קאווע שטיבל

ענליך צום געדאנק פון א קאַיעקאַ סעט איז דא די מינימום דיסטינקט ווייטקייט פראבלעם. דאס פרעגט אז אויב האב איך א סעט פון א געוויסע צאל פונקטן, און איך גיי זיי אויסשטעלן און דערנאך מעסטן די ווייטקייט צווישן יעדעס פונקט אין יעדעס אנדערן, וואס איז די מינימום צאל פון ווייטקייטן מעגליך. לדוגמא, אויב האב איך דריי פונקטן און איך שטעל זיי אויס אין 2D דאן איז די מינימום צאל ווייטקייטן מעגליך 1; איר דיסטענס סעט איז 1. דאס איז וויבאלד איך קען זיי אויסשטעלן אין אַן עקווילעטערל טרייענגעל אזוי אז יעדעס פונקט איז גענוי דאס זעלבע ווייט פון יעדעס אנדערעס. ווידעראום אויב האב איך 4 פונקטן און איך שטעל זיי אויס אין 2D איז די מינימום צאל ווייטקייטן מעגליך 2. דאס איז וויבאלד ווען איך שטעל זיי אויס אין א סקווער, דאן וועט עס זיין ווייט פון די אנדערע פונקטן בישר איין געוויסע ווייטקייט, און פון די פונקטן צו איר אלכסון אַן אנדערע צאל. ביי העכערע דיימענשאנס טוישט זיך עס. לדוגמא, ביי 3D קען איך אפילו אויסשטעלן 4 פונקטן אז זיי זאלן האבן 1 זעלבע ווייטקייט, ווען איך שטעל אויס דריי פונקטן אין אַן עקווילעטערעל טרייענגעל און די פערטע פונקט העכער דעם אין א פּיראמיד וואו אלעס איז גענוי דאס זעלבע ווייט.

***
דאס פרעגט טאמער איך האב קליינע עקווילעטערעל טרייענגעלס, און איך האב א גרויסע עקווילעטערעל טרייענגעל וואס א זייט איז א משהו גרעסער ווי א צאל פון די קליינע טרייענגעלס, צי איך קען אָנפילען איר עריע מיט איינס מער ווי די סקווער פון די צאל (ווייניגער די משהו) פון די קליינע טרייענגעלס וואס איז די לענג פון א זייט. מ׳קען עס טוהן מיט׳ן צולייגן צוויי מער צום סקווער פון די צאל פון א זייט.

דער מהר״ל שרייבט בגבורות ה׳ (פי״ב) אז 6 איז א מספר שלם, מכח דעם אז אין 3D ווייזט דאס אויף די זעקס זייטן: ימין ושמאל קדמה ואחור ומעלה ומטה. די מספר 60 דערנאך ווייזט אבער אויף שלימות הגמור. דאס איז ווייל אין א 2D לעטיס שטעלט מען אויס א דריי שורות פון דריי פינטעלעך, איינס און דערמיט און צוויי אויף ביידע זייטן - און דאס טוהט מען סיי פון רעכטס צו לינקס און סיי מלמטה למעלה (3²). ועפ"י דבריו לעיל בפ״ח איז ביז מספר 9, ועד בכלל, איז א מספר נאר א חלק, ביז עס קומט אָן צו 10 וואס דאן ווערן אלע מספרים דערין מאוחד. ונמצא אז דא האט מען 9 פינטעלעך וואס דארף א 10 לאחדם. און ווען מ'מאָלטיפּלייט 10 ביי אלע 6 זייטן, קומט עס אויס צו 60. און דאס איז די רמז בהמדרש לגבי דעם צי נשי ישראל במצרים האבן געבוירן ששה בכרס אחת צי ששים בכרס אחת ע"ש. איך האב געקלערט אז מ'קען אפשר אביסל עקסטענדן דעם רמז אז אין 3D וועט דאך אט די לעטיס פארמאגן 27 פינטעלעך (3³) - אט די 9 פינטעלעך 3 מאל איבערגע'חזר'ט מלמטה למעלה. און אויב מאָלטיפּליי איך אט די 27 ביי די 10 דאן קומט עס דאך אויס צו 270. און די חילוק צווישן 270 און 60 הנ"ל איז 210, וואס דאס איז די מספר שנים שהיו בגלות מצרים.

(און פרעה האט געזאגט (שמות י י) ראו כי "רע"ה נגד "פניכם". והיינו, אז אויב רעכען איך די 10 מאל וואס איך טוה צו יעדעס פון די 6 "פנימ'ער" פונעם 3D לעטיס, און איך רעכען דאס צו אלע 27 פינטעלעך, קומט עס דאך אויס צו מספר "רע". ולכן קען מען זאגן אז אין שיר השירים, וואס איז מרמז ליציאת מצרים ועיין במ"א ובמחצה"ש באו"ח סימן תסז ס"ק ח, שטייט (שיר השירים ה ב) אני ישינה ולבי "ער".)

א זיסע מיִעם איבער פרעקטעלס און ווי די געדאנק בריש האשכול: איך פארשטיי אז ס׳איז נישט ממש סעלף-ריפּיעטינג.

לגבי וואן אויבּעל׳ס און נאפּאליאן׳ס טעארעמס איז דא דעם ברייטערן פּעטר-דאָגלעס-ניומאן טעארעם. דאס לויטעט אז אויב האב איך פּאַליגאַן פון א געוויסע צאל זייטן, נישט קיין חילוק וויאזוי עס איז אויסגעשטעלט, קען איך מאכן אזא סארט פראצעדור: איך שטעל אויס ביי אלע אירע זייטן אייסאַסיליִס טרייענגעלס [א טרייענגעל וואס די צוויי ווענט זענען אייניגע לענג, אנדערש ווי איר אונטן וואס איז מחובר צום פּאַליגאַן] וואס יעדעס טרייענגעל׳ס אויבערשטע שפיץ האט די זעלבע ענגעל וואס איז, אין רעידיענס, 2 מאל א גאנצע נומער/אינטעדזשער וואס איז כאטש 2 ווייניגער ווי די זייטן פונעם פּאַליגאַן, טיימס π דיוויידעד ביי די צאל זייטן פונעם פּאַליגאַן. דערנאך באהעפט איך מיט ליינס די אלע אויבערשטע שפיצן, אזוי אז עס שאפט א נייע פּאַליגאַן מיט די זעלבע צאל זייטן ווי פריער. דערנאך טוב איך איבער דעם פּראצעדור מיט אייסאַסיליִס טרייענגעלס ביי אירע זייטן מיט א נייעם ענגעל וואו איך וועהל אַן אנדערע אינטעדזשער וואס איז כאטש 2 ווייניגער ווי די צאל זייטן פונעם פּאַליגאַן, וואס דערנאך באהעפט איך אירע שפיצן צו מאכן א נייעם פּאַליגאַן מיט די זעלבע צאל זייטן. ווען איך האב שוין אויסגענוצט אלע אינטעדזשערס ביז 2 ווייניגער ווי די צאל זייטן, וועט די לעצטע פּאַליגאַן איך מאך דערפון, אלעמאל זיין רעגולאר וואו אלע אירע זייטן אין ענגעלס זענען אייניג. (אויב בשעת די פּראצעדור איז די שפיץ ענגעל פון די אייסאַסיליִס טרייענגעלס מער ווי 180⁰ והיינו π רעידיענס, וואס אלע דריי ענגעלס פון א טרייענגעל צוזאמען קענען דאך נישט זיין מער ווי 180⁰, דאן מאך איך די אייסאַסיליִס טרייענגעלס אויף אינעווייניג פון די פּאַליגאַן; מיינענדיג, איך געב אויף די אינעווייניג טרייענגעל׳ס שפיץ, די עקספּלעמענטערי/קאַנדזשוגעט ענגעל וואס וואלט משלים געווען דאס וואס די אריגינעלע ענגעל איך נוץ איז גרעסער ווי 180⁰, צו 360⁰. וממילא וועט די טרייענגעל'ס שפיץ ענגעל, וואס איך לייג די טרייענגעל פון אינעווייניג, זיין ווייניגער ווי 180⁰.)

נוצענדיג דעגריס פאר די ענגעלס, קען איך עס באטראכטן ווי איך הייב אָן מיט׳ן דיוויידן 360 ביי די צאל זייטן וואס די פּאַליגאַן האט, און די ענגעל נוץ איך. דערנאך נעם איך די פריערדיגע נומער/ענגעל און איך מאָלטיפּליי דאס ביי 2, און די ענגעל נוץ איך. דערנאך מאָלטיפּליי איך די ערשטע ענגעל ביי 3 און איך נוץ עס. און אזוי ווייטער, ביז איך האב דאס שוין געטוהן 2 מאל ווייניגער ווי די צאל זייטן פונעם פּאַליגאַן. (עס איז נישט קיין חילוק אין וועלכע סדר איך נוץ די ענגעלס אויסצושטעלן די טרייענגעלס. ביים לעצטן פּאַליגאַן מ'שאפט דורך דעם פּראצעדור, וועט עס אלס זיין רעגולאר.)

דא איז א משל פונעם טעארעם ביי א פּענטאגאן: די שווארצע (מיט אירע פונקטן געמארקט מיט די ערשטע פינעף בוכשטאבן פון די ABC) איז די אריגינעלע פּענטאגאן און זייענדיג אז עס האט 5 זייטן, באדייט דאס אז איך וועל מאכן די פּראצעדור, מיט׳ן שאפן נייע פּענטאגאנס, 3 מאל, וואס דאס איז 2 ווייניגער ווי 5; עס וועלן זיין דריי נייע פּענטאגאנס. און די לעצטע, די רויטע (נאך די גרינע און ווייאלעט פּענטאגאנס), איז רעגולאר. (ווי מ'זעהט זענען ביי די ווייאלעט פּענטאגאן, די טרייענגעלס פון אינעווייניג.)

לגבי סייקלוֺידס, טוהט דא די מאטעמאטיקערטע פרען הער דורך די פּעטערנס ווען איך נעם א סירקעל און איך לייג דערויף א צאל פונקטן וועלכע זענען אלע די זעלבע ווייט איינע פון דאס אנדערע, און איך געב זיי אלע א נומער אין א רייע איינס נאכ׳ן אנדערן. דערנאך וועהל איך א נומער, וואס די נומער זאגט מיר אז ווען איך בין ביי א פונקט מיט א נומער, מאָלטיפּליי איך יענע פונקט נומער ביי די נומער איך האב געוועהלט, און צו וואס עס קומט אויס איז צו יענע פונקט נומער וועל איך מאכן א ליין (א טשאָרד) פון די פונקט וואו איך האלט יעצט. אויב קומט די נומער אויס צו מער ווי די צאל פונקטן אויף די סירקעל, גיי איך מיט די איבעריגע אָנהייבן ציילן פון פריש [עס איז מאַדולער] - למשל אויב איז דא 12 פונקטן און די נומער קומט אויס צו 14, גיי איך דאס באהעפטן צו נומער 2, וויבאלד 2 נאך 12 איז 14. דא איז א משל וואו איך האב 12 פונקטן און די נומער ביי וועלכע איך מאָלטיפּליי איז 2: זי טוהט דורך די קוּרווס וואס דאס שאפט, ווי די צאל פון פונקטן וואקסן. לדוגמא, וואו די מאָלטיפּלייער איז 2, איז ווי מער די פונקטן וואקסן, אלס מער קומט דאס צו צו א קאַרדיאוֺיד קוּרוו: און אָנהויב, ווי מ׳העכערט דעם מאָלטיפּלייער, אלס מער ״האָמפּס״ באקומט דאס: הגם דאס האלט אבער נישט על הכלל כולו, ווי ווען די צאל פונקטן איז ארום צוויי מאל די מאָלטיפּלייער: ‏דא האט דר. מעט הענדערסאן אויסגעשטעלט וויאזוי די וועלט און נוגה/ווענוס מאלן אויס א קורוו דורך זייערע אָרבּיטס ארום די זון, אויב מאכט מען א ליין צווישן זיי: ***

דא איז אַן אילוזיע פון א גראדע גריד פון סקווערס וואס זעהט אויס ווי עס האט קוּרווד ליינס: