קאווע שטיבל

עס איז אינטרעסאנט אנצומערקן אז יעדע פופצענסטע פיבּאָנאַטשי נומער ענדיגט זיך מיט א 0 און יעדע פיפטע פיבּאָנאַטשי נומער קען מען דיוויידן ביי 5 גאנצערהייט אָן א רימעינדאר.

אויך איז דא דעם זייער ענליכן לוּקאס סיִקווענס וואס איז פונקט אזוי ווי די פיבּאָנאַטשי סיִקווענס, נאר עס הייבט זיך אן מיט די נומערן 2 און דערנאך 1 און פון דארט און ווייטער איז די נעקסטע נומער די סומע פון די צוויי נומערן פאר עס. די חילוק אין די צוויי נאכאנאנדע נומערן אינעם סיִקווענס טוהט צוביסלעך אויך קומען נענטער און נענטער צום גאלדענע רעישיאו. טאמער נעמט מען פונעם פיבּאָנאַטשי סיִקווענס א נומער דערין מיט די נומער וואס קומט צוויי שפעטער אינעם סיִקווענס און מ׳רעכענט זיי צאם קומט עס אויס צו א נומער אינעם לוּקאס סיִקווענס.

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז אפלטון אין זיין רעפּאָבּליק דערמאנט זיין געדאנק פון דאס משל פון די צוטיילטע ליניע. בקיצור איז דאס א ליניע וואס מ׳צוטיילט נישט אייניג. והיינו, אז ס׳דא א ליניע וואס איז צוטיילט אין צוויי אומאייניגע חלקים. דערנאך צוטייל איך יעדעס איינע פון די חלקים אין די זעלבע יחס פון אומאייניגקייט פון די גאנצע. עס קומט אוי. אז פון א׳ ביז ב׳ גאנץ קליין, פון ב׳ ביז ג׳ אביסל גרעסער, פון ג׳ ביז ד׳ גרעסער, און פון ד׳ ביז ה׳ די גרעסטע. פון א׳ ביז ג׳, והיינו די אריגינעלע קליינע חלק, דאס איז די עולם וואס מ׳קען באגרייפן מיט די חושים. די קלענערע חלק בתוך זה זענען די סתם מיינונגען פון מענטשן און די גרעסערע חלק בתוך דעם איז שוין שטערקערע דזשאסטיפייד גלויבונג וכעין די עמפירישע סייענסעס. די אריגינעלע גרעסערע חלק איז די מושכלות. די קלענערע חלק בתוך דעם איז מאטעמאטיקס [די חלק איז די זעלבע גרויס ווי די עמפירישע סייענס חלק הנ״ל] און ראציאנאלע מחשבה. די גרעסערע חלק דערין איז ריכטיגע פארשטאנד; די ריכטיגע מושכל פון צורת הטוב. דאס דארף מען בכלל אויף צו קענען ריכטיג פארשטיין אזוי ווי דאס זעהקראפט דארף דאס זון אויף צו קענען ארבעטן. די הכרה און הבנה פון ווי אזוי די אלע שטאפלען אונטערעלעיטן איינע מיט די אנדערע איז ביי וואס מ׳מעסט די מדע פון א מענטש.

פראפעסאר דזשאן בּרעמער האט אפגעציילט די סילעבּלס פונעם רעפּאָבּליק און געזעהן אז דארט וואו אפלטון דערמאנט די משל פון די צוטיילטע ליניע איז ביי א גאלדענע רעישיאו פון די סילעבּלס פאר דעם צו די סילעבּלס נאכדעם. ער קלערט מהלכים צי אפלטון האט דאס געטוהן בכוונה און צו וואס ער האט מעגליך געוואלט מרמז זיין. אפלטון האט דערמאנט דעם גאלדענע רעישיאו אין זיין טימעיאוס.

דא זעהט מען ווי דער מעלער רעמבּראנדט האט געמאכט פון זיך א זעלבסט-פּאָרטרעיט עפ״י די גאלדענע רעישׁיאוֺ; אין די פאל מאכענדיג א סארט גאלדענע טרייענגעל. אויב מאכט מען א טרייענגעל פון דריי זייטן: אונטן זיין גוף, און ארויף ביידע זייטן ביי זיינע הענט, איז אז מ׳מאכט א ליין פונעם שפיץ וואו זיי קומען זיך צאם ביז אונטן צוטיילט עס דאס אין צו צוויי חלקים עפ״י די גאלדענע רעישׁיאוֺ. ווי אויך אויב מאכט מען א ליין ביי די אויגן ביז די צוויי זייטן פונעם טרייענגעל איז די ליין קעגן דעם ליין/בּעיס אונטן, ווי אויך בכלל די נייע סימילער טרייענגעל וואס עס שאפט יעצט קעגן דעם אריגינעלן גרויסע טרייענגעל וואס עס איז בתוכה, אויך עפ״י די גאלדענע רעישׁיאוֺ. אן אלגעמיינע גאלדענע טרייענגעל איז אייסאַסיליִס וואו צוויי זייטן דערפון זענען אייניג און זייער לענג קעגן דעם דריטן זייט איז די גאלדענע רעישׁיאוֺ. דא איז עס א סקעיליִן טרייענגעל וואו די לענג פון אלע זייטן זענען אומאייניג.

מ׳קען טרעפן די רעישׁיִאוֺ (און דעם פיִבּאָנאַטשי ספּיירעל) באנוצט אין אסאך מעלערייען.

אפאר אינטרעסאנטע מאטעמאטישע פאקטן איבער פיבּאָנאַטשי נומערן:

1). די סומע פון עני 10 נאכאנאנדע פיבּאָנאַטשי נומערן וועלן אלעמאל קענען ווערן דיוויידעד ביי 11 אָן א רימעינדאר.

2). צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן וואס זענען איינס נאכ׳ן אנדערע וועלן נישט האבן אייניגע פּריימס ביי וואס מען קען זיי דיוויידן [זיי זענען קאָפּריים].

3). אויב איז די פלאץ פונעם פיבּאָנאַטשי נומער [למשל ״דעם פערטן פיבּאָנאַטשי נומער] נישט קיין פּריים נומער איז דאן די פיבּאָנאַטשי נומער אויך נישט קיין פּריים.

4). די סומע פון אלע פיבּאָנאַטשי נומערן אָנגעהויבן פון אנפאנג אין א רייע ביז א געוויסע פיבּאָנאַטשי נומער גייט זיין דאס זעלבע ווי 1 ווייניגער ווי די פיבּאָנאַטשי נומער וואס איז צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן מער ווי די מקום וואו מ׳האט זיך אפגעשטעלט.

5). די סומע פון אלע פיבּאָנאַטשי נומערן וואס זענען אין אַן איִווען פלאץ אינעם סיִקווענס אָנגעהויבן פון אנפאנג אין א רייע [״דעם צווייטן פיבּאָנאַטשי נומער, דעם פערטן פיבּאָנאַטשי נומער אא״וו] ביז א געוויסע פיבּאָנאַטשי נומער, גייט זיין דאס זעלבע ווי 1 ווייניגער ווי די פיבּאָנאַטשי נומער וואס קומט נאך דעם פיבּאָנאַטשי נומער וואס מ׳האט זיך אפגעשטעלט ביי.

ווי אויך, די סומע פון אלע פיבּאָנאַטשי נומערן וואס זענען אין אַן אַדד פלאץ אינעם סיִקווענס אָנגעהויבן פון אנפאנג אין א רייע [״דעם ערשטן פיבּאָנאַטשי נומער, דעם דריטן פיבּאָנאַטשי נומער אא״וו] ביז א געוויסע פיבּאָנאַטשי נומער, גייט זיין דאס זעלבע ווי די פיבּאָנאַטשי נומער וואס קומט נאך דעם פיבּאָנאַטשי נומער וואס מ׳האט זיך אפגעשטעלט ביי.

6). די סומע פון די סקווערס פון די פיבּאָנאַטשי נומערן אָנגעהויבן פון אנפאנג אין א רייע ביז א געוויסע פיבּאָנאַטשי נומער, גייט זיין דאס זעלבע ווי אט די פיבּאָנאַטשי נומער וואס מ׳האט גע׳ענדיגט ביי טיימס די פיבּאָנאַטשי נומער וואס קומט נאך דעם.

7). אויב נעמט מען די סקווערס פון צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן וואס אינצווישן זיי צוויי איז דא איין פיבּאָנאַטשי נומער, דאן גייט די חילוק צווישן זייערע צוויי סקווערס זיין די פיבּאָנאַטשי נומער וואס איר פאזיציע אינעם סיִקווענס איז די סומע פון אט די צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן׳ס פאזיציעס אינעם סיִקווענס.

ווי אויך, אויב נעמט מען די סומע פון די סקווערס פון צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן וואס זענען נאכאנאנד, דאן גייט דאס זיין די פיבּאָנאַטשי נומער וואס איר פאזיציע אינעם סיִקווענס איז די סומע פון אט די צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן׳ס פאזיציעס אינעם סיִקווענס.

8). אויב האט מען פיר נאכאנאדע פיבּאָנאַטשי נומערן אינעם סיִקווענס, דאן וועט די חילוק צווישן די סקווערס פון די צוויי מיטעלסטע נומערן זיין דאס זעלבע ווי די פראדוקט פון די צוויי דרויסענדע נומערן מאָלטיפּלייד צוזאמען.

9). אויב מאָלטיפּלייט מען צוויי פיבּאָנאַטשי נומערן וואס אינצווישן זיי צוויי איז דא איין פיבּאָנאַטשי נומער, גייט די פראדוקט דערפון זיין 1 מער אדער 1 ווייניגער ווי די סקווער פון די פיבּאָנאַטשי נומער אינצווישן זיי צוויי.

וואס גייט דא פאר? איינער האלט מיט?

***

עס איז אויך דא אין דעם די געדאנק פון די "איקאנאבּיף" סיִקווענס (די ווארט "fibonacci" ארומגעדרייט) וואס איז די פיבּאָנאַטשי סיִקווענס, אבער ווען א נומער דערין האט שוין מער ווי איין דידזשיט, איז פאר איך עדד די צוויי נומערן צוזאמען צו באקומען דאס נעקסטע נומער, דריי איך ארום די דידזשיטס.

***

דר. סטיפען מוּרהעד איז מסביר ווי אזוי מ'נוצט אויס די סעלף-רעפערענץ שבו צו זעהן דעם גאלדענע רעישיאו [דעם ערשטן פראבלעם]:

די פיר לאָגאָס באנוצן זיך מיט די גאלדען רעישיאוֺ:

לגבי טרייענגעלס אינעם גאלדענעם רעישיאו, איז דא דעם קעפּלער טרייענגעל. דאס איז א רייט טרייענגעל [וואו צוויי פון די זייטן זענען פונקטליך פּערפּענדיקיולער איינע צום צווייטן] וואו איין זייט איז 1, די נעקסטע גראדע זייט איז די סקווער רוט פון די גאלדענע רעישאו, און די לענג פון די היפּאַטענוס [די לאנגע שיפע זייט] איז די גאלדענע רעישאו. דאס באדייט אז אויב מאך איך סקווערס ביי אירע זייטן, וועלן זייערע עריעס זיין 1, די גאלדענע רעישאו, און די סקווער פון די גאלדענע רעישאו. ***

ענליך צום גאלדענע רעישאו איז דא די זילבערנע רעישאו. דאס איז ווען די רעישאיו פונעם גרעסערן חלק צום קלענערן חלק, איז דאס זעלבע ווי די רעישאיו ווען איך דאפּל די קלענערע און איך לייג צו די גרעסערע אויך, צום סתם גרעסערן. דאס איז די סקווער רוט פון 2 + 1, והיינו בערך 2.41421.

און פונקט ווי די פיבאנאטשי סיקווענס איז מקושר צום גאלדענע רעישאו, איז דא א סיִקווענס, גערופן די פּעל סיִקווענס, וועלכעס איז מקושר צום זילבערנע רעישאו. די סיִקווענס ארבעט אז איך הייב אָן פונקט ווי פיבאנאטשי סיקווענס, נאר די רול צו באקומען דאס נעקסטע נומער אינעם סיִקווענס איז אז איך דאפּל די נומער וואס איך האב יעצט און איך לייג צו דערצו די נומער איך האב בעפאר, צו באקומען די נעקסטע נומער אינעם סיִקווענס. ווי מער די סיִקווענס גייט, אלס נענטער ווערט די רעישיאו צווישן צוויי נאנטע נומערן דערין צו די זילבערנע רעישאו.

דאס גייט אבער נאך ווייטער צו מעטאלענע רעישאוס על הכלל. והיינו, דאס איז ווען איך נעם איך די סקווער פון א גאנצע נומער און לייג צו דערצו 4, דערנאך נעם איך די סקווער רוט דערפון און איך לייג צו דערצו אט די נומער מיט וועלכע איך האב אָנגעהויבן, און איך נעם דערנאך האלב דערפון. די גאלדענע רעישאו איז ווען די נומער וועלכע איך נוץ איז 1, און די זילבערנע רעישאו איז ווען די נומער וועלכע איך נוץ איז 2. די בּראַנז רעישאו איז ווען די נומער וועלכע איך נוץ איז 3. אא"וו.

מ'קען דאס באטראכטן אז ווען איך האב א גאלדענע רעקטענגעל אינעם גאלדענע רעישאו, דאן ווען איך נעם אוועק די 1 גרעסערע רעקטענגעל דערין, וועל איך איבערבלייבן מיט'ן קלענערן וועלכעס איז אליינס אויך א גאלדענע רעקטענגעל. וכן הלאה. ביים זילבערנע רעישאו איז ווען איך האב א רעקטענגעל אין דעם רעישיאו, דאן ווען איך נעם אוועק צוויי סקווערס וואס זענען גרויס 1 ביי 1, דאן בלייב איך איבער מיט א קלענערע רעקטענגעל וועלכעס איז ווייטער אינעם זילבערנע רעישאו. וכן הלאה. ביי א רעקטענגעל אינעם בּראַנז רעישאו דארף איך אוועקנעמען דריי אזעלכע סקווערס צו באקומען נאך א בּראַנז רעישאו. וכן הלאה. און אין די פּעל סיִקווענס באדייט דאס ווען מ׳מאָלטיפּלייט די פריערדיגע נומער דריי צי פיר וכו׳ מאל, בעפאר מ׳לייגט צו דערצו די יעצטיגע נומער צו באקומען דאס נעקסטע אינעם סיִקווענס.