א ווארט איבער פֵּיי (π)

[דיכטער]

מי אני זיך אריינצושטעקן דאס נאז און זיך פארמעסטן מיט די אינהאלטסרייכע, טיפזיניגע אשכולות און ארטיקלען דורך דעם קאווע-שטיבל'ס און מיין שוין-יעצט באקאנטע ניק, @מי אני. אבער פארט וועל איך פרובירן, לפי השגת שכלי, באשרייבן דער אינטערעסאנטע, מאטעמאטישע ציפער באקאנט מיטן נאמען פיי, אדער וויאזוי מען שרייבט עס: π

פֵּיי איז אן אומפַארעֶנדֶערליכע (Invariant) מאטעמאטישע ציפער. דאס מיינט אז עס האט א באשטומטע צאל וואס עס רעפרעזענטירט. אזוי ווי דער נאמבער 5 רעפרעזענטירט פינף זאכן דאס הייסט אז ווען איינער וועט זאגן אז ער האט פינף עפעליך פארשטייט מען דערפון אז ער האט דאס: [emoji519][emoji519][emoji519][emoji519][emoji519]
דער זעלבע איז מיט דעם נאמער פיי, עס רעפרעזענטירט א געויסע, באלט וועט מען זען וויפיל, צאל, פון א זאך.

כדי צו פארשטיין בעסער דער חילוק פון פארענדערליכע און אומפארענדערליכע פיגור, לאמיר נעמען פאר א דוגמא, דער פאלגענדע מאטעמאטישע נאטאציע:
x + y = 5
אין דעם פאל איז דער בוכשטאב x עפעס וואס קען זיך טוישן געוואנדן אין דער אפטייטש פונעם בוכשטאב y, טאמער איז y דער נאמבער 3, דאן מוז x זיין 2, ווייל 3 מיט 2 איז פינף. אבער טאמער איז y גלייך צו 1 דאן איז געבליבן פאר x נאר צו זיין 4, ווייל x מיט y מוזן דאך אין דעם פאל אויסקומען 5.

אנדערש איז אבער 5 וואס איז אן אומפארענדערליכע (ווערט נישט פארענדערט) בוכשטאב ווייל עס וועט אייביג זיין פינף.

איז נאכן פארשטיין אז פיי איז אומפארענדערליך, וואס איז דאס פיי? וועלכע ציפער טוט עס רעפרעזענטירן?

פיי איז דער ציפער וויפיל מאל עס איז דער ארום און ארום א קרייז אין רעלאטיוו צו דער דיאמעטער פונעם קרייז.

און יעצט אידיש טייטש:
א קרייז אדער אין פלעין אידיש: א סירקל, האט עטליכע טיילן
• איינס איז דער גענצע סירקל, דער רינג.
• דער צוויטער איז דער מאס פונעם רום, ארום דער סירקל (Circumference)
• ‏דריי איז דער ברייט פונעם סירקל דאס איז דער מאס פון איין זייט פונעם סירקל ביז דער אנדערע זייט. אין א סיקרל איז דאך נישט קיין חילוק פון וואו אינעם קרייז ביז וואו, עס ווערט געמאסטן, דער מאס וועט דאך אייביג זיין דער זעלבע. דער מאס ווערט אנגערופן: דער דיאמעטער (Diameter)
• דער פערטע איז דער ראדיוס פון דער סירקל, דאס איז דער מאס ווען מען ציט א גראדע שטריך, פון דער רום ארום דעם סירקל ביזן צענטער. וואס אז מען טראכט אריין וועט אייביג זיין פונקט העלפט פונעם דיאמעטער. דאס איז דער ראדיוס.

און צוריק צו אונזערע אפטייטש פון פיי:
פיי איז דער ציפער וויפיל מאל עס איז דער ארום און ארום א קרייז אין רעלאטיוו צו דער דיאמעטער פונעם קרייז.

אז מען וועט נעמען א שטריק און מעסטען דעם גאנצן ארום פון א סירקל און נאכדעם מעסטן דער ברייט פונעם זעלבן סירקל און דאן פארגלייכן ביידע מאסן צוזאמען וועט מען זען אז דער מאס פונעם גאנצן ארום איז בערך 3.14 מאל דער ברייט פונעם סירקל.

צום ביישפיל: א רינג וואס איז איין מעטער ברייט פון איין זייט צום אנדערן, און מען וויל וויסן ווי גרויס איז דער סירקאמפערענס (אומפאנג) דאס איז דער רום ארום דער רינג, דארף מען רעכענען דער דיאמעטער מאל פיי וואס קומט אויס אומגעפער 3.14 מעטער.

דער 3.14 איז ווייט נישט אזא איינפאכע נאמער און איז א היפש קאמפליצירטע נאמער. דערפאר האט עס באקומען אן אייגענע נאמען פאר זיך: פיי.

צוליב וואס איז דער 3.14 נישט קיין פשוטע נאמער?
ווייל עס איז נישט פונקט 3.14 עס אביסל מער דערפון.
וויפיל מער?
צו זיין מער פונקטליך איז עס: 3.1415.
מען איז נאך ווייט פון פארטיג אבער לאמיר עס צונעמען.

יעדער צוגעקומענע נאמער איז נאך א צענטל פון איין נאמער העכער איהם. דאס הייסט אז עס איז נישט פונקט 3.14 נאך עס איז 3.14 מיט נאך א צענטל פון דער לעצטע 4 אבער אויך נישט פונקט 3.141 נאר מיט נאך א האלבע אדער פופציג פראצענט פון דער צענטל פונעם 4, האלט מען שוין ביי 3.1415 אבער דאס איז אויך נישט פונקטליך ווייל עס איז נאכאלטס עטוואס מער. מיט נאך א ניינטל פון דער פופציג פראצענט, אבער דאס איז אויך נאך נישט פארטיג, עס קומט צו נאך א פונפטל און אזוי ווייטער און ווייטער עד אין סוף.

דאס מאכט דער נאמבער 'פיי' אלס אן איראציאנאלע נומער, דאס איז א נאמבער וואס ענדיגט זיך קיינמאל נישט און אויך ווערן נישט איבערגעחזר'ט אין דעם א געוויסע פאטערן פון נאמבערס נאכאמאל און נאכאמאל.

[קלעראוןשער]

וואוו!!!
א מין כח ההסברה האסטו! א גרויסן דאנק!

[מי אני]

ייש"כ!

כידוע איז די גמרא בעירובין יד. דן אין דעם יחס פונעם היקף לרוחב ביי אַן עיגול. חז"ל רעכענען עס ווי 3, ועפ"י הכתוב במלכים א (ז כג) ביי די ים של שלמה. וע"ש בתוד"ה והאיכא אז די חשבון איז טאקע נישט מדוקדק לפי חכמי המדות. דער רמב"ם שרייבט דארט אין זיין פירוש המשנה (פ"א מ"ה):

יש לך לדעת, כי יחוס אלכסון העגולה אל המסבב אותה, בלי ידוע ואי אפשר לדבר בו לעולם באמת. וחסרון זו ההשגה אינה מאתנו כמחשבת הכת הנקראת "גהליה", אבל הוא בטבעו זה הדבר בלי ידוע ואין במציאותו שיושג.

אבל יוודע זה בקרוב, וכבר חיברו חכמי התשבורת לזה חיבורים לידע יחוס האלכסון אל המסבב בקרוב. ודרך המופת בזה הקרוב אשר עליו סומכין חכמי החכמות הלימודיות, הוא יחוס האחד לשלשה ושביעית, וכל עגולה שיהיה באלכסון שלה אמה יהיה בהיקפה שלוש אמות ושביעית בקרוב. ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקרוב, לקחו הם בחשבון הגדול ואמרו כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח, וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה.

דא האב איך צוגעברענגט אז די חילוק צווישן דעם קרי און דעם כתיב ביי די פסוק אין מלכים, איז מרמז צו א מער פונקטליכע עפּראַקסימעישאן דערצו.

דא האב איך צוגעברענגט אז π איז א טרענסעדענטאל נומער.

עס איז אויך מן הראוי לציין אז אין (העכערע) מאטעמאטיקס באנוצט מען זיך מער מיט די יחס פונעם היקף להחצי רוחב [די רעידיאוס], ווי איידער פונעם היקף צום גאנצן רוחב [די דייעמעטער]. והיינו, צוויי מאל π. דעריבער זענען דא מאטעמאטיקער וואס ווילן איינפירן מ'זאל זיך ענדערשער באנוצן מיט'ן "טאַוּ" סימבאל, τ, צו דענויטן דעם קאנסטענט פון 6.28..., ווי איידער π אלס 3.14...

[דיכטער]

עס איז אויך מן הראוי לציין אז אין (העכערע) מאטעמאטיקס באנוצט מען זיך מער מיט די יחס פונעם היקף להחצי רוחב [די רעידיאוס], ווי איידער פונעם היקף צום גאנצן רוחב [די דייעמעטער]. והיינו, צוויי מאל π. דעריבער זענען דא מאטעמאטיקער וואס ווילן איינפירן מ'זאל זיך ענדערשער באנוצן מיט'ן "טאַוּ" סימבאל, τ, צו דענויטן דעם קאנסטענט פון 6.28..., ווי איידער π אלס 3.14...

לויט דעם וועט מען דארפן רעכענען דער שטח פון א סירקל אזוי:
A = r² τ /2
אנשטאט דער באקאנטע פארמולע:
A = π r²
שטומט?

[מי אני]

דארט ווי איך האב צוגעלינקט צייכענען זיי צו א טשארט וואס ברענגט ארויס חילוקים צווישן נוצן π אדער τ אין מאטעמאטישע פאָרמיוּלאָס:

12.jpg

[berlbalaguleh]

דיכטער/מי אני: אויך אין עלעקטראניקס, כדי צו געפינען די אינדאקטיוו און קעפעסיטיוו רעאקטענסעס (מיט באזונדערע פארמולאס) באניצט מען זיך מיט"פיי".

די פארמולא פאר אינדאקטיוו ריעקטענס איז...XL= 2Pfl...די התנגדות צו אן אינדאקטיוון כח איז אייביג פראפארציאנעל צו די שטארקייט פון די אינדאקטיווע (מאגנעטישע) כח.

די פארמולא פאר קעפעסיטיוו ריעקטענס (די התנגדות צו דעם רעזערוו כח) איז פראפארציאנעל פארקערט צו דעם כח פון עלעקטרישע רעזערוו (קעפעסיטענס). ד.ה. אז ווי גרעסער דער רעזערוו כח איז, וועט די התנגדות זיין קלענער...XC= 1/2pfc.

נאר כדי צו פארשטיין פונקטליך וואס די אלע זאכן מיינען 'עט מען דארפן (פאר דער וואס האט נישט געלערנט די עלעקטרישע /עלעקטראנישע טעאריעס) מאכן עטליכע הקדמות און אריינגיין אין גאנצע אריכות'ן. דאס איז נישט פאר מיינע כוחות הנפש. ענדערש פאר הרב מי אני@. אויב ער וואלט אויך געלערנט די חכמה ונפלאות הבורא פון עלעקטריק. נישט נאר פילאזאפיע.

אויב ער קען איז ער מכובד אריינצוגיין בעובי הקורה פון דעם סאבדזשעקט...!

אדער אפשר הרב דיכטער. מיר זענען גרייט צו הערן.

[תרמב]

מזל טוב! מי אני האט שוין א חבר! זיי קענען זיך זעצן בחברותא...

זייער שיין הרב דיכטער, איך גלייך דיינע ווערק, צוביסלעך ווער איך עזשוקעיטעד...

[הרב שיף]

איך האב געמיינט עס קומט א קאמפעזאציע אויף פסח פיי () ח

רוב פון די שמועס דא פארשטיי איך נישט, אבער איך קוועל אז עס איז דא וואס פארשטיין יא.

[berlbalaguleh]

הרב שיף: מ'קען לכאורה פשטל'ען (אפשר א ביסל פורימ'דיג) אז פסח איז מרמז אויף פה-סח. דאס ווערט ארויסגעזאגט מיט א פ"א. וואס איז ענליך צו דעם גריכישן לעטטער "פיי" (סאררי. מיין קיבאורד קען נישט ארויסקוועטשן דעם לעטטער.) און די ווארט "סח" בסופי תיבות איז דאך א חי"ת. וואס איז ענליך אין די צורה צו א גריכישע "פיי". דאס דערמאנט מיך פון א געשמאקע עפל אדער בלו-בעררי פיי. אזוי ווי די פאי'ער קהילה און ביהמ"ד...!

[פארוואס?]

יישר כח פאר די שיינע ערקלערונג.

איין הערה, די וועג איהר זענט מסביר וואס מיינט אז אומראציאנעלע נאמבער קען אביסל מטעה זיין דעם לייענער.

עס איז דא פארשידענע ראציאנאלע נומערן וואס קענען נישט ווערן געשריבן אינעם דעצימאל סיסטעם אן אינסוף ציפערןַ, ווי צום ביישפיל 1/3 אדער 1/7.

[דיכטער]

יישר כח פאר די שיינע ערקלערונג.

איין הערה, די וועג איהר זענט מסביר וואס מיינט אז אומראציאנעלע נאמבער קען אביסל מטעה זיין דעם לייענער.

עס איז דא פארשידענע ראציאנאלע נומערן וואס קענען נישט ווערן געשריבן אינעם דעצימאל סיסטעם אן אינסוף ציפערןַ, ווי צום ביישפיל 1/3 אדער 1/7.

יישר כח @פארוואס? פארן עס ארויסברענגען.
אז דו וועסט זען ביים סוף איז געשריבן "דאס איז א נאמבער וואס ענדיגט זיך קיינמאל נישט און אויך ווערן נישט איבערגעחזר'ט אין דעם א געוויסע פאטערן פון נאמבערס נאכאמאל און נאכאמאל.

[מתבודד]

אנדערע טענה'ען אז די יסודות זענען גאר וויכטיג...

[מי אני]

אז מ׳העכערט אוילער׳ס נומער e צו אַן עקספּאָנענט פון π, וואס דאס קומט אויס צו 23.140692…, איז דאס אויך טרענסעדענטעל. דאס ווערט גערופן געלפאנד׳ס קאַנסטענט. עס איז אויך דאס זעלבע ווי נעגאטיוו 1 געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון נעגאטיוו i.

פארקערט, ווען עס איז π געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון e (וועלכע איז בערך 22.459...), ווייסט מען נישט אויב דאס איז טרענסעדענטעל.

אויב לייגט מען צו צו געלפאנד׳ס קאַנסטענט די סקווער רוּט פון 163 אלס אַן עקספּאָנענט, ווערט דאס גערופן ראַמאַנוּזשאַן׳ס קאַנסטענט.

***

IMG_5898.jpeg

[מי אני]

דער חינוך שרייבט במצוה רנח שלא להונות במדות:

ועוד הרבה ענינים המתבארים בספרי חכמת החשבון וגימטריאות שיחלקו בין זוית נצבה [Right Angle] לזוית נרווחת [Obtuse Angle] וזוית חדה [Acute Angle]. ובין משולש שווה הצלעות [Equilateral Triangle] והמשולש אשר שתי הצלעות בלבד שוות, והוא נקרא 'משולש שווה השוקים' [Isosceles Triangle], ובין משולש שאין צלע מכל צלעותיו שוות הנקרא 'המתחלף הצלעות' [Scalene Triangle]. ובין מרובע רבוע שוה [Square] למרובע אורך [Rectangle], ומרובע מעויין [Rhombus] ומרובע דומה למעויין [Parallelogram]. וכמה צדדין באלו לא יכיל קלף גדול לרוב הצורות שעשו בזה בעלי חכמת התשבורת והשעיורין הנקראין אלהנדסה בענינים אלה. ומכל צד צריכין אנו להזהר הרבה במדידת הקרקעות.

ותזכור עם זה כי הכללים שכללו חכמים זכרונם לברכה בעניני החשבון, כגון מה שאמרו (עירובין נז.) כל אמתא ברבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא, וכן (שם יד.) כל שיש בהקפו שלשה טפחים יש בו רחב טפח, וכן כמה מרובע יתר על העגול, רביע, וכיוצא בכללים אלו, שלא אמרו זכרונם לברכה על הכוון הגמור כי אם בקרוב, ולכן אל תסמך בזה בחלוקת הדברים בין בני אדם. ואל תתמה איך יכתבו דבר בלתי מכוון והם אנשי אמת אשר אלקים נצב בעדתם, כי הם לא נצרכו אל החשבונות כי אם בחשבון תחומי שבת או בזריעת הכלאים ונטיעתם וכיוצא באלו הדברים, ובזה מה שלא כוונו בו מביא אותנו לידי חומרא ואינו מזיק לשום אדם בממונו, ואף על פי כן העידו ברב מקומות אלו, שאין החשבון מדקדק שם, שאמרו בכל מקום ומקום כפי הראוי בו, היינו דלא דק ולחמרא לא דק, וכיוצא בזה שהודיעונו בכל מקום, שלא נתלה בהם מיעוט השגחה וידיעה בדבר מכל הדברים.

ועיין בתשב"ץ (ח"א סימן קסה) וואו חשבונם איז אפילו לקולא ע"ש.

[כרם זית]

רבי יעקב קמנצקי ('אמת ליעקב' מלכים א, ז,) האלט אויך אז די שיעור איז גם לקולא, וויבאלד אויב זאל מען מחמיר זיין צו די גרעסערע שיעור, דאן דארף מען נישט ברענגען קיין ראיה פון ים של שלמה, מען קען עס דאך בפועל אויסרעכענען, אלא מאי די ראיה איז אז ל'דיני תורה' נעמט מען אן די שיעור ווי די 'פסוק' ביי ים של שלמה.