קניפּ (Knot) טעאריע

[מי אני]

עס איז דא א פעלד אין מאטעמאטיקס וואס טוהט שטודירן די טאפּאלאגישע פּראַפּערטיס פון מיני וסוגי קניפּן. דאס רופט זיך נאַט (Knot) טעאריע.

א מאטעמאטישע קניפּ מיינט אז ביידע עקן זענען באהאפטן; עס איז א גאנצע לוּפּ. ולכן איז א פשוט׳ע סירקעל אויך בעצם א ״קניפּ״, הגם עס איז לגמרי טריוויעל און ווערט גערופן אַן ״אָננאַט״.

אויב קען מען דורכ׳ן פשוט דרייען א קניפּ, אָן דאס שניידן אדער אדורכלייגן א לוּפּ, מאכן אז עס זאל אויסזעהן ווי אַן אנדערע קניפּ, זענען פון א מאטעמאטישע פּערספּעקטיוו די צוויי דאס זעלבע מין קניפּ; זיי זענען אינוועריענט. עס איז טאקע אפטמאל שווער מברר צו זיין טאמער צוויי קניפּען זענען דאס זעלבע. די פראבלעם רופט דאס רעקאגנישאן פראבלעם. בפרט וואו מ׳וויל מברר זיין צי עפעס איז בכלל א קניפּ אדער איז עס בעצם דאס זעלבע ווי א סירקעל; די אָננאַטינג פראבלעם. כזה וואו אלע זענען בעצם דאס זעלבע סירקעל:

E8E66AC0-E197-4CFE-8401-4A7A4D5E0F8F.jpeg

ובזה, אויב קען מען אפטיילן די קניפּ אין צו צוויי (צי מער) אנדערע קניפּס, דאן איז דאס א פּריים קניפּ. דא איז א ליסטע פון די ערשטע פּאָר פּריים קניפּן:

D2D14C31-B5B1-4446-88FE-79105943D307.jpeg

‏דא איז א לענגערע ליסטע. די גרויסע נומער אונטער זיי ווייזט די קראָסינג נומער, והיינו וויפיל מאל עס גייט דורך/וויפיל קניפּן עס האט, און די קליינע איז די וויפילטע סארט אזא קניפּ עס איז (און דאס איז אָן רעכענען א שפיגל דערפון וואו רעכטס ווערט לינקס און פארקערט; וואס דאס איז דאך די זעלבע קניפּ כנ״ל)

עס איז דא דערין שׁוּבּערט׳ס טעארעם וואס לויטעט אז יעדעס קניפּ קען מען אָלטימעטלי מסביר זיין מאטעמאטיש אלס אדער א פּריים קניפּ אדער אלס א סומע פון פּריים קניפּן. (ענליך צו די פונדאמענטאלע טעארעם פון אריטמעטיק ביי פּריים נומערן בכלל.)

ווי מען קען זעהן איז ווי מער קראָסינגס א קניפּ האט, אלס מער פארשידענארטיגע סארטן פון די קניפּ מיט די צאל קניפּן זענען פארהאן.

מ׳נוצט קניפּ טעאריע אין מערערע מקומות אין סייענס און כעמיע.

[מי אני]

עס איז דא דערין די געדאנק פון א בּרוּניען לינק. דאס איז ווען איך האב אזא סארט קניפּ פון א אפאר קניפּן צוזאמען (עס איז א באהאפטענע קניפּ און נישט פּריים), וואס ווען איך מאך איין שניט דערין וואו אימער צופאלט דאס גאנצע (אין צו אָננאַטס/סירקעלס) אטאמאטיש. דאס זענען אפאר משלים דערין:

2F17C7A5-9A17-4CCF-BA1D-09FC8008AE8B.jpeg

8FE948ED-A4E7-4654-A713-5E65DBA86001.jpeg

C8962FDE-BD13-4C42-BF66-508F339A7E97.jpeg

די ערשטע רופט זיך די בּאראָמיען רינגס, על שם די בּאָראָמיאָ משפחה פון איטאליע אינעם מיטל-אלטער, וואס דאס איז געווען זייער סימבּאל. (עס זענען דא נוצרים וואס נוצן די סימבּאל פאר זייער שילוש.)

דא זעהט מען א בּרוּניען לינק וואו אפאר שלעסער צוזאמען, ווען איך עפען איינס פון זיי מאכט זיך די גאנצע אויף אטאמאטיש:

7FEEAC3E-B94C-485C-92D7-D7A4A9B6D6CF.jpeg

עס איז אויך דא די געדאנק ביי אַן אריגה; א בּרוּניען בּרעיד. דאס איז וואו איך נעם אוועק איין חוט בתוך האריגה וועט דאס גאנצע צופאלן. לדוגמא ביי דעם ווען איך נעם אוועק די שווארצע חוט:

89578E2A-E794-4845-84A3-D343730BDE0C.jpeg

‏עס איז דא בתוך מאטעמאטיקס א ברייטערע פעלד פון בּרעיד טעאריע.

[מי אני]

אין אינדיע און כינע איז דאס ענדלאזע קניפּ שטארק סימבאליש:

817EDCB6-5E5F-4857-938E-61630EE8E969.jpeg

אסאך קעלטיק קניפּן, פונעם אלטן איירישן/בּריטישן קולטור וסביבותיהם, זענען אויך פון די פאמיליע:

8785B9D6-55B3-4E50-9332-55B88362AF1D.jpeg

בתוך קניפּ טעאריע איז דאס בדרך כלל דאס זעלבע ווי די 7₄ קניפּ צוגעברענגט אינעם טאוועל אינעם ערשטן תגובה:

0FC3D961-C562-4A61-95A5-55C668DDD935.jpeg

[מי אני]

לגבי זעהן צי צוויי קניפּן זענען דאס זעלבע קען מען דאס זעהן מיט נאר מאכן דריי סארטן וועגן פון רוקן די שטריקן, גערופן ריידמייסטער רוקן. דאס ערשטע סארט איז ווען מ׳דרייט דאס אז עס זאל ווערן אויס א לוּפּ:

IMG_4600.jpeg

דאס צווייטע סארט איז ווען מ׳לייגט איין שטריק פשוט העכער דאס אנדערע:

IMG_4601.jpeg

און דאס דריטע איז ווען מ׳האט א קראָסינג וואס אונטער דעם אויף איין זייט פונעם קראָסינג לויפט א דריטע שטריק און מ׳רוקט דאס צום אנדערן זייט פונעם קראָסינג:

IMG_4602.jpeg

[מי אני]

די דערמאנטע פּריים קניפּן רעדן זיך אלע אין 3D. אין העכערע דיימענשאנס קען מען זיי יא "אויסקניפּן" אין צו דעם אָננאַט. דאס איז ענליך צום געדאנק אז צוויי פונקטן אויף א 1D ליין וועלן נישט קענען דורכגיין איינע דאס אנדערע, אבער אויב ברייטערט מען דאס אויס צו 2D דאן קען איין פונקט גיין העכער און ארום דאס אנדערע.

אבער אפילו אין 3D איז שייך אז מ'זאל קענען מאכן איינע פון די קניפּן אין צום געהעריגן סירקל/אָננאַט. דאס איז אויב האב איך צוויי ספירס/בּאָליס איינס אין אַן אנדערן אין די קניפּ איז באהאפטן פונעם גרעסערן צום קלענערן (אינעם בילד איז די קניפּ דעם 3₁ טרעפויל קניפּ):

Light Bulb Lemma.jpg

דאן, אזויווי ביי א לייט בּאָלבּ, קען איך אדורך רוקן דעם קליינעם אינגאנצן עס צו אויסקניפּן.

Light Bulb Lemma 1.jpg

Light Bulb Lemma 2.jpg

(עס דערמאנט אביסל פון דעם.)

[מי אני]

לגבי דעם אז אז עני 3D קניפּ קען מען אויסקניפּן אין 4D איז ווען דזשעימס מעקסוועל האט געהאלטן ביים שטארבן האט ער געשריבן די פאעזיע. ער רירט אָן מיט געקינצעלטע ווערטער איבער השארת הנפש ומציאות הא-ל (דאס ״אינפיניט״), אין רעאקציע צו צוויי בוכער וואס צוויי פיזיקער בימיו פּיטער טעיט און בּעלפאָר סטוּערט האבן געשריבן לחבר סייענס עם רעליגיע:

My soul’s an amphicheiral knot
Upon a liquid vortex wrought
By Intellect in the Unseen residing
While thou dost like a convict sit
With marlinspike untwisting it
Only to find my knottiness abiding
Since all the tools for my untying
In four-dimensioned space are lying
Where playful fancy intersperses
Whole avenues of universes
Where Klein and Clifford fill the void
With one unbounded, finite homaloid
Whereby the Infinite is hopelessly destroyed

But when thy Science lifts her pinions
In Speculation’s wild dominions
I treasure every dictum thou emittest
While down the stream of Evolution
We drift and look for no solution
But that of survival of the fittest
Till in that twilight of the gods
When earth and sun are frozen clods
When, all its matter degraded
Matter in aether shall have faded
We, that is, all the work we’ve done
As waves in aether, shall for ever run
In swift expanding spheres, through
heavens beyond the sun

Great Principle of all we see
Thou endless Continuity!
By thee are all our angles gently rounded
Our misfits are by thee adjusted
And as I still in thee have trusted
So let my methods never be confounded!
O never may direct Creation
Breach in upon my contemplation
Still may the causal chain ascending
Appear unbroken and unending
And where the chain is best to sight
Let viewless fancies guide my darkling flight
Through aeon-haunted worlds, in order infinite

ער האט דערנאך געשריבן אז די לעצטע דריי שורות זאלן געטוישט ווערן צו:

While Residents in the Unseen
Aeons or Emanations – intervene
And from my shrinking soul the Unconditioned screen

‏דא שרייבט דער מאטעמאטיקער דר. דניאל סילבּער דערוועגן.

[מי אני]

עס דארף באטאנט ווערן אז בתוך דעם פעלד פון קניפּ טעאריע איז דא א חילוק צווישן א ״קניפּ״, וואס איז ווען איין שטריק וכו׳ איז צאמגעקניפּט, און א ״לינק״, וואס איז ווען אפאר עקסטערע שטריקן זענען צאמבאהאפטען. אין דעם ״לינק״ קאטעגאריע זענען די פריער-דערמאנטע בּרוּניען לינקס.

א דוגמא דערפון איז די לינק וואס ווערט גערופן שלמה׳ס לינק:

IMG_4919.jpeg

[מי אני]

ענליך צו דאס וואס איז דא ביי גרעף טעאריע איז אויך דא ביי קניפּ טעאריע דעם געדאנק פון טרייקאָלאָרעבּיליטי. דאס איז אז איך האב א קניפּ, און איך קאליר יעדעס שטרעקע פון ווען די שטריק קומט ארויס פון אונטער די שטריק ביז עס גייט נאכאמאל אונטער, מיט אַן אנדערע קאליר. אויב קען איך דאס טוהן אזוי אז יעדעס מאל די שטריק גייט אונטער, זענען די דריי שטריקן דארט אנדערע קאלירן אדער דאס זעלבע קאליר, דאן איז די קניפּ טרייקאָלאָרעבּל.

דא איז א משל פון די גרעני קניפּ, וועלכע איז א באהאפטענע קניפּ, א סומע, פון צוויי טרעפויל קניפּן 3₁ וועלכע איך האב געשניטן דעם שטריק פון יעדעס איינס און דערנאך זיי באהאפטן. די גרעני קניפּ איז טרייקאָלאָרעבּל:

IMG_4917.jpeg

[מי אני]

IMG_5053.jpeg

ועיין כאן.

[מי אני]

דאס זענען ליסעדזשאס קוּרווס:

IMG_5735.jpeg

זיי ווערן געשאפן ווען מ׳שטעלט צאם א סיין קוּרוו מיט די זעלבע ענגעל׳ס קאָסיין. ווענדענדיג זיך אין די יחס/רעישׁיאוֺ פון די פריִקווענסיִ פונעם סיין לעומת דעם קאָסיין, וועט דאס אויסשטעלן די מיני קוּרווס. ווי מ׳זעהט, ווען די פריִקווענסיִס זענען די זעלבע, שאפט דאס א פּלעינע סירקעל (אדער צומאל אַן עליפּס/אָוועל אדער ליין). זיי אלע וועלן זיך עווענטועל פארמאכן אויב די יחס איז, לבסוף, א רעשאנעל נומער און נישט אירעשאנעל.

אויב האבן די קוּרווס אויך טיפקייט, וואו ס׳קען גיין אונטער/איבער, דאן זענען זיי ליסעדזשאס קניפּן. דאס איז א משל פון א ליסעדזשאס קניפּ פון ווען די רעישיאוֺ פונעם סיין צום קאָסיין איז 3:4.

IMG_5736.jpeg

***

IMG_5178.jpeg

[מי אני]

דורך ריידעמייסטער רוקן קען מען מאכן און ציייגן אז איין קניפּ איז דאס זעלבע בעצם ווי א צווייטע. די פראבלעם איז אז מ'האט אויפגעוואוזן אז די מערסטע ריידעמייסטער רוקן מ'וועט דארפן מאכן צו ווייזן אז צוויי קניפּן זענען בעצם דאס זעלבע, איז 2, וואס מ'געבט צו דעם אַן עקספּאָנענט פון 2, וואס מ'געבט צו דעם אַן עקספּאָנענט פון 2, וואס מ'געבט צו דעם אַן עקספּאָנענט פון 2, אא"וו אא"וו, ביז מ'ענדיגט מיט אַן עקספּאָנענט פון די סומע פון וויפיל מאל די קניפּן וואס מ'האט זייער שטריקן קראָסן און גייען זיך דורך. די צאל פון וויפיל מאל מ'געבט אַן עקספּאָנענט פון 2 כנ"ל, איז 1,000,000 מאל די צאל קראָסינגס, וואס דאס איז די עקספּאָנענט צו 10. כמובן, איז דאס אַן אסטראנאמישע סומע וואס מ'קען זיך ניטאמאל מצייר זיין בשכל.

עס איז דא נאך א וועג ווי אזוי מ'קען וויסן טאמער צוויי קניפּן זענען בעצם אנדערש, און דאס איז דורכ'ן זיי ביידע געבן אַן אלכסנדר פּאַלינאָמיִעל. דאס איז אז צום ערשט אָריענט איך דאס און געב איך די שטריק פונעם קניפּ א "וואָן-וועי" דירעקציע אין וועלכע דאס גייט. דערנאך לעיבּל איך יעדעס קראָסינג דערין וואו די שטריק גייט זיך דורך, און איך לעיבּל די שטחים אינדערמיט וואס עס שאפט דאדורך, ואפילו די שטח רינגסט ארום וואס ענהאלט דאס גאנצע קניפּ. עס קומט אויס אז עס וועלן אלעמאל זיין 2 מער שטחים ווי קראָסינגס וואס עס האט. דאס איז א משל ביים טרעפויל קניפּ, וואס האט 3 קראָסינגס וממילא 5 שטחים:

Trefoil.jpg

דערנאך שטעל איך אויס א מעיטריקס וואו די רוׂיס זענען די צאל קראָסינגס און די קאלומנס די צאל שטחים עס שאפט. דערנאך פיל איך אריין דעם מעיטריקס כזה: ביי יעדעס קראָסינג, די רוׂי, שטעל איך אויס דאס וואס די שטחים באקומען, אז אויב איז די שטח צו די לינקס און בעפאר די קראָסינג [עס גייט דאך אין א "וואָן-וועי" דירעקציע כנ"ל] וואו עס גייט זיך איבער דאן באקומט עס א t, און צו די רעכטס דערפון א t-. און די לינקע זייט פונעם שטריק וואו עס גייט דערנאך דורך א 1-, און די רעכטע זייט א 1. אויב די שטח איז בכלל נישט דארט נעבן דעם קראָסינג, באקומט עס א 0.

קראסינג.jpg

דערנאך נעם איך אוועק צוויי קאלומנס פון שטחים וואס זענען נעבן איינע דאס אנדערע, און איך נעם די דעטערמינענט דערפון. אויב זענען די צוויי דעטערמינענטס אנדערש (נאכן מאכן א סארט עוורידזש פון די דעטערמינענט דערפון ווענדענדיג זיך אין וועלכע צוויי קאלומנס מ'נעמט ארויס), דאן זענען זיי זיכער צוויי אנדערע קניפּן. הגם, אויב זענען זיי די זעלבע איז אבער נישט מוכרח אז זיי זענען די זעלבע קניפּ.

[מי אני]

א וויץ בנוגע דעם לייט בּאָלבּ לעמאַ:

IMG_6022.jpeg

[מי אני]

IMG_6049.jpeg

[מי אני]

‏די כעמיקער האבן סינטעסייזד א מאלעקיוּל קניפּ, והיינו א קעטענעין וועלכע זענען רינגען געבינדען איינס אינעם אנדערן, אין די שׁעיפּ פון א מגן דוד.

IMG_6364.jpeg

IMG_6365.jpeg

IMG_6366.jpeg

ועיין כאן איבער די סקעלעטעל פארמולא/סטרוקטור אין אָרגעניק כעמיסטרי.

[מי אני]

א בּרעיד איז ווען איך שטעל אַן עקסיס, א פּויל, אין איינע פון די סירקלען געשאפן בתוך א קניפּ, אזוי אז ווען איך גיי נאך אין איין וועג די דירעקציע פונעם קניפּ, וועט די עקסיס כסדר זיין צו די זעלבע זייט מיינער; איך וועל כסדר גיין די זעלבע רעכטס צי לינקס ארום דעם. עס איז שייך אז בתוך דאס זעלבע קניפּ, זאל אַן עקסיס ביי איין סירקעל אין דעם שאפן א בּרעיד, און ביי אַן אנדערן נישט.

אלכסנדר'ס טעארעם לויטעט אז יעדעס קניפּ קען מען מאכן אין צו א בּרעיד באופן זה. אויב מ'קומט אָן צו א מקום וואו די דירעקציע ארומצוגיין דעם קניפּ טוישט זיך, דאן אויב הייבט מען אויף דעם חלק שטריק וואו עס טוישט זיך, און מען לייגט דאס אויפ'ן אנדערן זייט פונעם עקסיס (וואס עס וועט נאך אלס זיין דעם זעלבן קניפּ עפ"י ריידעמייסטער רוקן), וועט דאס שוין יא ווערן א בּרעיד כנ"ל.

דא איז דאס דר. נענסי שעריך מסביר עפ"י א פּויל טאנץ.

[מי אני]

ענליך צו קניפּן איז דא דיראק׳ס בּעלט טריק. דאס איז אז מ׳קען האלטן א פּאסיק וועלכע מ׳האט געדרייט 720⁰, און בשעת׳ן האלטן די הענט און די ענדס פונעם פּאסיק אין די זעלבע אָריענטעישאן א גאנצע צייט, קען מען דרייען דעם פּאסיק (מיט׳ן אפלאזן און עס צוריק כאפן, אָן טוישן די אָריענטעישאן פון די ענדס פונעם פּאסיק אדער די הענט), אזוי אז עס זאל ווערן צוריק גראד.

‏דא זעהט מען ווי א פרוי טוהט דאס מיט איר האנט האלטענדיג א גלאז ביר אויפריכטיגערהייט א גאנצע צייט. די ערשטע 360⁰ דריי איז איר האנט ארומגעדרייט, און דערנאך ביי 720⁰ איז עס אזוי ווי עס איז געווען ביים אָנהויב.

[מי אני]

IMG_7237.jpeg

ומענין לענין באותו ענין האב איך דא צוגעברענגט:

דער מאטעמאטיקער דר. קיִט דעוולין איז דא מסביר (ווי אויך אין די לעקציע [1:29:28-1:34:45]) די פּוֺינקארעי קאנדזשעקטשור אין טאפּאלאגיע אז די געדאנק איז פונקט וואו מ׳האט געקענט מברר זיין פון אונזער 2D פּערספּעקטיוו אז די 3D וועלט איז א ספיר, דאס זעלבע זאך קען מען טעארעטיש מברר זיין בתוך אונזער 3D יוּניווערס צו העכערע דיימענשאנס צי עס איז א ספיר אין יענע דיימענשאן. והיינו, דורכ׳ן נעמען א שטריק ארום די גאנצע זאך וואו דו ביסט געפארן, מאכן א לוּפּ/נוּס, עס צאמציען, און זעהן צי עס קומט זיך אינגאנצן צוריק צאם אָן פארהאנקערען. אויב יא איז דאס א ספיר אין יענע דיימענשאן.

דאס איז מסביר ענליך צו דעם געדאנק בטאפּאלאגיע:

IMG_7251.jpeg

[אלפא]

[מי אני]

דער מאטעמאטיקער דר. דוד ריטשעסאן האט געמאכט טיילס וואס מ׳קען אויסשטעלן אז עס זאל אויסקומען צו פארשידענע קעלטיק קניפּן:

IMG_7781.jpeg

IMG_7778.jpeg

IMG_7779.jpeg

IMG_7780.jpeg

IMG_7782.jpeg

***

דאס איז א טבלא פון סוגי קניפּן:

IMG_7633.jpeg