מאטעמאטיק: דער חילוק צווישן ℵ און ∞

[מי אני]

איך גיי ציטירן פון אברהם בענעדיקט, אין זיין (לדעתי גאר פיינער) ארטיקל ״זמן שמחתינו במשנת קאנט״ אין וועקער 10, וואו ער איז דאס שיין מסביר. און לויט ווי ער איז עס מסביר האט עס א שייכות צו דעם אשכול ודברי יאיר, וז״ל:

״קאנט, דער גרויסער פילאזאף, האט ווי באקאנט איינגעטיילט די וועלט אין די נומענאן און פענאמענאן. די נומענאן איז די רוחניות׳דיגע וועלט וואס איז נישט צוטריטליך פאר אונז. די פענאמענאן איז די גשמיות׳דיגע וועלט ווי עס זעט אויס פאר אונזערע חושים. די רוחניות׳דיגע וועלט רופט ער אן ׳דאס דינג אום זיך׳. דאס הייסט, די זאך אליין. דאס הייסט אזוי, אז איך פרעג איינעם וואס איז אן עפל, וועט ער אוודאי אנהייבן א גאנצע ליסטע פון אייגנשאפטן פון דעם עפל, וואס דאס איז אן עפל. אן עפל איז רויט, עס איז רונדיג, מען קען דאס עסן, אא״וו. נאכדעם וואס ער וועט מיר אויסרעכענען די גאנצע ליסטע וויל איך אים פרעגן: פיין, איך ווייס שוין וועלכער פארעםעס האט, וועלכער קאליר עס איז, אז דאס איז א מאכל וכו׳ וכו׳. יעצט וואס איז אן עפל אליין? ווייל יעדער פארשטייט דאך אז די אלע אייגנשאפטן פון דעם עפל איז בלויז די צורה פון דעם עפל, עס איז אבער דא עפעס וואס ׳פארמאגט׳ די אייגנשאפטן, ווייל טאמער נישט וואלט דאך אן עפל נישט עקזיסטירט.
אז מיר קומען אן צו דעם פונקט וועט מיר יענער מוזן זאגן אז ער ווייסט נישט וואס מאכט אז אן עפל זאל זיין אן עפל, אבער ער קען מיר נאר פונקטליך שילדערן ווי אזוי אן עפל זעט אויס, כדי אז ווען איך באגעגן זיך מיט אזא אביעקט זאל איך וויסן אז דא שטייט פאר מיר אן עפל. ער ווייסט אבער נישט וואס שטייט הינטער דעם. אט דאס, די זאך אליין, וואס דער מענטש קען נישט שילדערן, איז וואס קאנט רופט אן נומענאן.
קאנט באמערקט טאקע טאקע אז מיר האבן נישט קיין צוטריט צו דער נומענאן... אזויפיל איז אבער קלאר אז ווען קאנט רעדט פון דער נומענאן איז דאס אייגנטליך גארנישט אנדערש ווי ווען קבלה רעדט פון אין סוף, אדער ווען מען רעדט פון עוה״ב וכדו׳. דאס איז אלעס דער נצחיות, וואס מיר קענען נישט באגרייפן אלס מוגבל׳דיגע מענטשן.״ ע״כ.

[הוגה]

יא יא. ווען קבלה רעדט פון דעם, ווערט גענוצט די טערמענאלעדזשי חומר וצורה (דער ווארט ווערט טאקע גענוצט אין דיין ציטירטע שטיקל). די חומר איז מוגבל אבער נישט די צורה, וכנ"ל.

[מי אני]

ס׳איז אינטרעסאנט אנצומערקן אז רבינו חסדאי קרשקש זצ״ל (אור ה׳, מאמר א כלל ב און נאך פלעצער) קריגט זיך מיט אריסטו בנוגע די מושג פון אינפיניטי [בב״ת] און טוהט אויף אז עס איז דא אנדערע סארטן פון אינפיניטי [בנוגע אז ס'איז שייך צוצולייגן צו אן אינפיניטי, ועוד]. ער באצוהט זיך טאקע צו דעם פילאזאפישן מושג פון אינפיניטי אבער ער באזירט דאס מיט (ווי נישט) מאטעמאטישע הנחות.

[מי אני]

ומאידך גיסא, דער חובת הלבבות אין שער היחוד (פ״ה, בביאור ההקדמה השניה) רעדט ארום אז עס קען נישט זיין אז איין אינפיניט זאל זיין גרעסער ווי אן אנדערע (עכ״פ אין אקטואליטעט) ע״ש. (וע״ע כאן.)

*
‏

יא יא. ווען קבלה רעדט פון דעם, ווערט גענוצט די טערמענאלעדזשי חומר וצורה (דער ווארט ווערט טאקע גענוצט אין דיין ציטירטע שטיקל). די חומר איז מוגבל אבער נישט די צורה, וכנ"ל.

אגב, די געדאנק פון חומר/גולם וצורה אליבא דאריסטו האט אויך צוטוהן מיט אינפיניטי פון אן אנדערן ענגל אויך. דהיינו, אריסטו האט נישט געהאלטן פון אטאמיזם [אז זאכן וועלן צוקומען צו עפעס אן אינדיוויסיבל חלק וואס איז נישט שייך ווייטער צו צוטיילן וישאר שמו עליו] (עכ״פ לגבי חומר וצורה. און אפילו מ׳וועט זאגן אז מ׳קומט שוין אן צו די ד׳ יסודות (מ׳צוטיילט יא די זאך, אפילו לשיטתו), הא הן בעצמן גולם וצורה, ועיין ברמב״ם בהל׳ יסודי התורה סופ״ג וריש פ״ד, ובפרט לפי די געדאנק פון פריים חומר). איז איינמאל מ׳וועט צוקומען צו האמאאיעמאראס זאכן [זאכן וואס זענען, לפי שיטתו, די זעלבע פון די קלענערע חלקים פון וואס עס באשטייט. למשל, האלץ באשטייט פון קלענערע חלקים פון האלץ, משא״כ א האנט באשטייט פון פלייש, גידים וכו׳; העטעראמעראס], וועט יעדע חומר אליינס באשטיין פון א חומר וצורה עד למטה בב״ת/עד אינפיניטום. (איך האב אווערסימפליפייד.)

[מי אני]

דער רלב״ג אין מלחמות ה׳ (מאמר א פ״י) פרעגט אפ די מושג פון כולל/כללי/מקיף [universal] מכח דעם אז עס וועט אויסקומען אז איין אינפיניט איז דאפעלט פון אן אנדערע אינפיניט ע״ש.

[מי אני]

רעדענדיג פון אינפיניטי איז מערקווידיג צוצוצייכענען אז געארג קענטאר, טאקע דער ״פאטער״ פון סעט טעאריע, האט געזאגט אז עס זענען דא דריי סארטן [אקטועלע] אינפיניטיס בכלליות:

1). דאס אינפיניטי פון ג-ט [דער אבסאלוטום].

2). דאס אינפיניטי פון רעאליטעט און נאטור.

3). דאס אינפיניטי פון נומערן און מאטעמאטיקס.

ער ברענגט א ראיה צום (טעארעטישן) אקטועלן עקזיסטענץ צו 3) פון דאס עקזיסטענץ, כביכול, פון 1). קומט אויס אז ער אליין מאכט א קשר פונ׳ם פילאזאפישן אינפיניטי צום מאטעמאטישן.

‏(ועיין כאן.)

[מי אני]

דער כוזרי (מאמר ד אות ג ומאמר ה אות ב) דערמאנט אויך די מושג אז אונז קענען מיר נאר משיג זיין די דורך אונזערע חושים די מקרים פונ׳ם חפץ וכו׳, אבער נישט די עצם מהות דערפון.

[הדסים]

[tag]מי אני[/tag], דו האסט ארויפגעברענגט די אשכול איינמאל און נאכאמאל, יעצט האב איך עס שוין ענדליך דורכגעליינט. זייער אינטערסאנט.

[מי אני]

דער קול יהודה אויפ׳ן כוזרי (מאמר ד אות כה) זאגט אז דאס וואס מ׳נוצט דעם סימבאל ∞ אויף צו ווייזן אינפיניטי/נצחי, איז וויבאלד דאס זעהט אויס ווי א נחש/תנין [תלי] וואס איז מכניס זנבו אל ראשו, וואס דאס ווייזט אויפ׳ן ענין פון אינפיניטי (ברוחני) אשר לא יושגו בחוש, עפ״י קבלה המובא בספר יצירה (ח ד) ע״ש.

כ׳האב געקלערט אז מ׳קען מיט דעם מאכן א קשר צווישן ∞ אונ׳ם אות ℵ וואס ווייזט אויף די (ערשטע סארט) אינפיניט סעט וכנושא האשכול. דהיינו, דער חת״ס אין תורת משה עה״פ ויקרא אל משה זאגט אז עס זענען דא צוויי בחינות וויאזוי הקב״ה [שהוא אין סוף] איז משגיח על כלל ישראל. ס׳דא א בחינת יושב ״בסתר״, די גימטריא פון ״אכתריאל״ און דאס איז אן אפענע השגחה, און דערנאך איז דא א בחינת ״אסתר״ מלשון הסתר אסתיר (עיין חולין קלט:), און דאס איז טאקע געווען די ישועה בפורים. די תשועה פון משרע״ה איז געווען מבחינת די שטערקערע ״בסתר״, און אז מ׳נעמט די ווארט ״ויקרא״ און מ׳שטעלט צו איר מספר צו [אל] ״משה״ איז עס גימטריא ״בסתר״. אבער משרע״ה האט זיך נישט געהאלטן אין די מדריגה דעריבער האט ער געמאכט די א׳ קליין כדי דאס נישט צו רעכענען וממילא וועט עס נאר זיין גימטריא די בחינה פון ״אסתר״ ע״כ ע״ש.

דער יערות דבש זאגט (ח״ב ד״ח) אז מזלו של אדר דג מיינט נחש הים [הלויתן] (און וועגן דעם איז מען מעבר די חודש, קעגן די תנין זכר ותנין נקיבה) ע״ש.

קומט אויס מזה אז הישועה בפורים, וואס איז געווען בבחינת ״אסתר״, איז געווען בחודש שהיא כנגד נחש/תנין. און מיט דעם קען מען זאגן אז דאס איז א רמז פארוואס משרע״ה האט געוואלט מרמז זיין אויף זיך די בחינה/מדריגה דורך די אות א׳ וכדברי החת״ס, ווייל ∞ ווייזט דאך אויפ׳ן (בחינת) נחש וואס די אות ℵ ווייזט (אויך) אויפ׳ן אינפיניט סעט.

[מי אני]

פאקטיש, אויב נעמען מיר אוועק אלע אין סוף'דיגע מהותים, וועט אויסקומען אז מיר בלייבן מיט גארנישט. ווייל יעדער גשמיות'דיגער מושג איז נישט מער ווי א גדר וואס איז מגביל א געוויסע סוף. למשל א טיש איז א קעסטל פון דריי ביי פיר פיס, געמאכט פון א געוויסע סארט אטאם מיט אזא און אזא צאל פארטיקלס וכו'. אבער אויב דער גאנצער מושג פון די זאך באשטייט נאר פון די גדר, דעמאלט נעם אראפ אלע גבולים און דו בלייבסט מיט... גארנישט.

מ'קען אפשר זאגן אז דאס רירט אן אין קאנט'ס חילוק צווישן דעם "פענאמענאן" פון א זאך, וואס מיר אבזערווירן וכו', און דעם "נאמענאן" דערפון, וואס עס איז באמת.

דער פילאזאף הענרי פון גהענט האט אויך געהאט געזאגט ענליך בנוגע דעם געדאנק פון יוניווערסעלס/כללים. ער האט געזאגט אז ס׳דא א חילוק צווישן פּערסיווען/דערקענען אן ״אמת׳ע זאך״ און פּערסיווען/פארשטיין ״ווי אזוי א זאך איז באמת״. דאס צו פארשטיין ״ווי אזוי א זאך איז באמת״ איז תלוי אין דעם ווי ווייט דאס שכל ההיולי קען זיך מתדבק זיין אינעם שכל הפועל וואס דארט ליגט דאס פארשטאנד פון וואס די זאך איז באמת. דאס גייט זיך אבער ווענדן אין דעם אז די כלי הכנה וכו׳ [די שכל ההיולי] איז אימפּערפעקט וממילא קען עס נישט אינגאנצן צוקומען דערצו. אין אנדערע ווערטער, מ׳קען טאקע צוקומען צו א טיפערע פארשטאנד אין וואס די זאך איז באמת, ווי סתם דערקענען דאס ״אמת׳ע זאך״, אבער דאס קומט צו מכח דאס׳ן עס ארויסנעמען פונעם שכל הפועל וואס אין די כלי הכנה פונעם מענטש ווי ער טוהט דאס אבסטראקטן איז מכח זייער אימפּערפעקטע קאנסטיטוציע ווערט די תכלית האמת דערפון דאך קארופטירט כדי אויפ׳ן דאס גענצליך צו דערגיין אינעם שכל.

[מי אני]

ס׳איז אינטרעסאנט אנצומערקן אז רבינו חסדאי קרשקש זצ״ל (אור ה׳, מאמר א כלל ב און נאך פלעצער) קריגט זיך מיט אריסטו בנוגע די מושג פון אינפיניטי [בב״ת] און טוהט אויף אז עס איז דא אנדערע סארטן פון אינפיניטי [בנוגע אז ס'איז שייך צוצולייגן צו אן אינפיניטי, ועוד]. ער באצוהט זיך טאקע צו דעם פילאזאפישן מושג פון אינפיניטי אבער ער באזירט דאס מיט (ווי נישט) מאטעמאטישע הנחות.

ס׳איז משמע פון מלחמות ה׳ (מאמר ו ח״א פכ״ז) אז ער זאגט אויך ענליך.

[מי אני]

אין די געדאנק פון פּאראדאקסן בעניני פארשידענע אינפיניט סעטס ווען זיי האבן אלע די זעלבע קארדינעליטי, איז אינטרעסאנט די פּאראדאקס וואס אברהם פרענקל און בּערטראנד ראססעל זאגט דאס מסביר צו זיין, וואס ער רופט די פּאראדאקס פון טריסטרעם שענדי. דאס איז מיוסד אויפ׳ן ליטערערי כאראקטער (פונעם שרייבער לארענס שטערן) טריסטרעם וואס שרייבט אן אטאביאגראפיע וואס נעמט אים א יאר צו שרייבן איבער איין טאג פון זיין לעבן. עס קומט אויס אז ער וועט קיינמאל נישט ענדיגן, ווייל די טעג, פאר וועלכע ער דארף יארן צו שרייבן, ווערן אלס מער אין טאקע די יארן וואס ס׳נעמט אים צו שרייבן איבער טאקע די טעג. אבער אויב לעבט ער אינפיניט יארן וועט ער יא ענדיגן, ווייל דעמאלטס זענען דאך די קארדינעליטי פון יארן און טעג די זעלבע. מיינענדיג, איך קען דאך למעשה מאכן א בּיידזשעקשאן/1:1 קארעספּאנדענס צווישן די מספר פון טעג און מספר פון יארן. קומט אויס לפי״ז אז זיי האבן די זעלבע קארדינעליטי.

***

אן אינטרעסאנטע געדאנק בענין פאטאגרעפי און דעם אינפיניטי סימבאל וואס זעהט אויס ווי א זייטיגע 8:

[מי אני]

ועיין כאן.

[מי אני]

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז די איינציגסטע מאטעמאטיקס פאפיר אויף די ליסטע פון 100 מערסטע ציטירטע סייענטיפישע פאפירן איז איבער פאָזי סעטס וואו עס איז אזוי אינצווישן יא אדער ניין צי אן עלעמענט איז בתוך א געוויסע סעט צי נישט. מיינענדיג, אז דאס מעמבּערשיפּ פון אן עלעמענט בתוך א סעט איז נישט א זיכערע ״יא״ אדער ״ניין״ ווי איידער תלוי אין מדריגות פון ״ווי שטארק״ עס איז א מעמבער פונעם סעט.

[מי אני]

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז קענטאר האט היפאזיטירט אז פיזישע חומר באשטייט פון ℵ₀ פונקטן און ענערגיע פיִלדס פון ℵ₁ פונקטן.

***

דר. רוּדי ראָקער איז מסביר אז אין קורצן זענען די סוּריעל נומערן די רעסיפּרעקאלס פון ℵ אא״וו.

***

אין סעט טעאריע איז דא א געדאנק וואס רופט זיך א דעדעקינד שניט וואס איז א פארמאלע וועג פון צאמשטעלן/דעפינירן (א סעט פון) נומערן. דאס איז ווען איך צוטייל (״שנייד״) די אינפיניט רעשאנעל נומערן [וואס קענען ארויסגעשריבן ווערן אלס א פרעקשאן] אין צו צוויי סעטס א און ב (נישט ℵ): אויף איין זייט די גרעסערע נומערן [ב] און אויף די אנדערע זייט [א] די קלענערע נומערן. עס דארף האבן די געדאנק אז אין די קלענערע סעט א וועט אלס זיין אז נישט קיין חילוק וועלכע עלעמענט דערפון איך כאפ אָן וועט אלס זיין אַן עלעמענט קלענער דערפון ווי אויך גרעסער דערפון. דאס איז ווייל (בדרך כלל) די מקום ה״שניט״ איז אַן אירעשאנעל נומער וואס דאס איז די מחלק צווישן די צוויי סעטס, וממילא איז אלס דא עפעס אַן רעשאנעל נומער וואס קומט אלס נענטער און נענטער צו דערצו.

[מי אני]

במשנתו של דר. עלעין בּאַדוּ:

For Badiou, crucially, philosophy has never been able to think in multiples – there is something, there is nothing, there is an I, there is a you, and so on. Multiples are then extrapolated (and often cast as deficient), treated as secondary. Indeed, Being (or ‘will’ or ‘non-being’ or ‘consciousness’) is always conceived as being singular

Badiou argues that set theory allows us to think in multiples – something is a set only if it identifies a similarity (or similarities) between two things (objects, concepts and so on). The set, then containing multiples, now counts as ‘one’. And, thus, the multiple elements that belong to that set are secured as one consistent concept (say, ‘tableness’ or ‘humanity’), but only in terms of what does not belong to that set. This gives us a pattern for looking at multiples as fundamental

It is only through the ‘recent’ invention of set theory that we are able to – truly – experience infinity. Most of our previous encounters with infinity (for instance, God) are in fact based on ‘not-finity’. We experience the finite in our daily lives – and the infinite in most versions is just a lot of that. This is the ‘false infinite’ that the philosopher G W F Hegel mocked – the merely endless. An assertion that we can always add another number (n+1, n+2) is a platitude, not an experience of infinity. Set theory, however, gives us total infinity – ‘the set of all cardinal numbers’, ‘the set of odd numbers’, ‘the set of fractions’ (that these are different-size infinities was recognised by the late-19th-century mathematician Georg Cantor

[מי אני]

וויאזוי דער מאטעמאטיקער דר. דורון ציילברגר האט מספיד געווען דער מאטעמאטיקער דר. ישראל געלפאנד נוצענדיג סעט טעאריע:

[מי אני]

אין סעט טעאריע איז דא א געדאנק וואס רופט זיך א דעדעקינד שניט וואס איז א פארמאלע וועג פון צאמשטעלן/דעפינירן (א סעט פון) נומערן. דאס איז ווען איך צוטייל (״שנייד״) די אינפיניט רעשאנעל נומערן [וואס קענען ארויסגעשריבן ווערן אלס א פרעקשאן] אין צו צוויי סעטס א און ב (נישט ℵ): אויף איין זייט די גרעסערע נומערן [ב] און אויף די אנדערע זייט [א] די קלענערע נומערן. עס דארף האבן די געדאנק אז אין די קלענערע סעט א וועט אלס זיין אז נישט קיין חילוק וועלכע עלעמענט דערפון איך כאפ אָן וועט אלס זיין אַן עלעמענט קלענער דערפון ווי אויך גרעסער דערפון. דאס איז ווייל (בדרך כלל) די מקום ה״שניט״ איז אַן אירעשאנעל נומער וואס דאס איז די מחלק צווישן די צוויי סעטס, וממילא איז אלס דא עפעס אַן רעשאנעל נומער וואס קומט אלס נענטער און נענטער צו דערצו.

נאך א וועג פון דאס מסביר זיין, איז אלס א פּאזיטיווע וועג פון דעפינירן וואס ‏אירעשאנעל נומערן זענען - די נומערן וואס זענען צווישן די שניט, כזה: