קאווע שטיבל

אין סירקעלס איז דא די געדאנק פון די פּאַוער [כח] פונעם פונקט. דאס איז אז ווען איך האב א פונקט און א סירקעל דאן וועט די פּאַוער [כח] פונעם פונקט זיין די סקווער פון די ווייטקייט פונעם פונקט ביז׳ן סענטער פונעם סירקעל, און מ׳נעמט אראפ דערפון די סקווער פונעם רעידיאוס פון דעם סירקעל. עס קומט אויס אז אויב איז די פונקט אינדרויסן פונעם סירקעל (וממילא איז די ווייטקייט דערפון פונים סענטער מער ווי די עצם רעידיאוס פונעם סענטער ביז׳ן סירקוּמפרענס) דאן וועט די ״כח״ זיין פאזיטיוו, אויב איז די פונקט אינעווייניג אינעם סירקעל (וממילא איז די ווייטקייט דערפון פונים סענטער ווייניגער ווי די עצם רעידיאוס פונעם סענטער ביז׳ן סירקוּמפרענס) דאן איז די ״כח״ נעגאטיוו, און אויב ליגט דאס אויפ׳ן סירקומפרענס ממש (וממילא איז די ווייטקייט דערפון פונים סענטער ממש די עצם רעידיאוס פונעם סענטער ביז׳ן סירקוּמפרענס) דאן איז די ״כח״ 0.

עס קומט אויך אויס אז טאמער די פונקט איז אינדרויסן און עס מאכט א טשאָרד דורך די סירקעל איז די ווייטקייט פון די פונקט ביז עס רירט אָן דעם סירקוּמפרענס צום ערשטן מאל טיימס די ווייטקייט פון די פונקט ביז עס רירט אָן דעם סירקוּמפרענס צום צווייטן מאל אויך די פּאַוער [כח] פונעם פונקט.

ובנוגע די געדאנק פון זעהן א קשר און ארויסהאבן דזשיאמעטריק אינפארמאציע פון א רעקטיליניער/״עקעדיגע״ שׁעיפּ צו א סירקולער שׁעיפּ [״סקווערן דעם סירקעל״ והיפוכו], איז עפ״י דעם פּיטאגאָריען טעארעם קומט דאך בעצם אויס אז יעדעס זעלבן שׁעיפּ איך זאל נאר מאכן ארום דעם רייט טרייענגעל וואו די ווענט פונעם טרייענגעל זענען די בּעיסעס פון די שׁעיפּס, וועט די עריע פונעם שׁעיפּ [דהיינו די ״סקווער״ דערפון] אויפ׳ן היפּאטענוּס זיין די סומע פון ביידע עריעס וואס זענען אויף די אנדערע צוויי ווענט. דא איז א משל וואו איך מאך דערויף פּענטעגאנס:

אדער וואסערע שׁעיפּ עס זאל נאר נישט זיין, ווילאנג אלע שׁעיפּס זענען סימילער און די זעלבע:

וממילא טאמער מאכט מען אויף אלע דריי זייטן פון א רייט טרייענגעל סעמיסירקעלס כזה:

וואס איך ווייס אז די עריע פון די גרעסטע סעמיסירקעל איז די סומע פון די צוויי עריעס פון די צוויי קליינע סעמיסירקעלס. דערנאך רעפלעקטיר איך די גרעסטע סעמיסירקעל אריבער דעם היפּאַטענוּס, וואס איז איר דיאמיטער, כזה:

גייט אויסקומען אז עס שניידט אריין אין די צוויי קלענערע סעמיסירקעלס און מאכט זיי אין צו לוּנס/א ״לבנה״ שׁעיפּ. כנ״ל ווייס איך דאך אז די גרעסטע סעמיסירקעל איז די סומע פון די עריעס פון ביידע קליינע. קומט אויס אז יעצט וואס איך האב דאס ארומגעדרייט איז די עריע פון די טרייענגעל, וואס די גרעסטע איז יעצט כולל, און די קליינע שטיקלעך וואס איך שנייד ארויס פון זיי ביידע די זעלבע ווי די סומעס פון די עריעס ״לבנות״ מיט דאס וואס איך שנייד ארויס פון זיי ביידע. קומט דאך אויס אז די עריעס פון ביידע ״לבנות״ אליינס זענען דאס זעלבע ווי די עריע פונעם טרייענגעל.

עס זענען דא פינעף, און נאר פינעף, לוּנס וואס מען קען מאכן אין צו א סקווער (נוצענדיג נאר א קאָמפּעס און סטרעיטהעדזש).

לגבי די סקווער-קיוּבּ געזעץ האט אין די צייטן פון אפלטון אויסגעבראכן א מגיפה פון טיפוס ל״ע. די נביאה פון דעלפי האט געזאגט פאר די יוונים אז כדי צו זיין באשיצט דערפון דארף מען בויען א מזבח וואס איז פונקט צוויי מאל אזוי גרויס אין וואַליוּם ווי די יעצטיגע וואס זיי האבן. זיי האבן פארשטאנען אז עפ״י די געזעץ הנ״ל דארפן זיי דאס גרעסער מאכן מיט די פאקטאר פון די קיוּבּיק-רוּט פון 2, אבער זיי האבן נישט געהאט די כלים וכדומה דאס צו קענען אויסרעכענען און מעסטן. ארעטאסטעניס פארציילט אז ווען די חכמים זענען דאס געקומען פארציילן פאר אפלטון האט ער זיי געזאגט אז די נביאה דארף נישט די מזבח; זי וויל זיי פשוט פארשעמען מיט זייער אומקענטעניס. כידוע איז העכער די פתח פון אפלטון׳ס אקאדעמיע געווען געשריבן, ״איינער וואס קען נישט דזשיאמעטרי זאל נישט אריינטרעטן דא״.

ולגבי קוּרווס וואס ווערן אויסגעפארעמט אויף א ספעציעלן סארט וועג איז דא די געדאנק פון א טרעקטריקס. דאס איז ווען איך האב (צב״ש) א שטעקן און איך בלייב אויף די זעלבע ליין. צום ערשט שטופּ איך דעם שטעקן א גאנצע צייט מער אוי מער ארויף, און דערנאך אראפ. די קוּרוו וואס דאס פארעמט אויס איז א טרעקטריקס. כזה: דאס איז אין די משפחה פון וואס ווערט גערופן פּוּרסוּט קוּרווס, וואס זענען קוּרווס וואס ווערן געשאפן ווען יעדעס פונקט אויף וואס מען איז דן הייבט אָן צו ״גיין״, אויף די זעלבע צייט, צו די אנדערע פונקט; זיי דארפן אין איין האלטן טוישן זייער ״גיין״ - זיי לויפן זיך איינע די אנדערע נאך. מ׳רופט דאס די ״מייז פראבלעם״, וואו מ׳האט עפעס א שׁעיפּ/פּאַליגאַן און פון יעדע פון אירע עקן הויבט יעדעס מייז אָן גיין צום מייז נעבן איר. זיי שאפן א ספּיירעל ביז זיי קומען אלע אָן צום מיט׳ן פונעם שׁעיפּ. למשל ביי א סקווער:

לגבי סירקעלס און א פיר-עק איז דא תלמי׳ס טעארעם (פון דער וואס האט געמאכט דעם אלמאגעסט). דאס לויטעט אז ווען איך קען סירקוּמסקרייבּן א פיר-עק, דאן אויב וועל איך מאכן צוויי אלכסונס דערין, פונעם אויבערשטען עק ביז די אונטערשטע עק דערקעגן, וכן להיפך, דאן ווען איך מאָלטיפּליי זיי צוויי צוזאמען וועט עס אויסקומען צו דאס זעלבע ווען איך מאָלטיפּליי די אויבערשטע זייט פונעם פיר-ער מיט די אונטערשטע זייט און דערנאך לייג איך צו צו דעם די פראדוקט איך באקום ווען איך מאָלטיפּליי צוזאמען דעם רעכטן זייט מיט די לינקע זייט קעגנאיבער.

בּלעיס פּאַסקאַל, ווען ער איז אלט געווען 16 יאר, איז אויפגעקומען מיט זיין פּאַסקאַל׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב איך האב א סירקעל (ואפילו עני קאַניק, וואס באדייט א קוּרוו וואס איך באקום פון שניידן א קוֺין) און איך שטעל דערויף (ווי אימער) 6 פונקטן און דערנאך באהעפט איך זיי אין עני סארט וועג אזוי אז עס שאפט א העקסאגראם פון 6 זייטן. דאן ווען איך נעם צוויי קעגנזייטיגע ווענט דערפון (אדער וואו זיי קומען זיך סתם אזוי צאם), והיינו 3 פּארן פון קעגנזייטיגע ווענט, און איך מאך פון זיי שורות ווייטער, איז וואו יעדעס איינס פון די 3 פּארן וועלן צאמקומען וועלן זיי אלע דריי וואו זיי קומען צאם אלס זיין אויף איין גראדע ליין; די פּאַסקאַל ליין.

א משל וואו די 6 פונקטן זענען אויף א געהעריגע סירקעל און די 3 פּארן קומען זיך צאם אינדרויסן: א מער קאמפליצירטע פאל:

מי אני האט געשריבן:גראדע, אין דעם איז דא קעפּלער׳ס קאנדזשעקטשור. דאס איז היינט-צו-טאגס מאטעמאטיש אויפגעוואוזען אז די וועג ווי אזוי מ׳טוהט בסתם פּאַקן (אין דריי-דיימענשאנס) ספערס [בּאָליס, וואס זענען די זעלבע סייז], אז יעדעס איינס זאל אריינגיין אביסל אינעם חלל פון די דריי ספערס אונטער דעם, כזה:

IMG_6988.jpg

איז די מערסטע עפישׁענט וועג, און שווענדעט דאס ווייניגסטע פלאץ. אין אלגעמיין טוהט דאס אויסנוצן כמעט 75% פון די פלאץ עוועילעבּעל. דאס איז די וועג ווי אזוי וועירהויז ארבעטערס און (פרוכט) געשעפטסלייט האבן דאס אלס בסתם געטוהן פּאַקן...

מ'האט די חודש באלוינט די פיִלדס מעדאל אין מאטעמאטיקס צו דר. מאַרינאַ וויאזאָווסקאַ פאר'ן אויפווייזן די מערסטע אַפּטימעל וועג פון פּאַקן ספירס אין 8 דיימענשאנס און אין 24 דיימענשאנס.

זי איז די צווייטע פרוי צו באקומען די עהרע.

עס איז דא דעם מטבע דרייען פּאראדאקס. דאס איז אז איך האב צוויי די זעלבע מטבעות איינס העכער דאס אנדערע. דערנאך דריי איך דאס אויבערשטע ארום די אונטערשטע. עס קומט אויס אז בשעת איך דריי די מטבע ארום דרייט זיך עס גענצליך ארום איר צענטער, והיינו וויפיל מאל די קאפ אויפ'ן צורת המטבע דרייט זיך, 2 מאל. דאס איז וויבאלד אויב מאך איך גראד אורך ההיקף פונעם אונטערשטען מטבע וועט זיך דאך די אויבערשטע מטבע דרייען דערויף גענצליך ארום 1 מאל - עס איז פונקט אזוי גרויס דערויף. דערנאך ווען איך דריי דעם היקף גופא ארום די צוריק מיט די מטבע באהאפטן דערויף, געבט דאס צו נאך א גענצליכע דריי.

דאס איז אויך די סיבה פארוואס אויב איז די אויבערשטע מטבע האלב אזוי גרויס בהיקפה ווי דאס אונטערשטע גייט עס זיך גענצליך דרייען 3 מאל. דאס איז ווייל עס דרייט זיך אויף דעם אויסגעגראָדטן היקף פון דעם אונטערשטן מטבע 2 מאל, זייענדיג אז די אונטערשטע מטבע איז 2 מאל איר היקף, און דאס עצם איינדרייען דעם היקף געבט צו נאך א דריי.

אויב איז די מטבע וואס איז האלב אזוי גרויס בהיקפה אינעווייניג פונעם גרעסערן גייט זיך עס נאר דרייען 1 מאל. דאס איז ווייל כנ"ל דרייט זיך די קלענערע מטבע 2 מאל אויפ'ן אויסגעגראָדטן היקף, אבער ווען איך דריי עס צוריק מיט דעם מטבע באהאפטן אויף די פארקערטע זייט ווי בעפאר, דרייט זיך עס איין מאל אין די פארקערטע ריכטונג ווי די צוויי עס מאכט אויפ'ן אויסגעגראָדטן היקף. דאס מיינט אז עס נעמט אוועק איינע פון די צוויי דרייס פון פריער.

עס איז דא א באקאנטע חידה אז ווען מ׳געבט דעם סיִקווענס:
1,2,4,8,16
און מ׳פרעגט ״וואס קומט דערנאך?״ איז די תירוץ 32, ווייל די פּעטערן אין דעם איז אז מ׳האלט אין איין דאָבּלען די נומערן פון די נומער פאר דעם. אבער עס מוז נישט זיין אז דאס דייקא איז די פּעטערן. עס איז יתכן לומר אז די פּעטערן ארבעט לפי וויפיל חלקים א סירקעל ווערט צוטיילט אין, ווען איך לייג צו פונקטן צו איר סירקומפרענס און איך באהעפט זיי. ווען עס איז דא 1 פונקט דערויף איז די גאנצע 1 חלק, ווען עס זענען דא 2 פונקטן דערויף און איך באהעפט זיי צוטיילט דאס די סירקעל אין צו 2 חלקים, ווען עס זענען דא 3 פונקטן דאן זענען דא 4 חלקים אא״וו, 4 פונקטן אין צו 8 חלקים, און 5 פונקטן אין צו 16 חלקים. ווען איך האלט ביי 6 פונקטן, די פלאץ אינעם סיִקווענס, דאן צוטיילט דאס די סירקעל אין צו 30 חלקים. וממילא קען די תירוץ זיין 30 אנשטאט 32. ואגב, יעדעס נומער קען איך צוטיילן אין צו גאנצע נומערן לויט די מקום עס איז אין אין די דאָבּלינג סיִקווענס. למשל, 4 קען ארויסגעשריבען ווערן אין 16 פּערמוּטעישאנס [וואו די סדר פון די נומערן מאכט א נפק״מ]: 4, 3+1, 1+3, 2+2, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 1+1+1+1

אין ענגלאנד אין דרייצענטן יאר-הונדערט האבן די קעניג הענרי דער צווייטער און הענרי דער דריטער ארויפגעלייגט שווערע שטראפן אויף אונאה במשקלות. דאן האבן די בעקערס צוגעלייגט צום דאָזען א דרייצענטן רעפטל (דעם ״baker’s dozen״) כדי מ׳זאל זיי נישט קענען באשולדיגן אז זיי האבן אפגענאַרט דעם קונה.

עס איז אזוי פארבליבן אָנגעבליך וויבאלד עס איז אַן אַפּטימעל פּעקינג, וואו עס פיט אריין דאס מערסטע, זיי אפצובּאַקן אויף אמאל אויף א טאץ כזה: או כזה: הגם אז אויפ׳ן צווייטן דרך וואלטן זיי ווען געקענט מאכן 14 ווען זיי מאכן 5 פון אויבן, 5 פון אונטן, און 4 אינדערמיט, איז אבער דאן ווערן די ביי די עקן אפגעברענט. (די תירוץ איז אבער שווער אויפ׳ן ערשטן דרך.)

***

ווען איך האב געהאט גע׳עפענט דעם אשכול פאר א צוויי יאר צוריק האט מיר די ניק ״פייסיס״ (בעפאר מען האט אים אויסגעשפארט) געשיקט אין אישי:

פייסיס האט געשריבן:לאז דיך אפ פון סקווירא. דאס איז דיין לעצטע ווארענונג.

האב איך דעמאלטס געהאט געטראכט אז רב יוסף זאגט אין עירובין עה: מריה דאברהם רבים ברבי איחלף לי ע״ש. וכן היא כאן: ער׳ט זיך צומישט צווישן ״סקווירא״ חסידות [״רבי״] און די געדאנק פון אריינלייגן א ״רבים״ פון סקווערס בתוך א גרעסערע [הנושא בריש האשכול]. ווי אויך האט ער זיך צומישט צווישן א ״רבי״ און דאס צולייגן אַן אות ם׳ צום סוף [רבי״ם״] וואס אַן אות ״ם״ איז דאך די פארעם פון א סקווער.

איך פארשטיי אז דאס איז געווען זיין... אהעם... ״פארעם״ פון א (מאדנע סארט) וויץ (מנשה לוסטיג זייענדיג א סקווירא חסיד).

עס איז מערקווידיג ווי דער נפוצות יהודה (דרוש ח) זאגט עפ״י אפלטון:

ובכן, נפש העולם הופיעה והשפיעה באדם כוח שכלי באותו חלק ממנו שתמונתו עגולית כגופי השמים, הוא הראש; שבין כל חלקיו הנוטים כולם באופן מה אל תמונת העיגול, הוא יותר שלם בזאת התמונה, ואיתן מושבו במקום גבוה ממנו כלפי שמים, כי שם, לדעת אפלטון, משכן הנפש המשכלת.

אין דעם געביט פון אַפּאָלאָניען סירקעלס איז דא דעם בּענקאָף סירקעל. והיינו, אַן אַרבּעלאָס איז ווען איך מאך א האלבע סירקעל און אין דעם שנייד איך אויס נאך האלבע סירקעלס. עפי״ז אויב מאך אזא סארט אַרבּעלאָס און איך שנייד אויס דערין צוויי האלבע סירקעלס וואס זענען פונקט טענדזשענט איינע צום אנדערן, און דערנאך מאך איך דערין א גאנצע סירקעל וואס איז פונקט טענדזשענט (רירט אָן) צו סיי די צוויי קליינע האלבע סירקעלס און סיי די גרויסע האלבע סירקעל הכוללת אותם. דערנאך מאך איך א סירקעל וואס גייט דורך פונקט אלע טענדזשענט פונקטן פון די גאנצע סירקעל און צוויי האלבע סירקעלס בתוך האַרבּעלאָס, וג״כ איז עס פונקט טענדזשענט צו די פלאָר פונעם אַרבּעלאָס וואו עס איז טענדזשענט צו ביידע האלבע סירקעלס, דאס איז א בּענקאָף סירקעל. דא איז א משל דערפון (די רויטע סירקעל):

מי אני האט געשריבן:ראי"ל שטיינעמאן זצ"ל האט געזאגט:

1). אז די עקן פון א שׁעיפּ מאכט די שׁעיפּ פיזיש שוואכער ווי ווען עס איז אַן עיגול אָנע עקן

2). מפי הירושלמי אז בהבריאה בטבע זענען זאכן ווי מער קרוב לעיגול וואס איז א שלימות

3). די גר"א האט אבער געהאלטן אז די וועלט אליין איז יא מרובע ואפשר שאינה נחשבת מן הבריות. און דאס וואס עס ווערט מבואר בתוס' אז אלכסנדר מוקדון האט געזעהן פון אויבן אז די וועלט איז אן עיגול איז נאר פון אויבן אבער פון אונטן מתחת לים זעהט מען יא אז עס איז עקעדיג

4). אז מ'קען משווה זיין דעם גר"א מיט די מציאות אז ער מיינט אז די יבשה איז מרובע ווי מ'זעהט אויף מאפעס (אבל באנו לענין פרעקטעלס)

כ'האב געזעהן אין שו"ת אריה שאג מהגר"ח קנייבסקי זצ"ל:

שאלה: "ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול" (מלכים א ז כג). וצ"ב מדוע עשאו עגול ולא מרובע?

תשובה: שלא ינזקו בו.

י"ל עפי"מ דאיתא בירושלמי ומובא בר"ן בנדרים (כה.) דאין מרובע בבריות, ועפ"י סוד הרי עיקר
טהרת המקוה והמעיין זהו כשאין בו תפיסת ידי אדם, ולכך מים שאובין פסולים לטהר, ומצד ענין
זה העיגול נחשב פחות תפיסת ידי אדם מהמרובע. (הערת הרב אליהו דיסקין שליט"א).

דא ברענגט דר. עריך פריעדמאן אראפ וואו מ'האט געפּרוּווט ווי אזוי מ'קען אריינפּאקן די מערסטע סקווערס אין א גרעסערע סקווער. דאס הייסט, ווען מ'האט א גרויסע סקווער פון א געוויסע מאס לענג און ברייט, איז ווי אזוי איז שייך אריינצופּאקן דערין א צאל קלענערע סקווערס (וואס זענען אלע די זעלבע סייז), און וואס איז די לימיט ווי גרויס די לאנג/ברייט פון די קלענערע סקווערס זאלן זיין, ביחס צום לאנג/ברייט פונעם גרעסערן. ער רעכענט אויס דערין אָנגעהויבן פון 1 סקווער, ביז אריינפּאקן אינעם זעלבן סקווער 89 קלענערע סקווערס.

למשל, ביי 11 קלענערע סקווערס דערין מוז די גרויסע סקווער הכוללם זיין כאטש 3.877 מאל אזוי גרויס ווי זיי, און דאן ווען מ'שטעלט זיי אויס אזוי ווי ער ווייזט קען מען זיי אלע אריינפּאקן דערין. (עס קען אויסזעהן ווי 13, 14 און 15 זענען פשוט, אבער עס איז נישט אזוי. עס איז אויפגעוואוזן אז די גרויסע מוז זיין כאטש 4 מאל אזוי גרויס ווי די קליינע - טאמער זענען די קליינע גרעסער ווי א פערטל פון דעם גרויסן הכוללם, דאן נישט קיין חילוק ווי אזוי דו וועסט זיי דרייען אינעווייניג, וועט מען נישט קענען אריינפּאקן דערין 13, 14 אדער 15 פון די קליינע.) דא מאכט xkcd חוזק פון די וועג ווי אזוי אריינצופאקן 11 קלענערע סקווערס:

טשארלס ניקאלאס פּיוּסעליער און יום טוב ליפמאן ליפקין, דער זוהן פון ר׳ ישראל סאלאנטער זצ״ל, האבן אויפגעוואוזן דעם פּיוּסעליער-ליפּקין לינקעדזש. דאס איז אז אויב האט מען כזה: וואו די צוויי ליינס אויף די זייט וואס קומען ארויס פון O ביז A און C זענען די זעלבע לענג, און די איבעריגע ליינס וואס זענען באהאפטן דערצו און שאפן דעם ראַמבּוּס/דיעמאנט זענען די זעלבע לענג, דאן אויב רוקט זיך B צו O, אין א סירקעל און וואו B און O זענען מחובר אינדערמיט פונעם סירקעל צו נאך א פונקט און די ליין פון O ביז יענעם פונקט קען זיך נישט רוקן, וועט בהכרח D אויספארעמען א גראדע ליין [די אין בלוי] בשעת עס רוקט זיך. און אויב מאכט מען B זיך רוקן אין א גראדע ליין, אָן זיין באהאפטן צו O, וועט D בהכרח מאכן/אויספארעמען א סירקל. (די ליינס/שטעקענעס, מיינענדיג די ענגעלס, קענען און וועלן זיך בהכרח בייגן ביי די פונקטן.) ‏כידוע האט עס שטארק געבאדערט פאר ר׳ ישראל ווי אזוי זיין זוהן איז געווארן. ער האט געשריבן:

למורת רוח הדבר לפני מאד, ולבי עלי דוי על דרכו אשר בחפץ בני לסול בה. כל אוהב נפשו ויש לאל ידו לדבר על לב בני להטות חפץ רוחו לבל לדלג נגד רוח נפשי וחפצי, טובה גדולה יעשה לנכה רוח כמוני היום.

יום טוב איז אוועק ל״ע ביי די 30 יאר.

עס זענען דא דריי טעארעמס אין דזשיאמעטרי גערופן על שמו פונעם פראנצויזישער מאטעמאטיקער וויקטאר טעבּאָלט. די ערשטע איז מיוסד אויף וואן אויבּעל׳ס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך א פּערעלעלאגראם, דאס הייסט א פיר-עק וואו צוויי פון די זייטן זענען שיף, און איך מאך סקווערס אויף יעדעס זייט, און איך מאך א ליין פון דערמיט פון איין סקווער ביז צו די אינדערמיט פונעם סקווער קעגן איבער איר, גייען די צוויי ליינס וואס גייען דורך אלס שאפן א פונקטליכע 90⁰ ענגל. ועפי״ז אויב באהעפט מען מיט גראדע ליינס די אלע פיר פונקטן פון די דערמיטס פון די סקווערס, גייט דאס אליינס שאפן א פונקטליכע סקווער. ועיין כאן לגבי נאַפּאָליאן׳ס טעארעם וואס איז ענליך ביי טרייענגעלס. דאס איז א טיילינג לפי די טעארעם. די צווייטע טעארעם איז אז אויב האב איך א סקווער און איך מאך אויף צוויי פון אירע זייטן (סיי אינעווייניג אדער סיי אינדרויסן) צוויי עקוועלעטערל טרייענגעלס [וואו אלע דריי זייטן זענען די זעלבע לאנג], און דערנאך באהעפט איך די ווייטע עקן פון ביידע טרייענגעלס צו די ווייטע עק פונעם סקווער קעגן איבער, גייט דאס אלס אליינס שאפן אַן עקוועלעטערל טרייענגעל. די דריטע טעארעם איז אז אויב האב איך א טרייענגעל און איך מאך סיי ארום איר א סירקומסירקל, וואס איז טענדזשענט און רירט איר פונקט אָן ארום, און סיי אַן אינסירקל אינעווייניג וואס טוהט דאס זעלבע פון אינעווייניג, איז דערנאך וועלכע פונקט איך וועל נאר וועהלן אויף די טרייענגעל צו מאכן פון דארט א ליין ביז די עק כנגדה און עפי״ז מאלן נאך צוויי סירקלס פון ביידע זייטן פונעם ליין וואס זענען פונקט טענדזשענט צום ליין און צום סירקומסירקל ארום, וועלן די סענטערס פון די צוויי סירקלס מיט די אינסירקל אלעמאל זיין קאָליניער און קענען ליגן אויף איין גראדע ליין. ועיין לעיל איבער תלמי׳ס טעארעם.

כדי צו העלפן מיט׳ן קענען טרייסעקטן אַן ענגל, מאכן א דריטל פון א געוויסע ענגעל מיט נאר א קאמפּעס און רוּלער, און סקווערן א סירקעל, מאכן א סקווער מיט די זעלבע עריע פון א סירקעל וואס מ׳האט (אדער פארקערט) מיט נאר א קאמפּעס און רוּלער (ביידע זענען אויפגעוואוזן צו זיין אומעגליך), איז דער מאטעמאטיקער יוני ניכאמידוס אויפגעקומען מיט׳ן קאַנקויד פון ניכאמידוס (בזמן בית שני). דאס איז ווען איך האב סיי א פונקט און סיי א ליניע [דירעקטריקס] וואס איך האלט סטאבּיל, און דורך זיי לייג איך א פּענסיל וואס קען זיך יא רוקן אויף זיי. די אונטערשטע פונקט דרייט זיך און דאדורך מאכט די פּענסיל א קוּרוו.

עס איז דא דאס געדאנק פון א קאַיעקאַ סעט. דאס איז ווען איך האב א שׁעיפּ וואס איך קען דערין מאכן א ליין פונעם זעלבן לענג אין יעדעס דירעקציע (א פשוט׳ע משל איז א סירקעל). דערנאך איז דא די קאַיעקאַ נאדל סעט. דאס איז ווען בנוסף צו דעם קען איך ארומדרייען די ליין בתוך דעם שׁעיפּ און עס זאל נאך אלס זיין פונקט די זעלבע לענג א גאנצע צייט בתוך דעם שׁעיפּ פונקט. א שאלה אין מאטעמאטיקס איז וואס איז די ווייניגסטע עריע איך וועל דארפן אין א שׁעיפּ כדי דאס צו קענען טוהן? און די שאלה איז ביי יעדעס דיימענשאן: 2D, 3D אא״וו. דא איז א משל ביי א דעלטויד, וואס דער מאטעמאטיקער סאָאיטשי קאַיעקאַ האט געקלערט איז די מינימום וואס וועט אויספעהלן (עס איז נישט אמת אז דאס איז די מינימום):

ארכימידוס האט אויפגעוואוזן אז טאמער איך האב דריי שׁעיפּס: א קוֺין, א ספיר/בּאָלי, און א סילינדער (א ״can״), וואס אלע זענען די זעלבע ברייט אונטן, מיינענדיג אז די עריע פונעם רונדיכיגן בּעיס פונעם סילינדער איז די זעלבע ווי דאס רינדיכיגע בּעיס פונעם קוֺין, און ביידע זענען די זעלבע הייך, און די דיאמעטער פונעם בּאָלי (צו אלע זייטן, ופשוט) איז אט די עריע פונעם בּעיס, דאן איז די וואַליוּם פונעם קוֺין א דריטל פונעם וואַליוּם פונעם סילינדער, און די וואַליוּם פונעם בּאָלי איז צוויי דריטל די וואַליוּם פונעם סילינדער; די וואַליוּם פונעם קוֺין מיט די וואַליוּם פונעם ספיר/בּאָלי צוזאמען וועלן זיין פונקט די וואַליוּם פונעם סילינדער. (סיסעראָ זאגט אז די געדאנק איז געווען אויסגעקריצט אויף די מציבה פון ארכימידוס עפ״י צוואתו.) דא האט איינער דאס געמאכט אין די פארעם פון א זאמד-זייגער: ***

אויב מאכט מען א ליין פון די וועלט צו ווענוס/נוגה, איז די פארעם וואס דאס וועט שאפן לפי זייערע אָרבּיטס ביחס איינע צו די אנדערע (אין קורצע אינטערוועלס) דאס: ***

לגבי פּעקינג אין נאטור איז דא די שׁעיפּ פון א סקוּטויד. א פּריזם איז ווי באקאנט א 3D שׁעיפּ וואו איך האב צוויי די זעלבע 2D שׁעיפּס, און זיי ווערן באהאפטן איינע צו דאס אנדערע גראד איין ווערטעקס צום אנדערע כנגדה, והיינו זיי שאפן אויף די זייטן פנים'ער פון 2D רעקטענגעלס. טאמער איז איינע פון די שׁעיפּס סימילער אבער קלענער, וממילא נעמט זיך דאס איינבייגן און דאס ווערט אין צו פנים'ער פון 2D טרייענגעלס (כמעט א פּיראמיד), ווערט דאס גערופן א פראָסטאָם. טאמער האט איין 2D שׁעיפּ איין מער ווערטעקס/עק ווי די 2D שׁעיפּ כנגדה, וועט זיך ממילא צוויי ווערטעקסעס מוזן צאמפּארן ביי איינס שכנגדה, ווערט דאס גערופן א פּריזמעטויד. אויב ביי א פּריזמעטויד טרעפן זיך די באהעפטונג פון די צוויי ווערטעקסעס מיט די פון די איין ווערטעקס כנגדה אינדערמיט, אנשטאטס ביים ווערטעקס ממש, דאן איז דאס א סקוּטויד. מ'האט געטראפן אז ביי עפּיטיליעל צעלן וואס פּאַקן זיך צוזאמען (כעין ביי מוסקלען וכדומה), נעמען זיי דעם סקוּטויד שׁעיפּ, וואס מאכט דאס מער אַפּטימעל.

לגבי דאס אז יעצט איז די מאטעמאטישע קאמיוניטי אויף מיט'ן "איינשטיין" הוט-טייל, איז דאס א וויץ אין דעם:

ר' מי אני. וואס איז געווארן?
איר האט שוין למעשה געסקווערט דעם סקווער?