קאווע שטיבל

די לאַפּלאַטשיען מעיטיריקס מיט אירע אייגענוועליוּס פיהרט אריין אינעם נושא פון ״שניטן״ אין גרעף טעאריע. א שניט איז פשוט ווען איך שנייד דורך און רייס איבער א צאל ליינס וואס דאדורך ווערן אפגעטיילט לגמרי א צאל ווערטעקסעס אין צו אן אייגענע גרעף.

א מינימאלע שניט איז א שניט אינעם גרעף וואס שניידט דורך די ווייניגסטע צאל ליינס מעגליך אויף כדי צו שאפן א גענצליך נייע אפגעטיילטע גרעף דערין; אויף דעם זענען דא אלגאריטמס ווי אזוי דאס צו טרעפן ומברר זיין. א מאקסימאלע שניט לאידך גיסא איז א שניט וואס שניידט דורך די מערסטע ליינס אויף כדי צו שאפן צוויי באזונדערע גרעפס דערפון. אויב טוהט די שניט שאפן אז דאס ווערט א קאָמפּליִט בּייפּאַרטייט גרעף [וואו די גרעף איז כעין צוטיילט אין צוויי חלקים און יעדעס נוֺיד אין איינס איז מחובר מיט יעדעס נוֺיד אינעם אנדערן, ועיין לעיל] דעמאלטס ווערט דאס גערופן א ספּליט.

אין דעם איז דא די ספּאַרסעסט שניט פראבלעם. דאס איז אז איך זאל טרעפן דאס שניט אינעם גרעף וואס גייט האבן די קלענסטע רעישיאו פון אירע געשניטענע עדזשעס צו די נוֺידס פונעם קלענערן געשאפענעם גרעף. די צווייט-קלענסטע אייגענוועליוּ פונעם לאַפּלאַטשיען מעיטיריקס פונעם גרעף (צוזאמען מיט׳ן טשיגער קאנסטענט) גיבט אן עפּראקסעמעישאן צום ספּאַרסעסט שניט פון דעם גרעף.

ענליך צו דעם אלעם און אינעם ענין פון קאלארינג איז דא ספּערנער׳ס לעמאַ. דאס לויטעט [אין צוויי דיימענשאנס] אז איך האב א טרייענגעל וואו איך גיב אירע דריי עקן/ווערטיסיִס דריי אנדערע קאלירן. דערנאך מאך איך אין דעם א בּאָנטש קליינע טרייענגעלס (וויפיל איך וויל) וואס איינע פון זייערע עקן רירן אן דעם וואנט פונעם גרויסן טרייענגעל כזה: און איך זאג אז דעם עק פונעם קליינעם טרייענגעל וואס רירט אן די וואנט קען נאר האבן איינע פון די צוויי קאלירן פון די עקן פון יענע וואנט. אין אונזער בילד, דעם פונקט/עק פונעם טרייענגעל וואס רירט אן דעם אונטערשטן וואנט פונעם גרויסן טרייענגעל קען נאר האבן אדער בלוי אדער גרין אלס א קאליר; די קאלירן פון די צוויי עקן פון דעם אונטערשטן וואנט פונעם גרויסן טרייענגעל.

דעמאלטס זאגט די לעמאַ אז עס וועט זיכער זיין אן אַדד צאל פון קליינע טרייענגעלס דערין וואס וועלן האבן אנדערע קאלירן. ועוד, אז די צאל פון קליינע טרייענגעלס דערין וואס האבן די קאלירן אינעם זעלבן סדר ווי דעם גרויסן [אין אונזער בילד למשל, פון רעכטס צו לינקס אנגעהויבן פון אויבן: רויט, בלוי, און דערנאך גרין] וועלן זיין 1 מער ווי די וואס גייען אין די פארקערטע ריכטונג.

מ׳האט גענוצט דעם לעמאַ אויף אויפצוווייזן מאנסקי׳ס טעארעם וואס לויטעט אז עס איז אומעגליך צו צוטיילן א סקווער אין צו אן אַדד צאל פון טרייענגעלס וואס זאלן האבן דעם גענויען זעלבן עריע/שטח.

עס איז דא אין דעם די געדאנק פון מעטשינג [אינדעפּענדענט עדזש סעטס]. דאס איז ווען איך מאך א סעט פון די עדזשעס/ליינס אינעם גרעף אזוי אז קיין איין ליין איז נישט מקושר צו אן אנדערן ליין דורכ׳ן זיין באהאפטען צו אן אייניגן ווערטעקס/נוֺיד.

ווען מ׳קען צו דעם עצם סעט וואס מ׳האט בוחר געווען צו שאפן נישט צולייגן קיין שום עדזש און עס זאל נאך אלס זיין א מעטשינג און אומבאהאפטן כנ״ל דעמאלטס איז עס מעקסימעל. ווען די עצם מעטשינג סעט וואס מ׳האט בוחר געווען צו שאפן איז די גרעסטע אזא סארט סעט שייך צו מאכן פון דעם גרעף איז דאס מעקסימום. (ווען מ׳מאכט אזא סארט סעט אין א גרעף פון ווערטיסיִס אנשטאט די ליינס, וואו קיין איין נוֺיד איז נישט באהאפטן צו אן אנדערן דורך א ליין, ווערט גערופן אן אינדעפּענדענט ווערטעקס סעט.)

אויב עס קומט אויס אז יעדע ווערטעקס/נוֺיד אין די גרעף איז [יעדעס איינס] באהאפטן צו איין עדזש/ליין אין די מעטשינג סעט דעמאלטס איז דאס א פּערפעקט מעטשינג. למשל כזה [די רויטע ליינס זענען די מעטשינג סעט]:

א פּערפעקט מעטשינג קען נאר פאסירן ווען עס זענען דא אן איִווען צאל פון נוֺידס אינעם גרעף. א כמעט-פּערפעקט מעטשינג איז ווען אלע נוֺידס חוץ איינס זענען מקושר צו די עדזשעס ליינס אינעם מעטשינג סעט. דאס קען נאר צושטאנד קומען ווען עס זענען אן אַדד צאל פון נוֺידס אינעם גרעף.

עס איז דא אין דעם טאָט׳ס טעארעם וואס לויטעט אז א גרעף וועט נאר פארמאגן א פּערפעקט מעטשינג אויב טאמער נעם איך ארויס פון דעם גרעף א מאל נוֺידס וועט די סאָבּגרעף פון די פארבליבענע נוֺידס פארמאגן צומערסטענטס אזויפיל קאָמפּאָנענטס, מיינענדיג חלקים אין דעם סאָבּגרעף וואס איך קען צוטיילן דערפון אזוי אז עס זאל נישט זיין באהאפטן צו אן אנדערן קאָמפּאָנענט וואס איך שאף דערפון, מיט אן אַדד צאל פון נוֺידס.

אויך איז דא דערין פּיטערסען׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז יעדעס גרעף וואס פארמאגט נישט קיין בריק, דהיינו עס פארמאגט נישט קיין ליין וואס ווען איך מעק אויס דעם ליין וועט די גרעף יעצט פארמאגן נאך א קאָמפּאָנענט וואו דאס איז אומבאהאפטן כנ״ל, און די גרעף איז אויך קיוּבּיק דהיינו אז יעדע נוֺיד דערין האט דריי ליינס, דעמאלטס פארמאגט עס א פּערפעקט מעטשינג. דאס איז א משל דערפון [די רויטע ליינס זענען די מעטשינג סעט]:

עס איז דא וואס מ׳רופט די אַרט גאלעריע פראבלעם וואו מ׳טוהט זיך באנוצן מיט גרעף טעאריע. דאס פרעגט אז אויב האב איך א צימער וואס איז אויסגעשטעלט אין א סארט שׁעיפּ אזוי ווי אין א מוזעום אדער אַרט גאלעריע, וואו קען איך אויסשטעלן וועכטער אדער קאמעראס וואס זאלן קענען וואטשן אויף די עקסהיבּיטס אזוי אז איך זאל דארפן די ווייניגסטע צאל וועכטער/קאמעראס? למשל כזה:
אז מ׳שטעלט עס אויס ווי א גרעף מיט די נוֺידס ווי די עקן פונעם צימער און די עדזשעס/ליינס ווי די ווענט, און איך לייג אויך נוֺידס אינמיטן די צימער וואו א מעגליכע פלאץ פאר די וועכטער צו שטיין [מיינענדיג די נוֺידס באדייטן וואו א וועכטער קען שטיין] דעמאלטס איז דאס אזוי ווי טרעפן דעם דאמינעיטינג סעט פונעם גרעף [די סעט פון ווייניגסטע נוֺידס אינעם גרעף וואס אלע אנדערע נוֺידס זענען באהאפטן צו זיי]; דאס איז אן NP-שווערע פראבלעם.

אין דעם איז דא טשוואטאל׳ס טעארעם וואס לויטעט אז טאמער האט די צימער נישט קיין ״לעכער״ דערין [עס איז, ווי נישט, באהאפטן אן קיין חללים בתוך די פארמאכטע גבולים דערין] און האט נישט קיין ווענט וואס האקן דורך די גאנצע צימער [עס איז א פשוט׳ע פּאַליגאַן], גיי איך נישט דארפן מער ווי א דריטל די צאל וועכטער ווי נוֺידס אינעם אויסגעשטעלטן גרעף דערפון; אפשר אפילו ווייניגער. דער מאטעמאטיקער דר. סטיווען פיסק האט דאס אויפגעוואוזן עפ״י א קאלארינג. דהיינו, למשל, מ׳האט אזא סארט שׁעיפּ צימער:
די נוֺידס זענען די עקן פונעם צימער. יעצט, יעדעס פּאַליגאַן/שעיפּ איז שייך צו טרייענגולעיטן, דהיינו צוצולייגן דערין ליינס אינדערמיט וואס קומען ארויס פון אירע ווערטיסיִס/עקן אזוי אז עס זאל מאכן טרייענגעלס דערין. ביי דעם איז עס (למשל) כזה:
דערנאך וויל מען דאס קאלירן אזוי אז נוֺידס וואס זענען באהאפטן זאלן האבן אנדערע קאלירן. די קראמעטיק נומער דא אלס די טרייענגולעישן וועט זיין דריי; איך דארף דריי קאלירן כזה:
ביי יעדע 3-קאלארינג, אזוי ווי אין אונזער משל, איז דא א קאליר, דאס וואס ווערט גענוצט דאס ווייניגסטע [אין אונזער משל רויט], וואס קאלירט זיכער נישט מער ווי א דריטל פון די נוֺידס, כזה:
ביי די פונקטן קען מען שטעלן די וועכטער צו באוואכטן דאס גאנצע צימער. פארשטייט זיך אז עס איז שייך צו מאכן פארשידענארטיגע אנדערע טרייענגולעישנס אין איין פּאַליגאַן. אבער עס וועט אלס אויסקומען אז מער ווי א דריטל פון די פונקטן וועט מען נישט דארפן; די ווייניגסטע גענוצטע קאליר וועט נישט זיין מער ווי א דריטל פון די צאל פון נוֺידס (ופשוט).

עס איז אבער מעגליך אז מ׳דארף ווייניגער וועכטער ווי דעם. למשל דא:
איז בלוי דאס קאליר וואס ווערט גענוצט דאס ווייניגסטע; נאר 3 מאל. אבער מ׳קען זעהן אז מ׳דארף נישט שטעלן קיין וועכטער ביי אלע בלויע פונקטן צן באוואכטן דאס גאנצע צימער. מ׳קען אויסלאזן דעם אונטערשטן בלויען פונקט.

***

אגב, רעדענדיג פון טרייענגולעישן האט דער מאטעמאטיקער דר. וואקלאוו טשוואטאל וואס האט געמאכט דעם פּרוּף פאר די אַרט גאלעריע פראבלעם א גרעף וואס ווערט גערופן על שמו, דעם טשוועטעל גרעף:

דאס איז א גרעף וואס פארמאגט נישט בתוכה דריי נוֺידס וואס זענען באהאפטן אזוי אויף צו שאפן א טרייענגעל; עס איז טרייענגעל-פריי. ווי אויך איז יעדעס נוֺיד באהאפטן צו 4 אנדערע נוֺידס; עס איז 4-רעגולאר. וממילא, דארף עס נישט מער ווי 4 קאלירן.

ביי גרעפס איז דא א געדאנק פון א מיינאָר. דאס איז ווען איך נעם אוועק א ליין/עדזש אינעם גרעף און איך שטעל צאם די צוויי ווערטיסיִס/פונקטן אלס איין. דערנאך נעם איך אוועק די איבעריגע ליינס וואס בלייבן איבער אזוי אז עס זאל נישט האבן קיינע לוּפּס [מער ווי איין ליין פון איין פונקט צום אנדערן]. א מיינאָר פון א גרעף איז אזא סארט גרעף וואס קען צושטאנד קומען נאכ׳ן טוהן דעם פראצעדור צו א צאל פונקטן.

אין דעם איז דא די וואגנער טעארעם. דאס לויטעט אז א פּלענאַר גרעף קען נישט האבן א מיינאָר וואס שאפט א קאָמפּליִט גרעף [וואו יעדעס פונקט איז מקושר מיט יעדעס אנדערע פונקט] פון 5 פונקטן, אדער א קאָמפּליִט בּייפּאַרטייט גרעף [וואו די גרעף איז צוטיילט אין צוויי חלקים אן יעדעס פונקט אין איין גרופע איז מקושר מיט יעדעס אנדערע פונקט אינעם אנדערן גרופע] וואו יעדעס גרופע האט 3 פונקטן. (דאס איז ענליך צו קוּראטאַוּסקיִ׳ס טעארעם דערין וועלכעס איז פארמולירט די זעלבע נאר בנוגע סאָבּגרעפס.)

בנוגע מיינאָרס איז דא די האדוויגער קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז יעדעס גרעף וואס האט א געוויסע קראָמעטיק נומער קען מען דערפון שאפן א מיינאָר וואס איז א קאָמפּליִט גרעף מיט די צאל פונקטן.

*

ובקשר לפּלענאַר גרעפס איז דא די קאַרפּענטער׳ס רוּל טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך אזא סארט פּלענאַר גרעף פון א פּאַליגאַן וואו איך קען רוקן די עדזשעס/ליינס אבער די לענג פון די ליינס צו די נוֺידס/פונקטן דארפן בלייבן די זעלבע א גאנצע צייט, גייט פונדענסטוועגן אלס זיין א וועג ווי אזוי צו ״עפענען״ דעם גרעף/שׁעיפּ אזוי אז עס זאל ווערן א קאנוועקס שׁעיפּ [וואו די עקן/ווערטיסיִס גייען נישט ״אריין״ אינעם עצם שׁעיפּ]. למשל, כזה:

בנוגע גרעפס און מיינאָרס איז דא די ראַבּערטסאָן-סיִמאָר טעארעם. דאס רעדט זיך בנוגע א סארט סעט וואס רופט זיך א פּאַרשעל אָרדער (בתוך אָרדער טעאריע). דאס מיינט וואו איך שטעל אויס עלעמענטן אין די סעט אזוי אז די עלעמענטן זענען:

‏רעפלעקסיוו - פשוט אז די עלעמענט איז זיך אליין דורכאויס די גאנצע אָרדערינג און טוישט זיך נישט.

‏טראנסיטיוו - אז אין די סדר ווי אזוי עס גייט איינע נאך די צווייטע איז (למשל) די דריטע אין די קייט אויך א חלק פון/בתוך די ערשטע צו וועלכעס עס איז באהאפטן דורך דאס צווייטע.

‏אנטיסימעטריק - אז דאס ווי אזוי (למשל) איין עלעמענט אין די סעט קען פועל זיין אויף, אדער איז ביחס צו, אן אנדערן עלעמענט אינעם סעט איז נישט די זעלבע ווי פארקערט דעם צווייטן צום ערשטן.

טאמער פעהלט פון דעם די דוקא אנטיסימעטריק תנאי ווערט דאס גערופן א פּריִאָרדער/קוואסיִאָרדער. טאמער איז דאס פונקט פארקערט, והיינו אז עס איז דוקא יא סימעטריק, איז דאס אן עקוויוועלענס רילעישאן.

אויב א פּריִאָרדער פארמאגט נישט אן אינפיניטלי דיסענדינג טשעין, דהיינו א סדר/אָרדער וואו יעדעס עלעמענט ווערט קלענער און קלענער אינפיניטלי, ווי אויך פארמאגט עס נישט אן אנטיטשעין, והיינו וואו עני צוויי עלעמענטן אינעם סעט האבן נישט קיין שייכות איינע צום אנדערן, דעמאלטס איז דאס א וועל-קוואסי-אָרדערינג.

די טעארעם לויטעט אז אויב שטעל איך אויס [פיניט] גרעפס מיט זייערע מיינאָרס אלס א פּריִאָרדער גייט דאס בהכרח שאפן א וועל-קוואסי-אָרדערינג. פון דעם קומט אויס אז אין אן אינפיניט סעט פון [פיניט] גרעפס וועט בהכרח זיין דערין א פּאָר/סעט פון גרעפס וואו איינע איז א מיינאָר פונעם צווייטן.

אן אינטערסעקשאן גרעף מיינט אזא סארט גרעף וואס צייגט וואו צוויי (צי מער) גרופעס גייען איינע אריין אינעם צווייטן. למשל כזה:
וואו יעדע קאליר ווערט געשאפן אלס א פונקט אין א גרעף און האט אן עדזש/ליין צו דאס וואו עס גייט אריין אין א צווייטן.

א מעקסימעל פּלענאר גרעף איז וואו איך קען נישט צולייגן דערצו נאך אן עדזש/ליין און עס זאל נאך אלס זיין פּלענאר [אן איין ליין זאל דורכגיין אן אנדערע]. ווען עס איז מעקסימעל און פשוט [אז יעדע צוויי פונקטן וואס זענען באהאפטן האבן נאר איין ליין וואס באהעפט זיי] קען מען טרייענגולעיטן [אן אייסאָמאָרפיזם] אזוי אז עס שאפט טרייענגעלס [קוק די בילד באלד] און עס איז דא אין דעם די קאָבּיִ-אנדריִוו-טורסטאן סירקעל פּעקינג טעארעם. דאס לויטעט אז יעדע אזא סארט גרעף, נאך דעם וואס איך שטעל דאס אויס אלס א טרייענגעל, וועט דאס זיין אן אינטערסעקשאן גרעף פון וואו איך שטעל אויס סירקעלס וואו יעדעס פונקט באדייט א סירקעל און די ליינס וואס באהעפטן די פונקטן צו אנדערע פונקטן צייגן צו וועלכע אנדערע סירקעלס עס איז טענדזשענט [רירן זיך אן פונקט און גייען נישט אריין איינע אין די צווייטע]. עס וועט נאר זיין איין אזא סארט וועג פון אויסשטעלן די סירקעלס.

‏ועיין באשכול זו.

ובנוגע די טרעוועלינג סעילסמאן פראבלעם


פונעם בוך פונעם מאטעמאטיקער דר. ריטשארד שווארץ.

אז מ׳האט דערמאנט דעם שאך-ברעט בנוגע מאטעמאטיקס האט מען געשטעלט אזא פראגע: מען האט א שאך-ברעט כזה:
און צו רעכטס און ווייטער און ארויף און ווייטער איז עס אינפיניט. איך הייב אָן מיט דריי שטיקלעך אינעם עק כזה:

אויב וויל איך אוועקנעמען א שטיקעל פון א קעסטל דארף איך לייגען סיי א שטיקל אינעם קעסטל העכער איר און סיי א שטיקעל אינעם קעסטל צו רעכטס; נאר דערנאך קען איך אוועקנעמען די שטיקעל פונעם קעסטל. די קעסטעלעך העכער און צו רעכטס דארפן מעיקרא שוין צו זיין ליידיג.

איז די שאלה צי קען מען מאכן אז אלע דריי קעסטלעך וואו איך האב אנגעהויבן מיט די דריי שטיקלעך, אז זיי זאלן זיין ליידיג?

דער רוסישער מאטעמאטיקער דר. מאקסים קאנטסעוויטש האט אויפגעוואוזן אז ס׳איז נישט מעגליך סיידן אויב מ׳שפילט אזוי פאר אינפיניט צייט און מ׳פילט אָן אלע אינפיניט קעסטעלעך.

טאמער איז אבער נאר דא מעיקרא איין קעסטל פיל אינעם עק דאן איז עס יא מעגליך. אבער טאמער דארף איך מאכן זיכער אז די זעקס, אנשטאט דריי, קעסטעלעך אין די עק זענען ליידיג, דאן אפילו אויב איך הייב אָן מיט נאר די איין קעסטל אין די עק פיל איז עס אבער אומעגליך.

דער מאטעמאטיקער דר. דזשאן קאנוועי איז אויפגעקומען מיט דעם שפיל פון קאנוועי טשעקערס. אין דעם האב איך א שאך-ברעט וואס קען גיין אינפיניט וואס איך טייל עס אפ ערגעצוואו מיט א ליין. אונטער דעם ליין שטעל איך טשעקערס וואס קענען איבערהיפען איינע די אנדערע רעכטס/לינקס אדער ארויף/אראפ, אבער נישט שיף, און זיי ״נאַקען״ אזוי ווי די הלכות פון טשעקערס: נאר איינס אויף אמאל און נאר איבערהיפען איינס און נישט צוויי צוזאמען. מ׳קען אויסשטעלן די שטיקלעך אונטער די ליין ווי אזוי מ׳וויל און וויפיל שטיקלעך מ׳וויל. די שטיקלעך קענען איבערטאנצען די ליין אויב עס קומט אזוי אויס עפ״י ההלכות הנ״ל. זיין שאלה איז געווען וואו הויך העכער די ליין קען מען אָנקומען?

צו אָנקומען צום ערשטן שורה העכער די ליין דארף מען נאר 2, צום צווייטן שורה 4, צום דריטן שורה 8, צום פערטן שורה 20, און צום פיפטען שורה איז נישט מעגליך אָנצוקומען חוץ טאמער האט מען אַן אינפיניט צאל פון מאָווס. דאס זענען די אויסשטעלן אָנצוקומען צו די ערשטע פיר שורות:

טאמער קען מען נאר שפרינגען שיף דאן קען מען נישט אָנקומען העכער דעם זעקסטן שורה העכער דעם ליין. טאמער קען מען אויך שפרינגען שיף דאן קען מען מום העכסטענסט אָנקומען צום אכטן שורה העכער דעם ליין.

לגבי קאָמפּליִט גרעפס און קאָמפּליִט בּייפּארטייט גרעפס איז דא די גרעהעם-פּאלאק טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך א קאָמפּליִט גרעף און איך וויל דאס צוטיילן אין צו קאָמפּליִט בּייפּארטייט גרעפס וועל איך צום ווייניגסטענסט דארפן אזויפיל בּייפּארטייט גרעפס ווי איינס ווייניגער ווי די צאל נוֺידס/ווערטיסיִס וואס איך האב אין דעם קאָמפּליִט גרעף מעיקרא.

מ׳האט געהאט א קאנדזשעקטשורד אז אויב א קאָמפּליִט גרעף קען צוטיילט ווערן אין א צאל קאָמפּליִט בּייפּארטייט גרעפס וואס האבן נישט די זעלבע ליינס/עדזשעס איינע מיט דאס אנדערע [עדזש-דיסדזשוינט] דאן איז די קראָמעטיק נומער צום מערסטענסט 1 מער ווי די צאל קאָמפּליִט בּייפּארטייט גרעפס געמאכט דערפון. מ׳האט אבער אויפגעוואוזן אז עס איז נישט אזוי.

דער בריטישער מאטעמאטיקער און פילאזאף פרענק רעמסי האט אויפגעוואוזן רעמסי׳ס טעארעם וואס לויטעט אז אויב האט מען א גענוג גרויסע קאָמפּליִט גרעף און מען קאלירט אירע עדזשעס/ליינס מיט נאר צוויי קאלירן, וועט עס בהכרח האבן בתוכה צוויי קאָמפּליִט סאָבּגרעפס/קליִקס וואס אלע זייערע ליינס זענען איין קאליר; איין סאָבּגרעף איין קאליר און די צווייטע דאס צווייטע. כהיום ווייסט מען נאר פון 9 פעלער וואו מ׳ווייסט פונקטליך וויפיל ווערטעסיִס/נוֺידס/פונקטן א גרעף זאל האבן [די R] כדי אז עס זאל האבן צוויי קאָמפּליִט סאָבּגרעפס מיט די צאל עדזשעס [די x און די y] יעדעס איינס פון נאר איין קאליר.

די געדאנק האט מען דערנאך אויסגעברייטערט אין צו וואס ווערט גערופן רעמסי טעאריע על שמו, וואס טוהט דורך ווי גרויס דארף א סיסטעם וכדומה זיין כדי אז עס זאל בהכרח האבן סאָבּסיסטעמען בתוכה וואס האבן א געוויסע פּראפּערטי וכו׳.

בתוך דעם געדאנק פון רעמסי׳ס טעארעם האט דער מאטעמאטיקער דר. ראַנעלד גרעהעם געפרעגט א פראגע בנוגע הייפּערקיוּבּס. הייפּערקיוּבּס זענען סקווערס/קיוּבּס און דיימענשאנס גרעסער ווי 3. צב״ש א ליין אין 1 דיימענשאן [1D] ווען איך מאך צוויי פון זיי פאראלעל און איך באהעפט זיי דערנאך מיט ליינס ווערן זיי א סקווער אין 2 דיימענשאנס [2D]. דערנאך און דאס זעלבע ווען איך נעם 2 סקווערס און איך באהעפט זיי מיט ליינס ווערן זיי א קיוּבּ אין 3 דיימענשאנס [3D]. אויפ׳ן זעלבן מהלך קען איך גיין ווייטער, הגם מ׳קען דאס גאר שווער וויזשוּעלייזן, אז ווען איך באהעפט צוויי קיוּבּס אויפ׳ן זעלבע מהלך ווערט דאס א טעסערעקט אין 4 דיימענשאנס [4D]. כעין זה [די רויט און בלוי זענען די אריגינעלע קיוּבּס סטון די גרויע ליינס זענען וואו מ׳האט זיי באהאפטן]:
וכן הלאה והלאה אָנצוקומען צו נאך העכערע הייפּערקיוּבּס אין העכערע דיימענשאנס.

דערנאך וויל איך באהעפטן און מאכן עדזשעס/ליינס אין די הייפּערקיוּבּס פון יעדעס ווערטעקס/עק צו יעדעס אנדערע ווערטעקס/עק און איך קאליר אלע עדזשעס/ליינס מיט איינס פון צוויי קאלירן. פרעגט דר. גרעהעם וואס איז די קלענסטע דיימענשאן פון א הייפּערקיוּבּ וואס עס איז בהכרח אז עס זאל אויסקומען אז איין סקווער דערין וואס איז אויפ׳ן זעלבן פּלעין [ווען איך טייל עס אפ איז עס אין די זעלבע דיימענשאן מעיקרא] אז עס זאל בהכרח האבן איין איינציגע קאליר?

פאר מ׳איז ממשיך מיט זיין אסטראנאמישע ״נומער״ ביי דעם דארף מען מקדים זיין איבער די עררוֺי נוֺיטעישאן פונעם מאטעמאטיקער דר. דאנאלד קנוט. ווי ערווענט דא קען מען ארויסשרייבן גרויסע נומערן דורך סייענטיפיק נוֺיטעישאן וואס ארבעט ע״י עקספּוֺינענשיעישאן, והיינו וואס מען מאכט א נאכאנאנדע מאָלטיפּליקעישאן מיט׳ן זעלבן נומער (וכעין מאָלטיפּליקעישאן וואס איז אליינס א נאכאנאדע עדישאן מיט׳ן זעלבן נומער). דר. ראובן גודשטיין האט געזאגט אז מ׳דארף אויך אין אכט נעמען הייפּעראַפּערעישאנס וואס זענען נאכאנאנדע עקספּאָנענשיעישאן אא״וו. צב״ש טעטרעישאן וועט זיין נאכאנאנדע עקספּאָנענשיעישאן, פּענטעישאן וועט זיין נאכאנאדע טעטרעישאן אא״וו. עפי״ז איז קנוט אויפגעקומען מיט זיין ארויף-עררוֺי נוֺיטעישאן. דאס ארבעט כזה: איין עררוֺי וועט באדייטן פשוט׳ע עקספּוֺינענשיעישאן. למשל:
4↑3
מיינט פשוט 3⁴. די 4 אויף די רעכטע זייט פונים עררוֺי באדייט די עקספּוֺינענשיעישאן וואס איך געב צום 3 וואס איז צום לינקן זייט.

אויב איז דאס:
4↑↑3
דאן מיינט דאס אז איך טוה טעטרעישאן; וויפיל מאל איך שרייב ארויס אן עקספּוֺנענט פון 3 העכער דעם 3. מיינענדיג אז די 3 וועט האבן אן עקספּוֺינענט פון 3 וואס דאס אליין האט אן עקספּוֺנענט פון 3 וואס דאס אליין האט אן עקספּוֺינענט פון 3. דאס קומט אויס צו 3⁷⁶²⁵⁵⁹⁷⁴⁸⁴⁹⁸⁷.

אויב איז דאס:
4↑↑↑3
דאן באדייט דאס אז איך טוה פּענטעישאן. מיינענדיג אז ערשט טוה איך די טעטרעישאן הנ״ל וואס וואלט ווען געווען 4↑↑3 און די גאנצע צאל פון 3ס וואס איך האב געב איך אלס עקספּוֺינענטס איינס העכער דאס אנדערע און דאס אליין טוה איך איבער 4 מאל.

וכן הלאה והלאה פאר העקסעישאן אא״וו וואו מ׳טוהט דאס אליין, ולאחר הכל, נאכאנאנד.

‏גרעהעם׳ס נומער באדייט אז צום ערשט הייבט מען אָן מיט 3↑↑↑↑3; אן העקסעישאן פון 3 מאל אויפ׳ן נומער 3 מיט׳ן נומער 3. דערנאך די (אבנארמאלע אסטראנאמישע) סומע וואס איך באקום, אזויפיל עררוֺיס וועל איך נוצן ביים נעקסטן מאל צווישן איין 3 אינעם אנדערן. די נומער וואס איך באקום יעצט, וועל איך נוצן אזויפיל עררוֺיס ביים דריטן מאל צווישן די צוויי 3ס. אזוי טוה איך ווייטער ביז 64 מאל. דאס איז גרעהעם׳ס נומער און דאס איז א בּאַוּנד וואס צום מערסטענסט וועל איך דארפן אזויפיל דיימענשאנס צו בהכרח האבן א קאָמפּליִט סקווער סאָבּגרעף [פון 4 פונקטן] אינעם זעלבן פּלעין מיט׳ן זעלבן קאליר פון א הייפּערקיוּבּ. באמת אמרו אז מעיקרא האט גרעהעם געגעבן אן אנדערע וועג פון ארויסשרייבן די אָפּער בּאַוּנד דערפאר. והיינו, אז צום ערשט איז עס:
3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑2
דערנאך ווען איך האב דעם נומער, אזויפיל עררוֺיס געב איך צווישן דעם 2 און 3 ביים נעקסטן מאל, און אזוי טוה איך איבער ״נאר״ זיבן מאל.

די בּאַוּנד אויף צום ווייניגסטענסט וויפיל דיימענשאנס מען וועט דארפן האט ער געזאגט איז 6. מען האט דאס פארבעסערט אויף 13. ער האט דאס אלעס בעיקר געטוהן אויף צו צייגן אויף די שוועריקייט פון בּאַוּנדס אין מאטעמאטיקס. מען האט אויך פארבעסערט און גענידערט דעם אָפּער בּאַוּנד צו:
262153↑↑↑2↑↑↑2

אז מ׳האט דערמאנט אוילער׳ס פארמולא (און אייסאָמאָרפיזם) איז מערקווידיג צוצושטעלן דערצו דעם אוילער כארקטעריסטיק בכלל. ווי באקאנט איז די פעלד פון טאפּאלאגיע דזשיאמעטרי גענומען צו א מער אבסטראקטע מהלך. והיינו, אין דעם אינטרעסירט נישט די מרחק פון א שׁעיפּ און איין שׁעיפּ ווערט גערעכענט דאס זעלבע ווי אן אנדערע ווילאנג מען קען דאס ״סטרעטשן״, ״קוועטשן״ וכו׳ אין אנדערע פארמען וכו׳ אָן שניידן אדער מאכן (נאך) א לאך דערין; א האָמיִאָמאָרפיזם.

מ׳קען דערקענען צי צוויי שׁעיפּס זענען האָמיִאָמאָרפיק, אויב פאלגט מען די פארשריפטן פון נאר סטרעטשן/קוועטשן/אויספארעמען אָן שניידן אדער מאכן לעכער, טאמער זענען זייערע ביידע אוילער כארקטעריסטיקס (וואס איז מקושר צום אוילער פארמולא הנ״ל) דאס זעלבע. והיינו, אויב ווען איך רעכן די ווערטיסיִס/נוֺידס פונעם שׁעיפּ און איך רעכן אראפ פון איר צאל די צאל פון עדזשעס/ליינס און לייג דערנאך צו די צאל פון פנימער/זייטן וואס ס׳האט באקום איך די זעלבע נומער ביי ביידע איז עס טאפּאלאגיש די זעלבע; דאס איז אינוועריענט און טוישט זיך נישט.

בנוגע אינפיניט שאך-ברעטן אין (ריקריעישאנעל) מאטעמאטיקס איז דא אן אינטרעסאנטע חקירה. אויב הייבט מען אָן מיט שטעלן אויפ׳ן ברעט א צאל שטיקלעך וואס ווערן יעדעס איינס גערעכענט ווי מספר 1. דערנאך האב איך שטיקלעך וואס זענען פון 2 און ווייטער - נאר איינס פאר א נומער. איך דארף שטעלן די שטיקלעך אויפ׳ן ברעט אזוי אז ווען איך שטעל אראפ דעם שטיקל מיט׳ן נומער, גייענדיג אין די סדר פון די נומערן, גייט די סומע פון אירע שכנים זיין די צאל פון די נומער וואס איז אויף די שטיקעל. למשל, כזה:

די שאלה איז אויב לייג איך אראפ א צאל ״1״ שטיקלעך אויפ׳ן ברעט, וואו איך וויל, וויפיל איז די מערסטע איך קען ציען מיט׳ן לייגן די נומער שטיקלעך? מען ווייסט אז פאר צוויי ״1״ שטיקלעך איז עס ביז 16, פאר דריי ביז 28, פאר פיר ביז 38, פאר פינעף ביז 49, און פאר זעקס ביז 60.

דא זעהט מען די סדר ביי צוויי ״1״ שטיקלעך, ביי פיר ״1״ שטיקלעך, און ביי זעקס ״1״ שטיקלעך [די ברוינע באדייטן די ״1״ שטיקלעך]:



מען ווייסט אויך אז פאר א צאל ״1״ שטיקלעך קען די נומער ביז וואו מ׳קען ציען נישט זיין ווייניגער ווי 5 מאל די צאל פון ״1״ שטיקלעך ווייניגער 4. ווי אויך ווייסט מען אז מ׳קען זיכער נישט ציען מער ווי 714 מאל די צאל ״1״ שטיקלעך.

ענליך צום אַרט גאַלעריע פראבלעם איז דא דעם סעקיור פּאַליגאַן פראבלעם. דאס פרעגט אז למשל איך האב צוויי פונקטן אין א פּאַליגאַן כזה:
דער ערשטער פונקט קען שיסן א ליין וואס די ליין גייט ווערן רעפלעקטירט אראפ פון די ווענט, אזוי ווי א שפיגל, אין די זעלבע/קאַנגרוּענט ענגעל פון וואס עס איז אָנגעקומען (עפ"י דאס געזעץ פון ריפלעקשאן) און וועט האלטן אין איין אזוי גיין ביז עס קומט אדער אָן צום צווייטן פונקט אדער צו איינע פון די (פיר אין אונזער בילד) ווערטעסיִס/עקן פונעם פּאַליגאַן ממש. למשל כזה:
איז די שאלה, געשטעלט דורך דר. מאַריאַם מירזאחאני, צי איך קען אויסשטעלן א פיניט צאל פונקטן אין דעם פּאַליגאַן וואס זאלן אלס בלאקירן דעם ליין וואס קומט פונעם ערשטן פונקט אז עס זאל נישט אָנקומען צום צווייטן פונקט; עס זאל זיך ענדיגן ביי זיי אנשטאטס? דר. עמילי ריעל האט אויפגעוואוזן אז פאר א סקווער דארף מען נישט מער ווי 16 פונקטן.

אין גרעפס איז דא די געדאנק פון א פאליציי [קאַפּ]-געווין גרעף אדער א רויבער-געווין גרעף. דאס איז אז איך האב א גרעף מיט פונקטן/ווערטיסיִס און ליינס/עדזשעס, וואס איך שטעל אויף איין פונקט ארויף א ״פאליציי״ און אויף אן אנדערן (וואו ער וויל; פארשטייט זיך נישט נעבן דעם ״פאליציי׳ס״ פונקט) א ״רויבער״. די ״פאליציי״ גייט ערשט, והיינו צו אן אנדערן פונקט וואס איז מחובר צום יעצטיגן פונקט מיט א ליין, כדי ענדגילטיג צו ״כאפן״ דעם ״רויבער״ דורכ׳ן ארויפגיין אויפ׳ן ״רויבער׳ס״ פונקט. דערנאך גייט די ״רויבער״ וואס קען אדער גיין צו א דערנעבענדן פונקט אדער בלייבן אויפ׳ן יעצטיגן פונקט. דערנאך גייט נאכאמאל די ״פאליציי״ און דערנאך די ״רויבער״ וכן הלאה. אויב איז דאס א גרעף וואו די ״פאליציי״ האט א סטראטעגיע וואו ער וועט בהכרח ״כאפן״ דעם ״רויבער״ און אָנקומען צום פונקט פונעם ״רויבער״ דאן איז דאס פאליציי-געווין גרעף; אז נישט, און דער ״רויבער״ קען האלטן אין איין זיך ארויסדרייען דאן איז דאס א רויבער-געווין גרעף.

עס קומט אויס אז א סייקליק גרעף איז א רויבער-געווין גרעף ווייל דער ״רויבער״ קען האלטן אין איין גיין צו איין פונקט ווייטער ווי דער ״פאליציי״ איז. א קאָמפּליִט גרעף איז א פאליציי-געווין גרעף ווייל יעדעס פונקט איז דאך מקושר צו יעדעס אנדערע פונקט וממילא איז דער ״רויבער״ אלס נעבן דעם ״פאליציי״ וואס וועט אים ״כאפן״ אויף זיין נעקסטן טוּרן נישט קיין חילוק וואו ער גייט און וואס ער טוהט. ווי אויך איז א בוים גרעף א פאליציי-געווין גרעף ווייל דער ״רויבער״ וועט אלס ווערן פארכאפט וואו ער קען נישט ארויסקריכען פון דער ״פאליציי״ וואס קומט אים צוביסלעך ״כאפן״. עס קומט אויך אויס אז איך קען איגנארירן אלע ״פּיטפאָלס״, והיינו חלקים פונעם גרעף וואס אויב דער ״רויבער״ גייט אהין אריין וועט ער ווערט טרעפּט ווייל ער וועט דאך דאס נישט טוהן. אויב ווען איך נעם זיי אלע אוועק קומט עס אָן צו א סייקליק גרעף איז עס א רויבער-געווין גרעף; אויב קומט עס אָן צו איין פונקט דאן איז דאס א פאליציי-געווין גרעף.

אויב מוז דער רויבער זיך רוקן ביי יעדעס טוּרן (אזוי ווי ״זוגצוואנג״ אין שאך וואו מ׳מוז זיך רוקן ביי יעדעס טוּרן אפילו וואו עס וואלט געווען בעסער צו גארנישט טוהן), אַן ״אקטיווע״ ווערסיע דערפון, דאן ווערט צומאל א גרעף וואס וואלט געווען א רויבער-געווין גרעף א פאליציי-געווין גרעף.

למשל, א קעניג׳ס גרעף, והיינו א גרעף וואס רעפּרעזענטירט אלע מעגליכע וועגן א קעניג אויפ׳ן שאך-ברעט קען זיך רוקן כזה:

איז א פאליציי-געווין גרעף. דאס איז ווייל אז ער וועט זיך רוקן צו די שורה אין די ברייט [רוֺי] וואו דער ״רויבער״ איז און נאכדעם גיין צו די שורה אין די לענג [קאלומן] וואו דער ״רויבער״ איז, וועט ער אים בהכרח ענדגילטיג ״כאפן״. (און א געהעריגע שאך שפיל אין אזא פאל, וואו נאר צוויי קעניגן זענען אויפ׳ן ברעט זענען דאך ביידע סיי דער ״פאליציי״ און סיי דער ״רויבער״. דא איז נאר איינער די ״פאליציי״ וואס קען האקן אבער נישט געהאקט ווערן, בשעת דער צווייטער איז דער ״רויבער״ וואס קען געהאקט ווערן אבער נישט האקן.)

אויב איז עס א רויבער-געווין גרעף דאן איז דא דערין די געדאנק פון א פאליציי נומער. והיינו, וויפיל איז די מינימום צאל ״פאליציי״ וועט די גרעף דארפן האבן צו בהכרח ״כאפן״ דעם ״רויבער״, וואס ביים טוּרן פון די ״פאליציי״ רוקט ער אלע ״פאליציי״ אויפ׳ן גרעף פרובירענדיג צו ״כאפן״ דעם ״רויבער״? א געהעריגע פאליציי-געווין גרעף איז וואו די פאליציי נומער איז 1.

מ׳ווייסט אז ביי א פּלענאר גרעף וועט מען צום מערסטענסט נאר דארפן 3. מ׳ווייסט אויך אז טאמער איז די קורצסטע סייקל, גערופן גירט, בתוך דעם גרעף געמאכט פון 5 פונקטן אדער מער דאן איז די פאליציי נומער דערפון נישט ווייניגער ווי די מינימום דעגרי דערפון, והיינו ווייניגסטע מאל ליינס וואס קומען ארויס פון א פונקט בתוך דעם גרעף.

עס איז אויך דא דערין די מעיניעל קאָנדזשעקטשור וואס לויטעט אז די [מאקסימום] פאליציי נומער פון א [באהאפטענע] גרעף איז די סקווער רוּט [ראַוּנדעד] פון וויפיל פונקטן עס האט.

עס זענען דא פארשידענארטיגע וועריעישאנס דערפון ווי למשל וויפיל ״פאליציי״ וועט מען דארפן ווען די ״פאליציי״ ווייסן נישט אויף וועלכע פונקט דער ״רויבער״ איז? צי וויפיל איז די פאליציי נומער ווען מ׳טאר נישט רוקן אלע ״פאליציי״ אויף איין טוּרן/מאל נאר ביי יעדעס טוּרן קען מען נאר רוקן איינס. צי ווען דער ״רויבער״ רוקט זיך ארום רענדאָמלי און די שאלה איז די שנעלסטע צייט אים צו כאפן? צי ביי אַן אינפיניט גרעף וואו מ׳דעפינירט דאס געוואונס פון די ״פאליציי״ אויב צווינגען זיי דער ״רויבער״ צו מוזן גיין אינפיניטלי ווייט פון זיין אָנהויב פונקט, אדער אז ער ווערט געצווינגען צו גיין צו איין געוויסע פונקט אַן אינפיניט צאל פעמים. וכדומה.

אז מ׳האט דערמאנט אָרדערינגס אין סעטס, און דא הא׳מיר דערמאנט די געדאנק פון א וועל-אָרדערד סעט וואו עס איז דא אין דעם סעט אן עלעמענט וואס איז די ״ווייניגסטע״ אין די אָרדערד סעט, איז דא דערין די וועל-אָרדערד טעארעם וואס לויטעט אז יעדעס סעט קען זיין וועל-אָרדערד. (עפ״י מאטעמאטישע לומדות איז א תוצאה דערפון דעם בּאַנאַך-טאַרסקי פּאראדאקס.)

דאס גייט אין איינקלאנג מיט די אקסיאם פון טשוֺיס אין סעט טעאריע. דאס לויטעט בעצם אז ווען איך האב א קארטיזשיען פראדוקט פון צוויי סעטס וואס זענען נישט ליידיג, דאן איז די תוצאה בהכרח אויך נישט ליידיג. א קארטיזשיען פראדוקט איז ווען איך נעם די עלעמענטס בתוך איין סעט און שטעל זיי צוזאם מיט יעדעס עלעמענט אינעם אנדערן סעט אזוי אז עס געבט מיר אָרדערד פּאָרן פון די עלעמענטס פון איין סעט און פונעם צווייטן, וואו די סדר מאכט אויס - וועלכעס איז ערשט און וועלכעס איז צווייט. דאס איז אזוי ווי ביי מעיטריסיִס וואו די סדר פון מאָלטיפּליקעישאן מאכט יא אויס:

דאס איז בפשטות דאס זעלבע ווי זאגן אז אויב האב איך א קאלעקשאן, ואפילו אינפיניט, פון סעטס וואס זענען נישט ליידיג, קען איך וועלן פון יעדעס איינס כאטש איין זאך.

דאס ווי אזוי די צוויי גייען צוזאמען איז מקושר מיט א דריטע טעארעם - זאָרנ׳ס לעמאַ. דאס לויטעט אז אויב האב איך א פּאַרשעלי אָרדערד סעט וואס די סאָבּסעטס בתוכה האבן א שטערקערע אָרדערינג, ״טאטאל״, בזה אז יעדעס עלעמענט אינעם סאָבּסעט איז ביחס מיט עפעס צו א צווייטע עלעמענט בתוך די סאָבּסעט, און די סאָבּסעטס האבן א ״גרעסטע״ עלעמענט, דאן האט בהכרח די סעט הכולל כאטש איין מעקסימעל עלעמענט, מיינענדיג אז עס איז דא אן עלעמענט דערין וואס אויב איז דא א צווייטע עלעמענט אינעם סעט וואס האט א יחס דערצו איז עס מער ווי איר.

עפי״ז קומט אויס ביי גרעף טעאריע אז יעדעס באהאפטענע גרעף, ואפילו אינפיניט, מוז בהכרח האבן א ספּענינג בוים בתוכה.

פון יעדעס צוויי פון די אויבן-דערמאנטע דריי טעארעמס קען מען אויפווייזן די דריטע; זיי זענען אין א וועג מאטעמאטיש אייניג. אין דעם איז דא א וויץ פון דער מאטעמאטיקער דר. דזשערי בּאָנאַ:

בנוגע מעטשינג איז דא די געדאנק פון טעלעפאָן/אינוואַלוּשאן נומערן. והיינו, ווייל די האָסאָיאַ אינדעקס איז די נומער וויפיל מעטשינגס א גרעף האט, וואו איך רעכען אויך קיין איין מעטשינג ווי א מעטשינג. די טעלעפאָן/אינוואַלוּשאן נומער איז די האָסאָיאַ אינדעקס פון א קאָמפּליִט גרעף, וואו יעדעס ווערטעקס/נוֺיד איז באהאפטן צו יעדעס אנדערע נוֺיד אינעם גרעף. דאס איז א משל פון א קאָמפּליִט גרעף פון 4 נוֺידס וואו עס האט א האָסאָיאַ אינדעקס פון 10 מעטשינגס:

דער מאטעמאטיקער דזשאַן ריִאָרדען האט דאס מסביר געווען אזוי ווי א צאל מענטשן וואס קענען מאכן א (וואָן-וועי) טעלעפאָן קאָל צו וועמען זיי ווילן. וויפיל טעלעפאָן קאָלס איז שייך אויף אמאל? (אז קיין איין קאָל ווערט נישט געמאכט איז אויך שייך אלס אַן אפציע.)

עס קומט אויס אז ביי שאך ווען איך האב א שאך ברעט פון א געוויסע אייניגע צאל קעסטלעך סיי אין די לענג און סיי אין די ברייט [עס איז סקווער], דאן גייט די טעלעפאָן/אינוואַלוּשאן נומער פון די צאל קעסטלעך (די האָסאָיאַ אינדעקס ביי א קאָמפּליִט גרעף מיט אזויפיל נוֺידס ווי די קעסטלעך אין די לענג אדער ברייט) זיין די צאל וועגן איך קען דערויף אויסשטעלן אזויפיל רוּקס ווי די צאל קעסטלעך אין די לענג אדער ברייט, און קיין איינס זאל נישט קענען האקען אַן אנדערע. און אויך אז טאמער קוק איך עס אָן פון די שיפקייט דאן זענען די רוּקס אויסגעשטעלט סימעטריש. למשל כזה ביי א שאך ברעט פון 8x8 קעסטלעך און 8 רוּקס דערויף וואס קענען זיך נישט האקן:

ועיין כאן וכאן.

אז מ'האט גערעדט סיי פון די מלכה פראבלעם און סיי פון סעקיור פּאַליגאַנס איז דא א וועריעישאן פונעם מלכה פראבלעם אויף אן 8x8 שאך ברעט וואו איך לייג 9 מלכות און זיי זאלן זיך נישט קענען האקן אבער איך קען לייגן א פּאָנדעל צו בלאקירן. דא איז דא אסאך וועגן.

עס איז אויך דא דעם געדאנק פונעם מלכה דאַמינעישאן פּאָזל וואס פרעגט וואו צו לייגן און וויפיל מלכּוֺת צו לייגן אויפ׳ן שאך ברעט אזוי אז דו קענסט יעצט אָנקומען מיט זיי צו וואו אימער אויפ׳ן ברעט (בנוסף צו זיך נישט האקן). ביי א געהעריגע 8x8 שאך ברעט איז די מערסטע וואס דו דארפסט 5 מלכּוֺת. מ׳קען זיי אויסשטעלן 12 אנדערע וועגן. דא איז איין משל (און קיין איינע פון זיי אטאקירן נישט דאס צווייטע):


מ׳ווייסט אז מ׳וועט דארפן כאטש אזויפיל מלכּוֺת ווי דאס האלב פון די צאל קעסטלעך אין די לענג אדער ברייט. (חוץ ווי די צאל קעסטלעך איז 3 אדער 11 וואו דארט איז עס די האלב פון 1 ווייניגער ווי די צאל קעסטעלעך.)

אין די לעקציע [54:52-1:00:00] דערמאנט דר. ראַבּערט סאַפּאָלסקי אז נמלים טוהן אַפּטימייזן דעם טרעוועלינג סעילסמאן פראבלעם. והיינו, מעיקרא הייבן אָן נמלים פון אנדערע מקומות און צו וואו זיי גייען, די אנדערע מקומות, לאזן זיי אראפ א פעראָמאָן/קעמיקאל סיגנאל צו צייגן די דרך זיי האבן גענומען אהין, וואס צוביסלעך וועפט דאס אויס. זיי האבן נאר א געוויסע פיניט מאס דערפון וממילא ווי קלענער זייער וועג איז אלס דיקער און שטערקער וועט די סיגנאל זיין. דערנאך גייען דארט ארום נאך נמלים און אויב שמעקן זיי דעם סיגנאל וועלן זיי נעמען דעם וועג און אראפלאזן דארט זייער פעראָמאָן סיגנאל. צוביסלעך קומט אויס אז עס וועט ארויסקומען אַן אַפּטימעל קורצסטע וועג וואו די קורצער וועגן מיט דיקערע סיגנאלן ווערן מחוזק. דאס איז סוואָרם אינטעלידזשענס.

ער זאגט שפעטער אז דאס איז אויך א מעכאניזם פאר ווי אזוי ניוּראן דרכים אינעם מח ווערן אויסגעשטעלט צוביסלעך אַפּטימעלי.

‏דא הא׳מיר בעקיפין דערמאנט דעם העילס-דזשוּוועט טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך אַן אייניגע געוויסע צאל שורות פון קעסטעלעך אויף א קיוּבּ מיט א געוויסע צאל קאלירן, דאן איז זיכער ובהכרח דא א דיימענשאן (און העכער) [וואו עס איז טאקע ל״ד א ״קיוּבּ״] וואו עס וועט בהכרח מוזן זיין איין שורה בשתי וערב או באלכסון וכו׳ וואו דאס גאנצע איז די זעלבע קאליר. מ׳קען עס אויך באטראכטן אז נישט קיין חילוק וויפיל מענטשן שפילן טיק-טאַק-טוֺי (מיט יעדער איינער אנדערע סימנים) און נישט קיין חילוק ווי סאך (אייניגע) קעסטעלעך עס זענען דא אין די לענג, ברייט וכו׳, וועט בהכרח מוזן זיין א געווינער איינמאל מ׳קומט אָן צו א גענוג הויכע דיימענשאן.