די פארשידענארטיגע ״פונקציעס״ פון אהבה בין x לy

[מי אני]

אין שטיבל האט מען אפאר מאל דערמאנט דאס געדאנק פון מאטעמאטישע פאָנקשענס. ביי דעם איז דא די חלק פון די נומערן וואס קענען זיין דעם x דעם אינפּוּט, וואס ווערט גערופן דעם דאָמעין, און דעם חלק פון נומערן וואס זענען y דעם אַוּטפּוּט וואס איך באקום [גערופן אן אימעדזש] עפ״י עפעס א מאטעמאטישע אַפּערעישאן וואס די פאָנקשען זאגט מיר טוהן צו די נומער וואס איז די x, וואס ווערט גערופן דעם קאָדאָמעין אדער רעינדזש. א פאָנקשען בכלל קען נישט זיין אז עס זאל האבן איין x וואס זאל זיין מקושר צו מער ווי איין y. דאס קען מען זעהן און טעסטן אויף א גרעף פון די פאָנקשען אז ווען איך מאך א גראדע ליין אויף ארויף [ווערטיקעל] וועל איך מיך נישט אנקלאפן אין צוויי (וכ״ש מער) פונקטן פונעם פאָנקשען, וואס וואלט צושטאנד געקומען אויב איין x [וואס איז האריזאנטעל אין די ברייט] האט מער ווי איין y [וואס איז ווערטיקעל אין די הייך] אלס א תוצאה. אין דעם ווערט עס אבער ווייטער צוטיילט אין צו פיר סוגים:

‏1). אינדזשעקטיוו - דאס מיינט אז עס איז נישט דא א y וואס איז מקושר צו מער ווי איין x. עס איז אבער שייך אז עס זאל זיין א y אינעם רעינדזש/קאָדאָמעין וואס איז לגמרי נישט מקושר. דאס ווערט גערופן אן איינס-צו-איינס פאָנקשען. אז איך מאך א גראדע ליין אין די ברייט [האריזאנטעל] גיי איך מיך נישט אריינקלאפן אין מער ווי איין פונקט. א סיניוּסוֺידעל פאָנקשען למשל איז נישט אינדזשעקטיוו. כזה:

B979669D-AB62-49E6-8C48-41D519124D7F.jpeg

‏2). סורדזשעקטיוו - דאס מיינט אז יעדעס y אינעם רעינדזש/קאָדאָמעין איז מקושר צו אן x. צוויי אנדערע x׳ס קענען זיין מקושר צום זעלבן y. דאס ווערט אויך גערופן אן ״אַנטוּ״. כזה:

52C0FC59-1A24-4071-BB20-FEB149A7BF38.jpeg

‏3). בּיידזשעקטיוו - דאס מיינט אז עס איז סיי אינדזשעקטיוו און סיי סורדזשעקטיוו. דהיינו, אז יעדעס x איז מקושר צו א ספעציפישע y; יעדעס y ווערט פארנוצט. וממילא איז עס אינדזשעקטיוו מיט דעם אז עס איז טאקע נישט דא א y וואס איז מקושר און א תוצאה פון מער ווי איין x. און עס איז סורדזשעקטיוו מיט דעם אז יעדעס y אינעם רעינדזש/קאָדאָמעין איז מקושר צו אן x פונעם דאָמעין. אונז הא׳מיר דא אראפגעברענגט פון דר. נארמאן סאלאמאן אז די לאגיק פון די גמרא ארבעט עפ״י בּיידזשעקשאן. כזה:

BBB55F80-62E4-491D-A84E-2390A8730461.png

4). קיין איינס - עס איז א פאָנקשען וואו איין y איז מקושר צו מער ווי איין x אבער נישט אלע y׳ס זענען מקושר צו אן x. כזה:

2B4C9DA2-CC63-4F57-871C-049CF1FC9A06.jpeg

אן אינווערס פון א פאָנקשען איז ווען איך דריי אויס דעם פאָנקשען און מאך דעם y פאר׳ן אינפּוּט אויף כדי צו באקומען דורך איר איר מקושר׳דיגע x אלס אן אַוּטפּוּט.

עפי״ז איז דא אן אינטרעסאנטע פאעזיע פונעם מאטעמאטיקער דר. אַבּאַ מבּיריקאַ:
[left]And it clearly follows that the function is bijective

Let’s take a closer look and make this more objective

It bears a certain quality – that which we call injective

A lovin’ love affair, Indeed, a one-to-one perspective.

Injection is the stuff that bonds one range to one domain

For Mr. X in the domain, only Miss Y can take his name

But if some other domain fool should try to get Miss Y’s affection

The Horizontal Line Police are here to check for 1 to 1 Injection
.

Observe though, that injection does not alone grant one bijection

A function of this kind must bear Injection AND Surjection

Surjection!? What is that? Another math word gone surreal

It’s just a simple concept we call “Onto”. Here‟s the deal:

If for EVERY lady ‘y’ who walks the codomain of f

There exists at least one ‘x’ in the Domain who fancies her as his sweet best


So hear the song that Onto sings – a simple mathful melody

“There ain’t a Y in Codomain not imaged by some X, you see!”

So there you have it 2 conditions that define a quality.

If it’s injective and surjective, then it’s bijective, by golly! 


Now if you’re paying close attention to my math-poetic verse

I reckon that you’ve noticed implications of Inverse

Inverse functions blow the same tune – They biject oh so happily

By sheer existence, inverse functions mimic Onto qualities

And per uniqueness of solution, another inverse golden rule

By gosh, that’s one-to-one & Onto straight up out the Biject School![/left]
עס איז אינטרעסאנט ווי ער רופט x א זכר און y א נקיבה, ווייל ווי באקאנט איז עס דער זכר וואס האט די y קראָמאָסאָם און די נקיבה איז די וואס האט דאס נישט נאר צוויי x קראָמאָסאָמס. ‏(וממילא רירט די פאעזיע שוין אן אויף פּאַליענדרי לעומת פּאַלידזשעני...)

[זופ מיט מאנדלען]

גיי פארשטיי....

[מי אני]

‏עפּיסטעמאלאגיע איז די שטודיע פון ווי אזוי אונז ווייסן וכו׳, וממילא ווי אזוי אונז ״פארשטייען״... אין די פילאזאפיע פון מהלכו של סייענס איז דא א געדאנק פון בּיידזשעקטיוו עפּיסטעמאלאגיע. דאס איז אז ווען מען האט א סייענטיפישע מאדעל [בתוך טעאריע] פון ווי אזוי עפעס אין די וועלט ארבעט דארף יעדעס עלעמענט אין דעם סעט פונעם מאדעל זיין מקושר צו אן עלעמענט אין די פיזישע וועלט צו וואס עס באציהט זיך. (ועיין ערך קארעספּאנדענס טעאריע פון אמת, וואס זאגט אז ״אמת״ באדייט דאס וואס רילעיט ריכטיג צום וועלט מיט די קלעים וואס עס מאכט, און עמפּיריסיזם.) איז זעה׳מיר ווי בּיידזשעקשאן האט צוטוהן מיט ״פארשטיין״...

***

די געדאנק פונעם קשר פון איין סעט צום אנדערן רירט אן צו וואס מ׳האט דערמאנט דא בנוגע קאנטאר׳ס דיאגאנאל ארגומענט.

[מי אני]

די מאטעמאטיקערטע דר. סוּסען ד׳אַגוסטיִנוֺ זאגט אז די דזשארדען קוּרוו טעארעם דערמאנט איר פון די פאעזיע פון ראבּערט פראָסט:

E8834B08-1FF4-4892-ABB5-80D89171D667.jpeg

747F69F8-F818-4EFC-A3FC-7DA85E4663AE.jpeg

***

‏דא הא׳מיר דערמאנט נאך אינטרעסאנטע קשרים צווישן פאעזיע און מאטעמאטיקס.

[מי אני]

נאך א מאטעמאטישע אלגעברעאישע פראבלעם וואס איז געשריבן געווארן אלס פאעזיע איז ארכימידוס׳ס קעטל/בקר פראבלעם. די פראבלעם איז אז די סטאדע פונעם זון אפגאט היליִאָס באשטייט פון זכרים ונקיבות [אקסן און קיען] פון פיר מינים: ווייס, שווארץ, נקודים, און געל. און זייער צאל איז ווי פאלגענד:

צאל ווייסע אקסן = 5/6 פון די צאל שווארצע אקסן + די צאל געלע אקסן.

צאל שווארצע אקסן = 9/20 פון די צאל נקודים אקסן + די צאל געלע אקסן.

צאל נקודים אקסן = 13/42 פון די צאל ווייסע אקסן + די צאל געלע אקסן.

צאל ווייסע קיען = 7/12 פון די צאל שווארצע אקסן און קיען צוזאמען.

צאל שווארצע קיען = 9/20 פון די צאל נקודים אקסן און קיען צוזאמען.

צאל געלע קיען = 13/42 פון די צאל ווייסע אקסן און קיען צוזאמען.

דא האט ער געזאגט אז טאמער קען מען דאס צאמרעכענען ביז אהער מיינט נאך נישט אז מען איז גאר גוט. דערנאך האט ער צוגעלייגט נאך צוויי שורות:

צאל שווארצע אקסן + ווייסע אקסן = א סקווער נומער.

צאל נקודים אקסן + געלע אקסן = א טרייענגולער נומער.

ביז די לעצטע צוויי שורות האט מען דאס אנטשיידט אז די צאל פונעם גאנצן סטאדע, ווען מען אנטשיידט די קלענסטע סאלושאן דערפון (עס האט אינפיניט סאלושאנס), איז 50,389,082. ווען מען לייגט אבער צו די לעצטע צוויי זאצן/תנאים האט דער מאטעמאטיקער קאַרל ערנסט אָגוסט אַמטאָר אויפגעוואוזן אז די קלענסטע צאל/סאלושאן פונעם סטאדע (עס האט אויך אינפיניט סאלושאנס כנ״ל) וועט זיין 776 מיט 206,542 דידזשיטס נאך דעם. דאס איז א געוואלד מער ווי די צאל פון אלע אטאמען אינעם יוּניווערס, וואס מ׳שאצט זענען צווישן 10 מיט 78 צו 82 דידזשיטס נאך דעם.

[מי אני]

ומענין לענין באותו ענין פון רעפּ אויף מדע, צום סוף פון די לעקציע [פון 57:08] איבער ניוּראָסייענס און ווי אזוי סינעפּסעס און זייערע טרענסמיטערס אינעם מח ארבעטן צייגן זיי א רעפּ/היפּ-האַפּ קליפּ איבער ווי אזוי דאס ארבעט.

[בת קול]

די מאטעמאטיקערטע דר. סוּסען ד׳אַגוסטיִנוֺ זאגט אז די דזשארדען קוּרוו טעארעם דערמאנט איר פון די פאעזיע פון ראבּערט פראָסט:

E8834B08-1FF4-4892-ABB5-80D89171D667.jpeg

747F69F8-F818-4EFC-A3FC-7DA85E4663AE.jpeg

***

‏דא הא׳מיר דערמאנט נאך אינטרעסאנטע קשרים צווישן פאעזיע און מאטעמאטיקס.

The Road Not Taken ווערט געניצט אין יעדע ליטעראטור קלאס.
עס איז מיין באליבסטע שטיקל פאעזיע, אפשר צוליב די message, אבער מן הסתם אויך צוליב די סטייל פון שרייבן.

[מי אני]

אין דעם (בתוך סעט טעאריע) איז דא די קענטאר-שראדער-בערענשטיין טעארעם. דאס לויטעט א (סירקולער) טרענסיטיוויטי אז טאמער איז דא צוויי אינדזשעקטיוו פאָנקשענס וואס איינס זאגט אז אלעס וואס איז דא אין א׳ איז דא אין ב׳, און די צווייטע זאגט אז אלעס וואס איז דא אין ב׳ איז דא אין א׳, דאן איז ע״כ דא א דריטע בּיידזשעקטיוו פאָנקשען וואס זאגט אז אלע עלעמענטס אין זיי זענען די זעלבע מעפּט אהין און צוריק פונקטליך.

[מי אני]

אויף דיאפאנטוס׳ קבר האט ער געלאזט שרייבן:

“Here lies Diophantus,” the wonder behold
Through art algebraic, the stone tells how old:
“God gave him his boyhood one-sixth of his life
One twelfth more as youth while whiskers grew rife
And then yet one-seventh ’ere marriage begun
In five years there came a bouncing new son;
Alas, the dear child of master and sage,
After attaining half the measure of his father’s life, chill fate took him
After consoling his fate by the science of numbers for four years, he
ended his life

עס קומט אויס אז ער איז געווען בערך 84 יאר אלט ווען ער איז געשטארבן.

‏עס דערמאנט אביסל אז אויף דער מאטעמאטיקער דזשעראָלאַמאָ קאַרדאַנאָ זאגט מען אז ער האט ריכטיג פאראויסגעזאגט זיין יום המיתה, אבער מעגליך אז ער האט דאס באוויזען דורכ׳ן באגיין זעלבסטמארד…

[מי אני]

די מאטעמאטיקערטע דר. סוּסען ד׳אַגוסטיִנוֺ זאגט אז די דזשארדען קוּרוו טעארעם דערמאנט איר פון די פאעזיע פון ראבּערט פראָסט:

E8834B08-1FF4-4892-ABB5-80D89171D667.jpeg

747F69F8-F818-4EFC-A3FC-7DA85E4663AE.jpeg

***

‏דא הא׳מיר דערמאנט נאך אינטרעסאנטע קשרים צווישן פאעזיע און מאטעמאטיקס.

Mathematics consists of proving the most obvious thing in the least obvious way

George Pólya


A mathematician who is not also something of a poet will never be a complete mathematician

Karl Weierstrass


It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul

Sofia Kovalevskaya


Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas

Albert Einstein

[מי אני]

‏בּיהעיוויאריזם און ABA איז באקאנט אלס א ״פאָנקשענאל״ סייענס: עס איז ריין עמפּיריש און גייט נאר אָן ממש אזוי ווי א מאטעמאטישע פאָנקשען - אז טאמער איז דא x דאן גייט דאס אפירברענגען y. עס איז אין קעגנשאפט צו מענטאליזם וועלכע לייגט א געוויכט אויף די מחשבה פונעם מענטש אא״וו אלס א גורם פאר פעולות. (ועכ״כ אז עס קען דערמאנען פון פאָנקשינעליזם בתוך די פילאזאפיע פונעם מיינד, ואפשר אפילו עלימינעטיוו מאטעריעליזם וואס נעמט אָן אז באמת עקזיסטירן נישט קיינע מיינד-סטעיטס. דר. נועם טשאמסקי דערמאנט טאקע די געדאנק פון מיינד-בּאַדי דוּעליזם אין זיין קריטיִק/רעצענזיע אויף סקינער'ס בוך.) וכידוע ארבעט דאס מיט די ענטיסידענט וואס קומט בעפאר די בּיהעיוויאר/רעספּאַנס און די קאַנסיקווענס וואס קומט דערנאך (וואס קען גורם זיין עפ״י אַפּעראנט קאנדישאנינג די התנהגות בהעתיד); ביידע פון זיי קענען זיין די x.

דער מייסד פון בּיהעיוויאריזם, בּוּרהוּס פרעדעריק (B. F.) סקינער, האט אבער באמערקט אז איין בּיהעיוויאר (y) קען האבן מערערע ענטיסידענטס/קאנסעקווענצען צוזאמען (מערערע x׳ס; עס איז סוּרדזשעקטיוו און נישט אינדזשעקטיוו), און איין ענטיסידענט/קאנסעקווענס (x) קען גורם זיין מערערע בּיהעיווארס (מערערע y׳ס; עס איז נישט קיין ״מאטעמאטישע״ פאָנקשען). און זיי לייגן צו:

Concurrent contingencies often vie for control of incompatible behaviors. We cannot watch “Baseball Tonight” and study (properly) for an upcoming exam. Although not a technical term in behavior analysis, algebraic summation is sometimes used to describe the effect of multiple, concurrent contingencies on behavior. The behavior that is emitted is thought to be the product of the competing contingencies “canceling portions of each other out,” as in an algebraic equation

[מי אני]

לגבי גרעפס איז דאס אינטרעסאנט צוצוצייכענען:

EEE54D27-1E1F-4AC9-997A-E17D3E58F9F1.jpeg

און טאקע אין א גרעף פארמאט…:

E9C067D5-C4E2-4D52-98DD-BDEE9486D2F7.jpeg

ולגבי די האריזאנטעל ליין טעסט, וועלכעס צייגט צי א פאָנקשען איז אינדזשעקטיוו צי נישט כנ״ל, צייגט דאס אויך לגבי די אנדערע סארט פאָנקשענס. נאר אויב גייט די האריזאנטעל ליין דורך דאס גרעף כאטש איינמאל, דאן איז דאס סוּרדזשעקטיוו. און נאר אויב גייט עס דורך די גרעף נאר איינמאל איז דאס בּיידזשעקטיוו. אויב א האריזאנטעל גייט דורך א גרעף מער ווי איינמאל, קען מען נישט נעמען דעם אינווערס דערפון, והיינו ווי די גרעף איז געשפיגעלט איבער א פונקטליכע שיפע/דייעגאנעל ליניע פון 0 סימעטריק צווישן דעם x און y עקסיִס. סיידן אויב רעסטריקט מען דעם גרעף און מ׳האקט עס אפ אזוי אז עס גייט שוין יא דורכמאכן דעם האריזאנטעל ליין טעסט (כידוע טוהט מען די לומדות ביי די טריגאנאמעטריק פאָנקשענס).

988D3C71-3273-4BA6-9A59-97B2D6773AB0.jpeg

[מי אני]

דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ ברענגט צו פון הענרי פּאנקארעי:

After defining Mathematics as the art of giving the same name to different things, Poincaré defined Poetry (by way of contrast) as the art of giving different names to the same thing. I think his dichotomy is unfair to both poetry and mathematics

ער שרייבט דארט:

116991E0-49A5-4DCC-B2A4-602E4266565C.jpeg

לגבי קאטעגאריע טעאריע זאגט דער מאטעמאטיקער דר. סטיווען סטראָגאץ:

some mathematicians, especially some grouchy old-timers, question what category theory is really telling us about math that is new. What’s the point of it? Even some of its most ardent practitioners have affectionately described it as “abstract nonsense”

די ״מאטעמאטיקס פון מאטעמאטיקס״.

[מי אני]

דר. פּראַפּ מאכענדיג ווייטער חוזק פון קאטעגאריע טעאריע:

Propp.jpg

און דר. אנטאני בּאָנאַטאָ:

IMG_4586.jpeg

[יואב]

!Hot Dayum

[מי אני]

ולגבי מאטעמאטישע פאָנקשענס און אהבה, איז דאס זיס:

IMG_7631.jpeg

[מי אני]

A mathematician who is not also something of a poet will never be a complete mathematician

Karl Weierstrass

דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס פּראַפּ (א איד) שרייבט:

Permit me to ruin for you a famous and lovely description of mathematics proposed by the German mathematician Karl Weierstrass, namely, “A mathematician who is not something of a poet will never be a complete mathematician.” What a wonderful way to convey the artistic side of mathematics, so invisible to 99.99% of the world but so important to those of us who court the mathematical muse! Here is a fuller quote, taken from a letter Weierstrass wrote to the Russian mathematician Sonya Kovalevsky which includes an assessment of the Jewish mathematician Leopold Kronecker: “He shares the shortcoming that one finds in many intelligent people, especially those of Semitic stock; he does not possess sufficient fantasy (intuition, I would prefer to say). And it is true, a mathematician who is not something of a poet will never be a complete mathematician. Comparisons are instructive: an all-embracing vision focusing on the loftiest of ideals distinguishes Abel from Jacobi, Riemann from his contemporaries Eisenstein and Rosenhain, and Helmholtz from Kirchhoff (although the latter is without a drop of Semitic blood) in an altogether splendid manner.” (Abel was Christian, Jacobi was Jewish, Riemann was Christian, etc.) A mathematical historian who knows the famous Weierstrass quote without knowing about the antisemitic bits will never be a complete mathematical historian