סקווער׳ן דעם סקווער

[מי אני]

די סקווער׳ן דעם סקווער פראבלעם איז ווי אזוי צאמצושטעלן א פונקטליכע צוויי-דיממענשאנעל סקווער, מיט אלע זייטן אן אייניגן גאנצע נומער [נישט פרעקשאן וכו׳; א פאזיטיווע אינטעדזשער/נאטורליכע נומער (עיין באשכול זו ובתגובה זו שם)] לענג, דורך קלענערע סקווערס (אויך מיט א גאנצע-נומער לענג). דאס דארף זיין אינגאנצן אנגעפולט אזוי אז עס זאל נישט זיין דערין קיין שום חלל.

אויב פארלאנגט מען דאס זאל זיין ״פּערפעקט״ פארלאנגט זיך אז יעדע פון די קליינע סקווערס וואס שטעלן צאם די גרויסע סקווער זאלן זיין אנדערע לענגס/ברייטס. און אויב פארלאנגט מען אז דאס זאל זיין ״פשוט״ פארלאנגט מען אז אינעם גרויסן סקווער זאלן קיין איינע פון די קליינע סקווערס דערין צוזאמען נישט פארעמען א רעקטענגעל.

IMG_6982.jpg

דאס איז א פּערפעקטע פשוט׳ע סקווערד סקווער וואס נוצט די קלענסטע צאל פון אינערליכע סקווערס [21; איר ״אָרדער״]. איר לענג און ברייט איז 112. מ׳קען מאכן צוויי אנדערע פּערפעקטע פשוט׳ע סקווערד סקווערס וואס זייער לענג און ברייט איז 110, אבער דעמאלטס וועט מען דארפ׳ן נוצן 22 אינערליכע סקווערס.

מ׳קען דאס נאר טוהן אין צוויי-דיימענשאנס. די זעלבע זאך צו טוהן מיט א קיוּבּ, דהיינו צאמשטעלן א דריי-דיימענשאנעל קיוּבּ מיט קלענערע קיוּבּס וואס אלע האבן אנדערע גאנצע-נומער לענג, בּרייט, און הויכקייטן, איז אומעגליך. דאס איז גראדע אפילו אויב די גרעסערע דריי-דיימענשאנעל קיוּבּ וואס איך וויל צאמשטעלן אזוי איז נישט ממש א קיוּבּ נאר עס איז א דריי-דיימענשאנעל רעקטענגעל [קיוּבּוֺיד].

‏ועיין כאן בענין דעם דזשיאמעטרישן פראבלעם פון נישט זיין ביכולת צו מאכן סתם אזוי פון א סירקעל א סקווער מיט די אייניגע עריע; סקווער׳ן דעם סירקעל.

[הדסים]

זייער אינטערסאנט.

עס ליגט מיר אין קאפ עס איז נישטא קיין גוטע פארמילא צו אויסרעכענן די בעסטע וועג צו אריינלייגן קלענערע באקסעס אין א גרויסע. דאס איז בערך אין די זעלבע משפחה.

[מי אני]

דאס איז בתוך די אפּטימעל פּעקינג פעלד (וג״כ בתוך טיילינג)בתוך מאטעמאטיקס, וואס גיבט זיך אפ מיט׳ן טרעפן דזשיאמעטרישע פארמולאס וכו׳ ווי אזוי אריינצולייגן די מערסטע איין סארט שׁעיפּ בתוך א גרעסערע (וואס קען זיין אן אנדערע שׁעיפּ); דאס קען אנגיין סיי ביי צוויי-דיימענשאנס און סיי ביי דריי (ואפילו מער).

אין די פאל איז דאס אביסל מקושר צו דעם, דערווייל נאך נישט מפותר׳דיגן, פראבלעם פון טרעפן א פארמולא פון ווי אזוי איך קען אריינלייגן די מערסטע סקווערס וואס אלע האבן אן אייניגן לענג און ברייט (לא׳מיר זאגן א לענג/ברייט פון 1 פראפארציאנאל צום לענג/ברייט פונעם גרעסערן) אין א גרעסערן סקווער וואס האט נישט א גאנצע-נומער/אינטעדזשער לענג/ברייט. אין אנדערע ווערטער צו טרעפן א פארמולא וכו׳ ווי אזוי דאס אריינצופאקן דערין די מערסטע סקווערס מעגליך, וואס לאזט איבער די ווייניגסטע געשווענדעטע איבערגעבליבענע פלאץ. מיינענדיג, איז דא א פארמולא וכו׳ וואס איז מקשר די וואוקס פון די נישט-גאנצע נומער לענג/ברייט פונעם גרויסן, צו ווי סאך איבערגעבליבענע פלאץ וועט ווערן געשווענדעט? אָווערסימפּליפייד, אבער דאס איז די בּעיסיק געדאנק.

[הדסים]

ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

[מי אני]

גראדע, אין דעם איז דא קעפּלער׳ס קאנדזשעקטשור. דאס איז היינט-צו-טאגס מאטעמאטיש אויפגעוואוזען אז די וועג ווי אזוי מ׳טוהט בסתם פּאַקן (אין דריי-דיימענשאנס) ספערס [בּאָליס, וואס זענען די זעלבע סייז], אז יעדעס איינס זאל אריינגיין אביסל אינעם חלל פון די דריי ספערס אונטער דעם, כזה:

IMG_6988.jpg

איז די מערסטע עפישׁענט וועג, און שווענדעט דאס ווייניגסטע פלאץ. אין אלגעמיין טוהט דאס אויסנוצן כמעט 75% פון די פלאץ עוועילעבּעל. דאס איז די וועג ווי אזוי וועירהויז ארבעטערס און (פרוכט) געשעפטסלייט האבן דאס אלס בסתם געטוהן פּאַקן...

[פארוואס?]

ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

אינטרעסאנט, דער דאזיגער פראבלעם איז מיר שוין איינמאל אויסגעקומען למעשה, איך האב געדארפט נוצן פארשידענע אלגאריטמס, עס איז נישט דא קיין 100% אפטימאל אלגאריטעם, אבער עס איז דא גענוג פאר וויפיל עס איז נוגע למעשה. (איך רעד נישט פון ברוט-פארסינג).

ואין בידי להאריך כעת.

Sent from my SM-G960U1 using Tapatalk

[קל וחומר]

אינטערסאנטע זאך.
גראדע קען מען עס יא מאכן מיט א דריי דימענשענעל קיוב טאמער נוצט מען נאר צוויי סייזעס דהיינו איין גרויסע ביים עק און די איבעריגע וועלן אנפילן דעם חלל.

[מי אני]

ענליך צו דעם איז דא אין (ריקריעישאנעל) מאטעמאטיקס די מאַנדריען אַרט פּאָזעלס. דאס איז מיוסד אויף דעם ארטיסט פּיעט מאַנדריען׳ס אַרט, וואו ער פלעגט מאָלן אויף א (סקווער) קאנוואס אסאך פאָרעמעס פון סקווערס/רעקטענגעלס. די פראגע ארבעט אז אויב האט מען א סקווער (דייקא) פון א געוויסע לענג/ברייט, ווי אזוי קען מען אנפולען די גאנצע סקווער מיט סקווערס אדער רעקטענגעלס, וואס יעדעס איינס איז אנדערש, אזוי אז די ״סקאָר״ זאל זיין ווי קלענער. די ״סקאָר״ דא מיינט אז ווען איך רעכען צאם די דיפערענץ פון די עריע פון די גרעסטע רעקטענגעל/סקווער און די עריע פון די קלענסטע רעקטענגעל/סקווער גענוצט [די גרעסטע מיינוס די קלענסטע] בתוך דעם גרויסן סקווער, זאל דאס זיין די קלענסטע נומער מעגליך.

א דוגמא פון זיין אַרט אויף וואס די פּאָזעל איז באזירט:

IMG_7091.jpg

[berlbalaguleh]

ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

הדסים:בדרך כלל. וועירהאוז ארבעטער האבן נישט קיין עדווענסט דעגרי אין מאטעמאטיקס. די וועלכע האבן יא אזא דעגרי זיצן אדער אין די קאמפעני אפיס. אדער אין א הייסקול אלס אינסטרוקטארס.

די וועירהאוז ארבעטער זיצן ענדערש אויפ'ן היי-לאו טרעקל. און זיי האבן פאן ארומפאנדיג אין ריזיגן וועירהאוז...און זיי רעדן ספאניש אדער פויליש...!

[הדסים]

ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

הדסים:בדרך כלל. וועירהאוז ארבעטער האבן נישט קיין עדווענסט דעגרי אין מאטעמאטיקס. די וועלכע האבן יא אזא דעגרי זיצן אדער אין די קאמפעני אפיס. אדער אין א הייסקול אלס אינסטרוקטארס.

די וועירהאוז ארבעטער זיצן ענדערש אויפ'ן היי-לאו טרעקל. און זיי האבן פאן ארומפאנדיג אין ריזיגן וועירהאוז...און זיי רעדן ספאניש אדער פויליש...!

איך פארשטיי זיי דארפן נישט מאכן די חשבונות...

אבער אויב וואלט געווען א גוטע מהלך וואלט די פראגראם זיי געזאגט פונקטלעך וועלכע באקס צו נעמען ווען, יעצט דארפן זיי א טראפ נוצן די שכל וויאזוי צו פאקן.

[berlbalaguleh]

הדסים: ביז דערווייל איז נאכנישט דא די טעכנאלאגיע. נאר ס'וועט זיכער קומען. אזוי אז די גאנצע ארבעט אין וועירהאוז וועט האבן אן אנדער פנים. ס'וועט זיצן אן ארבעטער און אריינלייגן די דעיטא פון ארדער אין זיין/איהר פאון. און דער פעקל וועט אראפפאהרן פונ'ם פלאטץ וואו ס'איז געהאלטן. גראד צום שיפפינג פלאטפארם. גרייט צו ווערן דעליווערט.

די טעכנאלאגיע דאס אדורכצופיהרן עקזיסטירט שוין היינט. ס'פעהלט נאך אויס עטליכע סטעפס דאס צו אראפצוברענגען אויף א פראקטישן לעוול.

נ.ב.: פאר די מענטשן וועלכע וועללן פרעגן א קשיא אויף מיינע ווערטער. ס'איז נישט קיין תוס' וואס מוז פארענטפערט ווערן. נאר איך מיין צו זאגן אז די טעכנאלאגיע איז שוין דא. מ'האט עס נאכנישט איינגעפיהרט אויף א פראקטישן לעוול. וואס וועט זיכער קומען מיט די צייט...!

[מי אני]

מענין לענין (לענין וקצת) באותו ענין, אז מ׳רעדט פון פיר-עקן בתוך פיר-עקן איז דאס אן אינטרעסאנטע בילד ווי אזוי איינער האט געמאכט שטיקלעך פונעם שאך שפיל אז מען קען זיי צאמלייגן ווי א פיר-עק. ולענינינו, כעין א פיר-עק בתוך א פיר-עק פונעם אלגעמיינעם שאך ברעט.

IMG_7149.jpg

[מי אני]

ומענין לענין לענין באותו ענין, אן אינטרעסאנטע אַפּטיקעל אילוזיע איבער א סירקעל בתוך סירקעל.

IMG_7155.jpg

[מי אני]

אין דעם געדאנק פון שׁעיפּס בתוך שׁעיפּס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו דעם פראבלעם פון אפּאלאניוס. דאס איז ווען איך האב דריי סירקעלס ווי אזוי אויסצורעכענען מאטעמאטיש אויף צו מאכן א פּערפעקטע סירקעל און עס זאל נאר אנרירן די סירקאָמפרענס [אן אריינגיין אינדערמיט; זיין טענדזשענט] אלע דריי סירקעלס (ס׳קען עס יא אינגאנצן איינשלינגען, אבער איר סירקאָמפרענס מוז צורירען און נאר צורירען די סירקאָמפרענס פון די אריגינעלע סירקעלס. למשל דא איז א בילד פון די דריי געגעבענע סירקעלס אין שווארץ און אפאר סאלושענס:

C603CA98-4AFC-41F1-AEFE-C3E96767A587.png

די סירקעלס רופט מען קישעדיגע אדער סאדי סירקעלס, ע״ש דער מאטעמאטיקער פרעדעריק סאדי, וואס האט דאס צוריק מחדש געווען. רענע דעקארט איז אויפגעקומען מיט א טעארעם אין דעם הנקרא על שמו. דאס נעמט די קוּרוועטשוּר פון די סירקעלס און שטעלט זיי אין א רילעישאן איינע צום אנדערן. די קוּרוועטשוּר פון א סירקעל באדייט ווי שטארק איר ״געדרייטקייט״ איז און ווערט מאטעמאטיש דעפינירט אלס די רעסיפּראקעל/אינווערס פון איר רעידיאוס [רעידיאוס היינו האלב פון איר לענג ביים ברייטסן חלק; האלב פון די דיאמעטער כידוע]; מיינענדיג אז איך נעם די רעידיאוס און איך מאך עס אלס די דינאמינעיטאר פון א פרעקשאן מיט אן 1 פון אויבן (און אויב איז עס שוין א פרעקשאנעל סארט נומער דריי איך עס פשוט ארום עליונים למטה ותחתונים למעלה).

זיין טעארעם לויטעט אז עס וועלן זיין (אמווייניגסטענס) צוויי סאלושענס צו יעדע אזא סארט פראבלעם. דהיינו, איך נעם די סומעס פון די קוּרוועטשוּרס פון די דריי סירקעלס, ווי אויך טוה איך מאלטיפלייען די קוּרוועטשוּרס פון אלע מיט אלע [דהיינו דעם ערשטן מיט׳ן צווייטן, דעם צווייטן מיט׳ן דריטן, און די ערשטע מיט׳ן דריטן] און דערנאך נעם איך די סומע פון די אלע דריי מאלטיפליקעישאנס, דערנאך נעם איך די סקווער רוט פון די סומע פון די דריי מאלטיפליקעישאנס הנ״ל און איך דאפּל דאס, ולאחרי זה גייט די קוּרוועטשוּר פון דעם פערדן סירקל המאחדן כנ״ל זיין אדער די סומע פון די געדאפעלטע סקווער רוט הנ״ל ביחד פון די אריגינעלע סומע פון אלע דריי קוּרוועטשוּרס אדער די דיפערענץ פון די געדאפעלטע סקווער רוט אראפ פון די סומע פון די דריי קוּרוועטשוּרס. די טעארעם ווערט אויסגעשריבן אזוי:
k₁+k₂+k₃±2√(k₁k₂+k₃k₁+k₂k₃)=k₄

(אויב האב איך נאר צוויי סירקעלס מעיקרא מיט א ליין און איך וויל אז די דריטע סירקעל זאל זיי אלע אנרירן, דארף איך נאר די צוויי קוּרוועטשוּרס פון די צוויי סירקעלס אינעם פריערדיגן עקוועישאן. אויב צוויי פון זיי זענען גראדע ליינס און ס׳נאר דא איין סירקעל, וועט אויסקומען אז די קוּרוועטשוּר פונעם נייעם סירקעל וואס רירט זיי אלע אן אויפ׳ן סירקאָמפרענס איז די זעלבע ווי די קוּרוועטשוּר פונעם איין אנדערע סירקעל וואס איז דארט.)

מ׳האט פארברייטערט דעם פראבלעם אין העכערע דימענציעס [כגון 3D] אויך.

***

‏די אשכול קען באטראכט ווערן ווי א המשכה צו די טעמע פון די אשכול דא.

[מי אני]

גראדע, אין דעם איז דא קעפּלער׳ס קאנדזשעקטשור. דאס איז היינט-צו-טאגס מאטעמאטיש אויפגעוואוזען אז די וועג ווי אזוי מ׳טוהט בסתם פּאַקן (אין דריי-דיימענשאנס) ספערס [בּאָליס, וואס זענען די זעלבע סייז], אז יעדעס איינס זאל אריינגיין אביסל אינעם חלל פון די דריי ספערס אונטער דעם, כזה:

IMG_6988.jpg

איז די מערסטע עפישׁענט וועג, און שווענדעט דאס ווייניגסטע פלאץ. אין אלגעמיין טוהט דאס אויסנוצן כמעט 75% פון די פלאץ עוועילעבּעל. דאס איז די וועג ווי אזוי וועירהויז ארבעטערס און (פרוכט) געשעפטסלייט האבן דאס אלס בסתם געטוהן פּאַקן...

רעדענדיג אין דעם פון אפּטימעל פּעקינג איז ביי צירקלס די מערסטע עפישענט וועג, אין 2-דיימענשאנס, א העקסאגאנעל אויסשטעל כזה:

0152E110-E9EE-4314-ABDC-F6E8AC6456E7.jpeg

ווען מען וויל אריינפיטן צירקלס אין א עקווילעטערעל טרייענגעל [א טרייענגעל וואס אלע אירע זייטן זענען די זעלבע לענג], איז דא אין דעם א קאנדזשעקטשור פון די מאטעמאטיקער דר. פּאָל ערדאס און דר. נארמאן אלער. דאס לויטעט אז אויב האב איך א צאל צירקלס וואס זענען איינס ווייניגער ווי א טרייענגולאר נומער, דעמאלטס קען איך טרעפן די מערסטע אפּטימעל/עפישענט וועג פון דאס אריינפאקן נוצענדיג דאס בעסטע וועג פון אויסנוצן דאס פלאץ, דורך דעם וואס ווען איך האב איינס מער ווי די צאל וואס איך האב יעצט [א טרייענגולאר נומער/צאל] און איך וואלט ארויסגענומען איין צירקל דערפון פון די העקסאגאנעל אויסשטעל, וואס איז בסתם די מערסטע עפישענט וועג ביי דעם וכנ״ל. מ׳ווייסט אז דאס איז אמת ביז 15.

[מי אני]

און אפשר קען מען טאקע זאגן דערין א רמז צו דעם וואס אונז הא׳מיר עטליכע מאל אראפגעברענגט בשם ראזענצווייג אז זמן פאר אידן איז אן ענין פון א סירקעל (ואגב איז כידוע דא דער שינדווארט ״קייק״ קעגן אידן וואס שטאמט מיסודו פון דאס געדאנק פון א סירקעל ווען מ׳האט אימיגרירט קיין עליס איילענד). אז מ׳באמערקט אינעם בילד מאכט די אפּטימעל פּעקינג פון סירקעלס א כעין מגן דוד (וואס, אגב, ליגט אויך אין די פילאזאפיע פון ראזענצווייג), וואס האט טאקע זעקס קצוות וכעין די זעקס ווערטעקסעס פון טאקע די העקסאגאן.

***

ומענין לענין באותו ענין איז דא די אינסקרייבּד סקווער פּראבלעם. דאס וואונדערט זיך אויב אין יעדעס דזשארדאן קוּרוו, דהיינו אויב איך מאך א לוּפּ וואס נישט קיין חילוק וויפיל איך זיג-זעג דאס וכו׳ וועט עס אלס צוריק קומען צום אנהויב און אזוי שאפן א פארמאכטן לוּפּ, וועט אלס דערויף זיין פיר פונקטן וואס זיי וועלן צוזאמען זיין די עקן פון א סקווער. דאס אז עס וועלן אלס זיין דערויף פיר פונקטן וואס צוזאמען שאפן די עקן פון א רעקטענגעל האט מען שוין אויפגעוואוזן.

[מי אני]

ענליך צו דעם איז דא די סטיינער טשעין. דאס איז ווען איך האב צוויי סירקעלס וואס רירן זיך נישט אן איינע די אנדערע, און דערנאך מאך איך איין סירקעל וואס רירט אן ביידע סירקעלס. דערנאך איז דא נאך א סירקעל וואס רירט אן די צוויי אריגינעלע סירקעלס מיט די וואס איך האב צוגעלייגט. דערנאך איז דא נאך א סירקעל וואס רירט אן די צוויי אריגינעלע סירקעלס מיט די וואס איך האב פריער צוגעלייגט; נישט די וואס איך האב צוגעלייגט מעיקרא. אין אנדערע ווערטער, עס איז אזוי אז יעדע סירקעל וואס איך לייג צו רירט אן די צוויי אריגינעלע סירקעלס מיט די סירקעל וואס איך האב צוגעלייגט פאר דעם און וואס איך האב צוגעלייגט נאך דעם.

די ״אנרירונג״ קען זיין פון די דרויסענדיגע זייט פון די צוגעלייגטע סירקעלס למשל כזה ווען איינס איז אינעם צווייטען [אן אנאלוּס]; {די אריגינעלע צוויי סירקעלס זענען בלוי און רויט, און די צוגעלייגטע וואס מאכן די טשעין זענען שווארץ}:

AC306666-105E-4C97-B7B3-0B12967A4D8B.jpeg

או כזה:

DCC7E34E-638C-463D-A625-ADAE38124C89.png

אדער פון די אינעווייניג זייט פונעם צוגעלייגטע סירקעל למשל כזה [די לעצטע גרויסע]:

52134A7A-2771-408F-8AC3-B6D84B88E6A9.jpeg

עס איז דא אסאך פרטים איבער די פּראפּערטיס פון אזא סארט טשעין. אין אונזערע פעלער איז עס פארמאכט, דהיינו אז די לעצטע סירקעל קומט ״פול סירקעל״ צוריק און רירט אן דעם ערשטן צוגעלייגטן סירקעל. אין אזא פאל איז דא די סטיינער פּאריסם. דאס לויטעט אז אויב קען איך מיט א צאל סירקעלס מאכן אזא סארט פארמאכטע סטיינער טשעין, איז דא אן אינפיניט סעט פון סירקעל( סייזע)ס מיט וואס איך קען דאס פונקט אזוי מאכן.

[מי אני]

אויך אפשר אביסל ענליך צו דעם אלעם איז פּאנסעלעט׳ס קלוֺיזשור טעארעם/פּאָריזם. דאס לויטעט אז אויב איך האב צוויי קאניקס [מיני קוּרוו שׁעיפּס; זיי קענען זיין אפען [א פּערעבּאלא אדער א הייפּערבּאלא] אדער פארמאכט [אן עליפּס, דהיינו אן אָוועל אדער א סירקעל] איינס אינעם צווייטן, וואס איך קען אריינלייגן דערין א פּאַליגאַן פון מער ווי 2 זייטן, וואס אלע אירע עקן וועלן זיין אויפ׳ן גרעסערן/דרויסענדיגן קאניק [אינסקרייבּד] און עס נעמט אינגאצן ארום דעם אינעווייניגסטן קאניק [סירקוּמסקרייבּד, דהיינו עס נעמט איר פונקטליך ארום אזוי אז די זייטן פונעם קאניק רירן אן פונקט די זייטן פונעם פּאַליגאַן פון אינעווייניג, אזוי אז עס איז טענדזשענט און עס גייט עס נישט דורך אריין אינעם קאניק], דעמאלטס איז דא אן אינפיניט צאל פון די זעלבע סארט פּאַליגאַנס וואס זאל ארומנעמען די אינעווייניגסטע קאניק בשעת׳ן נאך אלס האבן אלע אירע עקן אויפ׳ן דרויסענדיגע קאניק. אין אנדערע ווערטער, איינמאל איך זעה אז איך קען אריינלייגן א פּאַליגאַן דארט אז אלע אירע עקן זענען אויפ׳ן דרויסענדיגן און עס נעמט אינגאנצן ארום די אינעוויינגסטע, דעמאלטס ווייס איך אז יעדעס פונקט פונעם דרויסענדיגן איז א מקום וואו איך קען לייגן אן עק פון אזא סארט פּאַליגאַן און יעדעס פונקט פונעם אינעווייניגסטן איז א מקום וואו עס גייט אנרירן (במאקסימום שייך) די אינעווייניגסטע זייטן פונעם פּאַליגאַן.

[מי אני]

מענין לענין באותו ענין איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז ווי באקאנט האט דער מאטעמאטיקער דוד הילבערט פארגעשטעלט 23 אפענע מאטעמאטישע פראבלעמען צו געלייזט ווערן אין 1900. די ערשטע געלייזט צו ווערן (א יאר דערויף, דורך זיין (אידישע) סטודענט מאקס דעהן) איז געווען זיין דריטע פראבלעם. דאס האט קאנדזשעקטשורט אז אויב איך האב צוויי אנדערע 3D פּאליהידראַ שׁעיפּס וואס האבן די זעלבע וואליוּם קען איך נישט אלעמאל צושניידן אין צו א געוויסע פיניט צאל פון שטיקלעך און דאדורך מאכן דאס אנדערע. ער איז אויפגעקומען מיט א מאטעמאטישן פּראפּערטי פון די 3D שׁעיפּס וואס ווערט גערופן די דעהן אינוועריענט. צוויי אזעלכע אנדערע 3D שׁעיפּס קענען נאר ווערן צושניטן און געשאפן איינע אין צו די אנדערע נאר ווען די וואליוּמס און דעהן אינוועריענטס פון די צוויי שׁעיפּס זענען אייניג.

ביי 2D פּאַליגאַנס איז דאס יא שייך. דהיינו, אויף דעם איז דא די וואלאס-בּאליאי-גערוויען טעארעם וואס לויטעט אז אויב איך האב צוויי אנדערע 2D פּאַליגאַן שׁעיפּס וואס האבן די זעלבע עריע קען איך אלעמאל צאמשטעלן איינס דורך צושניידן די אנדערע אין א פיניט צאל פון שטיקלעך.

ועיין כאן.

[מי אני]

לגבי קאניק סעקשאנס איז אינטרעסאנט צו דערמאנען די פאראדאקס פון דעמאקריטוס אין דעם. ער איז דאך געווען דער מחדש פון אטאמיזם, וואס האט געהאלטן אז דאס נאטור איז צאמגעשטעלט ביסודה פון אומצוטיילבארע שטיקלעך [״אטאמס״]. האט ער געפרעגט אויב האב איך א קוֺין און איך שנייד דאס דורך אינדערמיט ברוחבו [האריזאנטעל] אזוי אז עס איז פאראלעל מיט׳ן בּעיס, איז די סירקעל אויבן אייניג אדער אומאייניג אין גרויסקייט ווי די סירקעל פונעם בּעיס? זאגן אז זיי זענען אייניג מאכט סתם אזוי נישט קיין סענס ווייל דאס איז קעגן די מציאות וואס אונז זעהן׳מיר און עס וואלט דעמאלטס געדארפט זיין א סילינדער. אבער ווידעראום אויב זאג איך אז זיי זענען אומאייניג קומט דאך אויס אז ביסודו הייבט זיך די קוֺין אזוי ווי אין סטעפּס (וואס צו אונז זעהט עס נישט אויס אזוי).

קרייסיפּוס האט אויף דעם געהאט געענטפערט אז עס איז סיי אייניג און סיי אומאייניג. מ׳איז אים מסביר אז ער האט אנגערירט אויף די כלל אין קאלקולוס פונעם לימיט, אז ביי דעם ווען איך ״זוּם אריין״ אינפיניטלי אבער איך וויל נעמען א פיניט נומער פון דעם (סאָ טוּ ספּיִק) איז עס טאקע א סטעפּ.

[מי אני]

ענליך צו דעם איז דא די קישן נומער פראבלעם. דאס פרעגט אז ווען איך האב א סירקעל/ספיִר אין א געוויסע דיימענשאן, וויפיל איז די גרעסטע/מערסטע צאל אייניג גרויסע סירקעלס/ספיִרס וואס איך קען איר ארומנעמען און אלע זאלן איר אנרירן [״קישן״]? אין 2D איז די ענטפער 6 און אין 3D איז עס 12.

*

ואגב, בענין פּעקינג פון ספיִרס איז דא די מינקאַוּסקי-הילאווקא טעארעם וואס איז דאס מקשר צום ריעמאן זעטאַ פאָנקשען. דאס לויטעט אז די פּעקינג דענסיטי [די פרעקשאן פונעם עוועיליבּל פלאץ וואס די פּעקינג נעמט אויף] וועט זיין צום ווייניגסטענס אזוי גרויס ווי די צאל וואס איך באקום ווען איך לייג אריין [אלס s] אינעם זעטאַ פאָנקשען די נומער פונעם דיימענשאן און איך דיווייד די רעזאלט ביי 2 צו אן עקספאנענט וואס איז איינס ווייניגער ווי די דיימענשאן.

[מי אני]

אין דעם ענין פון סירקעלס בתוך סירקעלס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו אוילער׳ס טעארעם (אין דזשיאמעטרי). דאס לויטעט אז אויב האב איך א סירקעל בתוך א טרייענגעל, דהיינו אז די סירקעל איז אינעווייניג די טרייענגעל און איר עיגול/סירקומפרענס רירט פונקט אן [טענדזשענט] אויף די דריי ווענט פון די טרייענגעל [אן אינסקרייבּד סירקעל], און איך האב אויך א סירקעל וואס נעמט ארום דעם טרייענגעל פונדרויסן וואס איר עיגול/סירקומפרענס נעמט ארום דעם טרייענגעל און רירט פונקט אן אויף די דריי עקן דערפון [א סירקומסקרייבּד סירקעל], דעמאלטס וועט די סקווער פון די ווייטקייט פונעם צענטער פונעם דרויסענדיגער סירקעל [גערופן דעם סירקומסענטער] ביז צום צענטער פונעם אינעווייניגן סירקעל [גערופן דעם אינסענטער] זיין דעם רעידיאוס [האלב רוחב] פונעם גרויסן דרויסענדיגן סירקעל נאכדעם וואס איך נעם אוועק צוויי מאל דעם רעידיאוס פונעם קליינעם אינעווייניגן סירקעל, טיימס דעם רעידיאוס פונעם גרויסן דרויסענדיגן. אין א וויזוּאלן פארעם [אונז ווילן וויסן דעם לענג פונעם רויטן ליניע ביחס צו די רעידיאיי]:

5B3CA17E-B44A-4867-A065-4CFACEC36A18.png

עס קומט אויס דערפון אז די רעידיאוס פונעם גרויסן דרויסענדיגער סירקעל וועט אלס זיין מער ווי צוויי מאל די רעידיאוס פונעם קלענערן אינעווייניגן סירקעל. דאס איז אחוץ וואו זיי זענען אינדרויסן און אינעווייניג פון אן עקווילעטערעל טרייענגעל, וואו אלע דריי זייטן פונעם טרייענגעל זענען די זעלבע לאנג. אין אזא פאל וועט די רעידיאוס פונעם גרויסן דרויסענדיגער סירקעל זיין פונקט די זעלבע ווי צוויי מאל די רעידיאוס פונעם קלענערן אינעווייניגן סירקעל.

ובענין זה איז די טעארעם גאר ענליך ביי אן עסקרייבּד סירקעל. דאס איז ווען איך האב א טרייענגעל און איך עקסטענד די זייטן נאך ווייטער פונעם עק וואו די צוויי זייטן קומען זיך צאם. דערנאך לייג איך א סירקעל וואס רירט פונקט אן ביי נאר איין זייט פונעם טרייענגעל גופא און רירט אויך פונקט אן צו די עקסטענדעד ליינס פונעם טרייענגעל, כזה [אינעווייניג איז דא אן אינסקרייבּד סירקעל]:

0885A07E-A31A-4946-803A-B676919034B1.png

אין אזא פאל איז די סקווער פון די ווייטקייט פונעם צענטער פונעם גרעסערן דרויסענדיגער עסקרייבּד סירקעל [וואס איך רעכען] ביז צום צענטער פונעם אינעווייניגן סירקעל [דעם אינסענטער הנ״ל] זיין דעם רעידיאוס פונעם גרעסערן דרויסענדיגן סירקעל נאכדעם וואס איך לייג צו צוויי מאל דעם רעידיאוס פונעם קליינעם אינעווייניגן סירקעל, טיימס דעם רעידיאוס פונעם גרעסערן דרויסענדיגן.

[מי אני]

ובנוגע ארומנעמען/סירקוּמסקרייבּן שׁעיפּס מיט אנדערע שׁעיפּס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום סייקלאגאן. דאס איז ווען איך נעם א געוויסע שׁעיפּ/פּאַליגאַן, איך לייג דערויף א מארקער, און איך רוֺיל עס אויף די [גראָדע] פלאָר/ליין/ און אזוי פארעמט עס אויס אן אינטרעסאנטע פארעם. די מארקער דארף נישט דוקא זיין מחובר צום וואנט פונעם פּאַליגאַן; אויב איז עס מחובר דערצו אבער דאך אינדרויסן פונעם פּאַליגאַן שאפט דאס א פּראלעיט סייקלאגאן, און אויב איז דאס בתוכו שאפט דאס א קוּרטעיט סייקלאגאן.

דאס איז א משל פון אזא סארט קוּרוו [געשאפן דורך א(ן עקווילאטערעל) טרייענגעל]:

1B2E41B5-ED96-45A5-978F-364C4837EEA6.jpeg

די עריע פון איין אזא אַרטש פון א סייקלאגאן [פון וואו עס רירט אן די ערד ביז׳ן נעקסטן מאל] וועט זיין די עריע פונעם שׁעיפּ/פּאַליגאַן וואס טוהט דאס שאפן בנוסף צו צוויי מאל די עריע פון א סירקל וואס נעמט פונקט ארום/סירקוּמסקרייבּד דעם שׁעיפּ/פּאַליגאַן וואס טוהט שאפן דעם סייקלאגאן.

דאס איז מקושר צו א סארט קוּרוו וואס הייסט א טראָקוֺיד. דאס איז אזא סארט קוּרוו (וואס שאפט אַרטשעס) וואס ווערט געמאכט דורכ׳ן לייגן א מארקער אויף אדער אין א סירקעל און דאס רוֺילן אויפ׳ן ליין. אויב איז די מארקער אויפ׳ן סירקומפרענס פונעם סירקעל ממש [נישט אינדרויסן [פּראלעיט] אדער אינעווייניג [קוּרטעיט]] רופט זיך דאס א סייקלוֺיד. כזה:

43051644-EEF0-4D42-945E-7D7645E43D15.jpeg

די עריע פון איין אזא אַרטש פון א סייקלוֺיד וועט זיין 3 מאל די עריע פונעם סירקעל וואס טוהט דאס שאפן.

עס זענען דא צוויי אינטרעסאנטע פּראפּערטיס אין פיזיקס פון די סארט סייקלוֺיד קוּרווס: די בּראַכיסטאָכראָן קוּרוו און די טאָטאָכראָן/אייסאָכראָן קוּרוו.

דהיינו, ווען איך האב א פּראדזשעקטיל/בּאָל וואס איך הייב אן פון די הייך און איך וויל עס זאל אנקומען צו א פונקט אונטער עס, וואס איז נישט דירעקט אונטער עס, (דורך גראוויטי) איז די דרך/טרעק וואס וועט עס גיבן די שנעלסטע צייט צום ענדגילטיגן פונקט די בּראַכיסטאָכראָן קוּרוו וואס איז א סייקלוֺיד קוּרוו. (דאס איז ווייל דורך די קוּרוו באקומט עס דאס אָוועראָל מאקסימום קינעטישע ענערגיע דורכאויס דאס רייזע. דאס נעמט אן אז מ׳גיבט נישט א שטיפ וכו׳ דאס בּאָל מעיקרא און אז פריקשין שפילט א גאר נעגלידזשיבּל ראלע.) דא ווייזט דאס [די רויטע דרך] אין קאנטראסט צו אנדערע דרכים:

396A41E3-493F-4A20-A291-10B3A07EFA9F.jpeg

א טאָטאָכראָן/אייסאָכראָן קוּרוו איז ענליך אין דעם אז דאס איז א סייקלוֺיד קוּרוו וואס נישט קיין חילוק וואו דערויף איך לייג דאס בּאָל וועט עס אלס אנקומען אונטן צום ענד-פונקט אין די גענויע זעלבע צייט. דאס איז ווייל דאס וואס עס פארלירט אין ווייטקייט פונעם ענד-פונקט פארדינט זי פונקט פראפארציאנאל פון די קינעטישע ענערגיע וואס עס באקומט פונעם הויכקייט. די שנעלקייט אין צייט וועט זיין די סקווער רוּט פונעם רעידיאוס פונעם סירקעל וואס שאפט דעם סייקלוֺיד (איבער די עקסעלערעישן פון גראוויטי). דא איז א בילד וואס איז דאס מסביר; אלע בּאָליס קומען אן די גענויע זעלבע צייט אונטן:

5E2257B9-953A-4884-813E-FAC33367A51E.jpeg

‏דא הא׳מיר דערמאנט דעם ענליכן געדאנק פון עפּיסייקלס. דאס איז מקושר צום עפּיסייקלוֺיד וואס אנשטאטס שאפן אזא קוּרוו אויף א גראדע ליין, שאפט עס דאס אויף אן אנדערן גרעסערן סירקעל. (טאמער איז די מארקער נישט ממש אויפ׳ן סירקומפרענס פונעם סירקעל, נאר אינעווייניג וכדומה, איז דאס אן עפּיטראָטשוֺיד.)

טאמער שאפט די קלענערע סירקעל דעם קוּרוו פון אינעווייניג פונעם גרעסערן סירקעל איז דאס א הייפּאָסייקלוֺיד. טאמער איז די מארקער ביי דעם נישט אויפ׳ן סירקומפרענס פונעם קלענערן סירקעל נאר אינדרויסן איז דאס א הייפּאטראָטשוֺיד.