מאטעמאטיק: פריים נומערן

[מי אני]

IMG_6939.png

ענליך צו דעם אלעם איז דאס די **** ספּיירעל. דאס איז אן ארכימידיען ספּיירעל [וואו די ווייטקייט פון איין רינג צום אנדערן איז די זעלבע, ועיין כאן] וואס יעדע דריי איז צו א פּערפעקט סקווער (2,4,9,16 אא״וו; אזוי ווי מ׳האט מסביר געווען פריער), און אינדערמיט זענען די אנדערע נומערס אייניג אויסגעשפרייט. דערנאך לאזט מען נאר איבער די פּריימס (אלס פּינטעלעך). אין דעם זעהט מען אויך פּאטערנס.

***

עס איז אינטרעסאנט צו וויסן אז עס איז דא א סארט פּריים נומער וואס רופט זיך א מערסען פּריים. דאס איז א סארט פּריים וואס איך נעם 2 און איך גיב דאס עפעס אן עקספּאנענט, און די נומער וואס איז איינס פאר די צאל איז די פּריים. למשל 2² איז 4 און איינס פאר דעם, 3, איז א פּריים. אזוי אויך, למשל, 2⁵ איז 32 און איינס פאר דעם, 31, איז א פּריים.

די גרעסטע ספעציפישע פּריים וואס מ׳ווייסט (ווייל כנ״ל בהאשכול איז דא אן אינפיניט צאל פון פּריים נומערן) איז א מערסען פּריים. עס איז איינס פאר די נומער פון 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ (די נעקסטע זיבן גרעסטע וואס מ׳ווייסט זענען אויך מערסען פּריימס).

בנוגע מערסען פּריימס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם געדאנק פון א פּערפעקט נומער. דאס איז א סארט נומער וואס אויב רעכען איך צאם די סומע פון אלע נומערן וואס קענען דאס דיוויידען אן א רימעינדאר (אן רעכענען דעם עצם נומער אליין), וועל איך צוריק אנקומען צו אט דעם נומער. למשל, 28 קען ווערן דיוויידעד אן א רימעינדאר דורך 1, 2, 4, 7, און 14. אז איך רעכען זיי אלע צאם קומט עס אויס צו 28.

יעצט, דער גרויסער מאטעמאטיקער לעאנהערד אוילער האט אויפגעוואוזן אז אלע איִווען פּערפעקטע נומערן גייען זיין אזעלכע סארט וואס ווען איך נעם א מערסען פּריים און איך מאלטיפּליי עס ביי די נומער וואס איז איינס מער פון איר און נאכדעם צוטייל איך דאס אין האלב, נאר אזא נומער קען זיין אן איִווען פּערפעקט נומער.

מען ווייסט נאך נישט צו עס איז דא אן אינפיניט צאל פון די סארט נומערן, ווי אויך ווייסט מען נאך נישט צו עס איז בכלל דא אן אַדד פּערפעקט נומער (מ׳איז נוטה אויף נישט).

ענליך צו פּערפעקטע נומערן זענען דא די עמיקעבּל נומערן. דאס זענען א פאר פון צוויי נומערן וואס די סומע פון די דיווייזארס פון איינע [די נומערן וואס מען קען איר דיוויידען ביי אן באקומען א רימעינדאר וכנ״ל] איז עולה די אנדערע, וכן להיפך. למשל, די קלענסטע אזא פּאָר איז 220 און 284. די דיווייזארס פון 220 זענען 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, און 110 וואס צוזאמען איז זייער סומע 284. און די דיווייזארס פון 284 זענען 1, 2, 4, 71, און 142 וואס צוזאמען זענען זיי 220. ווי ווייט מען ווייסט וועט ביי אזא פּאָר אדער ביידע נומערן זיין איִווען אדער ביידע אַדד. מען ווייסט אויך נאך נישט צו עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון עמיקעבּל נומערן.

טאמער איז די גרופע מער [למשל די סומע פון איינס איז די אנדערע, וואס די סומע פון יענע אנדערע איז צו א דריטע און נאכדעם ערשט איז עס חוזר חלילה (הגם אזא פּאָר פון דריי האט מען נאך נישט געטראפן; 4 יא)], דעמאלטס ווערט עס גערופן סאָשׁעבּל נומערן.

די סיקווענס (צו איינס ביי פּערפעקטע נומערן, צו צוויי ביי עמיקעבּל נומערן, צו מער ביי סאָשׁעבּל נומערן וכו׳) ווערט אנגערופן אן עליקאַט סיִקווענס. דער מאטעמאטיקער יוּדזשיִן-טשארלס קאטאלאן האט געקלערט אז יעדע עליקאַט סיִקווענס וועט זיך צום סוף ענדיגן מיט א פּריים, אדער 1 [וואס האבן נישט קיין דיווייזארס], אדער א פּערפעקטע נומער [וואס איז אליינס די סומע פון אירע דיווייזארס], אדער א פּאָר פון עמיקעבּל נומערן. עס איז נאך נישט אויפגעוואוזן געווארן.

***

אין דעם שמועס איז אויך אינטרעסאנט צו דערמאנען פערמאט׳ס קליינע טעארעם (לעומת זיין לעצטע טעאריע, באשריבן דא). דאס לויטעט אז יעדע פּריים, אויב מאך איך דאס די עקספּאָנענט פון עפעס א נומער, און דערנאך נעם איך אראפ פון דעם נומער וואס ס׳קומט אויס דעם נומער וואס איך האב אנגעהויבן מיט [דעם בּעיס], וועט די פּריים וואס איך האב גענוצט פאר׳ן עקספּאָנענט זיין א מאָלטיפּל דערפון [מיינענדיג איך וועל עס קענען דיוויידן ביי די פּריים אן קיין רימעינדאר].

לויט דעם טעארעם קומט אויך אויס (טאמער די בּעיס איז נישט קיין מאלטיפל פונעם פּריים) אז טאמער געב איך אן עקספּאָנענט צום בּעיס מיט איינס ווייניגער פון א געוויסע פּריים, וועט דערנאך אז איך נעם די נומער פון איינס ווייניגער ווי די נומער וואס ס׳גייט אויסקומען נאכ׳ן מאכן די עקספּאָנענשיעישאן, זיין א מאלטיפל פון די פּריים.

דאס קען גענוצט ווערן פאר א פּריימעליטי טעסט. דהיינו, אויב טוה איך דאס מיט א געוואוסע נומער אלס א פּריים (לגבי די עקספּאָנענט) און די ענדגילטיגע ענטפער איז נישט א מאלטיפל פונעם נומער וואס איך האב אנגענומען אלס פּריים, ווייס איך אז דאס איז זיכער נישט א פּריים.

***

אויך איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דערין בּערטראנד׳ס פּאַסטוּלעיט. דאס לויטעט אז פאר יעדע נומער גרעסער ווי 3, אויב איך קוק אויף צוויי ווייניגער ווי צוויי מאל די נומער, וועט אלס זיין צום ווייניגסטנס איין פּריים צווישן די נומער מיט וואס איך האב אנגעהויבן אין די נומער וואס איך בין צוגעקומען דערצו נאכ׳ן מאכן צוויי מאל וכו׳ כנ״ל. ווי אויך, סתם אזוי, אז פאר יעדע נומער, צווישן די נומער און דאפעלט די נומער איז זיכער דא כאטש איין פּריים.

***

אויך איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם ווילסאן טעארעם. דאס לויטעט אז א נומער קען נאר זיין א פּריים נומער אויב ווען איך מאלטיפּליי אלע (פּאזיטיווע/געהעריגע) נומערן אונטער דעם און איך לייג צו איינס, וועט דאס קענען ווערן דיוויידעד דורך די פּריים נומער אן קיין רימעינדאר.

[מי אני]

‏3). לעדזשענדרע׳ס קאָנדזשעקשור. דאס איז א קאָנדזשעקשור פונעם פראנצויזישן מאטעמאטיקער עידריען-מערי לעדזשענדרע וואס וויל זאגן אז אויב מ׳נעמט די סקווער פון איין נומער [יענע נומער מאל יענע זעלבע נומער] און די סקווער פון די נומער גראד נאכדעם, וועט אלס זיין א פּריים צווישן די צוויי סקווערס.

(דאס ווייסט מען אז די חילוק צווישן צוויי פּריימס איז נישט מער ווי צוויי מאל די סקווער רוט פון די פּריים וואס מ׳האט.

ענליך צו דעם איז דא בּראָכאַרד׳ס קאָנדזשעקשור. דאס האלט אז צווישן איין פּריים נומער ווען איך סקווער עס און די נעקסטע פּריים נומער וואס קומט נאך דעם און איך סקווער דאס אויך, וועלן זיין צווישן זיי פיר פּריימס [צווישן די צאלן וואס איך האב נאכ׳ן זיי ביידע סקווערן]. מ׳חשבונ׳ט(...) אז דאס איז אמת, אבער עס איז נאך נישט אויפגעוואוזן.

***

און ענליך אביסל צו גאלדבאך׳ס קאנדזשעקטשור און טשען׳ס טעארעם איז דא לעמוֺין׳ס קאנדזשעקטשור. דאס האלט אז יעדע אַדד נומער גרעסער ווי 5 קען ווערן צאמגעשטעלט ווי די סומע פון אן אַדד פּריים און אן איִווען סעמי-פּריים [א נומער וואס איך באקום נאכ׳ן מאלטיפלייען צוויי פּריימס כנ״ל בהאשכול].

ענליך צו דעם האט דער כינעזער מאטעמאטיקער סאָן זשיוועי קאנדזשעקטשורד אז יעדע אַדד נומער גרעסער ווי 3 קען ווערן צאמגעשטעלט דורכ׳ן מאלטיפלייען א נומער מיט די נומער נאכדעם [א פּראַניק נומער] און דערנאך דאס עדדן מיט א פּריים.

מ׳האט זיי נאכנישט אויפגעוואוזן.

***

אויך אינטרעסאנט אין דעם איז אָפּערמאן׳ס קאָנדזשעקטשור. דאס האלט אז צווישן יעדע פּאָר פון א סקווער נומער [א נומער וואס איז די פּערפעקט סקווער פון א גאנצע נומער מאָלטיפּלייד ביי זיך אליין] און די נענסטע פּראַניק נומער [א נומער וואס ווערט צאמגעשטעלט דורך די מאָלטיפּליקעישאן פון א נומער מיט די נומער גראד נאך איר כנ״ל] וועט זיין צום ווייניגסט׳נסט איין פּריים.

***

אינעם שמועס פון פּערפעקטע נומערן איז אויך דא עבּאָנדענט נומערן. דאס איז ווען די סומע צוזאמען פון אלע דיווייזארס פון א נומער [נומערן וואס מען קען דיוויידן די נומער אן א רימעינדאר כנ״ל] זענען מער ווי די נומער אליין. למשל, די דיווייזארס פון 12 זענען 1,2,3,4, און 6 וואס צוזאמען זענען זיי 16.

אין דעם זענען דא נומערן וואס מ׳רופט סעמי-פּערפעקט. דאס איז ווען צוזאמען זענען טאקע אלע דיווייזארס מער ווי די עצם נומער, אבער א חלק פון זיי צוזאמען זענען יא די סומע פונעם עצם נומער. אונזער פריערדיגע משל פון 12 איז סעמי-פּערפעקט, וויבאלד אויב נעמט מען נאר אלע דיווייזארס אחוץ 4 קומט עס יא אויס צו 12.

אין דעם אליין זענען דא מאדנע נומערן. דאס זענען עבּאָנדענט נומערן וואס זענען נישט סעמי-פּערפעקט. 70 איז די קלענסטע אזא נומער. אירע דיווייזארס זענען 1, 2, 5, 7, 10, 14, און 35 וואס צוזאמען זענען זיי 74, אבער קיין איין סעט פון אירע נומערן צוזאמען וועלען נישט אנקומען צו 70.

מ׳ווייסט נישט אויב עס איז דא אזא זאך ווי אן אַדד מאדנע נומער. די קלענסטע אַדד עבּאָנדענט נומער איז 945.

ס׳איז אויך דא אזא קאנצעפט ווי א קוואַסי-פּערפעקט נומער. דאס איז א פּערפעקט נומער ווי איך דארף נישט נוצן די נומער 1 (ווי אויך נישט די עצם נומער, וואס איך נוץ אויך נישט ביי סתם אזוי פּערפעקטע נומערן) פון אירע דיווייזארס אויף אנצוקומען צום עצם נומער. מ׳ווייסט נישט צו אזא נומער עקזיסטירט.

ובענין זה איז אויך דא די עבּאָנדענסי אינדעקס. דאס איז ווען איך רעכען אויך אלס א דיווייזאר די עצם נומער, און דערנאך רעכען איך צאם די אלע דיווייזארס און איך דיווייד דאס ביי די עצם נומער.

יעצט, צוויי אדער מער עבּאָנדענט אדער אפילו פּערפעקט נומערן וואס זייערע (אלע) דיווייזארס צוזאמען זענען די זעלבע גרעסער פראפארציאנאל ווי זייערע עצם נומערן ווערן גערופן פריינטליכע נומערן. דאס הייסט טאמער ווען איך דיווייד יעדע פון די עבּאָנדענט אדער, אין אונזער פאל, אפילו פּערפעקטע נומערן׳ס גרעסערע צאל וואס איך האב באקומען פון די סומע פון (אלע) אירע דיווייזארס ביי זייער עצם נומער פון וואו זיי קומען, און איך קום ביי יעדעס איינס אן צום זעלבן נומער [די עבּאָנדענסי אינדעקס], זענען זיי פריינטליכע נומערן.

למשל, 6 איז א פּערפעקטע נומער כנ״ל און (אלע) אירע דיווייזארס 1,2,3 און 6 זענען 12. ווען איך דיווייד דאס ביי 6 קום איך אן צו אן עבּאָנדענסי אינדעקס פון 2. יעדע פּערפעקטע נומער האט אזא עבּאָנדענסי אינדעקס (ווייל ביי יעדע לייג איך דאך צו דעם עצם נומער אלס דיווייזאר, וואס בנוסף צום עצם דיווייזארס וואס קומען שוין ממילא אויס צום עצם נומער, גייט עס דאך אויסקומען צו דאפעלט, וממילא גייען זיי אלעמאל אנקומען צו אן עבּאָנדענסי אינדעקס פון 2), וממילא זענען אלע פּערפעקטע נומערן אויך פריינטליך.

טאמער האט עס נישט אזא אייניגע ״חבר״ ווערט עס אנגערופן א סאליטערי נומער.

אין דעם געדאנק פון עמיקעבּל נומערן איז דא בּעטרוֺידט/קוואסי-עמיקעבּל נומערן. דאס זענען אזוי ווי א סעט פון צוויי עמיקעבּל נומערן אבער אנשטאט פון די סומע פון די דיווייזארס זאלן זיין איינע די אנדערע, איז די סומע פון איין נומער׳ס דיווייזארס איינס מער ווי די אנדערע עצם נומער.

למשל, 48 און 75 זענען אזא סארט פּאָר פון בּעטרוֺידט/קוואסי-עמיקעבּל נומערן. די דיווייזארס פון 48 זענען 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, און 24. צוזאמען זענען זיי 76; איינס מער פון 75. און די דיווייזארס פון 75 זענען 1, 3, 5, 15, און 25 וואס זייער צאל צוזאמען איז 49; איינס מער פון 48.

אלע אזעלכע סעטס וואס מ׳ווייסט פון זענען איינס אן איִווען נומער און די אנדערע אַדד.

***

בנוגע איִווען נומערן און צווילינג פּריימס איז דא דוּבּנער׳ס קאנדזשעקטשור וואס לויטעט אז יעדע איִווען נומער וואס איז גרעסער ווי 4208 איז די סומע פון צוויי צווילינג פּריימס. עס איז נאכנישט אויפגעוואוזן געווארן.

אויב ווייזט מען דאס אויף ווייזט מען אטאמאטיש אויף סיי גאלדבאך׳ס קאנדזשעקטשור [ווייל אלע איִווען נומערן ביז אהין ווייסן מיר אז ס׳זענען צאמגעשטעלט פון צוויי (סתם) פּריימס] און סיי די צווילינג פּריימס קאנדזשעקטשור [ווייל אויב איז דאס אויפגעוואוזן פאר אלע איִווען נומערן וואס זענען אינפיניט, זענען דאך די צווילינג פּריימס אויך אינפיניט].

***

ובנוגע די אויבן-דערמאנטע ווילסאן טעארעם איז דא א ווילסאן פּריים. דאס איז זייער ענליך צום טעארעם (וואס איז אויפגעוואוזן) נאר עס איז א סארט פּריים וואס ווען איך סקווער עס וועט עס קענען דיוויידען אלע נומערן אונטער זיך נאכדעם וואס איך האב זיי אלע מאָלטיפּלייד צוזאמען און צוגעלייגט איינס. ביזדערווייל ווייסט מען נאר פון 3 אזעלכע פּריימס [5, 13, און 563]. מ׳קלערט אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס.

***

ענליך צו פערמאט׳ס קליינע טעארעם איז דא א סארט פּריים וואס רופט זיך א וויפעריך פּריים. דאס איז אזא סארט פּריים וואס די פּריים סקווערד וועט קענען דיוויידן (אן א רימעינדאר) די נומער וואס איך באקום ווען 2 האט אלס אן עקספּאנענט איינס ווייניגער ווי די פּריים און נאכ׳ן טוהן די עקספּאָנענשיעישאן דערנאך אראפנעמען 1 דערפון. ביזדערווייל ווייסט מען נאר פון צוויי אזעלכע פּריימס: 1093 און 3511.

***

אביסל ענליך צו צווילינג פּריימס זענען סאָפי דזשערמעין פּריימס. דאס זענען פּריים נומערן וואס ווען איך דאפּל זיי און גיב צו איינס איז יענע נומער אויך א פּריים. מ׳ווייסט אויך נישט צו ס׳דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס.

[מי אני]

אין דעם געביט איז דא די פּריים נומער טעארעם. דאס לויטעט אז די צאל פון וויפיל פּריימס עס זענען דא ביז א געוויסע נומער איז בערך יענע געוויסע נומער דיוויידעד ביי די עקספּאנענט פון אוילער׳ס נומער [e; 2.718...] וואס וועט מיר ברענגען צו יענע געוויסע נומער (דהיינו די נאטורליכע לאגעריטם פון יענע געוויסע נומער, קוק דא וואו מ׳האט אביסל מסביר געווען לאגעריטעמס). וואו גרעסער די ״געוויסע נומער״ נומער איז אלס מער קומט מען צו צו א מער פונקטליכער צאל פון וויפיל פּריימס עס זענען דא ביז אהין.

אויב דיווייד מען 1 ביי די נאטורליכע לאגעריטם פון די ״געוויסע נומער״, גיבט עס דיר די בערכ׳דיגע/עוורידזש (בפראבעביליטי וכנ״ל) ווי גרויס א געפּ איז דא צווישן איין פּריים און די נעקסטע ביז די געוויסע נומער. אין אנדערע ווערטער, עס וועט דיר גיבן די פראבעביליטי אז אויב דו ביזט בורר איינע פון די נומערן ביז די געוויסע נומער, וואס איז די פראבעביליטי אז עס וועט זיין א פּריים.

[ואידך]

איך האב א שוועריקייט צו פארשטיין פארוואס פריים נומערן ווערן באטראכט ווי די יסודות פון אלע אנדערע נומערן.

פשוט זעהט אויס אז קאמפאזיט נומערן זענען נישט קיין נייע מציאות נאר פשוט א פראדוקט פון פריימס, למשל 6 איז נישט באמת קיין נומער, נאר א צוויי מאל אן אנדערע נומער (3).
קומט אויס אז האבנדיג נומערן 2 און 3 דארפן מיר שוין גארנישט מער אויף צו קענען משיג זיין 6.

אבער לכאורה קען מען זאגן די זעלבע זאך אויף 7. איה"נ זי איז נישט קיין פראדוקט פון קיין שום צוויי אנדערע עקזיסטירנדע נומערן, אבער וויבאלד מיר האבן שוין די נומערן 1 און 6 קען מען דאך באקומען 7 מיט addition?

קומט אויס אז מיר קענען טאקע נישט רעפרעזענטירן די נומער 7 אין 2 dimensional space אן מחדש זיין א נייע נומער, קענען מיר אבער פארט רעפרעזנטירן 7 אין א 1 dimensional line דורך פשוט קאמביינען צווי עקזיסטירנדע נומערן (6 און 1)?

ביטע קען איינער אויפקלערן אויב דאס איז סתם עמאראצעס אדער וואס ס'ווערט שוין גערעדט דערוועגן אין די הייליגע ספרים?

[מי אני]

ווי אזוי איך פארשטיי איז איה״נ. מ׳דארף אבער געדענקען אז די דעפיניציע פון ״פּריים״ מעיקרא איז דייקא עפ״י דיוויזשאן[/מאלטיפליקעישאן; איר אינווערס]: צו איך קען דאס צוטיילן/דיוויידען אין צו אן אנדערע גאנצע נומער. אין אנדערע ווערטער, די פונדאמענטאלע טעארעם פון אריטמעטיק זאגט אז איינמאל איך באטראכט נומערן לויט ווי אזוי איך קען זיי צוטיילן [פּריים אדער קאמפּאזיט], מיינענדיג דיוויזשאן/מאלטיפליקעישאן, דעמאלטס איז יעדעס (קאמפּאזיט) נומער געבויט דורך מאלטיפליקעישאן אין א באזונדערע יוּניִק ספעציפישע וועג פון וועלכע פּריימס (דוקא) און וויפיל פון זיי פונקטליך (אדער גייט די נומער אליין זיין א פּריים).

ולכאורה אריינצוברענגען נאכדעם עדישאן גייט דאך שוין ווייטער ווי די גבולים פון די דעפיניציע פון ״פּריים״ כנ״ל מיט וואס מ׳האט אנגעהויבן (ביז 6 אינעם פריערדיגן משל; אין יענעם משל איז עס אזוי ווי גיין פון 2D דערנאך צו 1D). (מ׳קען אויף דעם אפשר ענטפערן אז ״מאלטיפליקעישאן״ בכלל איז מיסודו ריפּיִטעד עדישאן. אבער ביי פּריימס איז דאך דאס נישט געהעריג שייך צו זאגן בּיאַנד די גבול פון מאלטיפליקעישאן. מיינענדיג אז א פּריים באדייט אז איך קען נישט מאכן דערויף קיין שום ריפּיִטעד סאָבּטרעקשאן, דאס אינווערס פון עדישאן, אויף צו באקומען אן אנדערע גאנצע נומער.)

ובסתם, דאס ״באזונדערקייט״ חלק וואס די טעארעם טוהט אויף איז נישט שייך ביי בויען נומערן דורך עדישאן ואפילו אליין, וואו איך קען צאמשטעלן א נומער דורך אנדערע סארט סיִקווענסעס פון אנדערע נומערן און זיי זאלן נאך אלס אנקומען צו יענע נומער. דאס איז וויבאלד איך האב נישט א נומער ביי דעם וואס זאל האבן א סיבה צו זיין מער יסודי ווי אן אנדערע.

כנלפענ״ד.

[מי אני]

בנוגע מערסען פּריימס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם געדאנק פון א פּערפעקט נומער. דאס איז א סארט נומער וואס אויב רעכען איך צאם די סומע פון אלע נומערן וואס קענען דאס דיוויידען אן א רימעינדאר (אן רעכענען דעם עצם נומער אליין), וועל איך צוריק אנקומען צו אט דעם נומער. למשל, 28 קען ווערן דיוויידעד אן א רימעינדאר דורך 1, 2, 4, 7, און 14. אז איך רעכען זיי אלע צאם קומט עס אויס צו 28.

עס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען אז דער אידישער פילאזאף פילון פון אלכסנדריא האט געהאלטן (אלס א סארט השפעה פון פּיטאגאריסם) אז דאס וואס די תורה זאגט אז הקב״ה האט באשאפען די וועלט אין 6 טעג איז אלס דאס וואס 6 איז די קלענסטע פּערפעקט נומער: אירע דיווייזארס [אנע רימעינדאר] זענען 3,2,1 וואס צוזאמען קומען זיי אן צוריק צו די עצם נומער פון 6.

[מי אני]

דער דייטשער מאטעמאטיקער פּיטער גוסטאוו דיריקלעט האט אויפגעוואוזן אז אויב איך עדד צוזאמען צוויי נומערן וואס ביידע האבן אן אייניגע פאקטאר מיט וואס איך קען זיי ביידע דיוויידען אינגאנצן אן א רימעינדאר, און דערנאך גיי איך האלטן אין איין עדדן איינע פון די נומערן צו זיי וועט די סומע אלס האבן די פאקטאר. למשל, אויב איך עדד צוזאמען 6 מיט 15, וואס ביידע האבן 3 אלס א פאקטאר, באקומענדיג 21 (וואס האט אויך 3 אלס א פאקטאר) און דערנאך האלט איך אין איין צולייגן 6, וועט יעדע סומע דערפון האבן 3 אלס א פאקטאר [27, 33 אא״וו]. דאס זעלבע אויב איך האלט אין איין צולייגן 15 נאכדעם [36, 51 אא״וו].

אבער אויב די ביידע נומערן האבן נישט קיין אייניגע פאקטארן דעמאלטס אויב טוה איך ווייטער דעם פראצעדור, איך עדד ווייטער און ווייטער איינע פון די נומערן צו דעם רעזולטאלט, וועט דאס אָלטימעטלי גיבן אן אינפיניט צאל פון פּריים נומערן (צוזאמען, פארשטייט זיך מיט אן אינפיניט צאל פון נישט-פּריים נומערן).

***

בכלל איז אינטרעסאנט צו דערמאנען דאס זיפּ פון עראטאסטעניס. דאס איז א (טעארעטישע) וועג פון טרעפן אלע פּריים נומערן. עס ארבעט אזוי: איך שרייב ארויס אלע נומערן (טעארעטיש גערעדט) און דערנאך הייב איך אן פון די ערשטע פּריים וואס איז 2 און פון דארט נעם איך אוועק יעדע צווייטע נומער: אזוי ווי די נומער 2. דערנאך גיי איך צום ערשטן נומער וואס איז איבערגעבליבן, וואס אין די פאל איז עס 3 און פון דארט נעם איך אוועק יעדעס דריטע נומער (אויב עס איז נאכנישט אוועקגענומען געווארן): אזוי ווי די נומער 3. דערנאך גיי איך צום נעקסטן נומער וואס איז איבערגעבליבן, 5, און איך נעם אוועק פון דארט יעדעס פיפטע נומער (אויב עס איז נאכנישט אוועקגענומען געווארן): אזוי ווי די נומער 5. און אזוי ווייטער און ווייטער, וועל איך צום סוף איבערבלייבן מיט אלע פּריים נומערן.

***

אין די סוגיא פון פּריימס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם טוישענט פאנקשען, נאטירט אלס Φ. דאס, אויף א געוויסע נומער וואס דו וועלסט, רעכענט ווי סאך נומערן אונטער דאס האבן נישט קיין אייניגע דיווייזארס (חוץ 1). למשל, די נומער 8 האט א טויטעטיוו נומער פון 4, ווייל נאר די (נאטורליכע) נומערן אונטער עס פון 1,3,5,7 האבן נאר 1 אלס זייער דיווייזאר אייניג מיט 8. עס וועט אויסקומען אז די טויטעטיוו פון עני פּריים נומער איז 1 ווייניגער ווי די פּריים, ווייל עס אלע נומערן אונטער עס האבן נאר 1 אלס אן אייניגע דיווייזאר מיט איר.

***

ובנוגע מערסען פּריימס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו שטורמער נומערן. דאס זענען נומערן וואס אויב נעם איך דאס נומער און איך סקווער עס [מאלטיפּליי עס ביי זיך אליין] און איך לייג נאכדעם צו איינס, וועט די גרעסטע פּריים וואס קען דאס דיוויידן זיין מער ווי דאפעלט די אריגינעלע נומער. למשל, 28*28+ 1 = 785. די גרעסטע פּריים וואס קען דאס דיוויידן איז 157 וואס דאס איז גרעסער ווי צוויי מאל 28 (דהיינו 56), וממילא איז 28 א שטורמער נומער.

***

viewtopic.php?f=19&t=14094

[מי אני]

בנוגע פּערפעקט נומערן, וויבאלד בעצם ביי דעם רעכענט מען נישט די עצם נומער אליין אלס א פאקטאר, איז עס די זעלבע ווי זאגן אז אויב רעכענט מען יא דעם עצם נומער דעמאלטס וועט א פּערפעקט נומער מיינען אז די סומע פון אלע אירע פאקטארן איז דאפעלט די נומער אליין. דאס פירט אריין צו דעם געדאנק פון טרייפּערפעקט נומערן. דאס מיינט א נומער וואס די סומע פון אירע פאקטארן איז דריי מאל די עצם נומער. עס זענען דא זעקס אזעלכע נומערן פון וואס מ׳ווייסט און, אנדערש ווי ביי פּערפעקט נומערן וואס מ׳קלערט אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון זיי, קלערט מען אז דאס איז אלעס וואס עס זענען דא. דאס איז וויבאלד מ׳ווייסט אז טאמער איז דא אן אַדד פּערפעקט נומער, וועט צוויי מאל די אַדד פּערפעקט נומער זיין א טרייפּערפעקט נומער. און וויבאלד מ׳איז חושש אז עס זענען נישטא קיינע אַדד פּערפעקט נומערן איז עס א שטיקל צייגונג אז עס זענען עכ״פ נישטא קיין אינפיניט צאל פון טרייפּערפעקט נומערן און דאס וואס מ׳האט געטראפן איז עס.

דאס קען ווערן דזשענערעלייזט ווייטער אז דאס אלעס איז אין כלל פון k-פּערפעקט נומערן. ביי געהעריגע פּערפעקט נומערן איז k די נומער 2 און ביי טרייפּערפעקט נומערן איז k די נומער 3. ולמשל, עס זענען אויך דא 4-פּערפעקט נומערן, וואס די סומע פון די נומער׳ס פאקטארן זענען 4 מאל די נומער, און 5-פּערפעקט נומערן אא״וו. מ׳קלערט אויך אז זיי זענען פיניט.

*

אויך איז אינטרעסאנט צו דערמאנען בנוגע פּערפעקט נומערן אז יעדע פּערפעקט נומער וועט אויך זיין אן אָר הארמאניק נומער. אן אָר הארמאניק נומער איז אזא סארט נומער וואס אירע דיווייזארס/פאקטארן גייען האבן א הארמאניק מיען (עיין כאן) וואס איז א גאנצע נומער; אן אינטעדזשער. די פּרוּף דערפון קומט צושטאנד וויבאלד מ׳האט אויפגעוואוזן אז א פּערפעקט נומער מוז האבן אן איִווען סומע פון דיווייזארס (וואס וועט באדייטן אז א פּערפעקט סקווער קען נישט זיין קיין פּערפעקט נומער, וויבאלד די דיווייזארס פון א פּערפעקט סקווער נומער זענען אַדד), און אז אויב איך רעכן צאם די רעסיפּראקעלס פון די דיווייזארס פון א פּערפעקט נומער וועט דאס אלס אויסקומען צו א סומע פון 2. און די (געהעריגע) עוורידזש פון אזא סארט נומער וועט ממילא זיין 2 [וואס איז דאך די סומע פון די רעסיפּראקעלס פון די דיווייזארס] דיוויידעד ביי די [איִווען] צאל פון דיווייזארס, טיימס די עצם נומער. דאס וועט אלס זיין א גאנצע נומער [אינטעדזשער].

[מי אני]

דער אונגארישער מאטעמאטיקער דר. דזשארדזש פּאָליאַ האט קאנדזשעקטשורד אז אויב איך וועל וועלן עני נומער וועלן רוב [מער ווי 50%] נומערן אונטער דעם האבן אן אַדד צאל פון פּריים פאקטארן [יעדעס מאל איך דארף נוצן א פּריים, אפילו ס׳איז די זעלבע, רעכען איך עס]; דאס ווערט גערופן די פּאָליאַ קאנדזשעקטשור. דער ענגלישער מאטעמאטיקער דר. קאלין בּרייען האסעלגרויוו האט אויפגעוואוזן אז דאס איז פאלש. די קלענסטע נומער וואו עס איז נישט אזוי [פאר די נומערן אונטער עס] איז 906,150,257.

***

בנוגע פּריים געפּס [די סומע/לענג צווישן איין פּריים און דעם צווייטן] איז דא אנדריקא׳ס קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז די געפּ פון יענע פּריים וואו מ׳האלט און די נעקסטע פּריים וועט אלס זיין ווייניגער ווי צוויי מאל די סקווער רוּט פון די וויפילטע פּריים דאס איז [אין אָרדער פון אנהייב די נומערן; פון 2 זייענדיג די ערשטע פּריים] און נאכדעם צולייגן דערצו 1.

***

אויך איז דא אין דעם פירוּזבּאחט׳ס קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אזוי: איך הייב אן מיט די ערשטע פּריים, וואס דאס איז 2, און זייענדיג דאס ערשטע נעם איך דערפון די ״1״ רוּט וואס דאס איז די נומער אליין 2. דערנאך איז די צווייטע פּריים 3 און זייענדיג די צווייטע נעם איך דערפון די צוויי/סקווער רוּט דערפון, דהיינו איך וויל וויסן וועלכע נומער טיימס וועלכע די זעלבע נומער גייט אנקומען צו 3, וואס דאס איז בערך 1.7321. דערנאך איז די דריטע פּריים 5 און זייענדיג די דריטע נעם איך דערפון די דריי/קיוּבּיק רוּט, דהיינו איך וויל וויסן וועלכע נומער טיימס וועלכע די זעלבע נומער טיימס וועלכע די זעלבע נומער [דריי מאל] גייט אנקומען צו 5, וואס דאס איז בערך 1.7300. וכן הלאה גיי איך אין די זעלבע פּעטערן: די רוּט פונעם פּריים לויט די וויפילטע עס איז. די קאנדזשעקטשור לויטעט אז די ענפערס וועלן אלס ווערן ווייניגער און ווייניגער.

***

ובנוגע די טוישענט פאָנקשען איז דא אין דעם די קארמייקעל קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז יעדעס נומער וועט האבן (צום ווייניגסטענס) אן אנדערע נומער וואס האט די זעלבע טויטעטיוו ווי איר. דער מאטעמאטיקער דר. ראבערט קארמייקעל האט געמיינט אז ער האט א פּרוּף דערויף אבער עס האט זיך א ארויסגעשטעלט אלס נישט ריכטיג וממילא איז עס געבליבן א קאנדזשעקטשור לעת עתה.

***

אויך איז דא אזא סארט נומער וואס מ׳רופט א מאכטפולע נומער. דאס איז אזא סארט נומער וואס יעדע פּריים וואס קען דאס געהעריג דיוויידן אן א רימעינדאר, קען די סקווער פון יענע פּריים דאס אויך דיוויידן אן א רימעינדאר. עס גייט אויסקומען אז יעדעס מאכטפולע נומער גייט קענען צאמגעשטעלט ווערן פון אן אינטעדזשער וואס מ׳סקווערט טיימס אן אנדערע אינטעדזשער וואס מ׳קיוּבּט.

אין דעם איז דא די ערדאס, מאָלין, און וואלש קאנדזשעקטשור וואס לויטעט אז עס זענען נישט דא קיין דריי מאכטפולע נומערן נאכאנאנד אין א רייע.

עס איז אויך אינטרעסאנט צו באמערקן אז די סומע פון אלע רעסיפּראקעלס פון די מאכטפולע נומערן וועט זיין די זעטאַ פאָנקשען פון 2 טיימס די זעטאַ פאָנקשען פון 3 דיוויידעד ביי די זעטאַ פאָנקשען פון 6.

אויך איז דא א סקווער-לאזע נומער. דאס מיינט א נומער וואס א נומער וואס איז א סקווער פון א גאנצע נומער (למשל 9 וואס איז 3²) וועט נישט זיין איינע פון אירע דיווייזארס און וועט דאס נישט קענען דיוויידן אן א רימעינדאר. יעדעס נאטורליכע נומער קען ווערן צאמגעשטעלט אלס די פראדוקט פון א מאכטפולע נומער און א סקווער-לאזע נומער [איינס טיימס די צווייטע] ווען ביידע זענען קאָפּריים [זיי פארמאגן נישט קיינע אייניגע פּריים פאקטארן/דיווייזארס]. ווי אויך קען יעדעס נאטורליכע נומער ווערן צאמגעשטעלט אלס די פראדוקט פון א סקווער מיט א סקווער-לאזע נומער.

[מי אני]

אין דעם זענען דא נומערן וואס מ׳רופט פּערמוּטעבּל פּריימס. דאס זענען פּריימס וואס נישט קיין חילוק ווי אזוי מ׳וועט אויסשטעלן די דידזשיטס דערין וועט עס נאך אלס זיין א(ן אנדערע) פּריים (ווענדענדיג זיך אינעם בּעיס סיסטעם וואס מ׳נוצט).

אונטער דעם סוג זענען, פארשטייט זיך, פּאלינדראמיק פּריימס, כגון 151, וואס אז איך דריי עס אויס צוריקצווועגס איז עס די זעלבע נומער.

ווי אויך איז אונטער דעם סוג דא די עמירפּס [״עמירפּ״ איז ״פּריים״ צוריקצווועגס אין ענגליש]. דאס איז ווען אויב איך דריי אויס די דידזשיטס פונעם פּריים וועט עס זיין אן אנדערע פּריים (נישט קיין פּאלינדרוים). למשל, 13 איז אן עמירפּ, ווייל עס איז א פּריים וואס ווען איך דריי אויס אירע דידזשיטס צוריקצווועגס, 31, איז עס אויך א פּריים. אין דעם איז דא שפיגל עמירפּס. דאס איז ווען איך דריי אויס די דידזשיטס פונעם פּריים וועל איך אויך אויסדרייען די דידזשיטס פון די ״וויפילטע״ פּריים עס איז פון אנפאנג. למשל, 37 איז א שפיגל עמירפּ ווייל עס איז די 12׳טע פּריים נומער, און איר עמירפּ, 73, איז די 21׳סטע פּריים; איך האב אויך ארומגעדרייט די פלאץ נומער׳ס דידזשיטס פון 12 צו 21.

***

‏

אינעם שמועס פון פּערפעקטע נומערן איז אויך דא עבּאָנדענט נומערן. דאס איז ווען די סומע צוזאמען פון אלע דיווייזארס פון א נומער [נומערן וואס מען קען דיוויידן די נומער אן א רימעינדאר כנ״ל] זענען מער ווי די נומער אליין. למשל, די דיווייזארס פון 12 זענען 1,2,3,4, און 6 וואס צוזאמען זענען זיי 16.

אין דעם זענען דא נומערן וואס מ׳רופט סעמי-פּערפעקט. דאס איז ווען צוזאמען זענען טאקע אלע דיווייזארס מער ווי די עצם נומער, אבער א חלק פון זיי צוזאמען זענען יא די סומע פונעם עצם נומער. אונזער פריערדיגע משל פון 12 איז סעמי-פּערפעקט, וויבאלד אויב נעמט מען נאר אלע דיווייזארס אחוץ 4 קומט עס יא אויס צו 12.

אין דעם אליין זענען דא מאדנע נומערן. דאס זענען עבּאָנדענט נומערן וואס זענען נישט סעמי-פּערפעקט. 70 איז די קלענסטע אזא נומער. אירע דיווייזארס זענען 1, 2, 5, 7, 10, 14, און 35 וואס צוזאמען זענען זיי 74, אבער קיין איין סעט פון אירע נומערן צוזאמען וועלען נישט אנקומען צו 70.

מ׳ווייסט נישט אויב עס איז דא אזא זאך ווי אן אַדד מאדנע נומער. די קלענסטע אַדד עבּאָנדענט נומער איז 945.

אין דעם איז דא נאך ווייטער די געדאנק פון אן אָנטאָטשעבּל נומערן. דאס איז א נומער וואס די סומע פון אלע פּראַפּער דיווייזארס [וואס דיוויידן די נומער אן קיין רימעינדאר] פון עני נומער צוזאמען גייען נישט אנקומען צו די נומער. 5 איז די איינציגסטע אַדד אָנטאָטשעבּל נומער [יעדע נומער האט דאך 1 אלס א דיווייזאר וממילא צו מאכן 5 גייט מען דארפן אן אנדערע נומער וואס דאס איז 4. אבער אויב האט די נומער 4 אלס א דיווייזאר גייט עס דאך האבן 2 אויך, וממילא גייט די סומע צוזאמען שוין זיין מער ווי 5]. אלע אנדערע וואס מ׳ווייסט זענען איִווען. מ׳ווייסט נישט צו עס זענען דא נאך אַדד אָנטאָטשעבּל נומערן.

[מי אני]

בנוגע מערסען פּריימס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם געדאנק פון א פּערפעקט נומער. דאס איז א סארט נומער וואס אויב רעכען איך צאם די סומע פון אלע נומערן וואס קענען דאס דיוויידען אן א רימעינדאר (אן רעכענען דעם עצם נומער אליין), וועל איך צוריק אנקומען צו אט דעם נומער. למשל, 28 קען ווערן דיוויידעד אן א רימעינדאר דורך 1, 2, 4, 7, און 14. אז איך רעכען זיי אלע צאם קומט עס אויס צו 28.

עס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען אז דער אידישער פילאזאף פילון פון אלכסנדריא האט געהאלטן (אלס א סארט השפעה פון פּיטאגאריסם) אז דאס וואס די תורה זאגט אז הקב״ה האט באשאפען די וועלט אין 6 טעג איז אלס דאס וואס 6 איז די קלענסטע פּערפעקט נומער: אירע דיווייזארס [אנע רימעינדאר] זענען 3,2,1 וואס צוזאמען קומען זיי אן צוריק צו די עצם נומער פון 6.

לייבניץ האט געהאט א טרוים פון א יוניווערסאלע שפראך [כאראקטעריסטיקא יוניווערסאליס] וואס קען אלעס אין זיך ענקוידן לגמרי אויף א לאגישן און מאטעמאטישן וועג. והיינו, אז יעדעס סימבאל דערפון זאל שוין באדייטן א קאנסעפט [אן אידעאגראם/ף] און פון זייער צאמשטעל קומען ארויס קא-קאנצעפטן אא"וו. ער האט געהאלטן אז די סימבאלן זאלן זיין/זענען [בשורשם] דאס "אלפאבעט פון מענטשליכע מחשבה".

ער האט צוגעגליכן די יסודות'דיגע סימבאלן צו פריים נומערן אין מאטעמאטיק וואס זענען די פומדאמענטן וואס פון זיי בויט מען אויף אלע אנדערע נומערן וככל הנ"ל. פאר אינטרעסאנטקייט האט ער דאס געהאט געזאגט אלס א משל:

Leibniz.jpg

[מי אני]

אין דעם געביט איז דא א פאָרטוּנעט נומער. צום ערשט דארף מען מסביר זיין דאס געדאנק פון א פּרימאָריעל. דאס איז אויב בעהט איך די ״פיפטע פּרימאָריעל״ מיינט דאס אז איך וויל די פּראדוקט/ענטפער ווען איך מאָלטיפּליי צאם די ערשטע פינעף פּריימס א 1 [2, 3, 5, 7, און 11] וואס קומט אויס צו 2310. אין מאטעמאטיקס האט דאס די # סימבאל. עס איז ענליך צום געדאנק פון א פעקטאריעל.

עס איז טאקע דא א קשר צווישן דאס פּרימאָריעל און דאס פאקטאריעל וואס איז דורך דאס קאַמפּאַזיטאריעל. א קאַמפּאַזיטאריעל איז דאס פונקט פארקערטע פונעם פּרימאריעל, והיינו אז ווען איך גיב א נומער וויל איך אז מ׳זאל צאממאָלטיפּלייען אלע נישט-פּריים נומערן/קאַמפּאַזיט נומערן ביז אהין. עס גייט אויסקומען אז ווען איך גיב א געוויסע נומער ביז וואו איך וויל מאכן דעם קאַמפּאַזיטאריעל וועט די ענטפער/פראדוקט זיין ווי ווען איך נעם די פעקטאריעל פראדוקט ביז/ביי יענעם נומער און איך דיווייד דאס ביי די פראדוקט פונעם פּרימאריעל ביז יענעם נומער. די סיבה דערצו איז פשוט פארשטענדליך, וויבאלד די פעקטאריעל טוהט דאך צאממאָלטיפּלייען אלע נומערן אונטער/ביז די נומער. און אז מ׳דיווייד די ענטפער דערנאך ביים פּרימאריעל ביז דעם נומער מיינט דאס אז איך בין מבטל די חלק המאלטיפּליקעישאן פון די פּריים נומערן ביז דעם נומער [דיוויזשאן איך דאך דאס פארקערטע פון מאָלטיפּליקעישאן] און עס איז כאילו איך האב מעיקרא נאר מאָלטיפּלייט די קאַמפּאַזיט נומערן ביז אהין - די קאַמפּאַזיטאריעל.

עס איז דא א סארט נומער וואס רופט זיך א הייליִ קאַמפּאַזיט נומער. דאס איז א כעין ״אנטיפּריים״ נומער וואס האט מער דיווייזארס ווי יעדעס נומער אונטער/ווייניגער ווי זיך. יעדעס אזא סארט נומער איז אן ענטפער/פראדוקט פון א פּרימאָריעל.

א פאָרטוּנעט נומער איז אזא סארט נומער וואס נאך דעם וואס איך טוה די פּרימאָריעל דערפון, לייג איך צו דעם געוויסן נומער אויף כדי אנצוקומען צו דייקא נאך א פּריים נומער. למשל, די פיפטע פאָרטוּנעט נומער, מיינענדיג אז נאכ׳ן מאכן די פיפטע פּרימאָריעל וואס איז 2310 דארף איך צולייגן דערצו נאך 23 אנצוקומען צו די נעקסטע פּריים נאך דעם וואס איז 2343. וממילא איז די פיפטע פאָרטוּנעט נומער 23.

אלע פאָרטוּנעט נומערן וואס מען ווייסט זענען אליינס פּריים. מ׳קאנדזעקטשורט אז אלע פאָרטוּנעט נומערן זענען פּריים.

*

רעדענדיג פון פעקטאריעלס און פּריים נומערן איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו ווילסאן׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז יעדעס פּריים נומער אויב וועל איך נעמען די פעקטאריעל דערפון [מאָלטיפּלייען צוזאמען יעדעס נומער אנגעהויבן פון דעם נומער און אלע נומערן אונטער דעם] און צולייגן צום פראדוקט 1 וועט עס אלס זיין דיוויזיבּל און איך וועל עס קענען דיוויידן ביי דעם פּריים.

[יעקב מעקסוועל]

נאר צו אויסקלארן מי אני'ס ווערטער. מען קען שרייבן p5#, דאס מיינט מען דארף מאלטיפלייען די ערשטע פינף פריימס. אדער קען מען שרייבן 5#, דאס מיינט מען דארף מאלטיפלייען די פריימס ביז 5, ועד בכלל.

באמת האב איך בכלל נישט געוואוסט וואס פריימאריאל און קאמפאזיטאריעל מיינען, נאר מי אני האט אזוי שיין מסביר געווען וויאזוי עס ארבעט צוזאמען, און עס האט נישט געשטימט מיט די הסבר וואס ער האט געגעבן פון אנפאנג. האב איך נאכגעקוקט און געזען די חילוק, און עס איז פארענטפערט געווארן א שטיקל מי אני.

[מי אני]

אוי. גערעכט גערעכט. ייש״כ פאר׳ן דאס צולייגן.

די תגובה מיינע, אזוי ווי אסאך פון מיינע תגובות, איז געשריבן געווארן צושטיקעלטערהייט. מ׳קען דאס באמערקן וואו ס׳הייבט זיך אן מיט פאָרטוּנעט נומערן און טוהט דיגרעסן און אריינפארן צו פּרימאָריעלס בכלל (און אינצווישן הא׳מיר שוין אנגעהויבן שרייבן איבער דעם קשר דערצו צום ריעמאן זעטאַ פאָנקשען) און ערשט דערנאך צוריק געקומען מסיים צו זיין איבער וואס מ׳האט אנגעהויבן. און איך בין מודה אז כ׳האב פארזעהן צו שרייבן די דיסטיִנקשאן. צו מהפך זיין בזכותי האב איך אבער יא געשריבן [ביים צווייטן מהלך פון #n]

און איך דיווייד דאס ביי די פראדוקט פונעם פּרימאריעל ביז יענעם נומער.

‏{די רויט האב איך יעצט צוגעלייגט כמובן}
איך פארשטיי אז די ווערטער קען מען נאך אלס פארשטיין אלס #pn, וואו איך וויל די #pn מיט'ן p "ביז יענעם נומער", והיינו רעכענען די פראדוקט פון די סעריע/נומער פון פּריימס "ביז די נומער"/צאל אויף וואס איך בין דן.]

נאכאמאל, א גרויסן ייש״כ פאר׳ן דאס ארויסברענגען. ס׳איז מיר א כבוד בכלל אז דו באציהסט דיך צו מיינס א תגובה. (כ׳הייב שוין אן מורא צו האבן ביי וואס פאר אנדערע טעותים און פארזעהענישן ׳עסט מיר כאפן...)

[מי אני]

אביסל מקושר צו וויפעריך פּריימס איז דא סעטס פון פּריימס וואס מען רופט א וויפעריך פּאָר. דאס איז ווען איך האב צוויי פּריים נומערן וואס ווען איך גיב איינס ווייניגער ווי די צווייטע פּריים אלס אן עקספּאנענט צום ערשטן פּריים וועט דאס זיין א נומער וואס ווען איך דיווייד יענע נומער ביים סקווער פונעם צווייטן פּריים וועט דאס גיבן א רימעינדאר פון 1. און דאס זעלבע דארף זיין ביים צווייטן ביחס צום ערשטן אויף פארקערט. והיינו, אז איך גיב איינס ווייניגער ווי די ערשטע פּריים אלס אן עקספּאנענט צום צווייטן פּריים וועט דאס זיין א נומער וואס ווען איך דיווייד יענע נומער ביים סקווער פונעם ערשטן פּריים וועט דאס גיבן א רימעינדאר פון 1. מ׳ווייסט נאר פון 7 אזעלכע פּאָרן.

מ׳קען דאס עקסטענדן צו וויפעריך טריפּלס. דאס איז ווען איך האב דריי פּריימס און די ערשטע איז אזוי ביחס צום צווייטן כנ״ל, אבער דער צווייטער איז אזוי ביחס צום דריטן, און דער דריטער איז אזוי ביחס צום ערשטן. פון דעם ווייסט מען פון 17 טריפּלס.

די געדאנק קען מען עקסטענדן נאך ווייטער צו וואס ווערט גערופן דעם בּאַרקער סיִקווענס. דאס איז ווען איך האב א סכום פון פּריימס וואו די ערשטע איז אזוי ביחס צום צווייטן, די צווייטע אזוי ביחס צום דריטן, דעם דריטן צום פערטן אא״וו ביז די לעצטע איז אזוי ביחס צום ערשטן.

***

ס׳דא אין דעם זשיגמאנדי׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך צוויי נאטורליכע גאנצע נומערן וואס זענען קאָפּריים [מ׳קען זיי נישט ביידע דיוויידן אן א רימעינדאר ביי אן אייניגע נומער (חוץ 1)] איז אויב עקספּאנענשיעיט מען די ביידע נומערן ביי די זעלבע נאטורליכע גאנצע נומער און דערנאך סאָבּטרעקט איך דעם קלענערע נומער פון די גרעסערע, וועט זיין א פּריים וואס דיווייד די רעזאָלטינג נומער [אן א רימעינדאר] אבער דיווייד נישט [אן א רימעינדאר] די ריזאָלטינג נומער וואס איך באקום ווען איך גיב די צוויי נומערן עני עקספּאנענט [און איך סאָבּטרעקט זיי דערנאך] ווייניגער ווי די עקספּאנענט וואס איך האב זיי מעיקרא געגעבן. דאס האט אבער דריי אויסנאמען:

1). טאמער די עקספּאנענט וואס איך וועל אויס איז 1 און די חילוק מעיקרא צווישן די צוויי נומערן איז נאר 1.

2). טאמער די עקספּאנענט וואס איך וועל אויס איז 2 און די סומע פון די צוויי נומערן מעיקרא איז א נומער וואס איך קען באקומען ווען איך גיב פאר די נומער 2 אן עקספּאנענט.

3). טאמער די עקספּאנענט וואס איך וועל אויס איז 6 און מיינע צוויי נומערן זענען 2 און 1.

***

ס׳דא עפעס וואס מען רופט א יוּניִק פּריים. דאס איז ווען איך נעם א פּריים און איך דיווייד 1 דערביי [די רעסיפּרעקאל דערפון] וועט די פּעטערן מיט וואס די דידזשיטס גייען איבער און איבער, איר פּיריִאד, זיין אייגענארטיג, אזוי אז ווען איך טוה דאס מיט אן אנדערע פּריים וועט די פּיריִאד נישט זיין די זעלבע. למשל, ביי 3 איז איר פּיריִאד 1 ווייל איר רעסיפּרעקאל איז כידוע 333333. אא״וו; קיין איין אנדערע פּריים האט נישט אזא פּיריִאד ביי איר רעסיפּרעקאל וממילא איז עס יוּניִק. 11׳ס רעסיפּרעקאל איז 90909090. אא״וו, וממילא האט עס א פּיריִאד פון 2; קיין איין אנדערע פּריים האט נישט אזא פּיריִאד ביי איר רעסיפּרעקאל וממילא איז עס יוּניִק.

[מי אני]

עס איז דא די פעיט-טאמסאן קאנדזשעקטשור וואס לויטעט אז טאמער איך האב צוויי אנדערע פּריימס, און איך נעם איין פּריים און איך לייג צו דערצו אלס אן עקספּאנענט דאס אנדערע פּריים און דערנאך נעם איך אראפ 1 און איך דיווייד דאס דערנאך ביי 1 ווייניגער ווי די פּריים זעלבסט, וועט די נומער נישט קענען דיוויידעד ווערן אנע רימעינדאר דורך די נומער וואס איך באקום ווען איך נעם די אנדערע פּריים און לייג צו דערצו אלס אן עקספּאנענט דעם פּריים און נעם אוועק דערפון 1 און דערנאך דיווייד איך יענץ ביי 1 ווייניגער ווי יענע פּריים. מ׳חשבונ׳ט אז די קאנדזשעקטשור איז אמת.

זאגן אבער אז די צוויי נומערן וואס איך באקום פונעם פריערדיגן פראצעדור (פאר׳ן פרובירן זיי זעלבסט צו דיוויידן איינע ביים אנדערן) זענען אלעמאל קאָפּריים און אָן קיינע אייניגע פאקטארן ביי וועלכעס איך קען זיי ביידע דיוויידן איז נישט ריכטיג.

אז מ׳רעדט פון נומער טרייענגעלס.

75abc99a-a835-41a2-b1eb-34ca46a43309.jpg

BD00DE2E-FC5A-4F4B-905C-20989B393D80.jpeg

26F506CD-7BE6-47C0-87DA-FF02041B79FD.jpeg

אביסל ענליך צו דעם, ביי רעפּיוּניטס.

[מי אני]

אין די סוגיא איז דא וואס מ׳רופט דידזשיטעלי דעליקאט פּריימס. דאס באדייט א פּריים נומער וואס אויב זאל מען טוישן עני דידזשיט דערין צו א צווייטע נומער וועט דאס מער נישט זיין פּריים. א משל איז 294,001. דאס איז א פּריים נומער, אבער אויב מ׳טוישט עני דידזשיט דערין צו א צווייטע נומער וועט דאס מער נישט זיין פּריים (דאס איז די ערשטע אזא סארט ״דידזשיטעלי דעליקאט פּריים״). דער מאטעמאטיקער דר. פּאָל ערדאש האט אויפגעוואוזן אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס און דר. טערענס טאַוּ האט אויפגעוואוזן אז זיי זענען ״פּאַזיטיווליִ פּראָפּאָרשענאל״, וואס באדייט אז די עוורידזש מרחק צווישן איין אזא פּריים אונעם צווייטן איז בערך די זעלבע. דאס איז אזוי אין אלע סארט בּעיסעס.

אין דעם איז דא נאך ווייטער ברייטע דידזשיטעלי דעליקאט פּריימס. ווי ערווענט דא איז צולייגן 0ס [זעראס] פאר א נומער [אויפ׳ן לינקן זייט] וועט נישט טוישן דעם נומער. איז אויב טוישן עני דידזשיט אין די זעראס פאר׳ן פּריים נומער וועט עס מאכן מער נישט א פּריים נומער דעמאלטס איז עס א ברייטע דידזשיטעלי דעליקאט פּריים. דר. מיכאל פילאַסעטאַ האט אויפגעוואוזן אז פון די סוג איז אויך דא אן אינפיניט צאל און זיי זענען אויך ״פּאַזיטיווליִ פּראָפּאָרשענאל״, הגם ער האט אבער נישט געקענט טרעפן איין משל פון אזא סארט פּריים אונטער 1,000,000,000. ער האט דערנאך ווייטער אויפגעוואוזן אז מ׳וועט אלס קענען טרעפן אַרבּיטרערי סיִקווענסעס פון עני נומער אז עס גייען זיין ברייטע דידזשיטעלי דעליקאט פּריימס נאכאנאנד אין א רייע. למשל, עס זענען דא ערגעץ 6 אזאנע פּריימס אין א רייע, 37 אזאנע פּריימס אין א רייע וכו׳. מ׳ווייסט אבער נישט צו די סוג פּריימס, ברייטע דידזשיטעלי דעליקאט פּריימס, זענען אינפיניט אין יעדע בּעיס.

[מונטסורי]

צ"ק ליינענדיג די "אותיות" אויסגאבע דעם פסח האב איך מיר ממש געשעמט אז כ'לערן וועגן פריים נומערן צום ערשטען מאל אין דעם עלטער און פון א מאגאזין נאכדערצו, אבער קוקענדיג דעם אשכול זע איך אז כבר קדמוני חכמי השטיבעל וואס האבן געלערענט דערוועגען אין 2013 פונם משפחה אויסגאבע ונח דעתי.

למעשה האלט מיר יעצט אינמיטען דורכלערנען דעם תגובה פון [tag]מי אני[/tag] און דאס קאפ שווינדעלט, גענוג געווען פאר איין יום טוב, גיימיר מאכן אייער שפייז. ומכאן הקריאה יוצאת צו [tag]מי אני[/tag] חלילה נישט מיד צו ווערן, אפילו עס קוקט אמאל אויס אז דער עולם שלאפט ביים שיעור, ביום מן הימים וועט איינער ווער דא אריינפאלן, פרובירן צו ליינען און אפשר א לייק טון.

[מי אני]

ווי באקאנט איז ביי די קריסטן די נומער 666 די נומער פונעם בּיִסט; די אנטיקריסט. (ס׳דא טאקע וואס לערנען דאס אפ אז דאס האבן זיי געשריבן אלס א באהאלטענע רמז קעגן נירון קיסר אין בערך זייער צייט וועלכע האט גע׳רודפ׳ט די קריסטן. אלס זיין נאמען ״נרון קסר״ איז גימטריא 666.)

עס איז דא א פּריים וואס מ׳רופט בעל פעור׳ס [בּעלפעגור׳ס] נומער (אין קריסטליכע דעמאנאלאגיע נעמען זיי אָן אז ער איז א שד און איינע פון די ״זיבן פרינצן פון גיהנום״). דאס איז א פּריים נומער וואס איז א פּאַלינדרוים, והיינו אז מ׳קען ליינען די דידזשיטס פון דעם נומער אהין-און-צוריק און עס ׳עט זיך ליינען די זעלבע, וואס הייבט זיך אָן און ענדיגט זיך מיט אן 1, פונקט אינדערמיט האט עס די דריי נומערן פון 666, און די איבעריגע נומערן זענען 0. למשל, די נומער וואס הייבט זיך אָן מיט אַן 1, האט 13 זעראָס נאך דעם, דערנאך 666, דערנאך נאך 13 זעראָס מיט אן 1, איז אזא סארט פּריים. (די נומער ״13״ איז ביי זיי, און אין אנדערע קולטורן, אויך א ״שלעכטע/אומ׳מזל׳דיגע״ נומער. ועכ״כ אז דאס מורא האבן פון דעם נומער האט א טערמין פאר זיך - טריסקאַידעקאַפאָבּיִע. ווי אויך זענען דא האטעלן און אנדערע געביידעס וואס ביים דרייצענטן שטאק שרייבן זיי נישט ארויס דעם נומער 13; אדער לאזן זיי עס אויס אדער מאכן זיי אז דאס איז 12A וכדומה.)

[תוהו ובוהו]

רעדענדיג פון פעקטאריעלס און פּריים נומערן איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו ווילסאן׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז יעדעס פּריים נומער אויב וועל איך נעמען די פעקטאריעל דערפון [מאָלטיפּלייען צוזאמען יעדעס נומער אנגעהויבן פון דעם נומער און אלע נומערן אונטער דעם] און צולייגן צום פראדוקט 1 וועט עס אלס זיין דיוויזיבּל און איך וועל עס קענען דיוויידן ביי דעם פּריים.

''און צולייגן צום פרודוקט איינס''?!

אויב האב איך גוט פארשטאנען, (איך טרעף מיך מאכן דעם דיסקלעימער יעדעס מאל איך שרייב עפעס צו @מי אני...)
איז יעדע פעקטאריעל פון א פריים, דיוויידעבל ביים זעלבן פריים, אהן צולייגן צום פראדוקט..

Sent from my KFDOWI using Tapatalk

[מי אני]

גערעכט. צ״ל [ביי די טעארעם] די פעקטאריעל פון איינס אונטער דעם פּריים [איך מאָלטיפּליי אלע נומערן אנגעהויבן פון איינס אונטער דעם פּריים און אראפ], און דערנאך צולייגן איינס צום פּראדוקט.

איך אנטשולדיג מיר זיך פאר׳ן פארדרוסליכן טעות און ייש״כ פאר׳ן אויפמערקזאם מאכן.

[מי אני]

עס איז דא אין דעם פערמאט׳ס/גירארד׳ס טעארעם אויף די סומע פון צוויי סקווערס. דאס לויטעט אז אַן אַדד פּריים קען ווערן ארויסגעשריבן ווי די סומע פון צוויי אנדערע גאנצע נומערן [אינטעדזשערס] נאכדעם וואס איך האב זיי געסקווערד, נאר טאמער ווען איך דיווייד די פּריים ביי 4 וועט עס מיר געבן א רימעינדאר פון 1. מ׳רופט דאס א פּיטאַגאָריען פּריים וויבאלד עפ״י די באקאנטע פּיטאַגאָריען טעארעם וועלן די דריי נומערן, די צוויי סקווערד נומערן מיט די סקווער רוּט פונעם פּריים, קענען זיין די לענג פון דריי ווענט פון א רייט טרייענגעל [מיט די סקווער רוּט פונעם פּריים אלס׳ן שיפן היפּאַטענוּס וואנט].

עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס. עס איז אינטרעסאנט אז בדרך כלל ביז א געוויסע נומער וואס מ׳וועהלט וועלן זיין ביז אהין מער פּריימס וואס ווען איך דיווייד זיי ביי 4 באקום איך א רימעינדאר פון 3, ווי פּיטאַגאָריען פּריימס וואס ווען איך דיווייד זיי ביי 4 באקום איך א רימעינדאר פון 1 כנ״ל. דאס רופט זיך טשעבּישעוו׳ס בּייעס.

דאס פירט אריין אין צו די סומע פון צוויי סקווערס טעארעם ביי נומערן בכלל. דאס לויטעט אז מ׳קען ארויסשרייבן עני נומער (מער ווי 1) ווי די סומע פון צוויי אנדערע סקווערד אינטעדזשערס נאר טאמער ווען איך וועל פעקטארן די פּריימס וואס שטעלן צאם די נומער, איר פּריים פעקטאָריזעישאן/דיִקאַמפּאַזישאן (ווי אזוי די נומער איז צאמגעשטעלט פון פּריימס וואס איך מאָלטיפּליי צוזאם כמבואר בריש האשכול), וועט עס נישט פארמאגן אן אַדד צאל מאל א פּריים וואס ווען איך דיווייד עס ביי 4 וועט עס מיר געבן א רימעינדאר פון 3.

[מי אני]

אז מ׳האט דערמאנט פּריימאריעלס איז טאמער מאָלטיפּליי איך פּריימס אין א סדר און ווען איך נעם אראפ 1 פון אדער לייג צו 1 צום פּראדוקט דערפון וועט דאס דעמאלטס זיין א פּריים, ווערט יענע פּריים גערופן א פּריימאריעל פּריים. ביים פאל ווען איך לייג צו 1 צום פראדוקט פונעם פּריימארייל אפילו ווען עס איז נישט א פּריים איז עס א יוּקליד נומער.