קאווע שטיבל

אין די פעלד פון דזשיאמעטרי איז דא א דיסיפּלין וואס רופט זיך טיילינג. דאס איז וואו מ׳פולט אן א פלאכע (2D) סורפעס, וואס ווערט אנגערופן א פּלעין, מיט שׁעיפּס אזוי אז עס ווערט אנגעפולט אנע איבערלאזן קיין שום געפּס ומקומות פנויים. דער אמת איז אז די געדאנק איז נוגע פונקט אזוי צו העכערע דימענציעס, א פשוט׳ע משל איז אנצופולן (די וואַליוּם פון) א 3D בּאַקס מיט 3D קיוּבּס צו אנדערע סארט 3D פּאליהידראַ (לעומת 2D פּאַליגאַנס וע״ע קצת מהחילוק בזה באשכול זו) (און אויך אפילו אינדרויסן פון געהעריגע יוּקלידען דזשיאמעטרי) אבער אונז וועלן מיר זיך באציען צו 2D, ודון מינה ואוקי באתרה. ווי אויך, הגם עס זענען דא טעכנישע חילוקים צווישן א טיילינג און טעסעלעישאן איז לענינינו וועלן אונז עס רעכענען ווי די זעלבע זאך.

‏פּעריאדישע טיילינגס

די פשוט׳סטע סארט טיילינג איז א פּעריאדישע טיילינג. דאס איז ווען די טיילינג וועט שאפן א פּאטערן, ווי אויך א סימעטרי וואס וואו נאר זאלסט אריבערוקן די שׁעיפּס דערינען צוזאמען (אנע עס דרייען) צו אן אנדערע מקום אינעם טיילינג וועט עס נאך אלס אנהאלטן איר סימעטרי [טרענסלעישאנעל סימעטרי]. צו בעסער מסביר זיין, אויב שטעלט מען זיך פאר ווי די פּלעין האט די אַוּטליין פון די טיילס און דערנאך קען איך רוקן אלע טיילס ס׳זאל נאכאמאל פיטן און פּאַסן אויף די אַוּטליין איז עס פּעריאדיש - עס גייט איבער און איבער.

אין דעם אליין זענען דא א סאך מינים פון אנדערע סארטן וואס מ׳טוהט שטודירן. אויף אנצוהויבן, די פשוט׳סטע סארט בתוך דעם איז די רעגולארע טיילינג. דאס איז ווען עס איז א טיילינג פון איין סארט רעגולארע פּאַליגאַן [א שׁעיפּ וואס אלע אירע זייטן און ענגעלס זענען די זעלבע]. אונזער באקאנטע קעסטל [סקווער] טיילס, וואו אלע זענען פונקטליך די זעלבע, איז די פשוט׳סטע משל אין דעם. עס זענען נאר דא נאך צוויי אזעלכע סארטן, מיט עקווילאטערעל טרייענגעלס אדער רעגולארע העקסאגאנס (דאס מאכן בינען אין זייערע הייווס). אויב זענען זיי אויסגעשטעלט אז איין זייט און עק זענען ממש נעבן איינע די אנדערע, נישא ארויפגערוקט אדער אראפגערוקט, ווערט עס גערופן אן עדזש צו עדזש [זייט צו זייט טיילינג.

די סיבה אז דאס גייט נאר ארבעטן ביי די דריי שׁעיפּס איז ווייל צו קענען ארומנעמען אינגאנצן איין ווערטעקס/עק אן קיינע געפּס דארף איך דאך האבן א פונקטליכע ענגעל פון 360° וואס זאל אינגאנצן ארומנעמען יעדע עק וואס איך האב דערין, נישט מער און נישט ווייניגער. דאס איז ווייל כידוע איז אין ענגעלס א 360° ענגעל א פילקאמע סירקל. וממילא אויב קומט עס אלעס אויס צו ווייניגער לאט עס איבער א חלל, און אויב קומט עס אויס צו מער גייט ער שוין ארויף אויף און אריין בגדרו של חבירו. די איינציגסטע שׁעיפּס וואס קענען דאס באווייזן מיט׳ן נאר זיך באנוצן מיט די איינע שׁעיפּ זענען 4 סקווערס וואס יעדע פון אירע ענגעלס איז 90°, וממילא 4x90=360. אדער 6 עקווילעטערעל טרייענגעלס וואס יעדע פון אירע ענגעלס איז 60°, וממילא 6x60=360. אדער 3 העקסאגאנס וואס יעדע פון אירע ענגעלס איז 120°, וממילא 3x120=360.

דערנאך איז דא אין דעם סעמי-רעגולארע טיילינג. דאס איז ווען איך נוץ מער ווי איין רעגולארע פּאַליגאַן אויף צו טיילען די פּלעין.

דערנאך אין דעם איז דא אין דעם א k-יוּניפאָרם טיילינג. צו מסביר זיין דאס (אביסל) דארף מען פארשטיין דאס געדאנק פון א טייפּ פון ווערטעקס. א ווערטעקס מיינט אן עק פון א שׁעיפּ, און די ״טייפּ״ דערפון מיינט אז ווען איך שטעל צאם למשל צוויי פּענטאגאנס [וואס האבן 5 זייטן] ביי זייערע אויבערשטע עקן און אין די חלל פון די צוויי זייטן שטעל איך אריין דאס צו ערגענצן צוויי טרייענגעלס [וואס האבן 3 זייטן], גייט דאס האבן א ווערטעקס טייפּ פון 3.5.3.5 - פאר 4 זייטן וואו עס גייט ארום צו ערגענצן די עק א שׁעיפּ פון 3 ווערטעקסעס/עקן [טרייענגעל], דערנאך א שׁעיפּ פון 5 ווערטעקסעס/עקן [פּענטאגאן], דערנאך א שׁעיפּ פון 3 ווערטעקסעס/עקן [טרייענגעל], און דערנאך א שׁעיפּ פון 5 ווערטעקסעס/עקן [פּענטאגאן] און דערנאך בין איך שוין צוריקגעקומען צו וואו איך האב אנגעפאנגען. (ס׳איז נישט קיין נפק״מ וואו איך הייב אן די נומערן, למשל ביי אונזער פאל 5.3.5.3, ווי לאנג די סדר איז ריכטיג, ופשוט.) דא איז א בילד פון אונזער משל - די 4 סארטן שׁעיפּס וואס נעמען ארום דעם מיטעלסטן פינטל/עק:

יעצט, סיי ביי רעגולארע טיילינג און סיי ביי סעמי-רעגולארע טיילינג, וועלכע עק/ווערטעקס איך זאל נאר בוחר זיין וועט עס האבן די זעלבע איינע ווערטעקס טייפּ; עס איז 1-יוּניפאָרם. אויב אבער האט די טיילינג מער ווי איין סארט ווערטעקס טייפּ, דהיינו אויב איין ווערטעקס וועט האבן אן אנדערע סארט פּעטערן פון וועלכע שׁעיפּס עס נעמען עס ארום אינגאנצן ווי אן אנדערע עק אין די טיילינג, ווערט דאס אנגערופן א k-יוּניפאָרם טיילינג - די k וועט באדייטן די נומער פון וויפיל סארטן ווערטעקס טייפּס עס זענען דא אין די טיילינג. עס זענען דא 20 מיני 2-יוּניפאָרם טיילינג מעגליכקייטן און 61 3-יוּניפאָרם טיילינג מעגליכקייטן. מען ווייסט נישט וויפיל 4-יוּניפאָרם טיילינג מעגליכקייטן עס זענען דא. פון די 1-יוּניפאָרם טיילינגס זענען דא 11 סארטן: די 3 אויסגערעכענטע רעגולארע טיילינגס און 8 מיני סעמי-רעגולארע טיילינגס. דא איז א בילד פון די 8 סארטן סעמי-רעגולארע טיילינגס:

‏אירעגולארע טיילינג איז ווען די שׁעיפּ דערין איז נישט קיין רעגולארע פּאַליגאַן, דהיינו נישט אלע אירע זייטן (וממילא ענגעלס) זענען אייניג. דאס איז אפילו טאמער נוץ איך נאר איין אזא שׁעיפּ און דאך טיילט עס אנע געפּס און מיט א פּעטערן.

למשל, דער ארטיסט מאריטץ עשער פלעגט מאלן אזעלכע סארט אירעגולארע [פּעריאדישע] טיילינגס מיט בעלי חיים וכדומה. למשל:

‏עיפּעריאדישע טיילינגס

דאס זענען טיילינגס [אנע געפּס] וואס הגם זיי קענען האבן סימעטרי על הכלל כולו, איז אבער אויב ריק איך די שׁעיפּס ממקומן אנע עס דרייען וועט עס נישט אנהאלטן די סימעטרי [עס פארמאגט נישט קיין טרענסלעישׁאנעל סימעטרי הגם אז אנדערע סארטן סימעטריס האט עס יא] און זיך נישט ריפּיִטן אזוי ווי כנ״ל ביי די פּעריאדישע טיילינגס.

בעצם זענען די טיילינגס בתוך נאן-פּעריאדישע טיילינגס, אבער למען הפשטות וועלן אונז זיך נאר באציען צו עיפּעריאדישע טיילינגס בתוכו. דאס איז ווייל אונז רעדן מיר יעצט פון טיילינגס וואס מ׳קען נאר מאכן אן די סארט ריפּיִטינג סימעטרי.

מ׳פלעגט אלס מיינען אז עס איז נישטא אזא זאך אז מ׳זאל האבן א סעט פון שׁעיפּס [פּראָטאָטיילס] וואס מ׳קען מיט דעם טיילען אין א נישט פיריאדישן וועג און עס נישט זיין ביכולת צו טיילען אין א פיריאדישן וועג.

באקאנטע סארטן פון עיפּעריאדישע טיילינגס זענען די פּענרויס טיילינגס, על שם דער באקאנטער מאטעמאטישע פיזיקער דר. ראדזשער פּענרויס וואס איז אויפגעקומען מיט זיי.

א משל:

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז געוויסע פון די טיילינגס [למשל די אויבערשטע בילד] באנוצן זיך מיט א ראַמבּוס [אזא ״געבויגענע״ סקווער], וואס צוויי פון אירע ענגעלס זענען 108° דעגריס און די אנדערע צוויי 72° דעגריס, וואס מ׳צושניידט זיי אין צו א דאַרט און קייט שׁעיפּס, און עס קומט אויס אז די רעישיאו דערביי איז די גאלדענע רעישיאוי וואס [tag]פארוואס?[/tag] האט מסביר געווען ‏דא בטוטו״ד. מען שניידט עס כזה:

און דאס צו אויסשטעלן וועט מען דארפן א גאלדענע רעישיאוי פון אזויפיל קייטס ווי דאַרטס. (דאס אז די רעישיאו איז אן אירעשינעל נומער איז געווען א חלק פון זיין פּרוף אז עס איז עיפּיריאדיש, ווייל אז נישט וואלט עס געדארפט זיין רעשׁאנעל.)

דא שטייט דר. פּענרויס אליין אויף א פּענרויס טיילינג אין טעקסאס אוניווערזיטעט:

‏אגב איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז דאס האט אויך א שייכות מיט פרעקטעלס.

טיילינגס האבן א שייכות מיט וויאזוי אטאמען קענען זיך אויסשטעלן בסימעטרי (אין א סאליד) אלס א (קריסטאל) לעטיס פון א באשטיינדל. דער רוסישער מאטעמאטיקער דר. עווגראף פעדעראוו האט אויפגעוואוזן אז אין 3D זענען דא 230 וועגן וויאזוי זיי קענען זיך אויסשטעלן סימעטריקעלי וואס דאס אין 2D איז 17 סארט וועגן, וואס ווערן גרופּירט אלס די 17 וואנטפאפיר גרופעס לויט די סארטן סימעטריס וואס זיי פארמאגן.

מ׳האט אפילו געטראפן קוואסי-קריסטאלן וואס פארמאגן אן אויסשטעל פון פּענרויס סארט טיילס.

***

viewtopic.php?p=430041#p430041

א ריזיגן שכויעך פאר׳ן מהנה זיין דעם עולם דא מיט אזעלכע אינטערעסאנטע סוביעקטס. אויב איך מעג, און טאמער איר קענט, וואלט איך געבעטן אז איר זאלט שרייבן די ענגלישע ווערטער (וואס האבן נישט קיין יודישע אפטייטש) אין ענגליש.

איך גלייב נישט אז ס׳איז דא איינער וואס קען נישט די ענגלישע בוכשטאבן, און סתם איבערשרייבען די ענגלישע ווערטער מיט יודישע אותיות מאכט עס מיר גאר שווער צו לייענען און פארשטיין.

בין איך די איינציגסטער?

מי אני: ייש"כ פאר מיטטיילן מיט דעם פראסטן המון עם די גאר עמקות'דיגע סוגיא פון טיילינגס. (נישט ח"ו די טיילונג פון אונגארן.). איך האב געמוזט מפסיק זיין אינמיטן צו גיין נעמען 2 טיילענאל. ווייל דער קאפ האט מיר געשווינדלט.

אעפ"כ. האביך א קשיא אויף דיינע הייליגע דיבורים. בתוך הדברים רעדסטו איבער א..."2 דיימענשיאנאל קיוב"...דאס איז דאך א תרתי דסתרי. ווייל א קיוב איז ביי דעפינישן 3 דיימענשיאנאל...! תיקו...תשבי יתרץ קושיות ואיבעיות...!

חתן בחור האט געשריבן:א ריזיגן שכויעך פאר׳ן מהנה זיין דעם עולם דא מיט אזעלכע אינטערעסאנטע סוביעקטס. אויב איך מעג, און טאמער איר קענט, וואלט איך געבעטן אז איר זאלט שרייבן די ענגלישע ווערטער (וואס האבן נישט קיין יודישע אפטייטש) אין ענגליש.

אויב האסטו מורא אז אויף דעם מהלך וועלן דיינע ארטיקלען זיין מער ענגליש ווי אידיש קענסטו שרייבן אין אידיש און צולינקען צום ענגלישן וויקיפעדיע. (אני הק' פארשטיי סייווי נישט קיין ווארט אזוי צו אזוי, כ'רעד למען החכמים דא וואס פארשטיין יא.)

berlbalaguleh האט געשריבן:בתוך הדברים רעדסטו איבער א..."2 דיימענשיאנאל קיוב"...דאס איז דאך א תרתי דסתרי. ווייל א קיוב איז ביי דעפינישן 3 דיימענשיאנאל...! תיקו...תשבי יתרץ קושיות ואיבעיות...!

איך מיין צו זאגן אז די סוגיא פון טיילינגס קען בעצם אנגיין ביי 3D, וממילא (למשל) קיוּבּס בתוך 3D ספּעיס, אויך. אין די אשכול וויל איך אבער נאר רעדן פון 2D. איך אנטשולדיג זיך אויב ס׳איז נישט געווען גענוג קלאר ארויסגעברענגט.

מי אני: איך האב אליינס אויך פארשטאנען אז ס'איז נאר א..."שיגרא דלישנא"... אבער ס'איז גענוג אויף זיך אנטשעפען אויף עפעס...לאל...!

אין דעם איז דא דעם געדאנק פון די היִשׁ נומער. דאס מיינט אז איך וויל וויסן ביי טיילינג וויפיל לעיערס/שיכטן פון די זעלבע שׁעיפּ קענען ארומנעמען דאס שׁעיפּ אנע געפּס. למשל, ביי א סקווער קען איך דאס ארומנעמען מיט אן אינפיניט צאל פון שיכטן פון סקווערס. איך הייב אן מיט איין שיכט פון סקווערס ארום דעם איינעם סקווער און נאכדעם א צווייטע גרעסערע שיכט פון סקווערס ארום דעם פריערדיגן שיכט, וכן הלאה. ווידעראום ביי א סירקעל קען איך דאס ניטאמאל ארומנעמען איין מאל מיט סירקעלס; עס וועט לאזן געפּס.

די פראגע פון אוועקשטעלן די היִשׁ נומער ווערט אינטרעסאנט ביי אזעלכע אירעגוראלע שׁעיפּס. למשל, ביי די שׁעיפּ אין די בילד:

האט מען פעסטגעשטעלט אז די היִשׁ נומער איז 5. די איינע ווייסע שׁעיפּ אינדערמיט איז וואו מ׳האט אנגעהויבן. די נעקסטע שיכט איז אביסל טונקעלער, מיט די דריטע נאך טונקעלער אא״וו. די פיפטע שיכט איז אומעגליך ארומצונעמען אנע געפּס מיט די זעלבע שׁעיפּ. דאס איז די גרעסטע פיניט היִשׁ נומער וואס מ׳ווייסט פון.


דאס האט א היִשׁ נומער פון 4.

מ׳טוהט קאנדזשעקטשורן אז אלע נומערן זענען היִשׁ נומערן פאר עפעס אן אירעגולארע שׁעיפּ. מ׳ווייסט אבער נאר פון שׁעיפּס ביז היִשׁ נומערן פון 5.

בנוגע עיפּעריאדישע טיילינגס האט מען אלס געפרעגט צו ס׳איז שייך אן ״איינשטיין״ טייל, על שם ״איין שטיין״, וואס מיט נאר איין טייל זאל מען קענען טיילען דעם גאנצן פּלעין אבער עס זאל אויסקומען נאר עיפּעריאדיש (די ווייניגסטע ביי די פּענרוֺיס טיילינגס פארלאנגט צוויי סארט טיילס). מ׳האט מברר געווען אז עס איז דא א ספעציפישע טייל, וואס מ׳רופט דאס סאקאלאר-טעילאר טייל, וואס קען טיילן די גאנצע פּלעין און נאר עיפּעריאדיש. עס איז אבער אן אינטרעסאנטע דיסקאנעקטעד טייל כזה:

דאס הייסט אז הגם עס זעהט אויס ווי אפאר שטיקלעך איז עס אבער איינס, וויבאלד אויב דריי איך עס דרייט זיך אטאמאטיש די אנדערע שטיקלעך וואס זענען נישט ממש קאנגרוענטלי באהאפטן דערצו.

דא איז א חלק שוין געטיילט דערמיט:

אין דעם איז אויך דא א סוג פון אייסאָהעדראל טיילינגס. דאס זענען טיילינגס וואו די טיילינג ווערט געמאכט מיט איין סארט טייל [מאנאָהעדראל] און ווי אזוי מ׳זאל עס צוטיילן וועט אויסקומען אז איין טייל סעגמענט דערין צוזאמען מיט׳ן קאנטעקסט פון אירע ארומיגע קען איך געהעריג פארטוישן צו עני אנדערע טייל מקום. דהיינו, למשל די סארט סקווער טיילינגס וואס זענען דא אין חדרים צו וואו אימער, איז אייסאָהעדראל ווייל איך קען רוקן עני שורה סעגמענט אויף אן אנדערע און אנהאלטן די פּעטערן/טיילינג וכו׳.

דערנאך זענען דא אַניסאָהעדראל טיילינגס. דאס זענען טיילינגס וואו הגם עס איז נאר צאמגעשטעלט פון איין סארט טייל איז אבער די טיילינג געמאכט אזוי אז עס נישט דא קיין וועג ווי אזוי צו רוקען עני סעט פון טיילס דערין אויף א צווייטן סעט. למשל:

ביי דעם, הגם די רעקטענגעל טייל ווען עס איז געמאכט אלע גראד קען איך אריבערפירען גאנצעטע חלקים איינס אויפ׳ן צווייטן אין עס וועט אנהאלטן די זעלבע [עס איז טראנסיטיוו, איז אבער אין אזא פאל קען איך נאר אריבערריקן איין רעקטענגעל טייל צו אן אנדערע רעקטענגעל טייל, אפילו עס איז אין די זעלבע אריענטאציע [אויף, למשל, ארויף אין די לענג], נאר צו די ערשטע אדער דריטע און נישט די מיטעלסטע; ווען יא זעהט עס אויס ווי אין פיגור 2. דאס קען מען באטראכטן אז בעצם שפילן די רעקטענגעל טיילס איינס פון צוויי ראלעס אינעם טיילינג: אדער ״דרויסענדיגע״ [די ערשטע און דריטע אין יעדע קעסטל סעט] אדער ״צווישענדיגע״ [צווייטע].

עס זענען דא טיילס וואס מיט זיי קען מען נאר מאכן אַניסאָהעדראל טיילינגס. למשל:

אדער:

די וועלן אלעמאל מוזן האבן טאקי די זעלבע איינע טייל וואס שפילט אבער צוויי ראלעס: די וואס גייען ישר און די וואס גייען הפוך אריינצוגיין אין די לעכער פונעם ערשטן.

עס זענען אויך שייך העכערע אָרדערס פון אַניסאָהעדראל טיילס, וואו די זעלבע איינע טייל שפילט דריי אדער מער ראלעס. למשל, דאס איז א 3-אַניסאָהעדראל טייל:

און דאס איז א 4-אַניסאָהעדראל טייל:

דער מאטעמאטיקער דוד הילבערט, אין א חלק פון די אכצענסטע פון זיינע 23 אפענע מאטעמאטישע פראבלעמען וואס ער האט פארגעשטעלט אין 1900, האט געפרעגט צו ס׳איז דא אזא סארט אַניסאָהעדראל טייל שׁעיפּ אין 3D [א פּאליהידראן]. מ׳האט אויפגעוואוזן אז יא.

עס זענען דא סארטן טיילס וואס מען רופט פּאַליאַמינוֺיס. דאס זענען שטיקלעך/טיילס וואס זענען באהאפטן/צאמגעשטעלט פון א געוויסע צאל שטיקלעך. למשל, די שטיקלעך אינעם באקאנטן טעטריס שפיל, און דעם דאַמינוֺי וואס איז צאמגעשטעלט פון צוויי באהאפטענע קעסטעלעך. איין אזא סארט שטיקל איז דעם טראַמינוֺי, וואס איז צאמגעשטעלט פון דריי באהאפטענע קעסטעלעך.

א טראַמינוֺי איז א סארט טייל וואס איז א רעפּ-טייל. דאס הייסט אז די טייל אליין קען ווערן צאמגעשטעלט פון מערערע קלענערע טיילס פון זיך אליין. נאך דעם קען איך רעכענען דעם אָרדער פונעם רעפּ-טייל, והיינו צום ווייניגסטענס וויפיל פון די טיילס וועל איך דארפן צו שאפן דעם זעלבן שׁעיפּ אין גרויס. דא זענען אפאר משלים (עס זענען דא אין דעם פּסוּדאָ-פּאַליאַמינוֺיס, והיינו פּאַליאַמינוֺיס וואס זענען נאר באהאפטן אין זיך ביי די עקן ‏(נישט ארטאגאניש) ):

דאס האט כמובן א שייכות מיט פרעקטעלס און עס איז שייך אפילו ביי טעראַגאָניק שׁעיפּס, והיינו שׁעיפּס וואס האבן אינפיניט זייטן.

אין דעם איז דא גאָלאָמבּ׳ס טראַמינוֺי טעארעם וואס לויטעט אז אויב האב איך א סקווער וואס די לענג פון אירע זייטן זענען א פּאַוּער פון 2 [אז איך קען צוקומען צו דעם נומער דורך צולייגן צו 2 א גאנצע נומער אלס א פּאַוּער/עקספּאנענט] און איך לאז אויס איין קעסטל דערין [פונעם שטח] וועל איך דאס קענען גענצליך טיילען מיט טראַמינוֺיס אין זייער L שׁעיפּ. למשל כזה:

מ׳האט אויסגעברייטערט דעם געדאנק פון רעפּ-טיילס, וואס זענען מיט די זעלבע טיילס גופא, צו זעלבסט-טיילינג סעטס, וואס זענען מערערע טיילס וואס טיילען זיך איינע צום אנדערן.

למשל, אין די בילד הייבט מען אן מיט די 4 מיטעלסטע שטיקלעך [אן ״אָרדער״ פון 4], וואס זענען יעדעס איינס דעקאַמינוֺיס; צאמגעשטעלט פון 10 קעסטעלעך. דערנאך קענען די 4 שטיקלעך צוזאמען צאמשטעלן גרעסערע קאָפּיעס פון יעדעס איינס פון די 4 שׁעיפּס וואס זיי אליין זענען. דא ווערט עס גערופען ״פּערפעקט״ וויבאלד אלע אריגינעלע שטיקלעך זענען אנדערע שׁעיפּס. אויב זענען צוויי פון זיי צי מער די זעלבע שׁעיפּס איז עס ״אימפּערפעקט״.

דאס קען מען ווייטער אויסברייטערן צו ״לוּפּס״. דהיינו, דא איז אינעם עצם סעט גופא שאפן די קלענערע שטיקלעך צוזאמען א גרעסערע שׁעיפּ פון איינע פון די אריגינעלע קלענערע שׁעיפּס. א ״לוּפּ 2״ באדייט אז איך האב 2 סעטס פון קליינע שטיקלעך און אלע קליינע שטיקלעך פון איין סעט קענען צוזאמען שאפן אלע שׁעיפּס אין גרויס פון די אנדערע סעט. למשל כזה:
וכן הלאה, למשל פאר דריי סעטס שהיא ״לוּפּ 3״ וכו׳ וכו׳.

אין דעם סוגיא איז אויך דא דעם מיוּטילעיטעד שאך-ברעט פראבלעם. דאס פרעגט אז טאמער שנייד איך אוועק די צוויי עקן/קעסטעלעך אויף א [8-ביי-8] שאך-ברעט וואס זענען באלכסון איינע פונעם צווייטן, קען איך דאס אינגאנצן טיילען מיט דאַמינוֺיס? די תירוץ דערויף איז ניין. דאס איז וויבאלד יעדעס דאַמינוֺי, וואס זענען צוויי באהאפטענע קעסטעלעך, וועט מוזן באדעקן סיי איין ווייסע קעסטל און סיי איין שווארצע קעסטל. און וויבאלד מ׳האט דאך אועקגעשניטען צוויי קעסטעלעך פונעם זעלבן קאליר בלייב איך איבער מיט 30 קעסטעלעך פון איין קאליר און 32 פונעם אנדערן קאליר; עס איז נישט אייניג צוטיילט אז די דאַמינוֺיס זאלן דאס קענען באדעקן. דער מאטעמאטיקער דר. רעלף גאָמאָרי האט אויפגעוואוזן אז טאמער שנייד איך אוועק צוויי קעסטעלעך דערין וואס זענען איינס שווארץ און איינס ווייס, וועל איך דאס יא אלעמאל קענען אינגאנצן טיילן מיט דאַמינוֺיס.

דאס איז א היִטאָמעזאַשׁיִ סטישטיִנג. דאס איז ווען איך שטעל אויס א סטיטש אויף א ברעט בדילוג - אויב הייב איך אָן מיט א סטיטש איז די נעקסטע מקום אפען און די מקום דערנאך פארמאכט און די מקום דערנאך אפען וכן הלאה והלאה. איך שטעל אויס רענדאָמלי ״0״ס און ״1״ס בשתי ובערב - אויב איז עס א 0 דאן איז די ערשטע מקום אפען און דערנאך פארמאכט וכו׳ וכו׳, און אויב איז עס אן 1 דאן איז פארקערט; די ערשטע מקום פארמאכט און דערנאך אפען וכו׳ וכו׳. דאס טוה איך כנ״ל סיי בשתי און סיי בערב. עס קומען אויס רענדאם פּעטערנס דערין דערנאך ווען איך קאליר עס אריין. עס קומט אויס אז ווי העכער די פּראַבּעבּיליטי איז אז עס זאל זיין אויף א זייט אפען אדער פארמאכט אלס מער מסודר איז די פּעטערן וואס קומט אויס.

עס איז ידוע אז יוּקליד האט אוועקגעשטעלט 5 אקסיאמען פון דזשיאמעטרי אין זיין עלעמענטס. זיי זענען:

1). אז צוויי פונקטן אויף א פּלעין קענען ווערן באהאפטן מיט א גראדע ליין

2). אז עני גראדע ליין איך האב קען איך בעצם לענגער מאכן ווייטער גראד

3). א סירקל האט א רעידיאוס; פון איר וואנט ביז׳ן סענטער

4). אלע 90⁰ דעגרי ענגעלס [רייט ענגעלס] זענען בעצם די זעלבע

5). אויב האב איך א ליין וואס גייט דורך צוויי אנדערע ליינס און וואו עס גייט זיי דורך מאכט עס ביי ביידע אַן ענגעל ווייניגער ווי 90⁰ דעגרי ביי יעדעס איינס, אזוי אז צוזאמען זענען זיי ווייניגער ווי 180⁰, דאן וועלן זיך די צוויי אריגינעלע ליינס צוזאמען טרעפן ערגעצוואו דארט אויף יענע זייט פון דאס שאפונג פון די עקיוּט ענגעלס

אן אנדערע (פשוט׳ערע) פארמולאציע פון דעם פיפטן אקסיאם, פונעם מאטעמאטיקער דזשאן פּלעיפעיר, איז: אז אויב האט מען א ליין און א פונקט וואס איז נישט אויפ׳ן ליין קען מען צום מערסטענסט מאכן איין גראדע (אינדעפיניט) ליין דורך דעם פונקט וואס זאל זיין פּאראלעל צום אנדערן ליין; אָן טרעפן דעם אנדערן ליין עווענטועל

מען האט אלס געקלערט אז די פיפטע, די פּאראלעל פּאַסטולעיט, איז קאי וקיים פונקט אזוי ווי די אנדערע פיר; עס קען נישט געמאלט זיין א דזשיאמעטרי וואו דאס האלט נישט. מען האט אבער אויפגעוואוזן אז דאס האלט נאר אין ״יוּקלידיען״ דזשיאמעטרי וואו די פּלעין אליין איז ״פלאך״ - עס זענען אבער דא אנדערע סארטן קאָנסיסטענט דזשיאמעטריס וואו די ערשטע פיר אקסיאמען האלטן אבער נישט די פיפטע.

איינע פון די סארט דזשיאמעטריס איז הייפּערבּאַליק דזשיאמעטרי וואו די עצם פּלעין האט א נעגאטיווע קוּרוועטשוּר. וואו מ׳קען זעהן קען מען מאכן דערויף מער ווי איין פּאראלעל ליין צו אַן אנדערן ליין; זיי דרייען זיך אוועק. (כידוע איז דאס בעצם די דזשיאמעטרי פונעם יוּניווערס און ספּעיס על הכלל כולו עפ״י דזשענעראל רעלאטיוויטי.)

לדוגמא, אין הייפּערבּאַליק דזשיאמעטרי איז די פיפטע אקסיאם אז אויב האט מען א ליין און א פונקט נישט אויף דעם ליין דאן איז דא כאטש צוויי באזונדערע אנדערע ליינס וואס לויפן דורך דעם פונקט וואס גייען זיך נישט טרעפן מיט דעם ערשטן ליין.

‏(אגב, עליפּטיק דזשיאמעטרי איז א נאַן-יוּקלידיען דזשיאמעטרי וואו די עצם פּלעין האט פּאזיטיווע קוּרוועטשוּר.)

עפ״י די פּוֺינקארעי דיסק מאדעל בזה, דאס צו מער וויזשוּעלייזן בתוך אונזער יוּקלידיען דזשיאמעטריק פלאכע פּערסעפּשאן פון אלעס, איז ווי ווייטער מ׳גייט פונעם ״סענטער״ אלס מער דענס ווערט עס ביי די ווענט; עד אינפיניטי. וממילא ווערט די לענג פון א ליין אלס לענגער ווי ווייטער עס איז פונעם סענטער. דעריבער קומט אויס אז א ליין וואס דרייט זיך אויף אריין צום סענטער וואו עס איז ווייניגער ״דענס״ איז קורצער ווי א גראדע ליין דערין (א דזשיאָדעסיק). עס קומט אויך אויס עפי״ז אז בתוך זה גייט די עריע פון א פּאַליגאַן זיין תלוי נאר אין די ענגעלס וואס די ליינס מאכן.

ולפי״ז קומט אויס אז א הייפּערבּאַליק טעסעלעישאן/טיילינג וועט אויסזעהן אין די מאדעל כעי״ז:

דאס איז ווי אזוי דער ארטיסט מאריטץ עשער האט דאס געוואוזן אין זיין אַרט:

בנוגע טעסעלעישאנס איז דא די געדאנק וואו מ׳נוצט א פּעטרי פּאַליגאַן. דאס איז ווען איך רעכען ביי א טעסעלעישאן אזוי אז נאר צוויי עדזשעס/ליינס דערפון אין א צי רירן אָן די פנימער פון איין שׁעיפּ בשעת די דריטע שוין נישט.

דא זעהט מען די געדאנק ביי טעסעלעישאנס - די בלויע ליין דערין:


ווען עס קומט אויס אז מ׳קומט צוריק, לפי די סדר פון נאר צוויי צום זעלבן שׁעיפּ וכו׳, צו וואו מ׳האט אָנגעהויבן דאן נאך אזויפיל מאל זיך דרייען איז דאס די קאַקסעטער נומער דערפון.

לגבי גענצליך טיילן א (גאנצע/רעקטענגולער) שאך-ברעט מיט דאַמינאָס איז דא אין דעם די פישער-קעסטעלעין-טעמפּערלי [FKT] אלגאריטם וואס געבט וויפיל מעגליכע וועגן עס איז דא דאס צו טוהן. דאס איז א סיריִס כזה: דאס זאגט אז איך האלב פון די לענג פאר איין סיריִס און האלב פון די ברייט פאר׳ן אנדערן סיריִס (אויב קומט עס אויס צו א האלבע נומער רעכען איך עס ארויף צום נעקסטן גאנצן). דערנאך רעכען איך k און לייג/plug דאס אריין אינעם סיריִס אָנגעהויבן פון 1 ביז די האלב פונעם ברייט, און j אָנגעהויבן פון 1 ביז די האלב פונעם און לענג און און לייג/plug דאס אריין אינעם סיריִס, און איך מאָלטיפּליי צוזאמען אלע סארט קאַמבּינעישאנס ווי אזוי דאס קען אויסקומען. עס גייט ארויסגעבן א גאנצע נומער [פּאזיטיוו אינטעדזשער] וואס דאס איז די צאל טיילינגס מיט וועלכע איך קען דאס טיילן מיט דאַמינוֺיס.

דאס איז די זעלבע ווי ציילן די פּערפעקט מעטשינגס אין גרעף טעאריע ביי א לעטיס [געקעסטעלטע] גרעף.

מ׳קען געוואור ווערן די צאל טיילינגס פון עני סארט שאך-ברעט מיט דאַמינוֺיס, אפילו וואו ס׳איז נישט רעקטענגולער אבער אבי עס האט די זעלבע צאל שווארצע און ווייסע קעסטעלעך כנ״ל און האט נישט קיין לעכער בתוכה. דאס איז אז איך געב א נומער צו יעדעס שווארצע קעסטל אָנגעהויבן פון 1. און איך געב אויך א נומער צו יעדעס ווייסע קעסטל אָנגעהויבן פון 1. דערנאך שטעל איך דאס אויס און א טשאַרט; די ווייסע נומערן אין די הייך און די שווארצע נומערן אין די ברייט (או להיפך). וואו אימער א שווארצע נומער איז נעבן א ווייסע נומער אין די לענג אויפ׳ן שאך-ברעט, מאך איך אויפ׳ן טשאַרט אַן 1. און וואו זיי זענען נעבן אין די הייך, מאך איך דארט אַן i אלס׳ן אימעדזשינערי נומער. אין די איבעריגע פלעצער לייג איך א 0. דאס איז דאך א מעיטריקס און ווען איך נעם די דיטערמינענט דערפון איז די נומער וואס איך באקום (איגנארירענדיג די נעגאטיוו און i) די צאל טיילינגס מ׳קען מאכן דערין מיט דאַמינוֺיס.

יעצט, עס איז דא בעצם 4 וועגן וויאזוי א דאַמינוֺי באדעקט און טיילט די צוויי שאך-ברעט קעסטעלעך אויף וואס זי ליגט: 2 אין די לענג און 2 אין די הייך. והיינו, אין די ברייט איז עס אדער אז די שווארצע קעסטל איז צום רעכטן זייט און די ווייסע צום לינקן אדער פארקערט, און אין די הייך איז עס אז אדער איז די שווארצע קעסטל איז אויבן און די ווייסע אונטן אדער להיפך.

אין דאס אלעס איז דא די געדאנק פון אַן עזטעק דימאנט. דאס איז ווען איך הייב אָן מיט א שאך-ברעט פון 4x4 קעסטעלעך און דערנאך לייג איך ארום דעם קעסטעלעך און איך שנייד אוועק די 4 קעסטעלעך פון די עקן. איינמאל איך האב דאס לייג איך פשוט יעצט ארום איר גבול נאך קעסטעלעך און נאר וואו עס זענען דא קעסטעלעך. אזוי ווערט עס א דימאנט שׁעיפּ. וויפיל מאל איך טוה דעם פראצעדור פון ארומלייגן ארום איר קעסטעלעך און מאכן גרעסער, דאס איז איר אָרדער (די ערשטע איז ווען עס איז א פשוט׳ע 4x4). דאס איז עס ביים פערטן מאל/אָרדער: די עזטעק דימאנט טעארעם לויטעט אז די צאל דאַמינוֺי טיילינגס וואס מ׳קען מאכן דערויף איז 2 געהעכערט צום עקספּאָנענט פון האלב די אָרדער פונעם דימאנט טיימס איינס העכער די אָרדער. עס איז אויך דא דערין די אַרקטיק סירקעל טעארעם וואס לויטעט אז לפי די 4 וועגן הנ״ל א דאַמינוֺי קען טיילן א שאך-ברעט, ווען מען טיילט די דימאנט מיט דאַמינוֺיס ביי רענדאם וועלן די דרויסענדע 4 עקן פונעם דימאנט אלס ווערן ״אריינגעפרוירן״ מיט יעדעס איינע אַן אנדערע פון די 4 וועגן פון טיילינגס (און איך קאליר יעדעס סארט וועג אַן אנדערע קאליר), און אינדערמיט וועט אויסזעהן בערך ווי א סירקעל. ווי העכער די אָרדער פונעם דימאנט ווערט, אלס מער וועט די אינדערמיט אויסזעהן ווי א סירקעל. כזה: די צאל וועגן ווי אזוי צו טיילן דעם דימאנט איז 2 צו די פּאַוּער פון די אָרדער וואס עס איז.

ביי העקסעגאנס קומט אויך אויס ענליך. והיינו, ווען איך האב א העקסעגאן וואס איך טייל מיט לאזענגעס, וואס איז א סארט דימאנט שׁעיפּ, קען איך אויסשטעלן די טייל אין דריי סארט וועגן: עס קומט אויס אז א רענדאם טיילינג פון דעם אין א העקסאגאן וועט אויך שאפן א סירקעל אינדערמיט, מיט די יעדע איינס פון די דריי וועגן פון דאס טיילן קאנצעטרירט און "פארפרוירן" ביי צוויי פון די זעקס עקן פונעם העקסאגאן, כזה (די דריי סארטן זענען אין דריי אנדערע קאלירן): עס קומט אויס אז אלעמאל, נישט קיין חילוק ווי גרויס און ווי סאך מ'דארף דאס טיילן, גייט יעדעס איינס פון די דריי וועגן האבן די גענוי זעלבע צאל טיילס דערין.

אין acoustics, די שטודיע פון קול, איז דא די געדאנק פון טשלאדני פּלעיטס. דאס איז ווען מען גיסט זאמד אויף א פלאכע אייזן און דערנאך ״שפילט״ מען דאס אזוי ווי א פידל. די זאמד וועט זיך נעמען שאקלען און זיך אויסשטעלן אין (סימעטריקעל) פּעטערנס, וואס וועלן זיין עפ״י די סיניוּסוידעל וועיוו(ס) און שׁעיפּס (שאינם נראים לעינים) וואס די ״שפילן״ מאכט אויפ׳ן פּלעיט. דאס איז עפ״י טשלאדני׳ס געזעץ: והיינו, m זענען די גראדע ליניעס וואס דאס שאפט און n זענען די רינדיכיגע. די C און די p עקספּאָנענט ווענדן זיך אין די דזשיאמעטריק פּראַפּערטיס פונעם פּלעיט. ווי שטערקער און גרעסער די פריקווענסי פון די שאקלען/וועיווס זענען, אלס מער קאמפליצירט ווערן די שׁעיפּס וואס ווערן געשאפן.

לגבי טיילינגס איז דא די טרוּשׁעט טייל. דאס איז א טייל וואס איז סיי שווארץ און סיי ווייס, אזוי אז יעדעס עק איז אנדערש קאלירט ווי די צוויי עקן דערנעבן: אין דעם איז דא די בּאגאלמאני-שמיט קאָנדזשעקטשור וועלכע איז מקשר די צוויי געדאנקען. דאס זאגט אז ווען איך נעם א סקווער גרעף לעטיס און קאליר יעדעס איינס פונקט דערין שווארץ אדער ווייס, אזוי אז קיין איין קאליר זאל נישט זיין דאס זעלבע ווי די פונקטן ארום איר. עפי״ז קומט אויס אז פון די פיר סארטן סקווער טרוּשׁעט טיילס איז אין יעדעס סקווער ארומגענומען מיט פיר פונקטן האב איך א ברירה פון צוויי טרוּשׁעט טיילס וואס איך קען דארט אריינשטעלן אזוי אז עס זאל שטימען מיט די קאלירן פון די פיר פונקטן ביי די גבולים: די קאָנדזשעקטשור איז אז טאמער טיילט מען דאס רענדאם אזוי אויף אזא לעטיס, והיינו אז ביי יעדעס סקווער וועהל איך ביי רענדאם איינס פון די צוויי ברירות, וועט דאס ביי א גרויס לעטיס אויסקומען בערך דאס זעלבע ווי א גרויסע טשלאדני פּלעיט מיט א הויכע וועיוו; א רענדאם טשלאדני פּלעיט.

עס איז דא א סיִקווענס וואס ווערט גערופן די קעטעלען נומערן. דאס איז אז ביי יעדעס פלאץ אין די סיִקווענס נעם איך צוויי מאל די פלאץ נומער און פון דארט נעם איך די פעקטאָריעל דערפון. דערנאך דיווייד איך דאס ביי די פעקטאָריעל פון איינס מער ווי דעם נומער פלאץ טיימס די פעקטאָריעל פונעם פלאץ נומער. די ערשטע פאר נומערן אין דעם סיִקווענס זענען:
1,2,5,14,42,132

עס זענען דא אסאך פלעצער ווי די נומערן קומען צונוץ. לדוגמא, ווען איך האב א שׁעיפּ וואס האט 2 מער זייטן ווי די פלאץ נומער אינעם קעטעלען סיִקווענס, און איך וויל צוטיילן די שׁעיפּ אין צו טרייענגעלס דורך ליניעס וואס לויפן פון איין עק צו אַן אנדערן אָן איין ליניע זאל דורכגיין אַן אנדערע, דאן איז די צאל טרייענגעלס וואס איך וועל באקומען 2 ווייניגער ווי די צאל זייטן די שׁעיפּ האט. די צאל פארשידענארטיגע וועגן וויאזוי איך קען מאכן די טרייענגעלס און דאס צוטיילן אין צו די 2 ווייניגער ווי די צאל זייטן, איז די קעטעלען נומער ביי יענעם פלאץ אינעם סיִקווענס פון וויפיל טרייענגעלס איך באקום. דאס איז א משל ביי א העקסאגאן וואס האט דאך 6 זייטן וממילא באקום איך 4 טרייענגעלס. די פערטע קעטעלען נומער איז 14 און עס איז דא 14 וועגן דאס צו טוהן: ווי אויך טאמער האט מען א צאל טיילס וואס זענען רעקטענגעלס (זיי קענען זיין סקווערס אויך) און איך וויל מיט זיי טיילן א טרעפּ שׁעיפּ וואס די הייך דערפון (און טערמינען פון די קלענסטע ברייט פון א רעקטענגעל טייל וואס מ'האט) איז אזוי הויך ווי די צאל טיילס מ'האט, איז די צאל וועגן ווי אזוי עס איז שייך צו ווערן געטיילט אזוי מיט עני אופן פון רעקטענגעל טיילס, איז די קעטעלען נומער ביי יענעם פלאץ אינעם סיִקווענס פון וויפיל טיילס מ'האט. דא איז א משל מיט 4 טיילס און א הייך פון 4, וואו עס איז דא 14 וועגן דאס צו מאכן וואס איז די פערטע קעטעלען נומער:

לגבי עיפּעריאדישע טיילינגס האט דר. סידהאַרטאַ בּאַטאַטשראַיאַ אויפגעוואוזן אז הגם עס איז שייך צו האבן איין מין טייל וואס קען אליינס טאקע טיילן דעם גאנצן 2D פּלעין און דאס טוהן נאר עיפּעריאדיש, איז דאס אבער נאר טאמער קען מען דרייען דעם טייל אין אלע מיני וועגן ווען איך נוץ דאס. טאמער נישט איז נישט במציאות צו האבן נאר איין מין טייל און מען זאל נאר קענען דערמיט טיילן די פּלעין עיפּעריאדיש. מ'האט קאָנדזשעקטשורד אז דאס זעלבע גייט האלטן אין העכערע דיימענשטאנס ווי 2D. דר. רחל גרינפעלד און דר. טערענס טאַוּ האבן אבער געצייגט אז עס איז יא שייך אין גרעסערע דיימענשאנס אז מ'זאל האבן נאר איין טייל אָן דאס קענען דרייען און עס זאל נאר קענען טיילן דעם שטח עיפּעריאדיש.

זיי האבן אויך צוזאמען געהאט געצייגט אז ווען מען האט א פאר טיילס אין העכערע דיימענשאנס איז עס אַן אָנדעסיידעבּל פראבלעם מברר צו זיין צי זיי קענען אינגאנצן טיילן דעם שטח. מיינענדיג אז עס איז נישטא קיין אלגאריטם דאס מברר צו זיין. לגבי ווען מען האט נאר איין טייל ווייסט מען אז טאמער וואלט די קאנדזשעקטשור געווען אמת דאן איז יא דא אַן אלגאריטם מברר צו זיין צי עס קען טיילן דעם גאנצן שטח (פּעריאדיש) אין העכערע דיימענשאנס. אבער דאס אז עס איז נישט אמת באדייט נאך נישט איר אינווערס אז עס איז נישטא אזא סארט אלגאריטם פאר איין טייל.

א בילד וואס דר. גרינפעלד האט גענומען איבער ווי דר. טאַוּ שפילט זיך מיט זיינע קינדער'ס שפילצייגן צו העלפן טראכטן איבער טיילינגס:

לכבוד די ניי יאר האט דער מאטעמאטיקער דר. עד סאַוּטהאָל ארויפגעשטעלט אז עס זענען פארהאן 2,023 וועגן פון (פונקטליך און גענצליך) טיילן א 4x4 סקווער מיט טראַמינוׂיס (וויפיל מ'וויל) אינעם שׁעיפּ פון אַן L און מאַנאַמינוׂיס (וויפיל מען וויל): און אז מ'רעדט שוין פונעם נייעם יאר: פון דא.

ועוד: ועיין כאן.

מי אני האט געשריבן:בנוגע עיפּעריאדישע טיילינגס האט מען אלס געפרעגט צו ס׳איז שייך אן ״איינשטיין״ טייל, על שם ״איין שטיין״, וואס מיט נאר איין טייל זאל מען קענען טיילען דעם גאנצן פּלעין אבער עס זאל אויסקומען נאר עיפּעריאדיש (די ווייניגסטע ביי די פּענרוֺיס טיילינגס פארלאנגט צוויי סארט טיילס).

מ'האט אויפגעוואוזן די חודש אז עס איז יא דא אזא סארט קאָנעקטעד טייל. כזה:

ענליך צום געדאנק פון היִשׁ נומערן איז דא די געדאנק פון סוּראַוּנד נומערן ביי פּאַליאַמינוֺיס. דאס באדייט אז ווען איך האב א געוויסע פּאַליאַמינוֺי, איז וויפיל אנדערע וועגן איז פארהאן צו גענצליך ארומנעמען (איין מאל) אָנע געפּס די פּאַליאַמינוֺי מיט די זעלבע פּאַליאַמינוֺי. מ'האט אויפגעוואוזן אז יעדעס גאנצע נומער איז די סוּראַוּנד נומער פון עפעס א פּאַליאַמינוֺי. דא ברענגט דר. עריך פריעדמאן עטליכע משלים דערין.

די אלע פּאַליאַמינוֺיס האבן א סוּראַוּנד נומער פון 3: דאס זענען די סוּראַוּנד נומערן פון אפאר פשוט'ע פּאַליאַמינוֺיס: