קאווע שטיבל

אין 1997 האט דר. ראַדזשער פּענרויס, וועלכע האט געהאט ארויסגענומען א קאַפּירייט/פּאטענט אין 1979 אויף די פּענרויס טיילס וואס ער האט געפונען, גערופן קלינעקס אין געריכט ווען זיי האבן געמאכט זיין טיילינג אויף טוילעט פּאפּיר. ער האט געוואונען און זיי זענען געקומען צו א הסכם. ***
‏דא האב איך צוגעברענגט אז וויבאלד איסלם דערלאזט נישט קיין צורות, דערפאר זענען חכמי האיסלמים געליגן אין טעסעלעישאנס.

עס איז דא די געדאנק פון דעם פּינוויִל טייל. דאס ארבעט מיט די געדאנק פון א סימילעריטי ביי שׁעיפּס. דאס מיינט אז ווען איך האב א א געוויסע שׁעיפּ מיט זייטן פון געוויסע מעזשורמענטס, אויב מאך איך דאס קלענער צי גרעסער מיט אלע זייטן די זעלבע פאקטאר, איז עס בעצם סימילער נאר פשוט געסקעילט. לדוגמא, אויב האב איך א רעקטענגעל וואס איר לענג איז 2 און איר ברייט 1, דאן איז א רעקטענגעל מיט לענג 8 און ברייט 4 סימילער דערצו; עס איז גרעסער מיט די זעלבע פאקטאר פון 4. (אגב, טאמער איז עס פונקט דאס זעלבע ווערט עס גערופן קאַנגרוּענט.)

יעצט, ווען איך האב א רייט טרייענגעל מיט די לענג פון די דריי זייטן וואס זענען 1, 2, און (עפי״ז) א היפּאַטענוּס פון 5 √. די טרייענגעל אליין קען איך צוטיילן און צאמשטעלן פון 5 קלענערע סימילער טרייענגעלס בתוכה. (די פאקטאר איז 1 דיוויידעד ביי 5 √.) וממילא קען איך נעמען נאך פיר אזעלכע טרייענגעלס און מאכן דאדורך א גרעסערע סימילער טרייענגעל דערפון. דערנאך קען איך נעמען 25 אזעלכע טרייענגעלס, 5x5, און מאכן נאך א גרעסערע סימילער טרייענגעל דערפון. וכן הלאה והלאה. ווען מען שטעלט אויס די טרייענגעלס אז אדער איז איין טרייענגעל אויפ׳ן צווייטן אז ביידע נעמען אויף פונקט די גאנצע זייט, אדער איינס נעמט אויף מיט איר זייט פון לענג 1 פונקט האלב פון די זייט פון לענג 2 פונעם אנדערן, דאן קומט דאס אויס צו אַן עיפּיריאדישע טיילינג. ענליך צום סיערפּינסקי טרייענגעל קען מען דאס פארוואנדלען אין צו א פרעקטעל שׁעיפּ, דורכ׳ן דאס כסדר צוטיילן אין צו 5 סימילער קלענערע טרייענגעלס (געמאכט קלענער מיט א פאקטאר פון 1 דיוויידעד ביי 5 √ כנ״ל) און ארויסנעמען די מיטעלסטע. און דערנאך צוטיילן די אלע קלענערע טרייענגעלס בתוכה צו 5 סימילער קלענערע טרייענגעלס (געמאכט קלענער מיט א פאקטאר פון 1 דיוויידעד ביי 5 √ כנ״ל) בתוכם און ארויסנעמען די מיטעלסטע. וכן הלאה והלאה. מ׳האט אויך אויסגעברייטערט די טיילינג צו 3D, גערופן דעם קוואַקוואַווערסעל טיילינג.

דא קען מען זעהן די פּינוויִל טיילינג דורך וויאזוי די טרייענגעל צוטיילט זיך כסדר אין צו קלענערע סימילער טרייענגעלס, קאלירט און קלאר: ***

מי אני האט געשריבן:טיילינגס האבן א שייכות מיט וויאזוי אטאמען קענען זיך אויסשטעלן בסימעטרי (אין א סאליד) אלס א (קריסטאל) לעטיס פון א באשטיינדל. דער רוסישער מאטעמאטיקער דר. עווגראף פעדעראוו האט אויפגעוואוזן אז אין 3D זענען דא 230 וועגן וויאזוי זיי קענען זיך אויסשטעלן סימעטריקעלי וואס דאס אין 2D איז 17 סארט וועגן, וואס ווערן גרופּירט אלס די 17 וואנטפאפיר גרופעס לויט די סארטן סימעטריס וואס זיי פארמאגן.

אין דעם, פּעריאדישע טיילינגס, זענען דא וואס מ׳רופט די 17 וואנטפאפיר גרופעס (בתוך גרופע טעאריע וואס איז עוסק אין סימעטריס). דאס ארבעט עפי״ז וואס עס זענען דא 4 מיני סימעטריס וויאזוי א פּעטערן גייט איבער און איבער:

1). טרענסלעישאן - פשוט און פראסט מ׳רוקט א פּעטערן כמו שהיא פון איין זייט צו רעכטס אדער לינקס איבער א געוויסע אימעדזשינערי ליניע

2). רעפלעקשאן - דאס איז וואו איך ״פליפּ״ די פּעטערן איבער א(ן אימעדזשינערי) ליניע, אזוי אז וואס איז רעכטס איז יעצט לינקס און לינקס איז יעצט רעכטס

3). גלייד - וואו איך מאך סיי איר שפיגל (איבער די ליניע) און דערנאך ריק איך דאס ארויף אדער אראפ

4). ראָטעישאן - וואו איך דריי ארום די פּעטערן ארום א(ן אימעדזשינערי) פונקט. וויפיל איך דיווייד די דריי ביי 360⁰, און עס גייט נאך האבן די סימעטרי, וואס גייט דאס צוריק ברענגען צו איר אריגינעלע אויסשטעל, איז די אָרדער פון די ראָטעישאן

יעדעס סימעטריק פּעטערן ווערט בעצם געשאפן אויף א 2D לעטיס. והיינו, א פּלעין פון פונקטן וואס אויף דעם שטעל איך אויס די פּעטערן, און די סימעטריס וואו איך ריק די פּעטערן זענען פון איין סעט פונקטן צו אנדערע. עס קומט אויס אז אין 2D זענען נאר פארהאן 5 מיני דיסקריִט לעטיסיִס וואס קענען אָנהאלטן די סימעטריִס, וואו די פונקטן זענען אויסגעשטעלט כזה: 1 איז א פּערעלעלאגרעמיק/אָבּליִק לעטיס, 2 איז א רעקטענגולער לעטיס, 3 איז א ראַמבּוס לעטיס, 4 איז העקסאגאנעל לעטיס, און 5 איז א סקווער לעטיס.

דאס אז עס זענען נאר שייך די 5 לעטיסיִס איז עפ״י די קריסטאלאגרעפיק רעסטריקשאן טעארעם וואס לויטעט אז עס איז נאר שייך אויף א לעטיס ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדערס וואס זענען 2, 3, 4, אדער 6.

ועפי״ז קומט אויס זענען דא די 17 סוגי וואנטפאפיר טעסעלעישאנס:

די בוכשטאב m באדייט אז עס האט א רעפלעקשאן/שפיגל סימעטרי. די בוכשטאב g באדייט אז עס האט א גלייד סימעטרי. די בוכשטאב p באדייט אז דאס איז ״פּרימיטיוו״, והיינו אז ווען איך צונעם דאס אינעם לעטיס וועלן די (אימעדזשינערי) ליניעס פון איבער וואס איך מאך די סימעטרי זיין עליינד מיט׳ן לעטיס. משא״כ ווען עס האט די בוכשטאב c דאן איז דאס ״סענטערד״ און די ליניעס זענען נישט עליינד דערמיט.

‏1). p1 - דאס האט אך ורק נאר טרענסלעישאנעל סימעטרי ולא יותר.

‏2). p2 - דאס האט פיר פונקטן ארום וועלכע איך קען דאס דרייען און האבן א סימעטרי פון אָרדער 2.

‏3). pm - דאס האט נאר פּאראלעלע שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי, אדער מימין לשמאל/אריבער א ווערטיקעל ליניע אדער מלמעלה למטה/אריבער א האריזאנטעל ליניע, ולא יותר.

‏4). pg - דאס האט נאר גלייד ריפלעקשאן סימעטרי ולא יותר.

‏5). cm - דאס האט נאר שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי און א גלייד ריפלעקשאן סימעטרי ליניע וואס איז פּאראלעל און האלבוועגס צווישן די געהעריגע שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי ליניעס.

‏6). pmm - דאס האט נאר צוויי שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטריס; איינס בשתי און איינס בערב. עס האט אויך פיר ראָטעישאנעל סימעטרי פונקטן פון אָרדער 2.

‏7). pmg - דאס האט נאר 2 ראָטעישאנעל סימעטרי פונקטן פון אָרדער 2. עס האט אויך שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטרי אין איין דירעקציע בערב, און א גלייד ריפלעקשאן סימעטרי וואס איז בשתי דערצו, וואס אויף אט די גלייד ליניעס זענען די פונקטן ארום וואס די ראָטעישאנעל סימעטרי דרייט זיך.

‏8). pgg - דאס האט נאר 2 ראָטעישאנעל סימעטרי פונקטן פון אָרדער 2. עס האט אויך צוויי גלייד ריפלעקשאן ליניעס בשתי וערב, אבער קיין שום געהעריגע ריפלעקשאן סימעטריס.

‏9). cmm - דאס האט נאר צוויי שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטריס בשתי וערב און א ראָטעישאנעל סימעטרי פון אָרדער 2 וואס צוויי פונקטן דערפון זענען אויפ׳ן שפיגל/רעפלעקשאנעל ליניע און איינס וואס נישט. (אַן אלגעמיינער ציגל וואנט איז די סארט.)

‏10). p4 - דאס האט נאר צוויי ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 און איינס פון אָרדער 2. עס האט נישט קיין שום סארט ריפלעקשאנס.

‏11). p4m - דאס האט נאר צוויי ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4, און 4 שפיגל/רעפלעקשאנעל סימעטריס מלמעלה למטה וברוחב, ווי אויך די דייעגאנעלס דערפון באלכסון שתי וערב; אלע ראָטעישאנעל פונקטן ליגן אויף די ריפלעקשאן ליניעס. חוץ מזה האט דאס גלייד ריפלעקשאן סימעטרי ליניעס וואס זענען נישט די זעלבע ליניעס פון די געהעריגע ריפלעקשאנס. וואו די ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 ווערן אָרדער 2, ביי צוויי דרייען, איז דאס וואו די גלייד ליניעס קומען זיך צאם. (א פשוט׳ע סקווער טיילינג איז די סארט.)

‏12). p4g - דאס האט נאר צוויי ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 (וואס זענען איינס קעגן דעם צווייטן), און עס האט נאר צוויי ריפלעקשאן סימערטי ליניעס בשתי וערב. וואו די ראָטעישאנעל סימעטריס פון אָרדער 4 ווערן אָרדער 2, ביי צוויי דרייען, איז דאס וואו די ריפלעקשאן ליניעס קומען זיך צאם. עס האט אויך גלייד ריפלעקשאן ליניעס וואס זענען פּאראלעל און אינצווישן די געהעריגע ריפלעקשאן ליניעס, ווי אויך ביי אלכסונן.

‏13). p3 - דאס האט נאר דריי ראָטעישאנעל פונקטן פון אָרדער 3.

‏14). p3m1 - דאס האט דריי ראָטעישאנעל פונקטן פון אָרדער 3, וואס די פונקטן זענען איינס אויף יעדעס איינס פון דריי ריפלעקשאן ליניעס ביי דריי זייטן כטרייענגעל. עס האט אויך דריי גלייד ריפלעקשאן ליניעס וואס זענען אינצווישן פאראלעל געהעריגע ריפלעקשאן ליניעס.

‏15). p31m - דאס איז דאס זעלבע ווי די פריערדיגע p3m1, אבער די חילוק איז אז עס האט כאטש איין ראָטעישאן פונקט וואס איז נישט אויף א ריפלעקשאן ליניע.

‏16). p6 - דאס האט נאר איין ראָטעישאן פונקט פון אָרדער 6, צוויי ראָטעישאן פונקטן פון אָרדער 3, און דריי ראָטעישאן פונקטן פון אָרדער 2.

‏17). p6m - דאס איז ווי p6, נאר עס האט אויך ריפלעקשאן ליניעס אין זעקס אנדערע העקסאגאנעל דירעקציעס, און אויך זעקס גלייד ריפלעקשאן ליניעס אין אנדערע העקסאגאנעל דירעקציעס וואס זענען יעדעס איינס אינצווישן צוויי פּאראלעל געהעריגע ריפלעקשאן ליניעס.

דאס איז א טשארט וואס שטעלט אויס אין וועלכע סוג וואנטפאפיר די פּעטערן וואס גייט איבער גייט אריין: עס קומט אויס אז די וואנטפאפירן פון p1, p2, זענען ביי א פּערעלעלאגרעמיק/אָבּליִק לעטיס; די וואנטפאפירן pm, pg, pmm, pmg, pgg זענען ביי א רעקטענגולער לעטיס; די וואנטפאפירן cm און cmm זענען ביי א ראַמבּוס לעטיס; די וואנטפאפירן p3, p3m1, p31m, p6, p6m זענען ביי א העקסאגאנעל לעטיס; און די וואנטפאפירן p4, p4m, p4g זענען ביי א סקווער לעטיס.


‏דא איז אַן עפּלעט וואו מ׳קען זיך ארומשפילן מיט׳ן שאפן פארשידענע וואנטפאפיר פּעטערנס עפ״י די 17 סוגים.

עס איז דא א סארט טעסעלעישאן וואס ווערט גערופן א וואָראָנאָי דייאגראם. דאס איז ווען מ׳האט רענדאם (סיִד) פונקטן אויף א פלאכע 2D פּלעין, דאן די ראיאן וואס איז נענטער צו איין פונקט ווי די אנדערע זענען בגבוליה. די גבול דערפון איז וואו די ווייטקייט פון איין פונקט צום אנדערן איז דאס זעלבע. ווען איך שטעל אויס די ווייטקייט נאר אין טערמינען פון א קאַרטיזשיען ״בּאַקסעדיגע/גראדע״ גרעף, גערופן ״מאנהעטען״ דזשיאמעטרי (על שם די בּאַקסעדיגע אויסשטעל פון אירע גאסן, כידוע פונעם סאָבּוועי מאַפּע), דאן איז דאס כזה:

אויב האט מען א גריד וואס איז ברייט צוויי קעסטעלעך און הויך א געוויסע צאל קעסטעלעך, דאן איז די צאל וועגן מ׳קען דאס טיילן מיט דאַמינוֺיס וואס זענען 1x2 קעסטעלעך די נומער אינעם פיבּאָנאַטשי סיִקווענס וואס איז איינס מער ווי די צאל קעסטעלעך אין די הייך פון דעם גריד.

דר. שרה-מערי בּעלקאַסטראָ האט אויפגעוואוזן אז ביי א מאָבּיִאוס סטריפּ וואס איז ברייט 2 קעסטעלעך און לאנג א געוויסע צאל (און די דריי דערין איז ביי די לענג) וועט די צאל וועגן פון טיילינגס מיט דאַמינוֺיס וואס זענען 1x2 קעסטעלעך ווען די לענג איז 1 אדער 2, איז 3 וועגן. ווען די לענג איז לענגער ווי דעם דאן איז די צאל וועגן פון דאַמינוֺי טיילינגס 1 ווייניגער ווי די צאל קעסטעלעך אין די לענג אבער די נומער קען נישט זיין מער ווי 2 (עס איז מאַדולער ארום 2, והיינו אז עס איז אדער 0, אדער 1, אדער 2, וחוזר חלילה) און דאס גיי איך מאָלטיפּלייען טיימס 2, און וואס איך באקום נעם איך אוועק פון פון די סומע טיילינגס ביי א מאָבּיִאוס סטריפּ וואס די לענג איז 1 ווייניגער ווי די, צוזאמען מיט די די סומע טיילינגס ביי א מאָבּיִאוס סטריפּ וואס די לענג איז 2 ווייניגער ווי די. אגב, בנוגע פיבּאָנאַטשי נומערן האט דער מאטעמאטיקער דר. אייראַ געסעל אויפגעוואוזן אז א נומער איז א פיבּאָנאַטשי נומער נאר טאמער עס וועט אויסקומען צו א סקווער נומער אויב מאָלטיפּליי איך 5 מאל די נומער און איך נעם אוועק אדער לייג צו דערצו 4.

טאמער האב איך פונקטן אויף א 2D לעטיס, איינס אונטער דאס אנדערע און אין שורות נעבן דאס אנדערע, וואס יעדעס איינס איז פונקט דאס זעלבע ווייט פונעם אנדערן (און וואו די ווייטקייט איז אין גאנצע נומערן/אינטעדזשערס), און איך וויל דאס טיילן מיט שׁעיפּס וואס יעדעס איינס איז איר סענטער ביי א פונקט און אזוי אז די פּערימעטער פונעם שׁעיפּ [די גאנצע מרחק רינגסט ארום דאס שׁעיפּ] זאל זיין דאס קלענסטע שייך, דאן איז די אַפּטימעל טיילינג דערפון נישט א סקווער. עס איז א שׁעיפּ וואס ווערט גערופן טשוי׳ס אירעגולאר העקסאגאן כזה:

אין טעסעלעישאנס איז דא די קאַנוועי קרייטעריאן. דאס לויטעט אז אויב האב איך איין שׁעיפּ און איך וויל וויסן טאמער צי אסאך טיילס פון די טייל אליינס קען טיילן די פּלעין, דאן אויב איז דאס א פארמאכטע שׁעיפּ רינגסט ארום אָן קיינע לעכער בתוכה (אזוי אז איך קען דאס אויספארעמען אין צו א סירקעל אָן שניטן), אויף וועלכע איך שטעל אויס אויף איר פארעם 6 פונקטן, וואס כאטש 3 זענען גענצליך אפגעזונדערט, אזוי אז אז עס קומט נאך צוויי תנאים:

1). אז די ליינס צווישן צוויי סעטס פון צוויי פונקטן דערויף, קענען ווערן געהעריג פארטוישט ווען איך ריק (אָן דרייען; א טרענסלעישאן) ווען איין ליין צווישן צוויי פונקטן איבער די אנדערע ליין צווישן די צוויי אנדערע פונקטן

2). די פיר אנדערע ליינס וואס זענען צווישן די אנדערע סעטס פון פונקטן, דארפן צו זיין סענטראָסימעטריק, והיינו אז אויב איך דריי זיי ארום 180⁰ ארום זייער מיטל-פונקט, דאן זעהט דאס אויס גענוי דאס זעלבע ווי בעפארן דרייען

אויב קומט די שׁעיפּ נאך די תנאים, דאן ווייס איך זיכער אז דאס איז א פּראָטאָטייל וואס מיט קאַפּיס פון נאר די טייל אליינס, קען מען טיילן דעם גאנצן 2D פּלעין פּעריאדיש. עס וועט דאס טיילן אזוי אז אדער איז דאס גראד (רעלאטיוו צו וואס איך רעכן ״גראד״ ביי דעם שׁעיפּ) אדער 180⁰ פון דעם; נישט אנדערש. ווי אויך זאגט דאס נישט אז א פּראָטאָטייל וואס קען אליינס טיילן דעם גאנצן פּלעין ״מוז בהכרח״ האבן די תנאים און ״נאר אזוי״ קען זיין אז עס זאל טיילן דאס גאנצע. עס זאגט נאר אז טאמער האט דאס די תנאים, דאן ווייס איך זיכער אז דאס קען דאס טוהן; עס איז סאָפישענט אבער נישט נעסעסערי.

דא זעהט מען א סארט שׁעיפּ וואס קומט נאך די תנאים: די רויטע פונקטן זענען די 6 פונקטן. די ליינס אין שווארץ, צווישן צוויי סעטס פון צוויי רויטע פונקטן, זענען גענוי דאס זעלבע דורכ׳ן פשוט רוקן איינס אויפ׳ן צווייטן אָן דאס דרייען. די איבעריגע סענקשאנס צווישן די אנדערע רויטע פונקטן, קען מען זיי דרייען 180⁰ (אָנכאפענדיג דעם בלויען פונקט אינדערמיט), און עס וועט אויסזעהן גענוי דאס זעלבע ווי פאר׳ן דרייען. דא זעהט מען ווי אזוי עס טיילט דעם פּלעין; יעדעס קאליר איז די שׁעיפּ, וואס די שׁעיפּ איז דאך צאמגעשטעלט פון העקסאגאנס וואס מ׳ווייסט שוין קען אליינס טיילן דעם גאנצן פּלעין.

דער מאטעמאטיקער דר. קאַרל ריינהאַרט האט געשטעלט א פראגע צי ס׳איז דא אזא סארט טייל, וואס צוויי פון זיי קענען גענצליך ארומנעמען א דריטע אינדערמיט. מ׳האט גע׳ספק׳ענט צי דאס איז בכלל מעגליך. זיין תלמיד דר. היינז וואדערבערג איז אויפגעקומען מיט די טייל: וואס קען דאס טוהן: ולא זו בלבד, נאר צוויי פון די טיילס קענען גענצליך ארומנעמען צוויי פון זייערע זעלבע טיילס: די סארט טייל קען גענצליך טיילן דעם פּלעין, בדרך ספּיירעל (וממילא איז עס נאַן-פּעריאדיק אבער נישט דוקא עיפּעריאדיק):

אינעם סוגיא פון דאַמינוֺיס זענען דא די ווענג טיילס פון דר. האָאַ ווענג. דאס זענען קעסטעלעך וואס אויף יעדעס זייט האט עס א געוויסע קאליר (אדער אויסשניט). מער ווי איין זייט דערפון מעג האבן די זעלבע קאליר. די שאלה איז צי איך קען האבן א סעט דערפון, אזוי אז עס זאל טיילן די גאנצע פּלעין, אויב מוז איך זיי אויסשטעלן אז א זייט וואס האט איין מין קאליר זאל זיך באהעפטן צו אַן אנדערע טייל וואס האט די זעלבע קאליר אויף יענע זייט (אדער וואו די אויסשניטן מעטשען און קענען באהעפטן). און טאמער עס קען, צי עס קען עס טוהן פּעריאדיש?

דר. האָאַ׳ס תלמיד דר. ראבּערט בּערגער האט אויפגעוואוזן אז עס איז נישטא קיין אלגאריטם דאס מברר צו זיין פאר א געוויסע סעט פון טיילס וואס מ׳האט. אבער עס עקזיסטירט בבטח סעטס פון אזעלכע טיילס וואס קענען טיילן די פּלעין עכ״פ עיפּעריאדיש. לדוגמא, די סעט פון 11 ווענג טיילס קען דאס טוהן: און דאס איז די זעלבע סעט נאר מיט אויסשניטן אנשטאטס קאלירן:

מי אני האט געשריבן: ↑זונטאג יולי 26, 2020 4:26 pm אירעגולארע טיילינגס זענען ווען די שׁעיפּ דערין איז נישט קיין רעגולארע פּאַליגאַן, דהיינו נישט אלע אירע זייטן (וממילא ענגעלס) זענען אייניג. דאס איז אפילו טאמער נוץ איך נאר איין אזא שׁעיפּ און דאך טיילט עס אנע געפּס און מיט א פּעטערן.

יעדעס סארט טרייענגעל אדער פיר-עק, ואפילו אירעגולארע, קענען לגמרי טיילן דעם פּלעין. למשל: אויב האט עס זיבן זייטן אדער מער, קען דאס נישט טיילן דעם פּלעין (נוצענדיג נאר די טייל).

עס זענען דא דריי סארטן אירעגולארע קאַנוועקס העקסאגאַנס וועלכע קענען טיילן דעם פּלעין. רעגולארע פּענטאגאנס קענען נישט טיילן דעם פּלעין. אבער מ'האט אויפגעוואוזן אז עס זענען נאר פארהאן 15 סארטן אירעגולארע פּענטאגאנס וועלכע קענען דאס יא טיילן.

אז מ׳האט דערמאנט דעם ארטיסט מאריטץ עשער בנוגע טעסעלעישאנס, האט ער געמאכט אַן עמבּיגרעם טעסעלעישאן פון זיין נאמען. אַן עמבּיגרעם איז א געשריבענע זאך וכדומה, וואס ווען מ׳דרייט דאס ארום זאגט עס עפעס אנדערש. די ״עפעס אנדערש״ קען בעצם זיין דאס זעלבע ווי די געשריבענע זאך אליינס, נאר מ׳קען עס זעהן איבערגעדרייט פונדאסניי. ער האט געמאכט א טעסעלעישאן פון זיין נאמען ״עשער״ אזוי, אז ווען מ׳דרייט דאס ארום אינגאנצן זעהט מען די חלק הגליון [נעגאטיוו ספּעיס], די פלאץ צווישן די אותיות מעיקרא, ווי זיי שרייבן ארויס נאכאמאל זיין נאמען: ער האט אויך געהאט געמאלן ווי א האנט קומט ארויס פון א פאפיר און מאלט א צווייטע האנט, וואס די צווייטע האנט איז וואס מאלט אט די האנט וואס מאלט אים, וחוזר חלילה: ועפי״ז האט מען (כעין) צאמגעשטעלט די צוויי בילדער כזה:

עס איז ידוע אז געהעריגע און געווענליכע קאמפּיוטערס ארבעטן דורך בּיינערי בּיטס בתוך די טרענסיסטארס (בתוך די לאגיק געיטס). דאס קען נאר האבן איינס פון צוויי סטעיטס: אנגעצינדן אויף דורכצולאזן עלעקטראנס/אינפארמאציע אדער נישט. די קאמפּיוטינג פּאַוּער פון געווענליכע קאמפּיוטערס האט אבער בהכרח א לימיט, ביחס צו ווי גרויס עס איז. דאס איז וויבאלד די טרענזיסטארס ווערן קלענער און קלענער עד כדי די קליינקייט פון אטאמען, וואס דארט נעמען די קוואנטום געזעצן איבער און עלעקטראנס ״ארבעטן״ אנדערש.

פיזיקער ארבעטן אויף א ״קוואנטום קאמפּיוטער״ וואס איז נאך שטערקער. דאס ארבעט מיט ״קיוּבּיטס״, וועלכע נוצט טאקע די געדאנק פון סוּפּערפּאזישאן ביי קוואנטום פיזיקס. והיינו, אנדערש ווי א געהעריגע בּיט וועלכע קען נאר זיין אין איינס פון צוויי סטעיטס, קען א קיוּבּיט בעצם זיין אין ביידע (עכ״פ מיט׳ן האבן א פּראַבּעבּיליטי באהאפטן צו יעדעס מעגליכע סטעיט, ועיין בדברי דר. סקאַט עראנסאן), ביז מען מעסט איר און עס דיקאָהערט צו איינע פון זיי. דאס איז היפש שטערקער ווי סתם א בּיט (עכ״פ ביי לענגערע קאמפּיוטעישאנס). למשל, אז מ׳האט 4 בּיטס, וואו יעדעס איז אין איינס פון צוויי סטעיטס, קענען זיי זיין אין איינס פון 2⁴ = 16 סטעיטס. משא״כ 4 קיוּבּיטס קענען זיין אין אלע 16. און ווי מער, אלס מער וואקסט איר קאמפּיוטינג פּאַוּער עקספּאָנענשאלי ביחס צו געהעריגע בּיטס.

די שוועריקייט פון דעם איז אז די קיוּבּיטס זאלן נישט דיקאָהערן וכדומה נאכ׳ן האבן די אינפארמאציע ענקוֺידעד בתוכם. דער מאטעמאטיקער דר. פּיטער שׁאָר איז אויפגעקומען מיט א מהלך וואו מ׳צוטיילט די ״אינפארמאציע״ איבער מערערע קיוּבּיטס. אין אנדערע ווערטער, פון איין קיוּבּיט ווייסטו אבסאלוט גארנישט קיין אינפארמאציע; עס איז נאר פונעם צאמשטעל וואס עפעס קומט בכלל ארויס. און דערנאך איז דא א וועג פון ״פאררעכטן״ די קארופטירטע קיוּבּיט. דר. זשי לי און דר. לעטעם בּוֺיל האבן אויפגעוואוזן אז ס׳דא א מאטעמאטישע שייכות מיט דעם געדאנק צו די פּענרוֺיס עיפּעריאדישע טיילינג. והיינו אין קורצן, אז ביי זיי איז אויך שייך וואו עס איז דא בתוך א קלאס פון טיילינגס א גאנצע שטיק וואס איז דאס זעלבע ווי אַן אנדערע טיילינג, אבער איך קען דאדורך בשו״א נישט געוואור ווערן אינפארמאציע איבער די גאנצע טיילינג. ‏די סארט טיילינג האט אויך א שייכות מיט געוויסע מאדעלן פון קוואנטום גראוויטי. ובפרט ביי אנטי-דע-סיטער ספּעיס, וואס אין אזא מאדעל ‏וואקסט ארויס די ריאליטעט פון קוואנטום קאָרעקשאנס (און ביי שווארצע לעכער קען עס זיך שוין נישט פאררעכטן). און אנטי-דע-סיטער ספּעיס איז הייפּערבּאַליק (און מער ניתן צו זיין האלאגרעפיק), ועיין לעיל איבער הייפּערבּאַליק טעסעלעישאנס.

די פּיטעגאריען טיילינג איז וואו איך האב א סקווער וועלכע איך נעם ארום מיט גרעסערע סקווערס אדער (רעקטענגעלס): דאס ווערט גערופן ״פּיטאגאריען״, וויבאלד מ׳קען דאס נוצן צו אויפווייזן דאס פּיטאגאריען טעארעם דורכ׳ן ארויפלייגן דערויף שיפערהייט א גרעסערע סקווער וועלכע צוטיילט דאס אין צו רייט טרייענגעלס כזה: אין די 1665 מאלעריי פון יעקב אכטערוועלט זעהט מען די טיילינג אויפ׳ן פלאָר: ובענין זה איז דא קעלער'ס קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז אויב מאך איך א טיילינג, אין עני דיימענשאן, מיט קאַפּיס פון 1 גענויע זעלבע הייפּערקיוּבּ, גייען בהכרח צוויי פון די הייפּערקיוּבּס דערין זיין גענצליך איינס קעגן דאס אנדערע זייט-ביי-זייט. והיינו, א הייפּערקיוּבּ באדייט די שׁעיפּ/פּאַליגאַן וואס אין יענע דיימענשאן איז כל צלעותיו שוות: א סקווער אין 2D, א קיוּבּ אין 3D, א טעסערעקט אין 4D אא״וו. וממילא זאגט די קאנדזשעקטשור אז אויב מאכט מען א טיילינג אין א דיימענשאן מיט נאר די איין סארט שׁעיפּ, וואו אלע זענען די גענוי זעלבע סייז, דאן מוז בהכרח זיין כאטש צוויי פון זיי וועלכע רירן זיך אָן איינע די אנדערע גענצליך ביי א זייט; דאס גאנצע זייט פון איינע אויף די גאנצע זייט פונעם צווייטן. דאס איז לדוגמא ביי א טיילינג אין 2D און 3D פון זעלבע-סייז סקווערס/קיוּבּס: עס קומט אויס אז די זייט וואס טרעפט זיך מיט׳ן אנדערן, איז אט די הייפּערקיוּבּ שׁעיפּ אין איין דיימענשאן נידעריגער. ביי א 2D סקווער איז עס א ליין וועלכע איז דאס אין 1D, און ביי א 3D קיוּבּ איז דאס איינע פון אירע זייטן/פנימ׳ער וועלכע איז א סקווער אין 2D. אא״וו.

מ׳קען דאס פארוואנדלען אין צו א גרעף וועלכע ווערט גערופן דעם קעלער גרעף. דאס ארבעט אז פאר א געוויסע דיימענשאן שטעל איך אויס אזויפיל פונקטן ווי 4 געהויבן צו דאס עקספּאָנענט פון די נומער פון יענע דיימענשאן. יעדעס פונקט האט אויף זיך אזויפיל נומערן/קאלירן ווי יענע דיימענשאן, פון אַן אויסוואל פון אַן איִווען צאל קאלירן (פון 4 און ארויף), וואו פון די 4 (אדער ארויף) זענען זיי צוויי גרופעס פון צוויי קאלירן א פּאָר. דערנאך באהעפט איך איין פונקט צו א צווייטן מיט א ליין/עדזש נאר אויב די קאלירן דערין זענען איינס אנדערש פונעם צווייטן, און די אנדערע איז סיי אנדערש און סיי איר פּאָר. אויב קען איך דערנאך מאכן דערין א קליִק, והיינו ארויסנעמען דערפון אַן עקסטערע גרעף וואו יעדעס פונקט דערין איז מקושר צו אלע אנדערע פונקטן דערין, וואס גייט האבן כאטש אזויפיל באהאפטענע פונקטן ווי 2 געהעכערט צום עקספּאָנענט פון די דיימענשאן, דאן איז די קאנדזשעקשטור פאלש אין יענעם דיימענשאן. דא איז א משל פון די קעלער גרעף ביי 2D: די קאנדזשעקטשור איז אויפגעוואוזן צו זיין אמת ביז 7D ועד בכלל, און פאלש אין אלע העכערע דיימענשאנס ווי דעם. אויב אבער שטעלט מען אויס די טיילינג פון די הייפּערקיוּבּס אזוי אז זייערע סענטערס מאכן א לעטיס, דאן איז דאס יא אמת אין יעדעס דיימענשאן (דאס ווערט גערופן האדזשאס׳ טעארעם).

לגבי פּאַליאַמינוֺיס זאגט דער מאטעמאטיקער דר. דוד ריטשעסאן אז עס זענען פארהאן 12 סארטן וועגן פון וויאזוי א פּענטאַמינוֺי קען זיין אויסגעשטעלט. א פּענטאַמינוֺי איז א פּאַליאַמינוֺי וואס איז צאמגעשטעלט פון 5 סקווערס: עס קומט אויס אז יעדעס פון די 12 סארטן פּענטאַמינוֺיס קען אליינס ווערן צאמגעשטעלט פון 9 קלענערע פּענטאַמינוֺיס. און דאס קען ווייטער גיין קלענער און קלענער, הלאה והלאה. דא איז וואו ער האט דאס געמאכט דריי מאל בתוך איין פּענטאַמינוֺי: דאס דערמאנט אביסל פון ‏פרעקטעלס.

מי אני האט געשריבן: ↑זונטאג מערץ 26, 2023 3:17 am

מי אני האט געשריבן:בנוגע עיפּעריאדישע טיילינגס האט מען אלס געפרעגט צו ס׳איז שייך אן ״איינשטיין״ טייל, על שם ״איין שטיין״, וואס מיט נאר איין טייל זאל מען קענען טיילען דעם גאנצן פּלעין אבער עס זאל אויסקומען נאר עיפּעריאדיש (די ווייניגסטע ביי די פּענרוֺיס טיילינגס פארלאנגט צוויי סארט טיילס).

מ'האט אויפגעוואוזן די חודש אז עס איז יא דא אזא סארט קאָנעקטעד טייל. כזה: איינשטיין.jpg

די סארט ״איינשטיין״ טייל, טיילד די גאנצע פּלעין נאר עיפּעריאדיש, און אָן דארפן ריפלעקטן די טייל אז עס זאל זיין א שפיגל פונעם אנדערן (אזוי ווי מ׳דארף טוהן מיט די אריגינעלע ״הוט״ טייל); וואס אין אזא פאל וואו מ׳ריפלעקט די טייל קען מען טענה׳ן אז זיי זענען צוויי באזונדערע שׁעיפּס און נישט אַן עכטע ״איינשטיין״, זייענדיג אז די ‏שפיגל פון איינס איז טשירעל צום צווייטן און מ׳קען נישט ארויפלייגן איינע איבער דאס אנדערע עס זאל זיין דאס זעלבע [כלדוגמא א רעכטע שיך אויף א לינקע שיך]. ביי דעם אבער דארף מען דאס נישט טוהן און עס גייט טיילן די גאנצע פּלעין נאר עיפּעריאדיש, טאמער לאז איך דאס נישט שפיגלען. (טאמער לאז איך דאס יא שפיגלען, דאן קען עס יא טיילן דעם פּלעין אויך פּעריאדיש און נישט נאר עיפּעריאדיש. די אריגינעלע ״הוט״ טייל קען טיילן נאר עיפּעריאדיש, אויב קען מען דאס שפיגלען בתוך די טיילינג; בלא זה גייט דאס אינגאנצן נישט טיילן.)

‏עס קען האבן השלכות לגבי כעמיסטרי וואס, ווי באקאנט, איז דא א חילוק אין די פונקציעס צווישן מאלעקיולס וואס זענען איין ‏געבוי און די מאלעקיולס מיט די זעלבע גענויע געבוי, אבער איז פשוט געשפיגעלט און טשירעל צום אנדערע.

עס איז אויך מערקווידיג ווי דר. ניקאלעס דע בּרואין האט אויפגעוואוזן אז די עיפּעריאדישע פּענרוֺיס טיילינג, וועלכע איז אויף א 2D פּלעין, איז נובע בשורשה פון א פּעריאדישע טיילינג אין 5D. די געדאנק איז ענליך צו ווי אזוי די לעטיס אין 2D ווערט ״מפורש״ אין 1D.

דר. נאטאלי פּריעבּע פרענק ברענגט צו פון דר. טערענס טאַוּ, אז ער גלייבט ס'איז דא א סארט טייל, אויף וועלכע עס איז דא א פּרוּף אז מ'קען נישט פּרוּוון אז עס קען טיילן די פּלעין און אויך נישט פּרוּוון אז עס קען נישט טיילן די פּלעין (ואפילו אין 2D, און נאך מער טאמער נעמט מען אויך אריין אין כלל טיילינגס אין העכערע דיימענשאנס). דר. דזשאנא לעווין גלייכט דאס צו צום געדאנק פון גאָדעל'ס טעארעמס. (ועיין כאן בדבריה בענין זה לגבי פיזיקס און די "טעאריע פון אלעס".)

זייענדיג אז דר. פרענק ארבעט אין דעם פעלד, האט זי אליינס געטיילט די פלאָרס פון איר ביהכ"ס און איר קרובים'ס:

לגבי טרוּשׁעט טיילס זאגט דער מאטעמאטיקער דר. דוד ריטשעסאן:

מי אני האט געשריבן: ↑זונטאג אפריל 16, 2023 9:08 am אין 1997 האט דר. ראַדזשער פּענרויס, וועלכע האט געהאט ארויסגענומען א קאַפּירייט/פּאטענט אין 1979 אויף די פּענרויס טיילס וואס ער האט געפונען, גערופן קלינעקס אין געריכט ווען זיי האבן געמאכט זיין טיילינג אויף טוילעט פּאפּיר. ער האט געוואונען און זיי זענען געקומען צו א הסכם.
A2935CD5-47C4-47B1-9B89-BE2C5FF50C62.jpeg

לגבי דעם איינשטיין טייל: