אריטמעטיק חלק ה

[פארוואס?]

אריטמעטיק חלק ה

״דער רוט״

דער רוט איז די פארקערטע אקט פון דער פאטענץ.
דאס הייסט, אז דער a'טער רוט פון א נומער b, איז c, אויב:

קוד: וועל אויס אלע

c^a=b

פארשטענדליך? אויב נישט, (טריי נאכאמאל צו פארשטיין, אויב נאכאלס נישט), דאן לאמיר עס מאכן פשוטער, און אנפאנגען קודם מיט דער סקווער-רוט, איז אזוי:

קודם כל דארפן מיר פארשטיין וואס איז דאס א סקווער-רוט. (אדער ווי עס הייסט אין העברעאיש ״השורש הריבועי״).
מ׳קען עס מסביר זיין אין די אלגעברישע שפראך, און אזוי אויך אין א געאמאטרישע שפראך, און איך וועל ביידע נוצן.
אין אלגעברא איז איינגעפיהרט צו נוצן דעם בוכשטאב x, כדי צו דענאטירן א אומבאקאנטן נומער, וואס מיר ווייסן אויף איהם געוויסע זאכן, בעפאר מיר ווייסן ווער ער איז אליינס, און מען קען דורך די אלע זאכן אויסגעפונען ווער איז דער x.
אלזא, וואלט איך געזאגט, זייער פשוט: וואס איז דער נומער x, וואס ווען מען וועט דאפלען x טיימס x, וועלן מיר באקומען דער נומער צוויי:

קוד: וועל אויס אלע

x*x=2

די פשוטע וועג עס צו פראבירן אויסגעפונען איז דורך פראבירן גיין אויף ארויף און אראפ, ווי פאלגענד:
לאמיר זאגן אז x=1, אבער 1*1=1, דעמאלטס מוז זיין אז x איז גרעסער פון 1.
דעמאלטס לאמיר זאגן: x=1.5, דעמאלטס 1.5*1.5=2.25, דארף עס זיין אביסל קלענער ווי 1.5.
לאמיר זאגן x=1.4, איז 1.4*1.4=1.96.
ווייסן מער שוין אז ער געפינט זיך ערגעץ וואו אין צווישן 1.4 און 1.5, און אזוי קען מען ווייטער גיין, ביז מען קומט אן צו א ענדגילטיגע ענטפער, אדער מען ווערט מיהד, (און ווי מיר גייען באלד זעהן, אז בנידון דידן, וועט מען קיינמאל נישט אנקומען צו א ענדגילטיגע ענטפער, ווייל מיר רעדן פון אומ-ראציאנאלע נומבער).
אבער פארשטענדליך, אז נישט ביי יעדע נומער, דארף מען אראפלייגן אזא שווערע עבודה, ס׳איז דא נומערן וואס זענען גאנץ גרינג צו טרעפן. ווי למשל:
דער סקווער רוט פון 4 איז 2
דער סקווער רוט פון 9 איז 3
דער סקווער רוט פון 16 איז 4.

יעצט קענען מיר פראבירן פארשטיין יעדע סארט רוט.
די דריטע רוט פון א נומער, מיינט ווידער צו זאגן: דער x, וואס x^3, איז דער נומער. ווי למשל:
די דריטע רוט פון 27 איז 3
די פערטע רוט פון 16 איז 2
די פיפטע רוט פון 243 איז 3.
און אזוי ווייטער.
צו אויסרעכענען א רוט פון א נומער, איז צו מאל זייער שווער.
אבער ווען דער רוט, איז א גאנצע נומער, קען עס ווערן גרינג אויסגערעכנט דורך פאקטארייזן דעם נומער. ווי למשל:
אונז ווילן מיר וויסן די זיבעטע רוט פון 128, דאן לאמיר איהם צוטיילן אין צוויי. וועלן מיר באוקומען 64. ווידער צוטיילן אין 2, איז 32, ווידער צוטיילן אין 2, איז 16, דערנאך 8, 4, און 2.
זעהן מיר פון דעם, אז:
2^

קוד: וועל אויס אלע

7=128

ווייסן מיר אז די זיבעטע רוט פון 128 איז 2.
איך וועל יעצט נישט אריינגיין אין נישט גאנצע נומערן רוטס, איך וועל צוריק-קומען צו דעם און אן אנדערע געלעגנהייט.

המשך יבוא…

[דיכטער]

איך בין לעצטנס אנקעגן געקומען אט דער מאטעמאטישע פראבלעם:
= 0.5^16
דאס איז: נומער זעכצן צו דער האלבע עקספּאָנענט (פאטענץ).

וואס איז דער ענטפער?

[מי אני]

‏דא האב איך געשריבן:

אינעם שמועס פון עקספּאנענטס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום קאטאלאן קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז 2³ וואס איז 8 און 3² וואס איז 9, איז די איינציגסטע מאל וואס דורכ׳ן שרייבן צוויי אנדערע עקספּאנענטס קום איך אן צו א חילוק פון נאר איין צווישן זיי צוויי. דאס איז קאָנדזשעקשורד געווארן דורך דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער יוּדזשיִן טשארלס קאטאלאן און אויפגעוואוזן געווארן בערך 150 יאר שפעטער דורך דער רומענישער מאטעמאטיקער פּרעדא מיהאלישׁוּ. דער רלב״ג האט אויך געהאט דערמאנט עפעס אין דעם ענין.

נאך ברייטער אין דעם איז דא דעם נאך אפענע שאלה פונעם אינדיאנער מאטעמאטיקער סוּבּאַיאַ פּילאַי וואס רופט זיך על שמו פּילאַי’ס קאָנדזשעקשור. דאס פרעגט נאר אויב די חילוק אין נומערן צווישן עני צוויי סקווערס (פון גאנצע נומערן; פּערפעקט סקווערס) איז פיניט. דהיינו, למשל, איז דא א שיעור צו וויפיל מאל 2 וועט זיין די חילוק צווישן די רעזאלט פון איין עקספּאָנענט צו א צווייטע? ער האט געקלערט אז יא.

ענליך צו דעם גאנצן שמועס איז דאס אז די איינציגסטע מאל וואס ארומטוישן די נומערן פון די בּעיס מיט׳ן עקספּאָנענט און עס וועט נאך אלס זיין די זעלבע ענטפער איז ביי 2 און 4. דהיינו, 2⁴ און 4² וועלן ביידע זיין 16. דאס איז די איינציגסטע מאל וואס עס איז אזוי ביי גאנצע נומערן (אויב נעמט מען אבער אויך אריין אין כלל נישט גאנצע נומערן (וואס, אגב, א נישט גאנצע נומער עקספּאָנענט מיינט א רוּט: די דענאמינעיטאר וועט זיין די מספר פון די רוּט [2 פאר א סקווער רוּט, 3 פאר א קיוּבּיק רוּט, 4 פאר א 4 רוּט [א נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער וועט אנקומען צו די נומער אין די רוּט], און די נוּמערעיטאר וועט זיין די עקספּאָנענט פון די נומער אין די רוּט [וואס מ׳טוהט פאר׳ן נעמען די רוּט]) איז דא אן אינפיניט צאל פון נומערן וואס עס גייט יא זיין אמת דערביי).

‏דא הא׳מיר געשריבן נאך אן אינטרעסאנטן קשר צווישן די סקווער [עקספּאָנענט פון 2] און קיוּבּ [עקספּאָנענט פון 3].

ולכן איז עס אין @דיכטער׳ס פאל דאס זעלבע ווי פרעגן:
16√

וואס דאס מיינט א רוּט פון 2; די דינאמינעיטער פון 1/2 שהיא 0.5. וואס די ענטפער דערויף איז 4.

ואגב, דא האב איך געשריבן איבער נעגאטיווע עקספּאָנענטס און סייענטיפיק נאָטעישאן:

מ׳קען אויסברייטערן דעם שמועס פון דעצימלס און דאס מרחיב זיין מסביר צו זיין סייענטיפיק נאטעישאן. דאס איז א מעטאדע אראפצושרייבן גאר גרויסע אדער גאר קליינע נומערן אין א קורצן פארמאט.

מען דארף צום ערשט באטאנען אז דאס אז די דעצימל סיסטעם ארבעט און איז באזירט אז יעדע פלעיס וועליו איז צען מאל אזוי גרויס ווי די פלעיס וועליו פאר איר/צו איר רעכטע זייט, איז די סיבה אז מען קען גאר גרינג רעכענען למשל אזא סארט פראבלעם, 123.45x10=1,234.5; מען האט גערוקט דעם דעצימל פינטל איין פלאץ צו רעכטס. דאס איז ווייל איך האב געמאכט די גאנצע נומער מיט צען מאל גרעסער, וואס דאס איז וואס די דעצימל פלעיס וועליו סיסטעם איז מיוסד אויף; א נומער/דיזשיט/פלאץ איז צען מאל גרעסער ווי די נומער/פלאץ צו זיין רעכטע זייט און צען מאל קלענער פון די נומער/פלאץ צו זיין לינקע זייט. דאס זעלבע אויב האב איך 123.45x100 איז דאס 12,345, ווייל איך האב דאס געמאכט מיט צוויי מאל צען [100] מאל גרעסער, און דעריבער האב איך גערוקט די דעצימל פינטל צוויי פלעצער צום רעכטס [12,345.0] און געמאכט דעם נומער מיט צוויי מאל צען מאל גרעסער; וואס דאס איז צוויי דעצימל פלעצער.

די זעלבע זאך וועט ארבעטן אויף פארקערט מיט דיוויזשאן. למשל 10÷123.4 וועט זיין א צענטל פונ׳ם פריערדיגן נומער, וואס מיינט אז מען רוקט די דעצימל פינטל איין פלאץ צו לינקס, 12.34, וואס מאכט דאס א צענטל ווייניגער, וכן הלאה [100÷123.4=1.234 וכו׳].

מען דארף אויך מסביר זיין די קאנצעפט פון עקספאנענטס (מ׳האט שוין ארומגערעדט דערפון אין אן אנדערע אשכול). אין קורצן, אויב וויל איך מאלטיפלייען א נומער ביי זיך אליין מערערע מאל, למשל 3x3x3x3x3x3, קען איך דאס שרייבן 3 מיט א קליינע 6 פון אויבן, וואס זאגט מיר אז די נומער 3 טוט מען מאלטיפלייען ביי זיך אליין 6 מאל [טאמער קען מען נישט שרייבן א קליינע נומער פון אויבן, שרייבט מען אזוי 6^3, וואס דאס ווייזט כאילו דער 6 איז קלענער און העכער אויף די לינקע זייט].

נאך א קליינע הקדמה, אויב א פאזיטיווע עקספאנענט ווייזט אויף וויפיל מאל איך טוה מאלטיפלייען א נומער ביי זיך אליין, וועט א נעגאטיווע עקספאנענט ווייזן וויפיל מאל איך דיווייד א נומער ביי זיך אליין. למשל, 6-^3 וועט מיינען 3÷3÷3÷3÷3÷3.

(מיט דעם קען פארשטיין דעם באקאנטן כלל פארוואס אן עקספאנענט 1 וועט אלעמאל מיינען דעם עצם נומער און אן עקספאנענט פון 0 וועט דער ענטפער אלעמאל זיין 1. ווייל למשל 2^3 מיינט 3x3 [צוויי מאל שרייבן די נומער 3 אין מאלטיפליקעישאן], וועט 1^3 מיינען פשוט 3 [איין מאל געשריבן]. אויב גייט מען נאך ווייטער צוריקצווועגס, 0^3, וועט דאס דאך מיינען 3÷3 [די נומער דיוויידעד איינמאל ביי זיך אליין] וואס דאס איז 1. ווען מען גייט נאך ווייטער צוריקצווועגס נאך 0, ניגאטיווע נומערן, מיינט דאס נאכאמאל דיוויידען וכן הלאה [עס וועט שוין ווערן א פרעקשאן כמובן].

מיט דעם קען מען אויך פארשטיין פארוואס אין די ארדער אף אפערעישאנס איז רעכענען עקספאנענטס פון די סאמע ערשטע (נאך פארענטעסיס). ווייל יעדע סתם נומער דו זעהסט האט שוין ממילא אן עקספאנענט וואס דו סאלווסט בלא יודעים; אן עקספאנענט פון 1.)

וויבאלד, ווי ערווענט, איז אונזער נומער סיסטעם באזירט אויף גרעסער/קלענער ביי צען, וועט ביי עקספאנענטס אויף די נומער 10 זיין גאר גרינג אויסצורעכענען. למשל, 2^10 מיינט צען מאל צען וואס דאס איז 100. איך קען דאס באטראכטן אז מען האט גערוקט די דעצימל פלאץ צוויי פלעצער צו רעכטס נאך דעם 1. אזוי ווייטער 3^10 וועט זיין 1000; דריי פלעצער גערוקט צו רעכטס, וכן הלאה.

מיט דאס אלעמען קען מען אראפשרייבן ריזיגע נומערן אין א גאר קורצן פארמאט. למשל, אויב האב איך 12,000,000, קען איך דאס אראפשרייבן אזוי 7^10 מאל (x) 1.2; דאס מיינט אז איך וועל רוקן דעם דעצימל פינטל זיבן מאל (אזוי ווי די נומער פונ׳ם עקספאנענט) צו רעכטס צוריקצובאקומען מיין אריגינעלען נומער. די זעלבע זאך פארקערט, אויב האב איך 00000012. קען איך דאס שרייבן 7-^10 מאל (x) 1.2; מיינענדיג איך זאל רוקן דעם דעצימל פינטל זיבן מאל (אזוי ווי די נומער פונ׳ם עקספאנענט) צום לינקס (אזוי ווי ביי דיוויזשאן וככל הנ״ל) צו באקומען דעם נומער. דאס איז פארשטייט זיך גאר אנגענעם ביי גאר גרויסע נומערן, למשל 102^10 מאל (x) 7.33. די קאנווענשאן וועט אלעמאל זיין ביי סייענטיפיק נאטעישאן צו שרייבן איין נומער צום לינקן [גאנצע נומערן] זייט פונ׳ם דעצימל פינטל און די איבעריגע [נישט-זערא] נומערן צום רעכטן זייט.

[דיכטער]

יישר כח @מי אני. שוין, האט זיך עס געלוינט ארויפצוברענגען דער שאלה.
אגב, די לינקס וואס דו צייכנסט צו, עפענען זיך נישט ביי מיך.
(״אינפארמאציע
איר האט נישט די ערלויבעניש צו ליינען דעם פארום.״)

[מי אני]

זיי זענען געווען אין אַן אשכול איבער דעצימעלס וואס, כנראה, האט דער פותח האשכול געבעהטן מ'זאל אראפנעמען. האב איך געבעהטן פון @מנהל באישי אז ער זאל מיר שיקן מיינע תגובות דערין צו מיר באישי, און אזוי האט ער געטוהן.

(דא למשל האב איך צוגעלינקט צו מיין אריגינעלע תגובה איבער פרעקשאנעל עקספּאָנענטס. און דא למשל האב איך צוגעלינקט צו מיין אריגינעלע תגובה איבער נעגאטיווע עקספּאָנענטס. אזוי האב איך געהאט די דירעקטע לינקס אים צו בעהטן פונקליך וואס איך וויל.)