומ-ראציאנאלע נומערן פארן x און y).
דא קומט אריין די קאורדענעיט פלאן, דאס איז א שיינע מהלך ווי אזוי צו פרעזענטירן די סעט פון לייזונגען פאר אזא גלייכונג אזוי ווי די פריערדיגע.
אין קורצן, ווי אזוי ארבעט די קוארדינעיט פלאן?
מען מאכט צוויי ליינס וואס אינטערסעקטן זיך (90 דיגריס), איינס רופט מען דעם x, און די אנדערע רופט מען דעם y. לאמיר עס זעהן אין א בילד:

image.jpg

יעצט קענען מיר פרעזענטירן די סעט פון אלע לייזונגען פאר די אויבנדערמאנטע גלייכונג מיט איין ליין, וואס יעדע פינטל אויפן ליין איז איין מעגליכקייט צו לייזן דעם גלייכונג.

פיין, מיר האבן שוין א וועג ווי אזוי צו פרעזענטירן אלע מעגליכע לייזונגען פאר די אויבנדערמאנטע פראגע, אבער מיר האבן נאכנישט געלייזט די פראבלעם וואס מיר האבן אנגעפאנגען דערמיט.
דאן לאמיר זיך דערמאנען אז מיר האבן נאך אינפארמאציע איבערן לאט, וואס דער עידזשענט האט אונז געגעבן, אז די שטח מיינוס די ברייט איז 420, דאן לאמיר עס פארמאלייזן:
x-y=420
יעצט לאמיר מאכן א גראף פאר אט די גלייכונג, וואס זאל אריינעמען אלע מעגליכע לייזונגען פארן גלייכונג.

יעצט קומט די פוינט: אז מיר וועלן שרייבן ביידע גראפן אויף איין פלאן, וועלן זיך די צוויי גראפן ערגעצוואו אינטערסעקטן, אט ביי יענע פוינט, דארטן איז די לייזונג פאר די פראגע:

image.jpg

לענייננו, איז זייער גרינג אויסצורעכענען:
x=30, y=450

איך האב עס אראפגעשריבן זייער קורץ זיך פארלאזנדיג אויף די מבקשי חכמה דא אין שטיבל אז זיי וועלן עס פארשטיין.

[געפילטע פיש]

העי גנב! איך האב עס יעצט אויסגעפיגערט. וואס געסטו נישט אפאר מינוט?

איך ווייס נישט פארוואס, וויאזוי ס'ארבעט, אבער אויב נעמט מען די נומבער (420) טיימס די ברייט (15) = (126 טעות) 6300, און מ'צוטיילט עס ביי 15-1 דאס הייסט מ'צוטיילט עס ביי 14, באקומעט מען די טאטאל סקווער פאטעדזש.

פ.ס. כ'האב נאכנישט געלייענט פארוואס'נס תירוץ.

[פארוואס?]

העי גנב! איך האב עס יעצט אויסגעפיגערט. וואס געסטו נישט אפאר מינוט?

איך ווייס נישט פארוואס, וויאזוי ס'ארבעט, אבער אויב נעמט מען די נומבער (420) טיימס די ברייט (15) = 126, און מ'צוטיילט עס ביי 15-1 דאס הייסט מ'צוטיילט עס ביי 14, באקומעט מען די טאטאל סקווער פאטעדזש.

פ.ס. כ'האב נאכנישט געלייענט פארוואס'נס תירוץ.

אימפארשטענדליך…

קוד: וועל אויס אלע

420*15=3600
3600/14=450

ווי אזוי קומט דא אריין דער נומער 126?
עס וועט אייביג ארבעטן?

[געפילטע פיש]

עהעם, דו מיינסט מסתמא 6300. סארי, 126 איז פון א צווייטע עקזעמפל וואס כ'האב אויספראבירט.

כ'האב עס פראבירט מיט אפאר אנדערע היכי תימצא'ס און ס'קומט אויס גוט ביי אלע.

[געפילטע פיש]

נעם א דוגמא פון אז די דילער זאגט דיר אז די סקווער פוס מינוס די לענג איז 108 און די ברייט איז 7.
108 מאל 7 איז 756, צוטייל ביי זעקס איז 126. יעצט אז דו ווייסט אז די סקווער פוס איז 126 און די ברייט איז 7, קענסטו אליינס אויספיגערן אז די לענג איז 18.

יעצט זיי מיר ביטע מסביר [tag]פארוואס?[/tag] ס'ארבעט.

[פארוואס?]

עהעם, דו מיינסט מסתמא 6300. סארי, 126 איז פון א צווייטע עקזעמפל וואס כ'האב אויספראבירט.

כ'האב עס פראבירט מיט אפאר אנדערע היכי תימצא'ס און ס'קומט אויס גוט ביי אלע.

לאמיר זאגן אז איך ווייס פון די ברייט 3, און איך ווייס אז די שטח מיינוס די לענג איז 8.
דאן לאמיר רעכענען 3*8 איז 24 צוטיילן אין 2 איז 12.
שטימט. זייער שיין.
איך האב נאכנישט געכאפט פארוואס, וועסט מיר מוזן געבן צייט.

[פארוואס?]

נעם א דוגמא פון אז די דילער זאגט דיר אז די סקווער פוס מינוס די לענג איז 108 און די ברייט איז 7.
108 מאל 7 איז 756, צוטייל ביי זעקס איז 126. יעצט אז דו ווייסט אז די סקווער פוס איז 126 און די ברייט איז 7, קענסטו אליינס אויספיגערן אז די לענג איז 18.

יעצט זיי מיר ביטע מסביר [tag]פארוואס?[/tag] ס'ארבעט.

און עס שטימט אפילו ביי אומ-גאנצע נומערן.
למשל איך ווייס פון די ברייט 5, און די שטח מיינוס די לענג איז 10,
דאן 5*10 איז 50, צוטיילן אין 4, איז 12.5.

[געפילטע פיש]

אקעי [tag]פארוואס?[/tag], די תירוץ איז אזוי.

ווען דו זאגסט מיר אז די לאט איז ברייט 15 און די סקווער פוס מינוס די לענג איז 420, מיינט דאס אז אויב דו שניידסט אראפ איין פוס אין די לענג, און פון 15 ברייט מאכסטו 14 ברייט, וועט די לאט זיין 420 סקווער פוס. יעצט איז שוין פשוט, אז אויב 420 וואלט געווען די ס"פ ווען די לאט איז ווען 14 ברייט, קומט אויס אז די לענג מוז זיין 30 (30=420/14) און אויב אזוי איז 15 מאל 30 450. ופשוט הוא. די רעכענען וואס כ'האב פריער געלייגט פון רעכענען 420 מאל די ברייט איז די זעלבע חשבון, נאר געקראצט די לינקע אויער מיט די רעכטע הענט.

[פארוואס?]

אוקעי, אין מיין שפראך:
איך האב מיר איבעגעטראכט איבער די וואונדערליכע לייזונג וואס געפילטע האט געגעבן אזוי כלאחר יד, עס האט א פשוטע לאגיק אונטער זיך.
אבער קודם לאמיר מאכן א שארט-קאט, און געבן אביסל אנדערש די מעטאד:
לאמיר זאגן אונז האבן מיר א רעקט-ענגל וואס זיין ברייט איז 3, און מיר ווייסן אויך אז זיין שטח מיינוס די לענג איז 8.
דאן טוהן מיר אזוי: מיר צוטיילן 8 אין 3-1 (וואס איז 2), און מיר באקומען 4.

דער הסבר דערויף, קען מען ערקלערן פון א געאמאטרישע שטאנדפונקט, און פון אן אלגעברישע שטאנדפונקט, און איך וועל ביידע טוהן.
איז קודם פון א געאמאטרישע שטאנדפונקט, האבן מיר א רעקט-ענגל וואס מיר ווייסן זיין ברייט, און מיר ווייסן אויך די סקווער-פוס פון א קליין רעקטענגל וואס איז נכלל אין איהם. וועלכע?
זייער פשוט. ווען מיר נעמען די שטח פונעם גאנצן רעקט-ענגל און מיר רעכענען אראפ זיין לענג, האבן מיר בעצם אראפגענומען א סטריפ (רצועה), וואס איז ברייט 1 און לאנג אזוי ווי די לענג פונעם ארגינעלן רעקט-ענגל, איז וואס האבן מיר באקומען?
א רעקט-ענגל וואס איז ברייט אזוי ווי די ארגינעלע ברייט מיינוס 1, און לאנג אזוי ווי די ארגינעלע לענג.
אויב אזוי נעמען מיר די שטח, און מיר צוטיילן איהם אין זיין ברייט, באקומען מיר די לענג פון דעם ארגינעלן רעקט-ענגל.

פון אן אלגעברישע שטאנדפונקט, מיר ווייסן א נומער a און א נומער b, און מיר ווילן וויסן א נומער x און y, וואס מאכן די קומענדיגע צוויי גלייכונגען:

קוד: וועל אויס אלע

x*a=y,  x+b=y
דאן קענען מיר שרייבן:
x*(a-1)+1*x=y
און אזוי אויך ווייסן מיר אז:
y-x=b
קומט אויס, אז:
b=x*(a-1)

וואס פיהרט אויטאמאטיש צו די מסקנא, אז:
b/(a-1)=x

[פארוואס?]

אן אמת׳ער מאטעמאטיקער ווען ער ריעלייזט עפעס, שטעלט ער זיך נישט אפ. נאר ער פראבירט זעהן ווי ווייט און ברייט דער געדאנק גייט. 
לכן, די געדאנק וואס [tag]געפילטע פיש[/tag] האט אויפגעברענגט, האט מיר געגעבן א מהלך, ווי אזוי צו לייזן עני צוויי גלייכונגען פון צוויי variables. 
איז אזוי, איך רעד דא פון איינער וואס קען לייזן יעדע גלייכונג וואס אינוואלווד איין variable, (לפחות אן ערשטע דיגרי גלייכונג), אבער ווען עס קומט צו א גלייכונג פון צוויי, קען ער נישט, פאר א פשוטע סיבה - ווי אויבנדערמאנט - ווייל עס איז נישט דא נאר איין לייזונג, נאר ענדלעס מעגליכע לייזונגען. 
אבער ווען מיר באקומען צוויי גלייכונגען פון צוויי וועריעיבלס, (וואס ווערט אנגערופן א ״סיסטעם״), דאן איז שוין ווידער יא דא נאר איין לייזונג. 
יעצט, האב איך מיר אויסגעלערנט א מהלך צו פשוט נעמען אזא פאל און עס איבער דרייען עס זאל ווערן ווי נישט מער פון איין variable, וואס דאס קענען מער שוין לייזן. 
דאס האט געפילטע געטוהן מיט די פאלגענדע צוויי גלייכונגען:

קוד: וועל אויס אלע

x*15=y
y-x=420

מען דרייט אביסל די צוויי גלייכונגען צו:

קוד: וועל אויס אלע

y/15=x
x+420=y

קענען מיר אויב אזוי שרייבן אין איין גלייכונג:

קוד: וועל אויס אלע

y/15+420=y

און מיר האבן יעצט נאר איין וועריעיבל, וואס איז גאנץ גרינג צו לייזן, ווי פאלגענד:

קוד: וועל אויס אלע

y-y/15=420
(1-1/15)*y=420
y=420/(1-1/15)
y=420*15/(15-1)

און אזוי קענען מיר טוהן מיט א יעדע אזא פראבלעם, ווי למשל, אויב איך האב צוויי גלייכונגען:

קוד: וועל אויס אלע

x+y=6
x-y=1

דאן קודם פונעם ערשטן גלייכונג ווייסן מיר, אז:

קוד: וועל אויס אלע

y=6-x

יעצט שרייבן מיר:

קוד: וועל אויס אלע

x-(6-x)=1

וואס פיהרט אונז, אז:

קוד: וועל אויס אלע

2*x=5
x=5/2, y=7/2

נ. ב. די אויבנדערמאנטע מעטאד, איז צומאל גרינגער און באקוועמער.

[פארוואס?]

הערליך שיין! יעצט איז [tag]פארוואס?[/tag] מכובד צו טרעפן א מקור צו [tag]געפילטע פיש[/tag]'ס לעזונג, אדער פסק'ענען אז דא איז ממש באשאפן געווארן א בריאה.

פאר ביזדערווייל…