סקווער׳ן דעם סקווער

[מי אני]

אין דזשיאמעטרי איז דא די האדוויגער קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז אין יעדע דיימענשאן אויב האב איך א שׁעיפּ וואס איז קאנוועקס [די עקן גייען נישט ״אריין״ דערין] קען איך דאס אינגאנצן באדעקן מיט נישט מער סקעילד ענליכע שׁעיפּס ווי 2 געהעכערט צום עקספּאנענט פונעם דיימענשאן. דר. פרידריך ווילהעלם לעווי האט דאס אויפגעוואוזן ביי 2 דיימענשאנס, והיינו אז איך גיי נישט דארפן מער ווי 4 [2²] אזעלכע שׁעיפּס דאס אינגאנצן צו באדעקן, כזה:

4597E247-75CA-4D95-9AB3-8410CD56E64E.png

ביי 3 דיימענשאנס איז עס אויפגעוואוזן אז מ׳גייט נישט דארפן מער ווי 16, אבער די קאנדזשעקטשור זאגט אז מ׳דארף נישט מער ווי 8 [2³].

דאס איז אביסל ענליך צום בּאָרוסק פראבלעם אין דזשיאמעטרי. דאס האט געפרעגט צו ביי יעדע שׁעיפּ וואס האט א דיאמעטער, וואס אין די קאנטעקסט מיינט די לענג פון די ווייטסטע חלק פונעם שׁעיפּ ביז די ווייטסטע חלק דערפון, כזה [די d]:

D14E429F-D31E-46FF-BCF1-41A2367E21C4.jpeg

וועל איך קענען צוטיילן אין צו חלקים אזוי אז קיין איינע פון די נייע שׁעיפּס זאלן נישט האבן די לענג דיאמעטער. ביי 2 דיימענשאנס פעהלט אויס דאס צו צוטיילן אין 3 און ביי 3 דיימענשאנס פעהלט אויס 4. מ׳האט געקלערט אז אזוי איז עס ביי אלע דיימענשאנס: מ׳וועט נאר דארפן דאס צו צוטיילן אין 1 מער חלק ווי די דיימענשאן צו האבן א מעגליכקייט אז יעדעס איינע פון די נייע חלקים זאלן האבן א קלענערע דיאמעטער ווי די גרויסע שׁעיפּ פון וואס זיי קומען. מ׳האט אויפגעוואוזן אז עס איז נישט אזוי אלעמאל.

[מי אני]

ובנוגע ראָלעט קוּרווס [די סייקלוידס וכו׳] איז דא א קוּרוו וואס איז א קעטענערי. דאס איז א קוּרוו וואס ווערט געשאפן ווען איך האב צוויי שטאנגן און א שטריק הענגט אראפ דערפון. די סארט קוּרוו ווען איך דריי דאס איבער איז דאס שטערקסטע וואס קען סאָפּאָרטן די אייגענע אַרטש. אזוי ווי די סעינט לוּאיס געיטוועי אַרטש

1CE17A63-B0C9-455F-ABA2-5F116A40DAF4.jpeg

‏הגם, וויבאלד עס האט נישט די זעלבע דיקייט איבעראל איז עס א געוועגטע קעטענערי מיט אביסל אנדערע פּראפּערטיס.

מאכענדיג אזעלכע אַרטשעס קען מען אויף דעם פארן מיט רעדלעך וואס זענען פּאַליגאַנס און נישט סירקעלס; פאר יעדע סארט פּאַליגאַן וועט מען אביסל לענגער מאכן די שטח הקוּרוו. דאס איז וויבאלד דורכאויס דאס וואס די פּאַליגאַן דרייט זיך אויפ׳ן קוּרוו בלייבט די צענטער [סענטרויד] אויפ׳ן זעלבן לעוועל א גאנצע צייט. (פאר א טרייענגעל איז דאס אבער נישט אזוי פשוט.) אינעם מוזעאום פון מאטעמאטיקס אין מאנהעטן איז דא אזא סארט עקזיבּיט מיט אזעלכע סארט פיר-עקעדיגע ״רעדל״ בּייקס [טרייקס גראדע].

[מי אני]

און אפשר קען מען טאקע זאגן דערין א רמז צו דעם וואס אונז הא׳מיר עטליכע מאל אראפגעברענגט בשם ראזענצווייג אז זמן פאר אידן איז אן ענין פון א סירקעל (ואגב איז כידוע דא דער שינדווארט ״קייק״ קעגן אידן וואס שטאמט מיסודו פון דאס געדאנק פון א סירקעל ווען מ׳האט אימיגרירט קיין עליס איילענד). אז מ׳באמערקט אינעם בילד מאכט די אפּטימעל פּעקינג פון סירקעלס א כעין מגן דוד (וואס, אגב, ליגט אויך אין די פילאזאפיע פון ראזענצווייג), וואס האט טאקע זעקס קצוות.

9E6DAAE7-6A51-487B-80C3-E058F16FE496.jpeg

די AMS [אמעריקאנע מאטעמאטיקס סאסייעטי] האלט אפ יעדעס יאר א קאנטעסט וואו מ׳איז מקשר פאעזיע מיט מאטעמאטיקס. דאס יאר [2020] איז די פאעזיע געווען איינע פון די געווינערס.

די עקוועישאן x² + y² = 1 איז די עקוועישאן פון א סירקעל [וואו די רעידיאוס איז 1]. זי האט נאכדעם גענומען דעם ״1״, וואס קען אויסזעהן ווי דעם [לאָערקעיס] לאטיינישן בוכשטאב l [״עֶל״], און צוגעלייגט דערצו ife צו מאכן life.

*

ובנוגע די קישן/סאַדי סירקעלס האט דר. פרעדעריק סאַדי דאס אויפגעוואוזן און געשריבן אלס א פאעזיע (צו וואס אנדערע האבן צוגעלייגט).

[מי אני]

ובנוגע די סארט סירקעלס איז דא די אפּאלאניען גאסקעט. דאס איז אז כאמור ווען איך האב דריי סירקעלס וואס זענען נישט אייניג גרויס און וואס זענען טענדזשענט און ״קישן״ זיך איינע די אנדערע, איז זיכער דא נאך צוויי וואס זענען טענדזשענט צו אלע דריי אבער נישט טענדזשענט איינע צום אנדערן אליין [די נייע פערטע און פיפטע]. דערנאך, אויב נעם איך איינע פון די נייע סירקעלס ביחס צו נאך צוויי פון די אריגינעלע סירקעלס וואס עס ״קישט״, ווייס איך דאך אז די סעט מוז אליין פארמאגן נאך צוויי טענדזשענט סירקעלס - איינס וואס קישט אלע דריי און איינס וואס ״קישט״ נאר צוויי פון זיי. די וואס ״קישט״ אלע דריי איז די דריטע סירקעל וואס איז מיט זיי וואס איך ווייס שוין, אבער די נייע סירקעל וואס ״קישט״ נאר צוויי דארף איך יעצט אריינפילן. דערנאך קען איך גיין ווייטער און ווייטער אזוי.

07C8AAB5-4F9F-4181-816D-5B5C8B9787C9.png

[מי אני]

אויב האב איך א סקווער און אלע אירע זייטן זענען 1 יוניט לאנג האט עס דאך אן עריע/שטח פון 1 [1x1]. אויב וויל איך עס דאָפּלען אין עריע (און עס זאל נאך אלס זיין א סקווער) דארף איך מאכן פיר ווענט וואס זענען אלע די לענג פונעם יעצטיגן אלכסון פונעם סקווער. דאס איז מכח דעם ווייל עס איז אלגעברעאיש מקושר צום פיטאגאריען טעארעם ביי אן אייסאַסיליִס רייט טרייענגעל (וואס קומט טאקע אויס דעמאלטס צו בערך אמתא ותרי חומשא).

דאס איז מקושר צום סקווער-קיוּבּ געזעץ. דאס לויטעט אז ווען איך מאך עפעס גרעסער ביי א געוויסע פאקטאר, וועט די עריע/שטח דערפון ווערן גרעסער ביי די סקווער פון אט די פאקטאר [די פאקטאר מאל די פאקטאר] און די וואליוּם דערפון וועט ווערן גרעסער ביי די קיוּבּ פון אט דעם פאקטאר [די פאקטאר מאל די פאקטאר מאל די פאקטאר]. אין אונזער פאל, אויב וואלט מען סתם געדאפעלט די לענג פון יעדעס וואנט, א פאקטאר פון 2, וואלט די שטח גרעסער געווארן מיט פיר מאל אזוי פיל; 2 מאל 2.

אפלטון דערציילט אין זיין מענאָ אז סקראט האט אויסגעשמועסט ווי אזוי צו דאָפּלען די שטח פון א סקווער מיט מענאָ׳ס אומוויסענדע קנעכט, און ווען ער האט צוביסלעך צוגעברענגט אז דאס קנעכט האט דאס אליינס משיג געווען געוואלט דאדורך צייגן אז א מענטש׳נס מדע (פון די מושכלות) ליגט שוין אין אים מעיקרא.

[מי אני]

ומענין לענין באותו ענין פון סייקלוֺידס והמסתעף איז דא דאס רילוֺי טרייענגעל. דאס איז אז איך האב אן עקווילעטערעל טרייענגעל און איך מאך א קוּרוו פון איין עק צום צווייטן אזוי אז עס האט א קאנסטענט ברייטקייט. מיינענדיג אז יעדעס ארט אויפ׳ן קוּרוו וועט זיין די זעלבע ווייט פונעם עק פונעם טרייענגעל קעגן איבער. איך טוה דאס פאר אלע דריי זייטן. כזה:

BE1D1D7C-B8EB-4958-9C7E-9D77468D7C9A.jpeg

וויבאלד דאס האט די קאנסטענט ברייטקייט איז אז איך דריי דאס, מיט א טינט אויף איין ארט, וועט דאס אויספארעמען בערך א סקווער. דעריבער זענען טאקע דא דריל בּיטס וואס האבן אזא שׁעיפּ.

מ׳האט דאס אויסגעברייטערט מיט׳ן מאכן די פראצעדור צו אנדערע פּאַליגאַנס (וואס האבן בדרך כלל אַן אַדד צאל פון זייטן); רילוֺי פּאַליגאַנס. אסאך מטבעות זענען אין די סארט שׁעיפּס.

[מי אני]

ובנוגע טענדזשענט סירקעלס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום מיקיִ מאַוּס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב איך האב א סירקעל און איך לייג דערויף טענדזשענט צו איר צוויי אנדערע סירקעלס, דערנאך מאך איך א גראדע ליין וואס איז (פונקט) טענדזשענט צו ביידע נייע סירקעלס, און איך מאך צוויי ליינס, איינס פון וואו איין סירקעל מיט׳ן ליין קומען צאם און איינס פון וואו די אנדערע סירקעל מיט׳ן ליין קומען צאם, גייען זיך ביידע אלס טרעפן אויף א פונקט אויפ׳ן אריגינעלעם סירקעל, און דארט אויב איך גיי מאכן נאך א ליין וואס איז טענדזשענט צו דעם פונקט וואו זיי קומען זיך צאם וועט דאס אלס זיין פונקט פאראלעל צום אויבערשטן ליין וואס איז טענדזשענט צו ביידע פונקטן פון די צוויי נייע סירקעלס.

4B34EA67-4EA2-4A70-BCB4-A0A0AD0E7D8E.jpeg

[מי אני]

בנוגע מאטעמאטיקס אין סירקעלס איז געווען א מנהג ביי די יאפאנעזער אין די איִדוֺ/טאַקוּגאַוואַ עפאכע [פון 1603 ביז 1868] וואס האט זיך גערופן סאַנגאַקוּ. דאס איז אז מ׳האט געברענגט צו די שׁינטאָ אדער בּודהיסט טעמפּלען דזשיאמעטרישע פראבלעמען און/אדער אנטשיידונגען אויפגעשריבען אויף טאבלעטן און דאס דארט אויפגעהאנגען. אסאך פון זיי זענען פארלוירן געגאנגען אבער בערך 900 זענען פארבליבען און אפגעשריבן געווארן. איין דוגמא:

9EFA2AB2-9A21-42B8-BBB6-35D1C6C16CC1.jpeg

צווישן זיי צב״ש איז דא עפעס וואס האט א שייכות צו די פאָרד סירקעלס. דאס איז אז אויב האט מען צוויי סירקעלס וואס ביידע ליגן אויף/זענען טענדזשענט צו א ליין און איינע צום צווייטן און אינצווישן זיי איז דא א דריטע סירקעל וואס איז אויך טענדזשענט צום ליין און צו זיי ביידע, וועט די רעסיפּרעקאל פון די סקווער-רוּט פון די ערשטן׳ס רעידיאוּס [חצי רוחב] מיט די רעסיפּרעקאל פון די סקווער-רוּט פון די צווייטן׳ס רעידיאוּס זיין די רעסיפּרעקאל פון די סקווער-רוּט פון די מיטעלסטען׳ס רעידיאוּס.

אויף א סאַנגאַקוּ איז געווען די יאפאנעזער טעארעם פאר סייקליק קוואדלעטערעלס. דאס לויטעט אז אויב האב איך א פיר-עקיגע שּׁעיפּ/פּאַליגאַן וואס איך קען (כנ״ל) סירקוּמסקרייבּן, איז ווען איך מאך אן אלכסון דערין פון איין עק צום פארקערטן עק קעגנאיבער [באלכסון] און איך טוה דאס צו ביידע זייטן, וואס צוטיילט דאס אין צו פיר טרייענגעלס וועלן די פיר סענטערס פון די אינסקרייבּד סירקעלס וואס איך קען מאכן אין די פיר טרייענגעלס [די אינסענטערס] זיין די פיר עקן צוזאמען פון א [גראדן] רעקטענגעל.

55AC93A8-7B7C-4C35-AE9C-8FD0DCEABC10.png

אויך אויף א סאַנגאַקוּ איז געווען דאס יאפאנעזער טעארעם פאר סייקליק פּאַליגאַנס. דאס לויטעט אז אויב האב איך א שׁעיפּ וואס איז טאקע עקעדיג אבער איך קען דאס סירקוּמסקרייבּן מיט א סירקעל, והיינו דאס ארומנעמען מיט א סירקעל אזוי אז עס די עקן פונעם שׁעיפּ/פּאַליגאַן זאלן פונקטליך אנרירן [טענדזשענט] אויפ׳ן סירקעל, דעמאלטס נישט קיין חילוק ווי אזוי (און וויפיל) איך וועל טרייענגולעיטן דעם שׁעיפּ [דאס צוטיילן אין צו טרייענגעלס] וועלן די סומעס פון די רעידיאיי צוזאמען פון די אלע סירקעלס וואס איך קען אינסקרייבּן און מאכן אין די טרייענגעלס אז זיי זאלן זיין (פונקטליך) טענדזשענט צו די טרייענגעלס אלס [די אינרעידיאיי] זיין אייניג.

דאס איז מקושר צו קארנאט׳ס טעארעם וואס לויטעט אז אויב האב איך א טרייענגעל און איך סיי סירקומסקרייבּ א סירקעל ארום דעם און סיי אינסקרייבּ א סירקעל אין דעם. דעמאלטס וועט די מאס פון די לענג פונעם סענטער פון די גרויסע סירקומסקרייבּד סירקעל צו יעדעס איינס פון די טרייענגעלס ווענט [אויב איז די לענג צו א וואנט אינגאנצן אינדרויסן פונעם טרייענגעל דעמאלטס איז דאס א נעגאטיווע לענג] זיין די זעלבע ווי די מאס פונעם רעידיאוס פונעם סירקומסקרייבּד סירקעל [די סירקומרעידיאוס] צוזאמען מיט׳ן רעידיאוס פונעם אינסקרייבּד סירקעל [די אינרעידיאוס].

B59DDBB0-B674-41C9-83B1-3ED6F2760792.png

[מי אני]

אביסל ענליך צו דעם סוגיא איז דא דעם געדאנק פון סעליולאר אָטומאַטאַ. דאס ארבעט אז איך האב א לעטיס/גרעף פון צעלן/קעסטעלעך. יעדעס קעסטל קען האבן א פיניט צאל פון ״סטעיטס״: בדרך כלל א בּיינערי סטעיט פון ״אנגעצינדען״ אדער ״אויסגעלאשען״. די ארומיגע צעלן ארום דעם צעל ווערן אפעקטירט דורך די סטעיט פון דעם צעל, ווענדענדיג זיך אין געזעצן וואס ווערן אראפגעשטעלט פאר דעם.

ארומיגע צעלן קענען ווערן גערעכענט ווי די פיר וואס זענען ממש דערנעבן און שׁעירן א גאנצע זייט מיט׳ן קעסטל/צעל; נישט די וואס זענען נאר ביים עק/דייעגנאל. דאס ווערט גערופן דעם וואן-ניומאן נעיבּאָרהוד. ווי אויך איז שייך אז די ארומיגע ווערן גערעכענט ווי אלע אכט צעלן וואס נעמען דאס ארום; די ביי די עקן אויך. דאס ווערט גערופן דעם מוּר נעיבּאָרהוד.

א פשוט׳ע משל דערין איז די אוּלאַם-וואָרבּוּרטאָן סעליולאר אָטומאַטאן. דאס איז אז איך הייב אן מיט אלע קעסטעלעך/צעלן וואס זענען אויסגעלאשן און מען צינד אָן איינס. די געזעצן זענען אז אויב איינס איז אנגעצינדען טוהט עס אנצינדען די קעסטעלעך וואס זענען אין איר וואן-ניומאן נעיבּאָרהוד, אבער נאר טאמער די קעסטל איז נישט באהאפטן צו קיין שום אנדערע אנגעצינדענע קעסטל; נאר צו איין אנגעצינדענעם קעסטל. עס קומט אויס אז די סעלולאר אָטומאַטאן טוהט שאפן פרעקטעלס און קומט צוריק צו א פארמאכטע קעסטל (מיט לעכער אינדערמיט) יעדעס מאל מ׳האלט ביי א פּאַוּער פון 2 [א נומער וואס איך קען באקומען פון צולייגן אן עקספּאנענט אויף 2] מאל וואס מ׳טוהט דעם פראצעדור. דאס זעלבע גייט זיין ווען די פראצעדור ווערט געמאכט וואו די צעלן זענען העקסאגאנס אנשטאט קעסטעלעך. די סיערפּינסקי טרייענגעל איז אויך ענליך אין דעם אז עס קומט צוריק צו א פארמאכטע טרייענגעל נאכ׳ן האבן דורכגעפירט דעם פראצעדור אזויפיל מאל. (די סעליולאר אָטומאַטאן וואקסט ביי די עקן ביז עס פארמאכט זיך.)

דער בריטישער מאטעמאטיקער דר. דזשאן האָרטאָן קאַנוועי האט געמאכט א סעליולאר אָטומאַטאן וואס ער האט גערופן דעם געים פון לעבן, וויבאלד דאס טוהט כעין מאדעלן די עוואלוציע פון באשעפענישן אין אַן עקאָסיסטעם. די צעלן האבן צוויי סטעיטס, ״לעבן״ אדער ״טויט״, וועלן אפעקטירן די מוּר נעיבּאָרהוד ארום זיי. די געזעצן דערין זענען ווי פאלגענד:

1). א לעבעדיגע צעל בלייבט לעבעדיג נאר אויב עס האט צוויי אדער דריי לעבעדיגע שכנים. אויב האט עס ווייניגער ווי דעם (צי ווייניג קינדער/אונטערפּאפּולעישאן) אדער מער (אָווערפּאַפּולעישאן) שטארבט עס.

2). אויב האט א טויטע צעל דריי לעבעדיגע שכנים ווערט דאס לעבעדיג (עס ווערט ״געבוירן״).

[מי אני]

עס איז דא א קוּרוו וואס ווערט גערופן דאס מכשפה פון אַגנעסי. דאס ווערט געשאפן דורך דעם וואס מ׳האט צום ערשט א געהעריגע סירקעל. דערנאך האב איך א גראדע האריזאנטעל ליין טענדזשענט צום אויבן פונעם סירקעל. נאכדעם מאך איך א סעקאנט ליין, וואס מיינט א ליין וואס גייט דורך די ווענט פונעם סירקעל אויף צוויי מקומות, פון דעם אונטערשטן פלאץ פונעם סירקעל וואס גייט אנקומען צום אויבערשטן טענדזשענט ליין. ווי איך רוק דעם סעקאנט ליין מאך איך דערנאך פונעם צווייטן פלאץ וואו די סעקאנט ליין גייט דורך א האריזאנטעל גראדע ליין. וואו די סעקאנט ליין קומט זיך צאם מיט׳ן אויבערשטן האריזאנטעל ליין מאך איך דערנאך א ווערטיקעל ליין אראפ צו דעם האריזאנטעל ליין וואס ווערט געשאפן פונעם סעקאנט ליין הנ״ל; אין אנדערע ווערטער אזוי ווי א טרייענגעל [די אויבערשטע האריזאנטעל און ווערטיקעל אראפ זענען די גראדע ווענט און די סעקאנט ליין איז די אלכסון]. ווי איך רוק דעם סעקאנט ליין גייט די פראצעדור שאפן א קוּרוו. דאס איז די מכשפה פון אַגנעסי. כזה:

71FAB057-29EA-489E-ABAD-C47E1D46B0F2.jpeg

(ס׳איז מעגליך אז) מ׳רופט דאס די ״מכשפה״ פון אַגנעסי וויבאלד דער וואס האט איבערגעטייטשט דאס וואס מאַריִאַ גאַעטאַנאַ אַגנעסי וואס האט דאס שטודירט האט דאס גערופן, האט זיך טועה געווען און דאס איבערגעטייטשט צו ״מכשפה״.

[מי אני]

רעדענדיג פון אַפּטימעל פּעקינג איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו וואס דער עיקרים זאגט אין זיין הקדמה:

שאף על פי שאין מדרך הדבורה כפי טבע חמרה שימצא בה ההבנה לבנות הבתים ההם מהשעוה שהדבש כנוס בתוכה בתמונת הששיות [העקסאגאן], להיות הפועל מבחר הפועלים נתן בה הבנה לבנותם בתמונה הזאת, להיותה דומה לעגולה שהיא התמונה הטבעית, ויש לה יתרון עליה, שבתמונת הששיות יתמלא כל השטח והפנוי אשר במוגשם ממשושים סמוכים זה לזה כדי שלא ישאר מקום פנוי וריקם ביניהם, מה שאין כן בעגולה, שאם יעשו הבתים עגולות כדמות אסטוא"נה סמוכות זו לזו ישאר מקום רב ביניהם שלא יקבלו תועלת ממנו, לפיכך בנאום בתמונת הששיות ולא עשאום מעוגלים, גם לא בנאום מרובעים, כי אף על פי שבסמיכת בתים מרובעים זה לזה יתמלא כל השטח והפנוי אשר במוגשם, הנה להיות תמונת המרובע יותר רחוקה מלהדמות אל העגולה שהיא התמונה הטבעית מן המשושה לא בנאוה ממנו

[מי אני]

5C195D25-EDBA-4E56-A7FA-DB78F64EECC5.jpeg

מדברי ניקולאס פון קוסא. ער האט געזאגט נאך מער אז דאס ליגט טאקע דערין אז מ׳קען נישט סקווער׳ן דעם סירקעל.

[מי אני]

ומענין לענין באותו ענין פון פאעזיע ומדע, ווען ראנעלד ראָס האט געטראפן דעם מאלעריע צעל אין מאָסקיִטוס האט ער דאס פארפאסט:

[left]This day relenting God
Hath placed within my hand
A wondrous thing; and God
Be praised. At his command,
Seeking his secret deeds
With tears and toiling breath,
I find thy cunning seeds,
O million-murdering Death.
I know this little thing
A myriad men will save,
O Death, where is thy sting?
Thy victory, O Grave?[/left]

[מי אני]

דערמאנענדיג דעם סקווער-קיוּבּ געזעץ איז אינטרעסאנט צו דערמאנען קלייבּער'ס געזעץ אין ביאלאגיע. דאס לויטעט אז ווי מער די מאסע פון א באשעפעניש איז (ביי רוב באשעפענישן), גייט די מעטעבּאליק ראטע [די ראטע פון ווי אזוי די באשעפעניש געבט אויס/ניצט ענערגיע פער צייט-אפשניט] ארויף לויט די מאסע געהעכערט צו אן עקספאנענט פון 3/4 [דאס מיינט אז איך העכער די מאסע צו אן עקספאנענט פון 3 און דערנאך נעם איך די פערטע רוּט דערפון]. אין אנדערע ווערטער מיינט דאס אז הגם זייענדיג גרעסער דארף עס (אויסצוגעבן/ניצן) מער ענערגיע איז אבער וואקסט עס נישט פראפארציאנאל ליניערלי, והיינו אויב איז עס צוויי מאל גרעסער דאן צוויי מאל אזא גרויסע מעטעבּאליק ראטע [אן עקספאנענט פון 1], נאר ווייניגער ווי דעם. דאס איז ווייל די באשעפעניש ניצט ענערגיע מער עפישענטלי.

במושכל ראשון עפ"י די סקווער-קיוּבּ געזעץ וואלט מער געשטימט אז דאס זאל זיין עפ"י אן עקספאנענט פון 2/3. די סיבה פארוואס עס איז נישט ממש אזוי איז ווייל די סיסטעם וואס דיסטריבּיוּט וכו' די ענערגיע איז מער דומה צו א פרעקטעל ווי גרעסער די באשעפעניש איז.

עס איז אינטרעסאנט אז די מאדעל האט אויך ענליכקייטן בנוגע די וואוקס פון די גרויסקייט פון א שטאט און ווי אזוי די אינפראסטרוקטור וכו' חלקים דערין וואקסן לפי"ז.

די זענען געזעצן בתוך די פעלד פון עלאָמעטרי, וואס איז די לעהרע פון ווי אזוי די סייז פון די באשעפעניש איז פועל אויף אירע אנדערע כאראקטעריסטיקס. אן אנדערע געזעץ אין די תחום איז אז די הארץ-קלאפ און אטעמען ראטע פון א באשעפעניש איז 1 דיוויידעד ביי די פערטע רוּט פון איר מאסע; ווי גרעסער אלס שטאטער. ווי אויך אז דאס גוטע שנעלקייט פון דאס פליען פון אן באשעפעניש/אביעקט איז די זעקסטע רוּט פון איר מאסע.

[מי אני]

בנוגע שׁעיפּס איז דא א זאך וואס ווערט גערופן אן עקוויליבּריִאוּם פּונקט. דאס קען זיין אדער סטאבּיל אדער אומסטאבּיל. א סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט באדייט אז ווען איך שטעל די שׁעיפּ אראפ דארט גייט עס געהעריג רוהען דארט. צב״ש, די זעקס פנימ׳ער פון א קיוּבּ זענען אירע סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקטן. אן אומסטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט באדייט אז בעצם איז ביי דעם פונקט די וואג וכו׳ דערפון באלאנצירט ארום און ארום און עס וואלט טעארעטיש געקענט שטיין דארט [קונצליך] אבער עס איז אומסטאבּיל און עני קליינע ריר וכו׳ גייט דאס אומווארפן און עס וועט רוהען אויף איינע פון אירע סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקטן. ביי א קיוּבּ וועלן אירע פיר עקן זיין אירע אומסטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקטן.

מ׳האט אלס געקלערט אז יעדעס קאנוועקס שׁעיפּ מוז האבן מינימום 4 עקוויליבּריִאוּם פּונקטן אלעס צוזאמען. ווי אויך אז אויב א קאַנוועקס שׁעיפּ האט נאר איין סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט, עס איז מאנאָ-מאנאָסטעטיק, דאן איז עס נישט האָמאָדזשעניִאוס, והיינו אז עס איז נישט (מער-ווייניגער) די זעלבע דענס דורכאויס.

מ׳האט אבער אויפגעוואוזן אז עס איז דא א קאַנוועקס שׁעיפּ, גערופן א גאָמבּאָק, וואס איז יא האָמאָדזשעניִאוס און עס האט נאר 2 עקוויליבּריִאוּם פּונקטן; איין סטאבּילע און איין אומסטאבּילע.

B8824241-F5A0-4A94-B38F-270FEA14EE5B.jpeg

עס זענען דא טשעריפאכעס וואס האבן עוואלווד אן ענליכע סארט שׁעיפּ פאר זייערע שׁעלס און דאדורך דרייען זיי זיך אטאמאטיש איבער גראד צו זייער סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט.

[מי אני]

אין טאפאלאגיע איז דא די געדאנק פון א נאַן-אָריענטיבּל סורפעס. דאס באדייט אז מ׳קען צו דעם זאך נישט געבן א הגדרה פון clockwise צי counterclockwise און עס זאל אזוי בלייבן דורכאויס. א באקאנטע משל דערצו איז דאס מויבּיִאוּס סטריפּ. דאס איז ווען איך נעם א בענדל, צושנייד עס אינדערמיט, דריי עס איבער, און באהעפט עס צוריק. כזה:

BA028BB5-2E1B-4B09-9A19-AF3C4BD8BC07.jpeg

דער מאטעמאטיקער פיליקס קליין האט שטודירט א סארט נאַן-אָריענטיבּל שׁעיפּ גערופען א קליין באטל.

9472F8ED-71BC-44AC-9AFF-7E5C73B0443A.jpeg

דאס קומט אפיר ווען מען שטעלט צאם צוויי מויבּיִאוּס סטריפּס. די קליין באטל קומט באמת אפיר אין 4 דיימענשאנס; אין 3 דיימענשאנס מוז זיך דאס אליין אינטערסעקטן אריין.

7848C747-B0C1-4FB4-9545-00A477601C32.jpeg

דער קאנאדישער מאטעמאטיקער ליִאוֺ מויסער האט געמאכט א פאעזיע דערפון:
[left]A mathematician named Klein
Thought the Möbius band was divine
Said he: “If you glue
The edges of two
You’ll get a weird bottle like mine[/left]

[מי אני]

וויבאלד אונז האבן אויבן געזאגט אז א רילוֺי טרייענגעל האט קאַנסטענט ברייטקייט, והיינו אז אויב מען מאכט צוויי פּאראלעל ליינס וואו אימער אויף די צוויי זייטן דאן זענען די ליינס אלעמאל די זעלבע ווייט איינע פון דאס אנדערע.

A8FF8353-F631-4F28-B2C0-CDD80EBE7809.png

ביי אזעלכע סארט שׁעיפּס איז דא בּאַרבּיער׳ס טעארעם וואס לויטעט אז די היקף פון די שׁעיפּס גייען אלעמאל זיין אט די ווייטקייט צווישן די צוויי ליינס וואס מ׳מאכט טיימס π - נישט קיין חילוק ווי אזוי די עצם שׁעיפּ איז.

***

עס איז אויך אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו בּאָפאַנ׳ס נודל. דאס איז אז אויב האב איך אסאך נודלעך וואס זענען אלע די זעלבע לאנג, און איך האב א פּאַרקעי פלאָר וואס די ווייטקייט פון איין ליין אויפ׳ן פלאָר ביז׳ן אנדערן ליין איז ווייט צוויי מאל די לענג פון א נודל, און איך ווארף אראפ אויף די פלאָר די נודלעך, וועט די פּראָפּאָרשען פון נודלעך וואס גייען אריבער א ליין פון/ביחס צו אלע נודלעך זיין (בערך) π.

יוסף בּאַרבּיער האט דאס אויסגעברייטערט אז נישט קיין נפק"מ וואספארא שׁעיפּ דאס איז, וועט די עקספּעקטעד צאל פון וויפיל מאל עס וועט אדורכגיין א ליין, צי ליינס, אויף די פלאָר זיין אזויפיל וויפיל מאל די לענג פון די שׁעיפּ איז, אין טערמינען פון די ווייטקייט פון איין ליין ביז'ן צווייטן, טיימס 2 דיוויידעד ביי π.

[מי אני]

הרב דר. נדב שנרב ברענגט דאס צו:

74F3B697-3C0C-445F-A557-CC79167A6F12.jpeg

[ברוינשטיין]

כ'בין זייער נייגעריג וואס ער זאגט דא, איך פארשטיי נישט אינגאנצן/בכלל, אויב איר קענט כאטש אויפן שפיץ גאפל מסביר זיין וואלט איך שטארק דאנקבאר געווען.

[מי אני]

אז ראי"ל שטיינעמאן זצ"ל האט געזאגט:

1). אז די עקן פון א שׁעיפּ מאכט די שׁעיפּ פיזיש שוואכער ווי ווען עס איז אַן עיגול אָנע עקן

2). מפי הירושלמי אז בהבריאה בטבע זענען זאכן ווי מער קרוב לעיגול וואס איז א שלימות

3). די גר"א האט אבער געהאלטן אז די וועלט אליין איז יא מרובע ואפשר שאינה נחשבת מן הבריות. און דאס וואס עס ווערט מבואר בתוס' אז אלכסנדר מוקדון האט געזעהן פון אויבן אז די וועלט איז אן עיגול איז נאר פון אויבן אבער פון אונטן מתחת לים זעהט מען יא אז עס איז עקעדיג

4). אז מ'קען משווה זיין דעם גר"א מיט די מציאות אז ער מיינט אז די יבשה איז מרובע ווי מ'זעהט אויף מאפעס (אבל באנו לענין פרעקטעלס)

5). דאס וואס מ'מיינט מיט דעם אז א"י איז גבוהה מכל הארצות איז מכח דעם ווייל די ימ'ען ארום דעם זענען טיפער ווי אנדערע ימ'ען

[ברוינשטיין]

5). דאס וואס מ'מיינט מיט דעם אז א"י איז גבוהה מכל הארצות איז מכח דעם ווייל די ימ'ען ארום דעם זענען טיפער ווי אנדערע ימ'ען

דער מידעדרעיניען ים איז נישט עפעס ווייסעכוואס טיף, שוין, מען שטארבט נישט פון קיין קשיא, ניין?

[ברוינשטיין]

3). די גר"א האט אבער געהאלטן אז די וועלט אליין איז יא מרובע ואפשר שאינה נחשבת מן הבריות. און דאס וואס עס ווערט מבואר בתוס' אז אלכסנדר מוקדון האט געזעהן פון אויבן אז די וועלט איז אן עיגול איז נאר פון אויבן אבער פון אונטן מתחת לים זעהט מען יא אז עס איז עקעדיג

ווי אזוי קען מען זאגן שאינה נחשבת מן הבריות, אפילו שטערנס ווערן אנגערופן בריות? (אזוי מיין איך)

[ברוינשטיין]

אגב, קלער איך יעצט אויב די עקן מאכן די "שעיפּ" שוואכער, אדער די עקן זענען די שוואכערע חלק פונעם "שעיפ" .?