בואו חשבון

[פארוואס?]

אודה ולא אבוש אז צומאל ווען איך לעז (המכונה סאלוון) א פארפלאנטערטע עקוועישאן כאפט זיך אריין א הרהור כפירה אין מיר, ווער זאגט אז די כללים וואס איך האב אוועקגעשטעלט אין אנהויב עקספייערן נישט ערגעץ וואו אין די הויכע ציפערן.

איך פאנג שוין אן צו טראכטן אז די באשולדיגונגען פון איי-וועלט אויף קאווע שטיבל איז גערעכט.
אין אן ערנסטע מינע, מיין איך אז די כפירה איז א רוח-שטות פונעם יצה״ר, ווייל נאך וואס מיר האבן מאטעמאטיקל אינדאקשן, דארפן מיר נישט האבן אזעלכע דאגות.

[יאיר]

@פארוואס?, איך וועל נישט יעצט אריינקריכן אין פילאזאפישע ארגומענטן. באלד וועסטו נאך זאגן אז איך מאך אן אין מאין. אבער בקיצור נמרץ מיין איך טאקע דאס וואס דו זאגסט, אז אין מאטעמאטיקס איז יעדער נומער א קאנצעפט, נישט קיין חילוק צו א פאזיטיווע צו א נעגאטיווע צו אן אימעזשענערי צו אן אומראציאנעלע.

זייער שיין. באמת א שיינע ארבעט. ענדליך נעמט זיך איינער צו די מלאכה לקרבה אל הלב.
איך האב אסאך וואס צו שרייבן, ובזה החלי:

קודם לאמיר הערן וויזוי זעהט אויס ״פארוואס?״?
און ביני ובינך, בין איך קרח מכאן ומכאן, ווייל כ׳האלט נאכנישט ביי די עכטע חידושים אויך נישט.

אויף יעדע זאך וואס פארוואס? ליינט האט ער אזויפיל פראגע צייכנס אין קאפ. דאס איז ווייל דו מישט אויף אינמיטן פון דעם בוך, הייב אן פון אנהויב וועט אלעס זיין קלאר.
ערנסט גערעדט, מאטעמאטיקס מוז געבויט ווערן אין א פונקטליכע סדר. אויב עס פעלט נאר אפילו א קלייניקייט אין דעם יסוד, אפילו די פשוט'סטע זאכן וואס מען וואלט ווען געדארפט קענען אבער למעשה האט מען עס קיינמאל נישט קלאר געמאכט, לייגט דאס גרויסע שטיינער שפעטער אין וועג. דערפאר פעלט אויס צו אנפאנגען ממש ביים אנהויב.

[פארוואס?]

יא יא.
כ׳האב מלכתחילה אזוי פארשטאנען. כ׳האב עס נישט ערנסט געמיינט.
איך האלט שוין פון לאנג אז עס פאדערט אזא הקדמה, און דו ביסט טאקע דער ריכטיגער שליח דאס צו דעליווערן.
איך האף נאר אז ווען מ׳הייבט אן פון אזוי פרי זאל מען אנקומען ערגעצוואו, איך גלייב שווער אז מיט די עלעוועיטער וועסטו אנקומען ביז קאלקולוס.
(און ביי דע וועי, יעצט פארשטיי איך שוין וועלכע עלעוועיטער מ׳האט גענוצט ביי הילבערט׳ס האטעל).

[יאיר]

איך האף נאר אז ווען מ׳הייבט אן פון אזוי פרי זאל מען אנקומען ערגעצוואו, איך גלייב שווער אז מיט די עלעוועיטער וועסטו אנקומען ביז קאלקולוס.

בדידי הוה עובדא.
יעצט דארפסטו נאר נוצן mathematical induction צו פראוון אז יעדער קען אנקומען אהין מיט אונזער עלעוועיטאר.

[יאיר]

מאטעמאטיקס איז א חכמה, אבער די סימבאלן וואס מיר נוצן עס צו אראפשרייבן איז א שפראך. אויב מען וויל קענען דעם שפראך פון מאטעמאטיקס דארף מען קענען די טערמינאלאגיע פון די סימבאלן, און אזוי אויך וויסן די גראמאטיק כללים פון דעם שפראך, אויב נישט קען מען עס נישט ליינען. אלזא, איידער מיר גייען ווייטער אין מאטעמאטיקס וויל איך ווידמען אפאר שורות צו באקענען דעם עולם מיט די טערמינאלאגיע פון פארשידענע סארטן נומערן אין מאטעמאטיק.
די נומערן זענען איינגעטיילט אין פארשידענע דרגות, פון אונטן ביז ארויף, ואלו הן:
counting numbers - דאס זענען אלע פאזיטיווע נומערן פון 1 ביז אין סוף.
whole numbers - אויך אלע פאזיטיווע נומערן, נאר דא הייבט מען אן פון זערא ביז אין סוף.
integers - אלע נומערן אויף די נומער ליניע, פאזיטיוו אדער נעגאטיוו, זערא אריינגערעכנט.
rational numbers - דאס רעכנט אריין אלע אויבדערמאנטע נומערן, פלוס אלע צעטיילטע נומערן המכונים fractions, ווי 1/2, 4/100, און אזוי ווייטער.
irrational numbers - אלע אויבדערמאנטע, פלוס אלע נומערן וואס מען קען נישט שרייבן נישט אין קיין Integer אדער rational number, ווי למשל דער נומער פאי, וואס מען קען נישט אראפשרייבן גענצליך אין געווענליכע נומערן, און מען האט מייחד געווען דערפאר דעם ספעציעלן סימבאל π.
די אלע נומערן גייען אריין אין דעם כלל פון real numbers. ווען איינער רעדט וועגן א ריעל נומער רעדט ער פון די אלע נומערן וואס איך האב יעצט דערמאנט. עס זענען אויך פארהאן imaginary נומערן, אבער דאס איז פאר א ווייטערדיגע לעוועל אין מאטעמאטיקס.

יעצט די גראמאטיק כללים. איך וועל אנהויבן מיט די order of operations.
וואס איז דער ענטפער צו דער פראגע: 5*1+2?
מען קען עס ליינען צוויי וועגן. אדער קודם 1+2, וואס איז 3, דערנאך 5*3, וואס איז פופצן. אדער קען מען קודם ליינען 5*2, וואס איז צען, דערנאך 10+1, וואס קומט אויס עלף. וועלכע איז דער ריכטיגער ענטפער? אויב מען וועט לאזן יעדן איינעם מאכן דעם חשבון ווי אזוי מען וויל, וועט דאך זיין א כאאטישער צושטאנד. דערפאר האבן די חכמים מתקן געווען א סדר וועלכע מען מאכט קודם און וועלכע נאכדעם, וסימנך PEMDAS, ווי דער מהרש"א ערקלערט איז דאס ר"ת: parentheses, exponential, multiplication, addition, subtraction. לאמיר מסביר זיין יעדע איינע:
parentheses - אלע נומערן וואס ליגן אין צוויי האלבע רינגלעך רעכנט מען צוזאם די ערשטע. למשל (2+1)*4, וועט מען קודם רעכענען 2+1, דערנאך דעם סך הכל * 4. כאטש געווענליך וואלט מען געטון פארקערט, ווי מיר וועלן שפעטער זען. אויב איז דא צוויי האלבע רינגלעך, איז דער כלל אז כל שבפנים קודם, למשל ((9+8)*4)*3, וועט מען קודם רעכנען די אינווייניגסטע 9+8, דערנאך דעם סך הכל *4, דערנאך דעם סך הכל פון די ביידע חשבונות *3.
exponential - דאס מיינט די פאוער נומערן, וואס קומט נאכדעם אויף די רייע. היות מיר האלטן נאך נישט דארט וועל איך עס אויסלאזן לעת עתה.
multiplication - די נעקסטע וועט מען רעכנען די מולטיפליקאציע סימבאל. אלזא 5*1+2 וועט מען קודם רעכענען 5*2 און נאכדעם +1.
addition, subtraction - די צוויי גייען אינאיינעם, און ביידע האבן די זעלבע דרגה. די סיבה איז לכאורה ווי געשמועסט פריער אז subtraction איז באמת אויך addition, ממילא איז נישט שייך צו מקדים זיין איינער פאר'ן צווייטן.
וואס טוט זיך אויב מיר באגענען זיך מיט ביידע, אדער מיט צוויי additions אדער subtractions? דאן איז דער כלל אז מען הייבט אן פון לינקס און מען גייט אין א רייע.
אלזא לאמיר עס מסכם זיין:
פערענטעסיס ושאינו פערענטעסיס, פערענטעסיס קודם.
עקספאנענטס ושאינו עקספאנענעטס' עקספאנענטס קודם. (מלבד מה שמובא בתוך הפערענטעסיס כנ"ל, עי' שאגת אריה סי' כ"ב).
מולטיפליקעישאן ועדישאן, מולטיפליקעישאן וסובטרעקשאן, מולטיפליקעישאן קודם.
עדישין ועדישאן, עדישאן וסאבטרעקשאן, סאבטרעקשאן וסאבטרעקשן, שמאל שמאל קודם.

הדרן עלך סימני סדר האפעראציעס
עדישאן בר מולטיפליקעישאן, סובטרעקשאן בר מולטיפליקעישאן, עקספאנענטס בר מולטיפליקעישאן וכו'

[פארוואס?]

זייער שיין און קלאר. שכויח.
---
די real numbers פאדערט א קלארערע באהאדלונג, איך מיין דו קענסט דא נוצן ווידער די נומער ליניע.
איינער וואס איז ווילד-פרעמד צו מאטעמאטיק, ברויך נישט צו וויסן אז עס איז בכלל דא א נומער וואס קען נישט ווערן רעפרעזעטירט דורך א פרעקשן פון צוויי נומערן.
אפילו אזעלכע ווי פיטאגאראס (עכ"פ אזוי גייען די לעגענדעס) האבן דאס נישט געוואוסט. אלזא, דר. יאיר, צינדט צוריק אן דעם עלעוועיטער און ערקלער עס.
(לכאורה וועסטו דארפן אפשטעלן דעם עלעוועיטער אינמיטן א שטאק, (אבער איך לאז די עבודת הדמיון פאר דיר)).

נ. ב. די פרענטעסיס זענען גענוצט געווארן געזעצליך.

[טאמבל סאס]

הערליך! פעלט נאך אויס נאכקוקן די שאגת אריה ס' כב?

[ישראל קאפקע]

איז דא א וועג וויאזוי מסביר צו זיין וואו און וואס עס כאפט א חילוק פון counting numbers, whole numbers, integers, rational numbers, irrational numbers וכו?

ס'איז גרינג צו ליינען די נעמען און זייערע דעפיניציעס, שוין איבערגעגאנגען פילע מאל אין די פארגאנגענהייט אבער ס'איז מיר גאר שווער צו געדענקן א ליסטע פון זאכן אן פארשטיין וואס מאכט זיי אנדערש איינס פונעם צווייטן,

ס'איז וואו לערנען מיט א בלינדן קאלירן און א טויבן נאטן, ער וועט אפשר געדענקען אז גרין איז א בארואיגנדע קאליר, וואס ענדלט צו געל און בלוי, אבער ער פארשטייט נישט וואס גרין איז וועט עס זיין שווער צו געדענקען, אבער אויב ער ווערט זעעדיג וועט ער פארשטיין די חילוק,

אין באטאניק איז דא פילע נעמען פאר די אויסשטעל פון בלעטער, סיי די אויסשטעל אויפן צווייגל, סיי די אויסשטעל פון בלעטער פארלעך, די בלאט עקן, די בלאט פארמען, אבער ביז מען 'זעט' די בלעטער איז זייער שווער צו פארשטיין וואס די אלע חילוקים זענען, צו זיין א גוטער באטאניקער דארף מען קודם גוט פארשטיין און געדענקען וואס זיי 'מיינען' און 'זען וואס די חילוקים זענען' נישט נאר די ווערטערליכע אפטייטש,

איז מעגליך פאר רבינו יאיר אונז צו 'דערלייכטן' די אויגן?

[יאיר]

ישראל, שאלה גדולה שאלת. איך האב פונקט אנגעהויבן לעצטנס ליינען א וואונדערבארער נייער בוך Fluent Forever, וועלכע לערנט אויס ווי אזוי זיך אויסצולערנען א נייער שפראך. איז ער מסביר אז דער בעסטער וועג איז נישט צו זיצן און מעמארייזן הונדערטער ווערטער און גראמאטיק כללים, נאר תיכף פון אנהויב מאכן וואס מער לעבעדיג די ווערטער אין מוח, כדי עס זאל ווערן גענוג מיינונגפול פאר'ן מח עס זאל זיך לוינען צו געדענקען. דער מאטעמאטישער שפראך איז גארנישט אנדערש, און די גרינגסטע וועג זיך אויסצולערנען די טערמינאלאגיע איז along the way. אבער עפעס מוז מען דאך קענען, ממילא וועל איך פרובירן קלארער מאכן די פריערדיגע דעפיניציעס.
counting numbers - דער באדייט איז פשוט, אלע נומערן מיט וואס מען ציילט אביעקטן אין טאג טעגליכן לעבן.
whole numbers - די סיבה פארוואס מען דארף האבן א באזונדערע גרופע וואס רעכנט אויך אריין זערא, איז וויבאלד זערא פארמאגט געוויסע unique הלכות. למשל סיי וועלכער נומער * 0 וועט אייביג זיין זערא. אזוי אויך א נומער צוטיילט ביי זערא איז מיינונגסלאז אין מאטעמאטיק. ממילא ווען איך גיב דיר אן עקוועישאן וואס צוטיילט א נומער ביי x, דארפסטו קודם וויסן אויב דער x קען זיין זערא אדער נישט.
(זאת למודעי אז די צוויי קאטעגאריעס ווערן רוב מאל נישט אנגערופן ביים נאמען אין מאטעמאטיק, און די נעמען זענען נישט וויכטיג צו געדענקען).
integers - דער ווארט ווערט זייער אפט גענוצט אין מאטעמאטיק, און באדייט סיי וועלכער 'גאנצער' נומער. 9-, 0, 100, זענען אלע Integers. דא איז פשוט פארוואס איך דארף האבן א באזונדערע קאטעגריע וואס רעכנט אריין אויך די נעגאטיווע נומערן, וואס האבן באזונדערע הלכות ווי פאזיטיווע נומערן. רבינו דר. גוגל גיבט מיר איבער אז דער נאמען קומט פון לאטייניש, און באדייט גאנץ, אומבארירט. in - נישט, tangere - אנגערירט, (ווי דער ענגלישער tangent). יעצט וועט איר אויך פארשטיין פון וואו דער ווארט integrity (יושר) אדער Integral קומט.
rational number - דער נאמען ווערט אויך זייער אפט גענוצט. rational מיינט נישט דא שכל'דיג, ווי אין דעם געווענליכן ענגלישן ווארט, נאר מלשון ratio, אדער rate. ווען איך זאג פאר א מענטש אז מיין קאר פארט 30 מייל פער צוויי שעה, איז פשט אז אין יעדע צוויי שעה רוק איך אריין דרייסיג מייל, אדער מיט דעם פריערדיגן משל, אין יעדע צווייי שטאק פון מיין עלעוועיטאר געפינט זיך דרייסיג פשוט'ע שטאקן. דאס מיינט א ratio. און ווערט באצייכנט מיט צוטיילטע נומערן כזה: 30/2. דאס איז די זעלבע פעולה ווי division. דא איז אויך פשוט פארוואס מען דארף א באזונדערע קאטעגאריע פאר די צעטיילטע נומערן ווי פאר די גאנצע נומערן, ווייל זיי האבן ווייטער אנדערע כללים.
irrational number - דאס איז א נומער וואס קען נישט געשריבן ווערן באופן הנ"ל מיט א ratio, און אודאי נישט מיט אן integer, ווארום יעדער Integer איז א נומער צוטיילט ביי 1. אזוי לאנג ווי מען לערנט נישט טריגאנאמעטריע באגעגנט מען זיך נישט מיט irrational נומערן.
איך האף אז איך האב אביסל קלארער געמאכט דעם ענין.

[יאיר]

הערליך! פעלט נאך אויס נאכקוקן די שאגת אריה ס' כב?

זיכער. אזוי וועסטו וויסן וואס פאסירט אויב מען שטעלט נישט אראפ הארטע אומבויגזאמע כללים באלד ביים אנהויב.

[יידל]

יאיר יקירי, כ'וויל חלילה נישט צומישן דעם עולם אבער כ'מוז פרעגן: איז די נאטורליכע באזע e נישט קיין אירעשאנעל נומער מיט וואס מ'שטויסט זיך אן בלי שייכות צו טריגאנאמעטריע?

[קול דודי]

יאיר יקירי, כ'וויל חלילה נישט צומישן דעם עולם אבער כ'מוז פרעגן: איז די נאטורליכע באזע e נישט קיין אירעשאנעל נומער מיט וואס מ'שטויסט זיך אן בלי שייכות צו טריגאנאמעטריע?

יא. ס׳איז דא אן א שיעור אזעלכע נומערן, אין מ׳שטויסט זיך אן אין זיי שטענדיג. למשל, די square root פין אלע נומערן וואס זענען נישט א perfect square זענען אויך אירעשאנעל.

[פארוואס?]

ס׳איז דא אן א שיעור אזעלכע נומערן, אין מ׳שטויסט זיך אן אין זיי שטענדיג. למשל, די square root פין אלע נומערן וואס זענען נישט א perfect square זענען אויך אירעשאנעל.

נאכמער ווי סתם אן א שיעור, נאר עס זענען דא אסאך מער אירעישענעל נומערן ווי רעישנעל, כידוע המשל של המלון של הילברט.

[פארוואס?]

נאך א באקאנטע אירעישענעל נומער איז די גאלדענע ראטע, וואס איז זייער אן אינטרעסאנטע נומער.

[ישראל קאפקע]

אויס אשכול פאר די וואס ווילן לערנען מאטעמאטיק על הסדר,
ס'איז נאך אן אשכול פון פילע פאר די וואס קענען שוין גוט מאטעמאטיק און ווילן איבערשמועסן אינטערעסאנטע קרישקעלעך וואס מיר די אינגע וואס ווילן לערנען פארשטייען נישט קיין ווארט, חבל.

[יידל]

קאפקע, פוילע תירוצים. סך הכל קענסטו געבן א לאז אויס די פאר תגובה'לעך וועלכע פליקן אריין יאיר'ן פון אויבן אראפ, און ליין נאר יאיר'ס הערליכע תגובות ודי בזה.


----- נאר פאר די וואס קענען שוין, ביטע נישט ליינען אויב איר זענט פון די "אינגע" -----
להצדיק את הצדיק, עלמער מסביר'ן יאיר'ס ווערטער אז ביז טריגאנאמעטריע שטויסט מען זיך נישט אן דערין, נראה לי כוונתו בזה אז ביז טריגאנאמעטריע קומט אונז כמעט נישט אויס צו דארפן האנדלן מיט די נומערן, דהיינו אלגעברע, און אזוי אויך א חלק גדול פון פרעקאלקולעס, און אין אמת'ן אריין אויך א שיינער חלק פון קאקולעס זעלבסט דארפן מיר נישט פאטשקען מיט אירעשאנעל נומערס זיך דאס אויסצולערנען (ואסביר כוונתי: מ'קען בעצם לערנען די קאנצעפטן פון לימיטס, דיפרענשיעשאן, רילעיטעד רעיטס וכן הלאה נאר וואס איז נוגע פאלינאמיעל און רעשאנעל פאנקשענס און אויסלאזן די טריגאנמעטריק און סקווער רוט פאנקשענס). מה שאין כן טריגאנאמעטריע איז נישט שייך אן דארפן צוקומען צו פיי (פ"א דגושה), פיטאגארעס'נס טעארעם וואס איז עפ"ר אירעשאנעל, וכדו'.

[יידל]

כדי רבי ישראל זאל נישט האבן קיין תירוצים, לאמיר פרובירן צוריקצופירן דעם שמועס אויף די רעלסן. די שאלה איז געווען איבער די באדייט פון פארשידענע קאטאגאריעס פון נומערן און די שאלה איז געווען וואס זיי באדייטן און פארוואס פארשידענע קאטאגאריעס פעלן אויס בכלל. יאיר, כדרכו בקודש, האט מסביר געווען בקוצר אמר"ים די באדייט און האט צוגעלייגט אן הבטחה אז אויפן וועג לערנט מען זיך שוין אויס די טערמינען און קאטאגאריעס. יאיר איז אוודאי גערעכט, אבער לאמיר נאר צולייגן איין קלייניגקייט. פאר מיר איז אלץ שווער געווען צו זיך איינחזרן די אלע קאטאגאריעס און פארשטיין וואס זיי מיינען אבער כ'מיין אז אויב מען וועט נוצן יאיר'ס משל פון א געביידע מיט שטאקן קען מען גוט ממחיש זיין די איידיע.

עס איז פארהאן א געביידע וועלכע פארמאגט צוואנציג שטאקן. צען דערפון זענען העכער די ערד, און די אנדערע צען זענען אונטערערדיש. ווען איר קומט אריין אינעם לאבי פונעם געביידע, געפונט איר זיך ביי א פונקט וואס רופט זיך אין מאטעמאטיש "דער ארידזשען" (the origin). דער פלאר פונעם לאבי איז זערא. עס איז אייניג מיט דער גאס, נישט העכער און נישט נידעריגער, און איר האט נישט געדארפט ארויפגיין אדער אראפגיין אנצוקומען דערצו.

אלזא, שטייענדיג אזוי אינעם לאבי, קומט צו צו אייך איינער, קראנק אויף מאטעמאטיקס כנראה, און פרעגט אייך: זאג נאר, ווי הויך איז די געביידע? וואס קען מען אים ענטפערן? צוויי תירוצים זענען גלייך אבוויעס. אדער קען מען אים זאגן תיכף: דער געביידע איז צען שטאקן הויך. אבער לאמיר נאר א מינוט טראכטן וואס מיינט דאס. אז מ'וועט ציילן פלאטפארמעס וועלן מיר האבן עלף, נישט צען. (דער לאבי, דער צווייטער שטאק, דער דריטער שטאק, דער פערטער שטאק, דער פיפטער שטאק, דער זעקסטער שטאק, דער זיבעטער שטאק, דער אכטער שטאק, דער ניינטער שטאק, דער צענטער שטאק, און דער דאך). אלזא, פארוואס זאגן מיר צען? דער תירוץ איז אז מיר רעכענען נישט פלאטפארמעס, מיר רעכענען פונעם לאבי ביזן דאך פונעם לאבי אלס "איינס". פונעם דאך פונעם לאבי, וואס איז אויך דער פאדלאגע פונעם צווייטן שטאק, ביזן דאך פונעם צווייטן שטאק אלץ "צוויי", און אזוי ווייטער. האט איר שוין דער באדייט פונעם ערשטן טערמין וואס ישראל קאפקע האט דערמאנט: קאונטינג נאמבערס (counting numbers). דאס זענען די נומערן 1, 2, 3, און ווייטער.

אבער לאמיר זיך נישט נארן, אין פאקט איז דער געביידע עלף פלאטפארמעס הויך, אינקלודינג דער לאבי. יא, ווען מיר ציילן רעכענען מיר נישט דעם לאבי פלאטפארמע באזונדער, אבער אויב איז "שטאק" עפעס אויף וואס מיר שטייען, איז דער לאבי און דער דאך פונקט אזעלכע מחותנים ווי די אנדערע שטאקן. אלזא, למען האמת מוזן מיר אנצייכענען אז דער געביידע איז עלף פלאטפארמעס הויך. און דאס איז דער באדייט פונעם צווייטן טערמין וואס קאפקע האט דערמאנט: האול נאמבערס (whole numbers). דאס זענען אלע קאונטינג נומערן, אבער בתוספות חידוש פון רעכענען זערא (0) אויך.

מיר האבן פריער געשריבן אז ווען מ'פרעגט אונז ווי הויך די געביידע איז זענען דא צוויי אבוויעס תירוצים. דער ערשטער איז "צען שטאק". וואס איז דער צווייטער? דער צווייטער אבוויעס תירוץ איז "צוואנציג שטאק"! פארוואס צוואנציג? ווייל דער בילדינג זעלבסט איז בעצם צוואנציג שטאקן הויך, נאר מה נעשה אז צען דערפון איז פארזונקן אונטער דער ערד, די שטאקן מתחת לאדמה טענה'ן למה נגרע? אלזא, אז מיר ווילן אויפריכטיג זיין דארפן מיר מודה זיין אז דער געביידע, אינדרויסן פונעם קאנטעקסט פון "געביידעס", איז אין פאקט צוואנציג שטאקן הויך. דאס איז אלזא דער באדייט פונעם דריטן טערמין וואס ישראל האט דערמאנט: אינטעדזשערס (integers). אינטעדזשערס רעכענען זיך נישט מיטן קאנטעקסט, און זיי וועלן זיין אלע האול נומערן, אבער בתוספות פון אלע נעגאטיווע האול נומערן: ... 5-, 4-, 3-, 2-, 1-, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....

יעצט בעפאר מיר גייען ווייטער, לאמיר נאר אנצייכענען א קלייניגקייט. די ערשטע צוויי קאטאגאריעס, whole numbers און counting numbers, האבן נישט קיין מאקסימום. מען קען ציילן און ציילן און קיינמאל נישט פערטיג ווערן. אין מאטעמאטיש זאגט מען דאס אז די נומערן גיין ביז אין סוף - אינפיניטי (infinity, דער סימבאל דערפאר איז אן 8 וועלכע האט זיך איבערגעקאצקעט: ∞). אבער אין די צייט וואס ארויף גייען זיי עד אין סוף, יש להם שיעור למטה, זיי האבן א מינימום. פאר whole numbers איז דער מינימום 0, און פאר counting numbers איז דער מינימום 1. מה שאין כן integers, די חברה האבן נישט קיין שיעור נישט למעלה און נישט למטה. מען קען זיי ציילן אויף ארויף בלי גבול און אויף אראפ בלי גבול. אין מאטעמאטיש זאגט מען דאס אז דאס גייט פון נעגאטיוו אינפיניטי (negative infinity, ∞-) ביז פאזעטיוו אינפיניטי (positive infinity, ∞).

נאך א קליינטישגע נקודה'לע, וועלכע איז בעצם א פשוט'ער געדאנק: א יעדע counting number, whole number און integer, איז אפגערוקט איינס פון דעם נעקסטן מיט 1. ווען איך געב אייך אן אינטעדזשער, לאמיר זאגן 5,098,467, און כ'בעט אייך: געבטס מיר דעם נעקסטן אינטעדזשער, אדער דעם נעקסטן קאונטינג נאמבער, אדער דעם נעקסטן האול נומבער, דארפט איר נישט מער ווי צולייגן 1 צו דעם נומער און דער רעזולטאט איז דער נעקסטער אינטעדזשער/האול/קאונטינג נאמבער. אין אונזער משל: 5,098,468. די זעלבע פארקערט, צוריקצוגיין צו איין אינטעדזשער בעפאר, דארפט איר נישט מער ווי אראפנעמען איין נומער.

אינעם נעקסטן תגובה וועלמער זיך רוקן צו די אנדערע צוויי קאטאגאריעס וואס קאפקע האט דערמאנט: רעשאנעל און אירעשאנעל נומערן.

[פארוואס?]

אויס אשכול פאר די וואס ווילן לערנען מאטעמאטיק על הסדר,
ס'איז נאך אן אשכול פון פילע פאר די וואס קענען שוין גוט מאטעמאטיק און ווילן איבערשמועסן אינטערעסאנטע קרישקעלעך וואס מיר די אינגע וואס ווילן לערנען פארשטייען נישט קיין ווארט, חבל.

סארי, ביסט גערעכט, אפשר קען איינע פון די גבאים עס ארויסנעמען און לייגן אין אנדערע אשכולות.
בדרך אגב, איך פערזענליך האב ליב צו קוקן אסאך מאל מאמרים איבער מאטעמאטישע מושגים וואס זענען ביזדערווייל למעלה מהשגתי, בלויע פאר דעם צו וויסן אז כ׳האב נאך א לאנגע וועג צו גיין. איך קען אבער נישט זאגן פאר אנדערע וואס צו טאן.

[יידל]

אלזא, מיר געפונען זיך ווידעראמאל אין דעם געביידע, און ווי דערמאנט איז עס צען שטאקן הויעך. אבער אט וועל איך אייך פארציילן אן אינטערעסאנטער פאקט איבער דער געביידע. דער געביידע, אלע צען שטאקן דערין, דינען אלץ וועירהאוז פאר א לייברערי. יעדער שטאק איז ארומגענומען פון וואנט צו וואנט מיט שענק, און א יעדער שאנק האט אפאר שורות פון פאליצעס (שעלווס בלע"ז). אבער הערט א מעשה. דער אויפזעער פונעם לייברערי האט א משוגעת, אז צווישן אלע פאליצעס מוז זיין אן אייניגע מרחק פון איין פאליצע צום צווייטן. דאס הייסט אזוי: דער אויפזעער האט געזאגט פאר די ארבעטער וועלכע האבן אויסגעלייגט די שעלווס אז זיי קענען לייגן וויפיל שעלווס זיי ווילן אויף א שטאק, אבער בתנאי אחת אז פונעם דאך ביז העכסטן פאליצע זאל זיין גענוי די זעלבע מרחק ווי פונעם דעם פאליצע צו איינס נידעריגער, און פון יענע צום נעקסטן אזוי ביזן פאדלאגע. פארשטייט זיך אז אויך פונעם נידעריגסטן פאליצע ביזן פאדלאגע, מוז אויך זיין די זעלבע מרחק ווי אלע אנדערע פאליצעס אויף יענעם שטאק.

כאשר צווה האויפזעער את הארבעטער, כן עשו. זיי האבן יעדן שטאק פונקטליך אויסגעמאסטן, דערנאך האבן זיי מחליט געווען וויפיל פאליצעס דער שאנק זאל האבן אויף יענעם שטאק, און צעטיילט די הייעך פונעם שטאק לויט די מספר פאליצעס וואס זיי האבן געוואלט לייגן. צום ביישפיל, דער צווייטער שטאק איז צען פוס הויך פונעם פלאר ביזן דאך. די ארבעטער האבן מחליט געווען צו לייגען זעקס שעלווס. האבן זיי גענומען צען פוס, צעטיילט אויף זעקס, און אזוי ארום אויסגערעכנט אז צווישן איין פאליצע און צווייטן מוז זיין פונקטליך פינף דריטליך פון א פוס. זעקס מאל פינף דריטלעך איז פונקטליך צען, חושבנא דידן כחושבנא דידין. ווידעראום דער דריטער שטאק איז געווען צוועלף פוס. די ארבעטער האבן דארט געוואלט לייגן פינף פאליצעס. האבן זיי גענומען די צוועלף פוס, צעטיילט אין פינף, און אזוי אויסגערעכנט אז צווישן יעדן צוויי פאליצעס דארפן זיין פונקטליך צוויי און צוויי פינפטלעך פוס. פינף מאל צוויי און צוויי פינפטלעך איז פונקטליך צוועלף. און אזוי האבן זיי געטון אויף יעדן שטאק.

ויהי היום, געווען איז דאס אין א שניי'איגער ווינטער טאג, און דער אויפזעער רוקט זיך אן צום ארבעט. מען האט דאן געהאלטן ביים זעקסטן שטאק וועלכע איז געווען צען פוס הויך. די ארבעטער האבן געהאלטן אינמיטן מחליט זיין וויפיל שעלווס צו לייגן אויף יענעם שטאק ווען דער אויפזעער קומט אן, קוקט זיך ארום, און פלוצלינג געט ער א ווייז מיט די הענט אויף א געוויסע פלאץ אויך די וואנט און ער זאגט: "דא, אט אויף דעם פלאץ, מוז זיין א שעלף!". נו, געזאגט און געטון, די ארבעטער באהעפטן תיכף א שעלף צו יענעם פונקט, און דער אויפזעער שפאצירט אוועק צופרידנערהייט.

הייבן זיך די ארבעטער אן ברעכן קאפ וויפיל שעלווס צו לייגן אזוי אז אלע שעלווס זאלן זיין די זעלבע מרחק איינס פון אנדערן און צו זייער ערשטוינונג זעען זיי אז וויפיל שעלווס זיי זאל נאר נישט פרובירן צו לייגן, איז קיינמאל נישטא קיין אייניגע מרחק צווישן איין שעלף צום צווייטן, און אלעס וויבאלד דער שעלף וואס זיי האבן ערשט אריינגעלייגט שטייט זיי ווי א ביין אין האלז, נישט צום שלינגן און נישט צום שפייען.

מען האט פרובירט לייגן זעקס שעלפס, זיבן שעלפס, צען שעלפס, פופצן שעלפס, און אלע נומערן אינצווישן, אבער קיין איינס האט נישט געטויגט, עס איז קיינמאל נישט געווען קיין גענויער מרחק צווישן איין שעלף אינעם צווייטן. רופן זיי אן דעם אויפזעער און מיט ייאוש זאגן זיי אים אז זיי געבן אויף.

"דיין שעלף וואס דו האסט אריינגעלייגט היינט אין דערפרי האט גע'הרג'ט די זאך! מיר קענען זיך מער נישט האלטן צו דיין ערשטער תנאי פון אייניגע מרחק צווישן איין שעלף און צווייטן!" דער אויפזעער קען עס נישט גלייבן, ער האלט עס איז פוילע תירוצים. קומט ער אריבער צום ארבעטספלאץ און הייבט אן רעכענען און ער איבערצייגט זיך, lo and behold, די ארבעטער זענען גערעכט!

"הפלא ופלא!", שרייט דער אויפזעער. "מיר האבן אנדעקט א מורא'דיגע אנטדעקונג! עס זענען דא פלעצער אויף דער וואנט וואס אויב לייגט מען אהין א שעלף קען מען דערנאך נישט צעטיילן דעם שטאק אין אייניגע אפטיילונגען!"

א מאטעמאטיקער וועלכער איז פונקט פארבייגעגאנגען (יודעי דבר זאגן אז דאס איז דער זעלבער וועלכער שטייט דארט ביזן היינטיגן טאג און רודפ'ט פארבייגייער זאלן אים זאגן ווי הויעך דער געביידע איז), שטעלט זיך אפ און זאגט פארן אויפזעער מיט א שמייכל, "דער אנטדעקונג האט שוין א נאמען: עס הייסט אירעשאנעל נאמבער".

גענוג געווען מיטן משל, לאמיר צוקומען צום נמשל. ווי יאיר האט אויבן מסביר געווען איז דער ווארט rational אין מאטעמאטיש נישט דער באדייט עפעס וואס איז לאגיש, ווי דער היינטיגער באניץ פון ראציאנאל איז, נאר עס מיינט עפעס וואס איז צעטיילבאר, מען קען דערפון מאכן א ratio. אלזא, rational נומערן זענען נומערן וועלכע קענען זיין א חלק פון א גלייכער חלוקה.
לאידך גיסא, irrational numbers זענען נומערן וועלכע געפונען זיי ביי אזא פונקט אינצווישן צוויי מרחקים אז מען קען זיי נישט נוצן צו מאכן א גלייכער חלוקה צווישן די צוויי מרחקים.

אין מאטעמאטיש זאגט מען אז א רעשאנעל נומער קען ווערן געשריבן ווי א פרעקשאן פון צוויי אינטעדזשערס. דעם נומער צען צום ביישפיל קען מען שרייבן אויך אזוי: 10/1. דערפאר איז צען א רעשאנעל נומערן. 2 מיט דריי פיפטלעך קענען אויך געשריבן ווערן אלץ רעשאנעל נומערן - א פרעקשאן וועלכע באשטייט פון צוויי אינטעדזשערס: 13/5. מה שאין כן אירעשאנעל נומערן קענען נישט ווערן געשריבן אלס פרעקשאן פון צוויי אינטעדזשערס, זיי זענען נישט קיין חלק וועלכע קענען דינען אלס גלייכער חלוקה צווישן צוויי נומערן, אדער, אין די ווערטער פון אונזער אויפזעער, "אז מען לייגט אהין א שעלף קען מען בשום אין אופן אהינלייגן דארט נאך שעלפס און עס זאל זיין אן אייניגער מרחק צווישן איין שעלף אין צווייטן."

[יידל]

כ'האב פארגעסן צוצולייגן א בילד פון א נאמבער ליין וועלכע צייגט רעשאנעל ווערסוס אירעשאנעל נומער. ס'דא אסאך, אבער כ'האב נישט יעצט קיין געדולד צו זוכן. אלזא געט א קוק אויפן בילד:



די שווארצע ליניעס זענען רעשאנעל נומערן. זיי צעטיילן אייניג דעם מרחק צווישן איינס און צוויי. דער רויטער ליניע (וועלכע איז די סקווער רוט פון 2) ליגט אויף א פלאץ וועלכע קען נישט אייניג צעטיילן דעם מרחק צווישן 1 און 2, נישט קיין חילוק וויפיל ליניעס מיר זאלן לייגן פונעם רעכטן און לינקן זייט.

יעצט די גראמאטיק כללים. איך וועל אנהויבן מיט די order of operations.

אגב, פארצייטנס איז געווען דא א מעמבער הציץ ונפגע וועלכע האט געעפנט אן אשכול "א מאטעמאטישער סאמעטוכע" טאקע איבער דעם ארדער אף אפערעשאנס, עיי"ש ותמצא נחת.

[ונבנתה העיר]

א גרויסן דאנק פאר אלע באטייליגער, איהר זענט מחי' נפשות.

באמת וואלט דער ארכיטעקט נישט געמוזט בויען דעם בנין המתמתיקה אויף דעם אופן. ער וואלט געקענט למשל מאכן אז עס זאל זיין א צוועלפער עלעוועיטער אנשטאט א צענער, און איין שטאק אין דעם צוועלפער עלעוועיטער זאל זיין צוועלף שטאק אויפ'ן איינסער. דערנאך האט ער געקענט מאכן א צוועלף מאל צוועלף שטאק עלעוועיטער, וואו יעדער שטאק ענטהאלט צוועלף מאל צוועלף שטאק אנשטאט צען מאל צען. אבער ער האט גענוצט צען שטאק אקעגן די צען פינגער, און מיר וועלן נישט משנה זיין פון די מסורה.

אז מען רעדט שוין פונעם אמאל, דא איז געווען א מעמבער יידל וואס האט פארגעלערענט א שיעור אין דעם.

[יאיר]

אויס אשכול פאר די וואס ווילן לערנען מאטעמאטיק על הסדר,
ס'איז נאך אן אשכול פון פילע פאר די וואס קענען שוין גוט מאטעמאטיק און ווילן איבערשמועסן אינטערעסאנטע קרישקעלעך וואס מיר די אינגע וואס ווילן לערנען פארשטייען נישט קיין ווארט, חבל.

ביסט כשר גערעכט. עס מאכט זייער נערוועז פאר א בעגינער זיך באלד צו באגענען מיט הויך שטאקיגע פרעמדע מושגים. און איך קויף נישט יידל'ס תירוץ אז מען קען דאס אויסלאזן. ממילא בעט איך אלע גאוני'שע מעמבערס דא וואס קענען שוין ש"ס ופוסקים זיך צו האלטן אויף די בעגינערס דרגה פון דעם אשכול, ווי יידל האט טאקע געטון אין זיינע לעצטע צוויי תגובות. איך בין באמת נתפעל פון זיין ארבעט און אפן גערעדט, ער האט מיר אליין קלארער געמאכט ווי אזוי צו אנקוקן אן אומראציאנעלער נומער.
לאמיר נאר צוענדיג די ארבעט וואס ער האט אנגעהויבן, און ערקלערן ווי אזוי מיר גיין למעשה רעכענען די אומראציאנעלע נומערן. דער אופן ווי אזוי מען שרייבט אראפ געווענליכע צוטיילטע נומערן איז דורך דעסימעלס. דהיינו, מען לייגט א פינטעלע אויף די רעכטע זייט פון דעם נומער, און רעכטס פון דעם פינטל שרייבט מען די דעסימעל נומערן. למשל אויב איר וועט אריינשטעלן אין אייער קאלקולעיטאר 3/2, וועט ארויפקומען דער ענטפער 1.5. דאס מיינט, לויט דעם פריערדיגן משל, אויב צוטיילט מען דריי שטאק אין צוויי, וועט יעדער שטאק זיין איין גאנצער שטאק פלוס נאך פינף צענטלעך פון א שטאק.
מען קען דאס בעסער פארשטיין לויט ווי איך האב פריער ערקלערט דעם באדייט פון די נומערן וואס מיר נוצן: 15, איז איין צענער און פינף איינסערס. ווייל די רעכטע זייט איז דער איינסער פלאץ, און דער לינקער זייט איז דער צענער פלאץ. ווען מען רעדט פון דעסימעלס גייט עס פונקט פארקערט, די לינקע זייט איז דער צענטל ארט, רעכטס פון דעם איז דער הונדערטסטל ארט, רעכטס פון דעם איז דער טויזנטסל ארט און אזוי ווייטער. דער חילוק איז נאר אז אין דעסימעלס, וואס העכער דער ארט איז אלס קלענער איז דער נומער. למשל איין צענטל איז פיל גרעסער ווי איין הונדערטסטל. אויב איך צוטייל א שטאק אין הונדערט און איך נעם איין שטאק, איז דער שטאק פיל קלענער ווי ווען איך צוטייל א שטאק אין צען און איך נעם ארויס איין שטאק. ממילא ווען איך האב א נומער ווי 1.5, איז פשט אז איך האב פינף צענטלעך, דהיינו פינף שטאקן, אבער נישט געווענליכע שטאקן, נאר נאכדעם וואס איך האב עס צוטיילט ביי צען. ווען איך האב א נומער ווי 1.05, דאן האב איך איין גאנצער שטאק, זערא צענטלעך פון א שטאק, און פינף קליינטשיקע הונדערטסלעך פון א שטאק. וואס איז פיל קלענער ווי 1.5, וואו איך האב פינף גאנצע צענטלעך. אלזא, לאמיר דאס קלאר מאכן. אויב איך האב א נומער כזה 800.008, האב איך אכט שטיק פון די הונדערטער שטאקן, זערא פון די צענער שטאקן, זערא פון די איינסער שטאקן, זערא פון די צענטלעך שטאקן, זערא פון די הונדערטסלעך שטאקן, און אכט פון די גאר קליינע טויזנטסלעך שטאקן. אויב האב איך דער נומער 800.800, דאן האב איך אכט הונדערט שטאק, פלוס אכט צענטלעך שטאקן. אין אזא פאל קען איך אוועקנעמען די סאמע רעכטע צוויי זעראס, ווייל וואס פעלן זיי מיר אויס? עס איז פונקט ווי איך זאל שרייבן 008, וואס יעדער פארשטייט איז די זעלבע ווי 8. אויב האב איך 008.800, קען איך אוועקנעמען אלע זעראס פון די זייטן וואס גיבן מיר גארנישט, און איך בלייב איבער מיט אכט גאנצע שטאקן און אכט צענטלעך שטאקן.
מהאי טעמא וועט איר פארשטיין אז 1.3 איז גרעסער ווי 1.19, כאטש דער נומער ניינצן זענען מיר געוואוינט איז גרעסער ווי דריי, דאס איז נאר אויף די לינקע זייט פון דעם דעסימעל פונקט, ווי וואס מער לינקס אלס העכער דער נומער, אבער רעכטס פון דעם דעסימעל פונקט איז פונקט פארקערט. אזוי אויך איז 1.50 קלענער ווי 1.6. ווייל דער ערשטער איז פונקט ווי 1.5.
אין אנדערע ווערטער, מען קען אנקוקן דער דעסימעל פונקט ווי דער צענטער פון דעם נומער, וואס עס גייען ארויס אויף רעכטס די פרעקשאנס פון די נומערן, און אויף לינקס די גאנצע נומערן, און אויף ביידע זייטן וואקסן די נומערן וואס ווייטער זיי גייען.
אויב איר האט נאך געדולד, קען מען יעצט צוריקגיין צום אומראציאנעלן נומער און זאגן אזוי: מען קען טאקע נישט צוטיילן דעם שטאק אקוראט אזוי אז דער רויטער פאי ליניע זאל זיין ממש ביים צוטיילונג, אבער מען קומען עטוואס נאנט דערצו. אלזא, למשל דער נומער פאי, קוקט מען און מען זעט אז עס איז צווישן דריי און פיר, אלזא, קודם האב איך גאנצע דריי שטאק, און מיר גייען דאס אראפשרייבן כזה 3. דערנאך זע איך אז אויב מען וועט צוטיילן דעם דריטן שטאקן אויף צען, וועט דער רויטער ליניע זיין צווישן דעם ערשטן און דעם צווייטן צענטל-שטאק (אדער שעלף, ווי יידל גלייכט צו האבן פלאץ פאר זיינע ביכער). ממילא קען איך שרייבן 3.1, דערנאך זע איך אז אויב מען וועט צוטיילן דעם צענטל שטאק צווישן 1 און 2 אין פרישע צען שטאק (דהיינו, אין הונדערטסלעך שטאקן), וועט די רויטע ליניע זיין צווישן דעם פערטן און דעם פיפטן הונדערטסטל שטאק, ממילא שרייב איך ווייטער 3.14. אזוי גיי איך ווייטער און ווייטער, און איך האלט נאכאלס אינמיטן גיין. מאטעמאטיקער האבן שוין אויסגערעכנט דעם רויטן פאי ליניע ביז די טריליאנען נומערן, און מען שטעלט אריין דער רויטער ליניע אין א שמאלערער און שמאלערער פלאץ, אבער דערווייל קומט מען נאר נענטער דערצו, עס איז אוממעגליך אנצוקומען ממש ביז אהין אן קפיצת הדרך.

[אפטעמיסט]

איך מיין מ'זאל געבן די מאטאמאטיק קלאסן שפעטער ביינאכט אדער שפעט נאכמיטאג. כ'קען נישט ארבעטן און זיין פארנומען חשבונ'ען חשבונות.

גראדע, יאיר, כ'מעג גיין אין ביסקיס?