קאווע שטיבל

ביסט דאך דארט.

אפשר זאגסטו מיר יאיר טייערער וויאזוי קפיצת הדרך וועט אונז העלפן מיט פאי? קידדינג, קידדינג. און ייש"כ פארן אזוי הערליך מסביר'ן. הלוואי ווען איך וואלט געהאט אזא טיטשער.

יאיר האט געשריבן:חכמים מתקן געווען א סדר וועלכע מען מאכט קודם און וועלכע נאכדעם, וסימנך PEMDAS, ווי דער מהרש"א ערקלערט איז דאס ר"ת: parentheses, exponential, multiplication, addition, subtraction.

האסט אויסגעלאזט division וואס גייט צוזאמען מיט\נאך multiplication.

יאיר האט געשריבן:לאמיר נאר צוענדיג די ארבעט וואס ער האט אנגעהויבן, און ערקלערן ווי אזוי מיר גיין למעשה רעכענען די אומראציאנעלע נומערן. דער אופן ווי אזוי מען שרייבט אראפ געווענליכע צוטיילטע נומערן איז דורך דעסימעלס. דהיינו, מען לייגט א פינטעלע אויף די רעכטע זייט פון דעם נומער, און רעכטס פון דעם פינטל שרייבט מען די דעסימעל נומערן. למשל אויב איר וועט אריינשטעלן אין אייער קאלקולעיטאר 3/2, וועט ארויפקומען דער ענטפער 1.5. דאס מיינט, לויט דעם פריערדיגן משל, אויב צוטיילט מען דריי שטאק אין צוויי, וועט יעדער שטאק זיין איין גאנצער שטאק פלוס נאך פינף צענטלעך פון א שטאק.

קודם, יישר כחכם וחיילך לאורייתא. ס'וואלט אפשר געווען כדאי מסביר זיין אז אפילו רעשינאל נומבערס קען מען לאו דוקא שרייבן אויפן דעסימעל סיסטעם. למשל 1/3 וכדומה. וקצרתי מחמת קושי השיעבוד וטרדת הזמן, אבער אויב די קענסט מאריך זיין בוודאי למצווה גדולה יחשב.

Irrational numbers have decimals that go on forever with no repeating pattern.

וואס קול דודי מיינט צו זאגן איז אז ס'קען אמאל זיין א ראציאנאלע נומבער וואס גייט אן אויף אייביג, ווי למשל 1/3, וואס אין דעסימאל שרייבט זיך עס ...0.3333333 און גייט אן אויף אינפיניטי, אבער וויבאלד ס'חזרט זיך איבער די זעלבע נומבער, 3, א גאנצע צייט איז עס יא ראציאנאל. די זעלבע מיט 1/7, וואס שרייבט זיך ...0.142857142857 אבער די נומבערס 142857 האלטן זיך אין איין איבערחזר'ן, ממילא קען עס יא זיין ראציאנאל.

געפילטע פיש האט געשריבן:Irrational numbers have decimals that go on forever with no repeating pattern.

וואס קול דודי מיינט צו זאגן איז אז ס'קען אמאל זיין א ראציאנאלע נומבער וואס גייט אן אויף אייביג, ווי למשל 1/3, וואס אין דעסימאל שרייבט זיך עס ...0.3333333 און גייט אן אויף אינפיניטי, אבער וויבאלד ס'חזרט זיך איבער די זעלבע נומבער, 3, א גאנצע צייט איז עס יא ראציאנאל. די זעלבע מיט 1/7, וואס שרייבט זיך ...0.142857142857 אבער די נומבערס 142857 האלטן זיך אין איין איבערחזר'ן, ממילא קען עס יא זיין ראציאנאל.

כשר גערעכט.
און דאס איז געווען מיין ערשטע תגובה דא אין שטיבל.

[tag]יאיר[/tag] לאז אונז נישט סטאק בלייבן אינמיטן די עלעוועיטאר...

שוין געווען צו א גרויסע ברעיק.

כ'בין געווען זייער פארנומען פאריגע וואך, כ'האף מערצעשעם די וואך ממשיך צו זיין.

טאמבל סאס האט געשריבן:איז עס ווייטער נישט גשמיות'דיג. דו קענסט נישט אנכאפן די מיינוס וואס ער איז אין דעביט. די מיינוס אין טעמפעארטור איז עפעס וואס מיר האבן אטריביוט צו קעלט אין רעלאטיווע צו היץ (אפשר ווייל היץ גייט ארויף און קעלט ערשט אראפ/אונטן) כדי אז מענטשן זאלן עס קענען איידענטעפייען און מעסטן ווען אין פאקט איז עס דער זעלבער נעגעטיווער נומער קאנצעפט וואס ווען מ'וויל עס ממשש זיין פיזיקלי לאזט זיך עס נישט. מ'וואלט פונקט אזוי געקענט זאגן, "ס'איז צוואנציג די גראד אין קעלט."

טאמבל סאס: ייש"כ. יעצט איינמאל מאכסטו סענס. דעיס איז אויכעט א מאטעמאטישער, --אפשר מער א מעטאפיזישער-- חשבון. "אין ריבוי אחר ריבוי אלא למעט"...נישט א ריין מאטעמאטישער חשבון. ווייל אין מאטעמאטיקס האמיר א כלל אז צוויי פאזיטיווס איז די תוצאה א פאזיטיווע נומער...

אזוי ווי מ׳האט שוין דא (ווי אויך אין אנדערע אשכולות) דורכגעטוהן די סוגי נומערן פון counting ביז irrational, וועל איך פרובירן מרחיב צו זיין און מסביר זיין די סעט פון נישט-עכטע [imaginary] נומערן, וואס יאיר האט דערמאנט. אבער קודם וועל איך מאכען אפאר הקדמות. (איך וועל עס פרובירן צו מאכן און מסביר זיין ווי מער בפשטות, אבער איך אנטשולדיג מיר פון פאראויס טאמער איך בין דאס נישט גענוג גוט מסביר.)

ווי בערל האט ערווענט (ווי אויך איז עס דערמאנט געווארן אין אנדערע אשכולות) אז אויב מען מאלטיפלייט צוויי נומערן און איינס איז פאזעטיוו און איינס נעגאטיוו, וועט די ענטפער אלעמאל זיין נעגאטיוו, נישט קיין חילוק וועלכע נומער איז (אבסאלוט) גרעסער. משא״כ אויב מען מאלטיפלייט צוויי נעגאטיווע נומערן (וכ״ש וכמובן אויב ביידע זענען פאזיטיוו), וועט די ענטפער אייביג זיין פאזיטיוו. די סיבה דערצו איז גאר פשוט מסביר צו זיין:
4*2=8
3*2=6
2*2=4
1*2=2
0*2=0
(1-)*2=(2-)
זעה׳מיר אז יעדעס מאל איך מאלטיפליי די זעלבע נומער [אין אונזער פאל 2] ביי איינס נידעריגער [3, 2, 1 וכו׳], גייט עס אראפ מיט איין פעקטאר פון די נומער איך מאלטיפליי [2]; א פאטערן. איז ווען איך גיי נאך נידעריגער, נעגאטיווע נומערן, וועט דער ענטפער אויך אראפגיין צו נעגאטיווע נומערן מיט די פאקטאר. דאס ווייזט אז א נעגאטיוו מאלטיפלייט מיט א פאזיטיוו וועט פראדוצירן א נעגאטיוו.

איינמאל אונז ווייסן מיר דאס קען מען אויפווייזן אז א נעגאטיוו מאלטיפלייט מיט א נעגאטיוו מאכט א פאזיטיוו.
3*(2-)=(6-)
2*(2-)=(4-)
1*(2-)=(2-)
0*(2-)=0
(1-)*(2-)=2
וויבאלד אונז ווייסן מיר שוין אז א נעגאטיוו מאלטיפלייט ביי א פאזיטיוו ווערט א נעגאטיוו, איז ווען איך מאלטיפליי א נעגאטיוו ביי א פאזיטיוו און צוביסלעך רוק איך אראפ דעם פאזיטיוו נומער זעה איך אז די ענטפער רוקט זיך אלס ארויף צו פאזיטיוו מיט די פאקטאר פון די (אבסאלוט) נומער איך מאלטיפליי [2]; אויך א פאטערן. ביז איך קום אן אז ביידע זענען נעגאטיוו און מיין ענטפער ווערט פאזיטיוו.

אויך וויל איך מקדים זיין און מסביר זיין וואס דאס איז עקספאנענטס (מ׳רעדט דערפון אויך אין אנדערע אשכולות). פונקט אזוי ווי מאלטיפליקעישאן איז עדישאן וואס איז איבערגע׳חזר׳ט, כגון 3*5 איז 5+5+5 (אדער 3+3+3+3+3), די זעלבע איז עקספאנענטס ביחס צו מאלטיפליקעישאן. למשל, אז איך האב 4*4*4 קען איך דאס שרייבן 3^4 (ס׳איז 4 מיט א קליינע 3 פון אויבן), וואס זאגט מיר אז די נומער 4 טוה איך מאלטיפלייען 3 מאל נאכאנאנד.

דאס פירט ווייטער אריין אין צו ראדיקאלס/רוטס וואס איז עקספאנענטס אויף צוריקצווועגס (פארוואס? האט דאס אויך שיין מסביר געווען דא viewtopic.php?f=19&t=5826). דהיינו, איך וויל למשל וויסן ״וועלכע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער״ ברענגט מיך צו 25, וואס אויף דעם איז די ענטפער 2^5 [5*5]. די שאלה איז א רוט פון 2, ווייל איך האב געפרעגט וועלכע נומער מאל וועלכע נומער; נאר צוויי מאל [אן עקספאנענט פון 2]. איך קען פרעגן ״וועלכע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער״ וועט מיך ברענגען צו 64, און די ענטפער איז 3^4 [4*4*4]. די שאלה איז געווען א רוט פון 3, ווייל איך האב געוואלט וויסן וועלכע נומער מאלטיפלייט [אן עקספאנענט] 3 מאל ברענגט מיר צו די נומער.

יעצט שטעלט זיך די שאלה וואס איז טאמער איך וויל וויסן די 2 [סקווער] רוט פון א נעגאטיווע נומער, למשל (25-). די שאלה פרעגט וועלכע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער (נאר צוויי מאל געשריבן) וועט מיר ברענגען צו (25-). איז לא׳מיר זעהן (5-)*(5-) הא׳מיר דאך אויבן מברר געווען וועט זיין 25 [פאזיטיוו] און נישט (25-) [נעגאטיוו]. ווידער, אויב מאך איך 5*(5-), הגם די ענטפער איז טאקע (25-) זענען זיי דאך נישט די זעלבע נומער.

די פראבלעם וועט מען האבן ווען אימער מען וויל אן איווען [2, 4, 6... וכו׳] רוט פון א נעגאטיווע נומער. משא״כ ווען מען זוכט די אדד [3, 5, 7... וכו׳] רוט פון א נעגאטיווע נומער קומט מען יא צוריק אן צו א נעגאטיווע נומער. למשל, די 3 רוט פון (27-) איז (3-) כזה: (3-)*(3-) איז טאקע פאזיטיווע 9 אבער נאכדעם מאך איך נאכאמאל [א דריטע מאל, אזוי ווי די רוט האט געבעטן געוואר צו ווערן] *(3-), וואס איז 9*(3-) גייט עס טאקע זיין (27-). און אזוי ביי יעדע אדד רוט פון א נעגאטיווע נומער.

עכ״פ ביי איווען רוטס פון א נעגאטיווע נומער דערזעהן אונז זיך מיט א פראבלעם: וואס איז די ענטפער? וועלכע נומער איז דאס וואס ווען איך גיי עס מאלטיפלייען ביי זיך אליין (/שרייבן אן איווען נומער פון מאל) וועל איך אנקומען צו א נעגאטיווע נומער? דער תירוץ אויף דעם איז די נומער i (מ׳דארף אין אכט נעמען אז i איז א נומער, און נישט א וועריעבעל אזוי ווי x). דאס מיינט די סעט פון אימעדזשינערי נומערן, דהיינו די סעט פון ״נישט-עכטע״ נומערן.

למשל, אונזער פריערדיגע משל פון די סקווער [2] רוט פון (25-) וועט זיין 5i. דהיינו, איך טשעפע צו אן i צו די נומער וואס וואלט ווען געווען די סקווער [2; אן איווען] רוט פון פאזיטיווע 25, וואס איז 5 [5*5=25], צו ווייזען אז די 5 איז אין די סעט פון אימעדזשינערי נומערן, וואס ווען איך מאלטיפליי זיי ביי זיך אליין [i*i] קום איך אן צו א נעגאטיווע נומער.

עס איז אינטרעסאנט/וויכטיג צו באטאנען אז יעדע אימעדזשינערי נומער איז צאמגעשטעלט פון אן אימעדזשינערי חלק און א געהעריגע/עכטע חלק. למשל, 2i+43; די 2i איז די אימעדזשינערי חלק און די 43 איז די עכטע חלק. דאס רופט זיך א קאמפלעקס נומער. אין אונזער פריערדערמאנטען פאל, 5i, איז די קאמפלעקס נומער 5i+0. ווען מ׳מאכט עדישאן אדער סאבטרעקשאן אויף צוויי קאמפלעקס נומערן, עדד/סאבטרעקט מען די צוויי אימעדזשינערי חלקים אליין און די צוויי עכטע חלקים אליין. (מאלטיפליקעישאן און דיוויזשאן זענען שוין אביסל מער ״קאמפליצירט״... ואפשר עוד חזון.)

עס איז אויך אינטרעסאנט אנצומערקן אז ווען איך גיי געבן אן עקספאנענט פון 4 אדער מאלטיפל דערפון [4, 8, 12, 16... וכו׳] צו i וועט עס צוריקווערן א פאזיטיווע נומער. לא׳מיר נעמען i אליין, וואס איז אזוי ווי עס וואלט געווען/געשטאנען 1i, און עס געבן אן עקספאנענט פון 4, וואס מיינט i*i*i*i. יעצט לא׳מיר גיין צוביסלעך. i*i איז (1-), ווייל אונז האבן דאך א גאנצע צייט געזאגט i*i ברענגט אונז צו א נעגאטיווע נומער [i איז די איווען רוט פון א נעגאטיווע נומער], און אין די פאל איז עס (אזוי ווי) 1*1 און עס גייט מיר ברענגען צום נעגאטיווען (1-). יעצט, לא׳מיר עס מאכן א דריטע מאל (1-)*i. דאס גייט יעצט זיין (1i-), וואס איך קען שרייבן אלס (i-). יעצט, גיי מיר עס מאכן דעם פערדן און לעצטע מאל (i-)*i. ווי ערווענט איז i*i דער ענטפער (1-), אבער יעצט דארף איך דאס אויך מאלטיפלייען ביי א נעגאטיוו (1-), ווייל איינע פון די i נומערן איז דאך א נעגאטיוו. און ווי דערמאנט אין אנהויב א נעגאטיווע נומער, אין אונזער פאל א (1-), מאלטיפלייד ביי א נעגאטיווע נומער (אין אונזער פאל ווייטער א (1-)) וועט זיין א פאזיטיוו. איז זע׳מיר צוריק אנגעקומען צו א פאזיטיווע נומער. וחוזר חלילה ביי אן עקספאנענט אין סייקלס פון 4.

איך אנטשולדיג מיר נאכאמאל אויב וועגן מיין (סיגנון ה)לשון איז עס נאכאלס צו ״קאמפליצירט״.

יאיר האט געשריבן:למשל סיי וועלכער נומער * 0 וועט אייביג זיין זערא. אזוי אויך א נומער צוטיילט ביי זערא איז מיינונגסלאז אין מאטעמאטיק.

דאס איז נישט סתם עפעס א חק בלי טעם. אזוי ווי יאיר האט מסביר געווען:

יאיר האט געשריבן:אויף דער מאטעמאטישער שפראך מיינט דאס אז multiplication און division זענען inverse איינער פון דעם צווייטן, זיי טוען פארקערטע פעולות. אויב איך וועל נעמען סיי וועלכער צוויי נומערן און איך וועל זיי קודם דאפלען און נאכדעם צוטיילן וועל איך אלץ צוריקבאקומען דעם נומער מיט וועלכע איך האב אנגעהויבן. בדוק ומנוסה.

זה כלל גדול במתמתיקה: כל באיה ישובון. יעדע פעולה וואס מען טוט מיט א נומער און מען קריגט אן אנדער נומער אלס רעזולטאט, איז אלס דא אן אנדער פעולה וואס מען קען טון מיט דעם רעזולטאט אזוי אז מען זאל צוריק באקומען דעם אלטן נומער.

אין אנדערע ווערטער, למשל 4=3÷12 איז די צוריקצווועגס פון 4x3=12. דאס מיינט אז איך פרעג ביים דיוויזשאן פראבלעם וועלכע נומער טיימס 3 וועט מיר ברענגן צו 12 (מאלטיפליקעישאן צוריקצווועגס), וואס דער ענטפער דערויף איז 4. יעצט, דאס מאכט אויך סענס ביי דיוויזשאן ווען איך פרעג 0=3÷0. ווייל איך פרעג (צורוצווועגס) וועלכע נומער טיימס 3 וועט מיר ברענגן צו 0, וואס וואס דער ענטפער דערויף איז טאקע 0. משא"כ ווען איך פרעג =0÷3, פרעג איך וועלכע נומער טיימס 0 וועט מיר ברענגן צו 3 (געדענקטס, מאלטיפליקעישאן צוריקצווועגס), וואס עס איז דאך נישט דא אזא נומער און איז נישט שייך במציאות (אפילו נישט 0, ווייל 0x0=0 און נישט 3).


(עס איז אינטרעסאנט אנצומערקן אז טאמער וואלט יא עפעס דיוויידעד ביי 0 אויך 0 [0÷0=0], דעמאלטס וואלט מען געקענט ״אויפווייזן״ אז 2=1...

קוקטס דא למשל https://www.quickanddirtytips.com/educa ... e-that-1-2. עס זענען דא אפאר אזעלכע ענליכע "פרופס"; אלע נוצן דיוויזשאן ביי 0 כאילו עס איז שייך.)

מי אני האט געשריבן:

יאיר האט געשריבן:זה כלל גדול במתמתיקה: כל באיה ישובון. יעדע פעולה וואס מען טוט מיט א נומער און מען קריגט אן אנדער נומער אלס רעזולטאט, איז אלס דא אן אנדער פעולה וואס מען קען טון מיט דעם רעזולטאט אזוי אז מען זאל צוריק באקומען דעם אלטן נומער.

ש'כח מי אני פארן ארויפברענגען אזויפיל אלטע סחורה.

אבער די כלל איז נישט אייביג קיין ריכטיגע כלל. למשל די קענסט נישט באקומען די פעקטארס פון א נומבער, כאטש די קענסט זייער גרינג באקומען א קאמפאזיט פון 2 פעקטארס.

הדסים האט געשריבן:

מי אני האט געשריבן:

יאיר האט געשריבן:זה כלל גדול במתמתיקה: כל באיה ישובון. יעדע פעולה וואס מען טוט מיט א נומער און מען קריגט אן אנדער נומער אלס רעזולטאט, איז אלס דא אן אנדער פעולה וואס מען קען טון מיט דעם רעזולטאט אזוי אז מען זאל צוריק באקומען דעם אלטן נומער.

ש'כח מי אני פארן ארויפברענגען אזויפיל אלטע סחורה.

אבער די כלל איז נישט אייביג קיין ריכטיגע כלל. למשל די קענסט נישט באקומען די פעקטארס פון א נומבער, כאטש די קענסט זייער גרינג באקומען א קאמפאזיט פון 2 פעקטארס.

דו רירסט אן א צווייטע נושא, ווי גרינג און שווער עס איז צו טוהן געוויסע פעולות, און דאס איז א נושא אין א דערנעבנדיגן אשכול. און ווי [tag]מי אני[/tag] האט דארטן געשריבן איז עס אן אפענע פראבלעם יעצט. (און ווי באקאנט, די RSA אלגאריטעם, איז באזירט אויף דעם געדאנק).

בנוגע נעגאטיווע נומערן איז דא א זיסע וויץ:

א ביאלאגיסט, א פיזיסיסט, און א מאטעמאטיקער האבן געזעהן צוויי מענטשן אריינגיין אין א הויז, אבער צו זייער ערשטוינונג זענען ארויסגעקומען דריי.

דער ביאלאגיסט האט געזאגט, ״ס׳איז מוכרח אז זיי האבן רעפּראָדוּסט״. (עלו למטה שנים וירדו...)

דער פיזיקער האט געזאגט, ״ס׳איז מוכרח אז אונזערע פּרעלימינערי עסאָמפּשׁינס בנוגע דאס ליידיגקייט פונעם הויז זענען געווען פאלש.״

דער מאטעמאטיקער האט געזאגט, ״טאמער וועט יעצט אריינגיין א מענטש אינעם הויז וועט די הויז זיין ליידיג״...
[(-1)+(+1)=0]

מי אני: די גאנצע טעאריע פון פאזיטיוו/נעגאטיווע נאמבערס קענמען מסביר זיין אויף 2 אופנים.:2

לומדיש: מיט א גרעף. איז זייער פשוט. (איך וועל נישט אראפמאללן א גרעף. פשוט ווייל ס'נעמט א ביסל צייט. און איך האב נישט קיין נערוון אדורכגיין די גאנצע פראצעדור. ומי שרוצה יבוא וישלים. ותבוא עליו ברכה) .איכ'ל טון אזוי ווי דער נארישער ספר ..."מעשה טוביה". איך וועלל נאר געבן אינסטראקשנס...
מאך א גראדע ליין וואס איז 20 אינטשעס לאנג. אינמיטן לייג א 0. שרייב נומערן פון 1 ביז 10 פון ביידע זייטן. די לינקע זייט וועט זיין -: די רעכטע זייט וועט זיין+: א יעדע פעולה פון ריקן די נומערן צו רעכטס איז +: א יעדע פעולה פון רוקן די נומערן צו לינקס איז-:

אויב איך רוק די -נומערן אין א העכערע דיירעקשן. איז די רעזאלט א- נאמבער (-7 איז מער אויב די נעגאטיווע נאמבערס ווערן גערוקט אין א נעגאטיווע דיירעקשן איז די רעזאלט א העכערע נאמבער.נעגאטיוו פון -(5

דער ..."לומדישער"... חלק...לאל.: נאר ווער ס'איז אינטרעסירט. ווער נישט קען גיין שלאפן...! )אויך. ווער ס'ווילל קען לאכן. ווייל איך לאך אויך.)

ווען איך האב נאר 2 מעגליכקייטן. און איך טוה א פעולה חיובית פון א מעשה חיובי, איז די רעזולטאט (פעיעל יעיצעה) חיובי. אין די זעלבע צייט ווען איך טוה א פעולה שלילית (שב ואל תעשה) פון א מעשה שלילי, איז די רעזולטאט א דבר חיובי.

משא"כ ווען איך טוה א פעולה חיובית פון א מעשה שלילי איז די תוצאה א מעשה שלילי...!

אין דעם ענין פון אימעדזשינערי/קאמפּלעקס נומערן איז דא די פונדאמענטאל טעארעם פון אלדזשעבּרא (נישט אויפמישען מיט די פונדאמענטאלע טעארעם פון אריטמעטיק דערמאנט דא). דאס לויטעט אז יעדע פּאלינאמיעל עקוועישאן (אביסל מסביר געווען דעם געדאנק דא), וואס האט נאר איין וועריעבּל [x] אויף איין זייט (וואס איז = צו א פשוט׳ע y), וועט האבן אזויפיל סאלושענס אזוי ווי די נומער [דעגרי] ווי די העכסטע עקספאנענט וואס געפונט זיך אין די עקוועישאן. א סאלושען מיינט וואס די x׳ס גייען זיין ווען די y איז 0. אין וויזשואלע טערמינען אין א גרעף מיינט דאס די ערטער אין די גרעף וואו עס גייט דורך דעם x אקסיס [עבּסקיסעס]; די האריזאנטעל ליין וואס אונטער דעם איז שוין צוטיילט אז די y וועליוּס זענען נעגאטיוו. אבער עס קען דאך געמאלט זיין אז (מ׳זעהט אז) די גרעף גייט קיינמאל נישט אנרירן דאס x אקסיס, אדער אז עס רירט עס נישט אן אזויפיל מאל ווי די נומער פונעם העכסטן עקספּאנענט אינעם עקוועישאן? איז די תירוץ דערויף אז די (איבעריגע) סאלושאנס זענען אימעדזשינערי/קאמפּלעקס נומערן און דעריבער זעהט מען דאס נישט אויף א גרעף וואס טוהט נאר ווייזן די ״עכטע״ נומערן.

א משל דערצו איז דאס וואס [tag]יידל[/tag] האט דארט צוגעברענגט די קוואדרעטיק פארמולא. עס קען געמאלט זיין אז די עצם גרעף פון א קוואדרעטיק עקוועישאן [וואו די העכסטע עקספּאנענט אין די עקוועישאן איז 2] רירט קיינמאל נישט צו צום x אקסיס. אין אזא פאל וועט אויסקומען אז די חלקים וואס זענען אונטערן סקווער רוט פונעם קוואדרעטיק פארמולא גייען זיין א נעגאטיוו, וואס גייט מאכן אז די ענטפער זאל זיין צוויי קאמפּלעקס נומערן: איינס וואו די חלק האימעדזשינערי וועט זיין פּאזיטיוו און די צווייטע וואו די חלק האימעדזשינערי וועט זיין נעגאטיוו. דאס קומט פון די זעלבע ״פראבלעם״ וואס שאפט אז אן איִווען רוט הייבט אן האבן ״פראבלעמען״ מיט א נעגאטיווע נומער, וויבאלד סיי א פאזיטיווע נומער טיימס א פאזיטיווע נומער און סיי א נעגאטיווע נומער טיימס א נעגאטיווע נומער קומען אן צו א פאזיטיווע נומער וככל הנ״ל. קומט אויס דערפון אז בעצם יעדע איִווען רוט גיבט די ענטפער סיי אין די פאזיטיוו ווערסיע פון די נומער און סיי אין די נעגאטיווע ווערסיע פון די נומער. די זעלבע וועט זיין פאר די אימעדזשינערי נומערן וואס קומען ארויס פון אן איִווען רוט ווען עס האט אין זיך א נעגאטיווע נומער.

בעצם זאגט די טעארעם אז יעדע סאלושאן וואס די עקוועישאן האט איז א קאמפּלעקס נומער - אין א פאל וואו ס׳האט יא געהעריגע פשוט׳ע ״עכטע״ סאלושאנס מיינט עס פשוט אז זייערע חלק האימעדזשינערי איז פשוט 0; ווייל ווי ערווענט איז יעדע קאמפּלעקס נומער צאמגעשטעלט פון אן עכטע חלק און אן אימעדזשינערי חלק.

ס׳איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם ארויס ווארפן [קעסטיִנג אַוּט] ניינערס מעטאדע פון טשעקן צו מ׳האט געמאכט א טעות מיט׳ן צאמרעכענען. דאס ארבעט אז איך נעם דאס דידזשיטעל רוּט פון סיי די שאלה און סיי די ענטפער און איך זעה צו זיי שטימען א דידזשיטעל רוּט פון א נומער איז ווען איך ברענג דאס נומער אראפ צו איין איינציגע דידזשיט. למשל, אויב רעכען איך 589+457=1,046 און איך וויל זעהן צו דאס איז ריכטיג קוק איך אזוי: דאס דידזשיטעל רוּט פון 457 איז 4+5+7 וואס איז 16 וואס דאס אליינס ברענג איך אראפ צו איין דידזשיט 1+6 וואס איז 7. דאס דידזשיטעל רוּט פון 589 איז 5+8+9 וואס איז 22, און דאס איז 2+2 וואס איז 4. די צוויי דאס דידזשיטעל רוטס פון די שאלה זענען 7+4=11 וואס איר דידזשיטעל רוּט איז 1+1=2. דאס דידזשיטעל רוּט פונעם ענטפער איז 1+0+4+6=11 וואס איר דידזשיטעל רוּט איז 1+1=2; די זעלבע ווי די שאלה. דאס ווייזט אז מ׳האט נישט געמאכט קיין טעות.

די סיבה פארוואס עס ווערט גערופן ארויס ווארפן [קעסטיִנג אַוּט] ניינערס איז ווייל ווען איך רעכען די דידזשיטעל רוּט פון א נומער קען איך איגנארירן עני 9 [דידזשיט], אדער נומערן וואס עדדן צאם צו 9 דערין, וואס איז א חלק פונעם נומער פון וואס איך וויל באקומען די דידזשיטעל רוּט פון; עס וועט נישט מאכן קיין חילוק צום ענדגילטיגן דידזשיטעל רוּט. למשל, ביי אונזער פריערדיגן משל איז די דידזשיטעל רוּט פון אונזער נומער 589 געווען 4. אויב איגנאריר איך איר 9 און איך רעכען נאר 5+8=13 קומט עס אויך אויס צו א דידזשיטעל רוּט פון 4, וויבאלד 1+3=4. ביי אונזער אנדערע נומער פון 457 איז די דידזשיטעל רוּט געווען 7. אויב איגנאריר איך די נומערן דערין פון 4+5 וואס זענען 9 בלייב איך איבער מיט נאר א 7 וואס איז איר דידזשיטעל רוּט.

‏(נזכר במלחמות ה׳ מאמר ו ח״א פ״ו [ההשלכה במספר תשעה].)

בנוגע דיוויזשאן איז אינטרעסאנט צו דערמאנען די רוסישע פויערן אלגאריטם ביי מאלטיפליקעישאן וואס שטאמט נאך פון די מצריים. דאס איז אז ווען איך האב צוויי גרויסע נומערן וואס איך וויל מאלטיפלייען צוזאמען, טוה איך איין נומער מאכן האלב און דערנאך ווייטער האלב [מ׳קימערט זיך נישט וועגן רימעינדארס] ביז איך קום אָן צו 1. די אנדערע נומער טוה איך לעומתה דאָפּלען. כנגד יעדעס מאל איך בין אנגעקומען צו אַן איִווען נומער ווען איך האב געהעלווט דעם ערשטן נומער, איגנאריר איך די געדאפעלטע נומער וואס איז לעומתה. דערנאך טוה איך צאמעדדן אלע געדאפעלטע נומערן וואס זענען לעומת א געהעלווטע אַדד נומער; איך רעכן אבער אויך דעם ערשטן אריגינעלן נומער וואס איך האב אנגעהויבן דאָפּלען. דאס וועט מיר געבן די ענטפער.

דא איז א משל ווען איך וויל מאלטיפלייען 85 ביי 18. די רויטע נומערן פונעם צווייטן קאלומן זענען קעגן געהעלווטע נומערן פונעם ערשטן קאלומן וואס זענען אַדד, וואס נאר די טוה איך דערנאך צאמעדדן:

מי אני האט געשריבן:איך רעכן אבער אויך דעם ערשטן אריגינעלן נומער וואס איך האב אנגעהויבן דאָפּלען

וויכטיג צוצולייגן אז דאס איז נאר אויב די נומער וואס דו רעכענסט אראפ איז אן 'אדד' נומער ווי אינעם משל.. (אין איינקלאנג מיט'ן כלל צו רעכענען די נומער'ן וואס זענען אנטקעגן אן אדד נומער)

ווידער אויב די נומער וואס דו רעכענסט אראפ איז א 'איווען' נומער דאן רעכענט מען נישט דעם ארגינעלן נומער ביים צאמרעכענען די נומערן

Sent from my KFDOWI using Tapatalk

ולגבי די ארויסווארפן ניינערס מעטאדע איז ענליך דערצו אויב ווען איך רעכען אויס די סומע פון די דידזשיטס פון א נומער קען איך עס דיוויידן ביי 3 אדער 9 (וממילא אטאמאטיש 3) אָן א רימעינדאר, דאן ווייס איך אז איך קען פונקט אזוי דיוויידן די אריגינעלע נומער ביי 3 אדער 9 (וממילא אטאמאטיש 3); אויב נאר ביי 3 דאן נאר ביי 3 און נישט ביי 9.

ענליך צו דעם איז אויב וויל איך געוואור ווערן צי איך קען דיוויידן א נומער ביי 11 אָן א רימעינדאר, דאן רעכן איך צאם יעדעס דידזשיט פונעם נומער בסירוגין [די ערשטע דידזשיט, דריטע דידזשיט, פיפטע דידזשיט אא״וו] און דערנאך נעם איך אראפ פון די סומע די סומע פון די אנדערע דידזשיטס בסירוגין [די צווייטע דידזשיט, פערטע דידזשיט, זעקסטע דידזשיט אא״וו]. אויב איז די ענדגילטיגע סומע דערפון א נומער וואס איך קען די נומער דיוויידן ביי 11 (0 איז אויך בעצם א נומער וואס איך קען עס דיוויידן ביי 11; 0/11 גייט דאך זיין 0 אזוי ווי ביי יעדעס נומער; פארקערט, דיוויידן ביי 0, איז וואס מען קען נישט טוהן), דאן ווייס איך אז איך קען פונקט אזוי דיוויידן דעם אריגינעלן נומער ביי 11.