פּאַליגאַנעל נומערן

[מי אני]

איה"נ. די געדאנק איז אז ביי אזא סארט אויסשטעל און אינפיניט איטירעטיוו געבוי, טוהט די עריע קאנווערדזשען בשעת די פּערימעטער טוהט דיווערדזשען. בפשטות איז דאס ווייל לגבי די עריע איז דאס וואס קומט צו צום שטח אלס קלענער און קלענער, אזש אז די קאנווערדזשענט לימיט איז 8/5 די אריגינעלע טרייענגעלס שטח. משא"כ לגבי די פּערימעטער וואס איך גיי דערויף און ארום צו רעכענען, האלט דאס אין איין וואקסן, אזש אז איך וועל קיינמאל נישט ענדיגן מיין "שפאציר" דערויף וואס איך רעכען עס.

ביי דיין משל פונעם סקווער, ווי איך פארשטיי, טוהט די פּערימעטער און עריע בכלל נישט וואקסן - עס בלייבט גענוי דאס זעלבע (גרויסע) ריבוע וואס נעמט ארום פריער. איך לייג נאר צו אַן אינפיניט צאל פון סקווערס בתוכה איינס קלענער ווי דאס צווייטע. (אגב, עס דערמאנט מיר אביסל פון וואס איך האב דא געשריבן.)

[זיצער]

וואס הייסט די סקווער וואקסט נישט, דאס אז עס בלייבט אינעם גרויסן (בלויען) סקווער באדייט אז די עריע פון אלע איניפיט רויטע סקווערס איז פיניט, אבער ער ווערט גרעסער און גרעסער בשיכות צום אגינעלן רויטער סקווער (פונקט וואו ביי דעם סנויפלעיק לייגט מען ציי מבחוץ), דאך וועט די פרימעטער פון אלע רויטע סקווערס זיין אינפיניט

איך רעד בלויז פון די רויטע סקווערס עריע און פרימעטער, די בלויע האב איך פשוט געלייגט צו ווייזען אז די עריע בלייבט אינעם עריע פון צוויי מאל די ארגינעלע עריע.

עפעס מיס איך?

[מי אני]

אַה. בנוגע די אינפיניט רויטע קליינע סקווערס איינס קלענער פונעם צווייטן, ביזטו גערעכט. די עריע/שטח וואס קומט צו גייט טאקע קאנווערדזשען, בשעת די פּערימעטערס וואס קומען צו דיווערדזשען.

[זיצער]

בפשטות איז דאס ווייל לגבי די עריע איז דאס וואס קומט צו צום שטח אלס קלענער און קלענער, אזש אז די קאנווערדזשענט לימיט איז 8/5 די אריגינעלע טרייענגעלס שטח.

לויט ווי איך פארשטיי איז נישט בלויז ווייל עס ווערט קלענער און קלענער, דאס וואלט עס נאכנישט געמאכט פיניט, נאר דאס אז ער פארקלענערט זיך מוט א פרעקשען פונעם פריערדיגן, דאס מאכט איך זאל גענען וויסן וואו זיין גבול איז.
אויב קוקסטו אויף מיינע רויטע סקווערס און די נעמסט עס פארקערט (איך קום אייביג אן צוריקציוועגס, אזוי וואו פריער ביים טרייענגל שמועס) די הייבסט אן פון די קליינעם, די טאטעל עריע פון אלע סקווערס וועט אייביג אריינפיטן און די גרעסער סקווער איינס דערנאך.

כמו 1+2+4+8+16 וועט אייביג זיין מיט איינס קלענער פון די נעקסטע פאווער 32. וכו.
דאס איז דו סיבה וואט איז זעה עס פארן זיין פיניט.
ווייל אז די נעמסט די גרויסע, און די לייגסט צו עפעס מיט א חשבון וואס איז האלב דערפון וכו וכו, ווייסטו גענוי אז וואס אימער די וועסט נאר צילייגען מיט דעם סיריס וועט דער טאטאל צוגעלייגטע עריע נישט זיין גרעסער פונעם ארגינעלען עריע, דאס מיינט אז די עריע איז פיניט און קאנווערדשד אין צוויי מאל די ארגינעלע.
יעצט ביי די סנויפלעיק, וויבאלד די סיריס איז נישט האלב איז דער חשבון אנדערש אבער אויפן זעלבן וועג.

כהאף איך בין גענוג קלאר מיט מיין צושטעל

[זיצער]

אַה. בנוגע די אינפיניט רויטע קליינע סקווערס איינס קלענער פונעם צווייטן, ביזטו גערעכט. די עריע/שטח וואס קומט צו גייט טאקע קאנווערדזשען, בשעת די פּערימעטערס וואס קומען צו דיווערדזשען.

נו אויב ביסטו מסכים מיט מיר, קום איך צוריק צו מיין פראגע וואס איז די חידוש מיט קאטש סנויפלעיק?
כפארשטיי די חידיש אז עס איז א פרעקטל, אבער די חלק וואס מבאצייכנט עס אלס חידוש פון פיניט עריע מיט אינפיניט פרימעטער, ביי די פשוטע סקווערס איז עס אויכעט?

[מי אני]

דיין משל איז טעקניקעלי א (וועריעישאן פון א) סיערפּינסקי סקווער/קארפּעט וואס איך האב דא דערמאנט. ואיה"נ אז דאס איז אויך א פרעקטעל אויפ'ן זעלבן דרך. אזויפיל יא, די חילוק איז אז דא ביים סיערפּינסקי סקווער/קארפּעט רעכענסטו צאם א בּאנטש עקסטערע פּערימעטערס (און עריעס) פון די קליינע סקווערס. און די חילוק איז טאקע אז די עריעס קאנווערדזשען בשעת די פּערימעטערס דיווערדזשען. משא"כ ביים קאטש סנויפלעיק איז עס די איינע פּערימעטער און עריע פון איין שׁעיפּ. (אט וועגן דעם האב איך מעיקרא געמיינט אז דו רעדטסט פונעם גרויסן סקווער הכוללם.)

[זיצער]

דיין משל איז טעקניקעלי א (וועריעישאן פון א) סיערפּינסקי סקווער/קארפּעט וואס איך האב דא דערמאנט. ואיה"נ אז דאס איז אויך א פרעקטעל אויפ'ן זעלבן דרך. אזויפיל יא, די חילוק איז אז דא ביים סיערפּינסקי סקווער/קארפּעט רעכענסטו צאם א בּאנטש עקסטערע פּערימעטערס (און עריעס) פון די קליינע סקווערס. און די חילוק איז טאקע אז די עריעס קאנווערדזשען בשעת די פּערימעטערס דיווערדזשען. משא"כ ביים קאטש סנויפלעיק איז עס די איינע פּערימעטער און עריע פון איין שׁעיפּ. (אט וועגן דעם האב איך מעיקרא געמיינט אז דו רעדטסט פונעם גרויסן סקווער הכוללם.)

מצד וואס איז קאטש מער איין שעיפ, די סקווערס קען איך אויך מאכן אויף אלע פיר זייטען (און פארשטייט זיך אויסמעקן די חלק ליין דארט וואו מבאהעפט די נייע חלק כדי עס זאל אויסזען איין שעיפ, איך האב פשוט נישט עס געטון אויף מיינע סקווערס אבער פארשטאנען אז מוועט עס פארשטיין אז דאס איז די כוונה, דר. וויקטאר בּלאַזשאָ ? ) און עס וועט האבן דעם זעלבן אפפעקט. למשל איך וועל לייגען די צוגעלייגטע סקווערס אינדערמיט פון אלע פיר זייטן ארויף און ארויף אינפיניטי, וועט זיין אן עכטע שעיפ וואס די עריע איז פיניט אין פרימעטער אינפיניט.

בד"ו מיט מיין צייכענען דא בלויז איין זייט, איז כמו קאטש אליין אויף זיין ארגינעלן פלעיק טעארם האט ער עס מתחילה געוויזן נאר אויף איין פון די דריי זייטן. זוי מיין איך

[זיצער]

אז די זעהסט נישט אין מיינע סקווערס איין שעיפ, וועלן מיר מוזן צוריקגיין צו יוונישער קאנסטראקשנס ווי די רופסט עס, און אראפמאלן וואס איך מיין.


די עריע איז פיניט און קאנווערדשד צו פינעף מאל (עטוואס ווייניגער, כנ"ל) די ארגינעלע סקווער אינמיטן, בעת די פערימעטער איז אינפיניט, די גאנצע צייט ווען כרעד פון א סקווער האב איך דאס געמיינט, פשוט נישט אויסגעמעקט די ליינס אינדערמיט ביי יעדע איטערעשן.

[מי אני]

דאן איה״נ. אין אזא פאל איז עס א וועריעישאן פונעם קאטש סנויפלעיק, וואס איז מיט טרייענגעלס און דא איז עס אנשטאטס דעם מיט סקווערס (נאר מיט אָן צולייגן אין די זייטן, נאכ׳ן עס טוהן/צולייגן נאר די ערשטע מאל/איטערעישאן אויף די זייט אויך, די קלענערע סקווערס). כעין זה:

04CC4943-4C6D-447C-B4D2-4F16E92AD5BE.jpeg

וויאזוי דו האסט דאס פריער אויסגעשטעלט איז עס געווען מער דומה צום חילוק (ביי פרעקטעלס) ביי טרייענגעלס צווישן די קאטש סנויפלעיק און דעם סיערפּינסקי טרייענגעל, וואס איך האב אויך דארט צוגעברענגט.

דר. וויקטאר בּלאַזשאָ זאגט טאקע בנוגע די חילוק בזה בין היוונים וחכמי זמנינו:

Diagrams. What are their role in geometry? Some people like to think that the logic of a geometrical proof doesn’t need the diagram. Mathematics is supposed to be pure and absolute. Diagrams seem connected to the visual, the intuitive, that makes it kind of psychological, and perhaps therefore even subjective

Certain people don’t like that association one bit, so they try to minimise the role of diagrams. Maybe diagrams are just crutches to help those with weaker minds, whereas a perfect logical reader could follow the proof from the text alone. Some people like to think so. It’s a dogma that fits modern tastes

But, historically, that interpretation is a pretty poor fit. In some ways, classical geometry appears to have embraced visuality rather than tried to replace it with abstract logic

כ׳האלט מיך נישט פאר א מאטעמאטיקער אדער לאגיקער (ועיין בחתימתי).

[זיצער]

איך וואלט עס ענדערש אנגערופן אז קאטש סנויפלעיק איז א וועריעשן פון דאס, דאס איז פיל פשוטער. וואס איז די גרויסע חידוש פון קאטש אז מען באצייכנט עס אלס פיניט עריע און אינפיניט פערימעטער?

קוק למשל מיין ארגינעלע עקזעמפל, ווי דאס




דאס איז די פשוט'סטע שעיפ מעגלעך און האט אט די אייגנשאפטן (פארשטייט זיך די סנויפלעיק איז מער א חידוש און פרעקטל, אבער איך רעד בנוגע די אנדערע חלק)

מיין פראגע איז נישט אויף דיר אלס ארויסברענגען עס ביי קאטש סויפלעיק, נאר ווען איך האב נישט פארשטאנען וואס מיינט א אינפיניט פערימעטער+ פיניט עריע, און עס געפארשט בין איך אלס אנגעקומען צו קאטש סנויפלעיק אלס סעמפל. וויקיפידע צייכנט עס צו ועוד. סא מיין פראגע קומט צוריק

[זיצער]

כ׳האלט מיך נישט פאר א מאטעמאטיקער אדער לאגיקער

ווער איז א מאטעמאטיקער אויב נישט דו.

איך שעם זיך מודה זיין, כהאב מיר געהאלטן צו פארשטיין מאטעמאטיקס, ביז איך בין אנגעקומען צו דיינע שרייבערי, דערזעהנדיג איך ווייס גארנישט

[מי אני]

ייש"כ!

מיין פראגע איז נישט אויף דיר אלס ארויסברענגען עס ביי קאטש סויפלעיק. נאר ווען איך האב נישט פארשטאנען וואס מיינט א אינפיניט פערימעטער + פיניט עריע און עס געפארשט, בין איך אלס אנגעקומען צו קאטש סנויפלעיק אלס סעמפל. וויקיפידע צייכנט עס צו ועוד. סוי, מיין פראגע קומט צוריק.

איה"נ. איך וואלט געקלערט אז די געדאנק איז ווייל די פּערימעטער וואס קומט צו צום סוף אז עס זאל זיין אינפיניט (בשעת'ן ענקלויזן א פיניט עריע) איז בעצם (עפּראַקסימעיטן) א קורוו ווען מ'זומט ארויס. ואפילו דיין משל פון די קאנסטראקשען פון אינפיניט סקווערס, והיינו די (מער-ווייניגער) קאטש סנויפלעיק עפ"י סקווערס ווי איידער טרייענגעלס, גייט צוביסלעך מער און מער עפּראַקסימעיטן א קורוו ווען מ'זומט ארויס דערפון אינגאנצן. מיינענדיג, ווען מ'זומט ארויס פונעם גאנצן זאך ווייט וועט דאס מער אויסזעהן ווי א קורוו, און ווען מ'זומט אריין דערצו זעהט מען אז עס איז א פרעקטעל וואס איז סקווערס אלס איבער און איבער אינפיניטלי און עס איז סעלף-ריפּיטינג לעולם. די קאטש סנויפלעיק ווערט טאקע אויך גערופן א קאטש קורוו ומהאי טעמא. און צווישן די צוויי ברירות איז לכאורה די קאטש סנויפלעיק עפ"י טרייענגעלס דאך מער אינטואיטיוו און פשוט'ער מעיקרא אלס א קורוו, ווי איידער איר קאנסטראקשען עפ"י סקווערס. אולי. (ואיה"נ אז אפשר וואלטן אזעלכע קאנסטראקשענס מיט אנדערע פּאליגאנס געווען נאך מער אינטואיטיוו לגבי קורווס, אבער אולי אז דעמאלטס איז שוין די קאנסטראקשען מער קאָמבּערסאם.)

דאס גייט אין איינקלאנג מיט'ן געדאנק פונעם קויסטליין פּאראדאקס אין דעם סוגיא, אז ווי מער מ'זומט אריין צום גרעניץ ביים בארטן אלס מער דארף מען נאך רעכענען די לענג פון די קורווס וואס ווערן גראד דארטן און געבט צו נאך צום לענג אלס די גרעניץ פונעם לאנד. די געדאנק איז אס עס ווערט א קורוו פון אינפיניט לענג.

[זיצער]

קויסטליין פּאראדאקס איז מער דומה צו מיין איין זייט גראדע סקווער. און ל"ד קויסט ליין נאר יעדע פיזישע (לאפוקי וועקטאר שעיפס) זאך, וואס מ'מעסט פערימעטער, ווייל ביי קויסט ליין ענדיקט זיך עס ביי אטאמיק לעוועל און דעם אומפערפעקשן איז אלס דא, נאר טאקע קאוסטליין ברענגט ארויס די פאראדאקס שטארק.

[מי אני]

ל"ד. מ'קען עס באטראכטן אז די גרעניץ ווייט ארויס איז עס אזא כעין קורוו "דרייעדיג", און ווי מער נענטער מ'גייט אלס מער ווערט עס גראד מיט מער גראדע ליינס אהין און אהער. מיינענדיג, עס קומט צו מער און מער גראדע ליינס וואס דרייען זיך ארויף און אראפ און אלע מיני דעגריס. מ'קען טענה'ן אז דאס איז לכאורה מער דומה צום קאטש קורוו עפ"י טרייענגעלס, ווי איידער עפ"י סקווערס וואס איז דאך מער אפגערוקט איינע פון דאס אנדערע. אולי.

אגב, דר. מארקוס דוּ סאָטוׂי זאגט אז דזשעקסאן פּאלאק'ס פּעינטינגס האבן גע'ארבעט עפ"י פרעקטעלס, וואו מ'זומט אריין און עס איז גאר ענליך.

Jackson.jpg

[מי אני]

ס׳דא די באקאנטע וויץ פון:

Why is the number six afraid?
A: Because seven eight nine (seven ate nine)

מ׳האט דאס אויסגעברייטערט:

IMG_4877.jpeg

א squared meal מיינט באלאנסירט און nutritious.

[מי אני]

דער מאטעמאטיקער וואצלאוו סיערפּינסקי (דער פונעם סיערפּיניסקי טרייענגעל און סיערפּיניסקי סקווער) האט אויפגעוואוזן אז עס איז דא אַן אינפיניט צאל פּיטאַגאָריען טריפּלס וואו די צוויי רייט זייטן פונעם טרייענגעל זענען אויך טרייענגולאר נומערן. עס איז אבער נאר דא איין סעט פון פּיטאַגאָריען טריפּלס וואס מ'ווייסט פון וואו אלע דריי זייטן, וגם ההיפּאַטענוס בכלל, זענען טרייענגולאר נומערן. ער האט געזאגט אז מ'ווייסט נישט צי עס זענען דא נאך, און אויב עס זענען יא פארהאן נאך, צי עס איז דא א פיניט אדער אינפיניט צאל פון זיי.

Triangular.jpg

דר. דוד בּעלוּ און דר. ראנעלד וועגער האבן אויפגעוואוזן אז אויב זענען דא מער אזעלכע, מוז די סקווער פון איין טרייענגולאר נומער פון איינע פון די צוויי זייטן וואס איז נישט די הייפּאַטענוס, זיין א סומע פון קיוּבּ נומערן איינע נאך די אנדערע אין א רייע. דאס איז הגם לעאנהערד אוילער האט אויפגעוואוזן אז חוץ די נומער 1 איז נישטא קיין איין טרייענגולאר נומערן וואס איז א קיוּבּ.