קאווע שטיבל

הציץ ונפגע האט געשריבן:די סיבה פארוואס קלאמערן זענען די ערשטע איז וויבאלד א מאטעמאטישע פארמולא אין קלאמערן מיינט אז דאס דארף מען ליינען ווי איינס. אין אנדערע ווערטער, די קלאמערן פארציילן אז די מאטעמאטישע פארמולא וואס געפינט זיך אין איר אז א יוניט פאר זיך, נישט אנגעהאנגען אין די דרויסענדיגע. עקספאנענטס איז אויך בעצם איין ציפער און דארף דערפאר קודם געטון ווערן. טיימס און דיוויזשאן זענען אויף איין שטאפל וויבאלד זיי זענען ביידע די זעלבע זאך, איינס די פארקערטע פון די צווייטע. און די זעלבע איז מיט עדישאן און סאבטרעקשאן וועלכע זענען אויך אויף איין שטאפל וויבאלד ביידע זענען די זעלבע, איינס די פארקערטע פון צווייטן. פארוואס קומען טיימס און דיוויזשאן בעפאר פלאס און מיינוס? נישטא קיין געהעריגער הסבר. די עכטע סיבה איז וויבאלד עס פארלאנגט זיך אז יעדער זאל נוצן די זעלבער סיסטעם כדי מען זאל פארשטיין איינער דעם צווייטענס מאטעמאטישע פארמולעס.

די סיבה פארוואס מאלטיפליקעישאן קומט פאר עדישאן איז נישט ממש קיין חק בלי טעם; מען קען עס פארשטיין. ערשט דארף מען מקדים זיין אז באמת זענען מאלטיפליקעישאן און דיוויזשאן אחת, ווי אויך זענען עדישאן און סאבטרעקשאן אחת.

דהיינו, דיוויזשאן איז פשוט מאלטיפליקעישאן פונ׳ם אינווערס. להסביר, יעדע נומער איז כאילו איך זאג שוין מעיקרא אז ס׳איז די נומער ווען איך צוטייל עס נאכדעם נאר איינמאל/נאר איין חלק; די נומער אליין. למשל, 3 איז כאילו איך זאג 3/1 [״צוטייל די 3 צו נאר 1 מענטש״; ער באקומט די גאנצע חלק]. יעצט, ווען איך מאלטיפליי ביי דריי איז דאך פשוט. ווען איך זאג א מ׳זאל דיוויידן ביי דריי, מיין איך (אויך) אז מ׳זאל דאס מאלטיפלייען ביי די אינווערס פון דריי, דהיינו דאס ארומדרייען [פון 3/1 צו 1/3] און דערנאך מאלטיפלייען. אז ס׳ענדיגט זיך מיט א נומער גרעסער ווי איינס אין די דענאמינעיטאר דארף איך עס נאכדעם צוטיילן אזוי אז עס זאל אויסקומען אז יעדע נומער (אפילו א נישט גאנצע) זאל נאר האבן אן איינס אונטער זיך כנ״ל. עכ״פ אבער זעהן מיר פון דעם אז מאלטיפליקעישאן און דיוויזשאן זענען אחת הן.

צו מער מסביר זיין פארוואס עדישאן און סאבטרעקשאן זענען אחת הן, איז וויבאלד עפ״י אלדזשעברא איז באמת נישטא קיין זאך ווי סאבטרעקשאן; עס גייט מיינען עדישאן פונ׳ם נעגאטיוון נומער. למשל, אויב האט מען 9-5 מיינט דאס פשוט אז מ׳לייגט צו [מ׳טוהט עדדן] צו פאזיטיוו 9 א נעגאטיוון 5, וממילא גייט דאס אויסקומען צו פאזיטיוו 4. (אויב שרייבט מען למשל 5--9 מיינט מען אז מ׳לייגט צו צו פאזיטיוו 9 די פראדוקט פון נעגאטיוו 1 מיט נעגאטיוו 5, וואס קומט אויס צו פאזיטיוו 14.)

יעצט, לא׳מיר נעמען א משל פון 1/2 +1/2. יעדער ווייסט אז די ענטפער איז איין גאנצע. אבער דאס קען נאר ארבעטן טאמער האט מען געטוהן די דיוויזשאן (שהוא כמו אחת עם מאלטיפליקעישאן וכנ״ל) און ערשט דערנאך זיי צאמגע׳עדד. אז נישט קומט אויס אז מ׳האט גע׳עדד 1 מיט 1 אויבן (מ׳נעמט דאך אן אז ער וויל ערשט טוהן די עדישאן) וואס איז 2, און 2 מיט 2 אונטן וואס איז 4, און ערשט דערנאך גייט ער דאס דיוויידן 2/4 וואס איז ווייטער האלב. דאס מאכט דאך נישט קיין סענס. משא״כ אויב טוהט ער די דיוויזשאן פריער און ערשט דערנאך די עדישאן קומט ער דערנאך אן צו 1 גאנצע. זעהט מען פון דעם אז דיוויזשאן/מאלטיפליקעישאן לגבי עדישאן/סאבטרעקשאן איז כאילו ס׳איז איין יוניט און כאילו עס איז אין קלאמערן/פּאַרענטעסיס.

ועיין כאן פארוואס עקספאנענטס קומען נאך פריער.

מי אני האט געשריבן:די סיבה פארוואס מאלטיפליקעישאן קומט פאר עדישאן איז נישט ממש קיין חק בלי טעם; מען קען עס פארשטיין.

איך פארשטיי נישט די אויספיר. אויב שרייבט מען יעדע 1 העכער א 2 מיט איין + אינדערמיט, וועט יעדער פארשטיין אז די דיוויזשען קומט פארדעם, ווייל אזוי איז עס אויסגעלייגט.

אבער אויב שרייבט מען עס אין איין שורה 1/2+1/2, אפשר דארף איך יא ליינען די עדישאן קודם? 1/3/2 = ...0.1666

איך ווייס אז מען ליינט עס נישט אזוי, איך האב אבער געמיינט אז מען דארף פשוט האבן א סטאנדארד האט מען אנגענומען PEMDAS, און ווער עס וויל שרייבן אנדערש דארף שרייבן 2/(2+1)/1 = ...0.166666 אבער אז דו זאגסט עס איז מסברא, פארשטיי איך נישט פארוואס.

איה״נ. אבער אויב פארשטייט מען אז ווי אזוי מען שרייבט ״האלב מיט נאך א האלב״ אין מאטעמאטישע נאטעישאן איז (אויך) 1/2+1/2, נאך פאר מ׳נעמט אן/ווייסט פון די ״לומדות״ פון PEMDAS, קומט דאך אויס אז מ׳נעמט אימפּליסיטלי אָן אז מאלטיפליקעישאן/דיוויזשאן איז (כאילו) אין קלאמערן/פּאַרענטעסיס לעומת עדישאן/סאבטרעקשאן. (למשל, ווען כ׳האב דאס געוואוזן פאר איינעם וואס קען ל״ע נעבעך ניטאמאל טוהן פרעקשאנעל [מאטעמאטישע] אפערעישאנס, האט ער גראד געוואוסט אז דאס מיינט ״האלב מיט נאך א האלב״. פון דעם האב איך אים געוואוזן אז מ׳אטאמאטיש טוהט דיוויזשאן פאר עדישאן. ער האט געוואלט פארשטיין די דין קדימה פון מאלטיפליקעישאן/דיוויזשאן פאר עפעס אן אינטערנעט חידה.)