קאווע שטיבל

די סקווער רוט פון צוויי.

איך וויל אביסל באשרייבן די סקווער רוט פון 2, ווי אזוי מ׳רעכנט איהם אויס, און ווען איז עס נוצבאר, און אזוי ווייטער.
איך וועל פראבירן שרייבן די קלארסטע וואס איך קען, און איך וועל נישט קארגן אויף קיין טינט, איך וואלט געקענט באשטיין צו הערן, אויב עס איז צו סאך/ווייניג ווערטער.

קודם כל דארפן מיר פארשטיין וואס איז דאס א סקווער-רוט. (אדער ווי עס הייסט אין העברעאיש ״השורש הריבועי״).
מ׳קען עס מסביר זיין אין די אלגעברישע שפראך, און אזוי אויך אין א געאמאטרישע שפראך, און איך וועל ביידע נוצן.
אין אלגעברא איז איינגעפיהרט צו נוצן דעם בוכשטאב x, כדי צו דענאטירן א אומבאקאנטן נומער, וואס מיר ווייסן אויף איהם געוויסע זאכן, בעפאר מיר ווייסן ווער ער איז אליינס, און מען קען דורך די אלע זאכן אויסגעפונען ווער איז דער x.
אלזא, וואלט איך געזאגט, זייער פשוט: וואס איז דער נומער x, וואס ווען מען וועט דאפלען x טיימס x, וועלן מיר באקומען דער נומער צוויי:
x*x=2
די פשוטע וועג עס צו פראבירן אויסגעפונען איז דורך פראבירן גיין אויף ארויף און אראפ, ווי פאלגענד:
לאמיר זאגן אז x=1, אבער 1*1=1, דעמאלטס מוז זיין אז x איז גרעסער פון 1.
דעמאלטס לאמיר זאגן: x=1.5, דעמאלטס 1.5*1.5=2.25, דארף עס זיין אביסל קלענער ווי 1.5.
לאמיר זאגן x=1.4, איז 1.4*1.4=1.96.
ווייסן מער שוין אז ער געפינט זיך ערגעץ וואו אין צווישן 1.4 און 1.5, און אזוי קען מען ווייטער גיין, ביז מען קומט אן צו א ענדגילטיגע ענטפער, אדער מען ווערט מיהד, (און ווי מיר גייען באלד זעהן, אז בנידון דידן, וועט מען קיינמאל נישט אנקומען צו א ענדגילטיגע ענטפער, ווייל מיר רעדן פון אומ-ראציאנאלע נומבער).
אבער פארשטענדליך, אז נישט ביי יעדע נומער, דארף מען אראפלייגן אזא שווערע עבודה, ס׳איז דא נומערן וואס זענען גאנץ גרינג צו טרעפן. ווי למשל:
דער סקווער רוט פון 4 איז 2
דער סקווער רוט פון 9 איז 3
דער סקווער רוט פון 16 איז 4.

{ס׳איז אינטרעסאנט צו צולייגן אז עס איז נישטא אזא מין זאך א רוט, וואס זאל זיין נישט א גאנצע נומער און נאך אלץ ראציאנאל. און אנדערע ווערטער: א רוט איז אדער א גאנצע נומער, אדער א אומ-ראציאנאלע נומער}.
עס איז דא עטליכע בעסערע וועגן עס צו רעכענען, און אפשר אין א צווייטע געלעגנהייט.

די פארקערטע פעולה פון דער ״סקווער-רוט״ איז דער ״סקווער״, (אזוי ווי די פארקערטע פעולה פון טיימס איז דיוויזשן, און די פארקערטע פעולה פון פלוס איז מינוס). דאס הייסט דער סקווער פון א נומער, לאמיר עם רופן a, איז a טיימס a.
און דערפאר, דער סקווער פון 2 איז 4.
דער סקווער פון 3 איז 9.
יעצט טראכט אליינס, וואס איז דער סקווער פון ״דער סקווער-רוט פון 2״?
איך לאז איבער דער ענטפער פאר די לייענער.

און יעצט לאמיר הערן ווי אזוי עס ווערט ערקלערט אינעם געאמאטרישן שפראך. א סקווער אין געאמאטריע, איז א שעיפ, וועלכער זיין לאנג און ברייט זענען דאס זעלבע לענג.
דער שטח פונעם סקווער, אזוי ווי יעדער שעיפ, קען ווערן געמאסטן אין סקווער פוט/מעטער, דאס הייסט, מען מעסט וויפיל סקווערס פון א פוס אויף א פוס, פיטן אריין אינעם שעיפ, וועלכע מיר מעסטן יעצט.
אלזא, דער סקווער רוט, קען ווערן אנגעקוקט אלס דער ליין פונעם סקווער, וואס זיין שטח איז גרויס 2, (סקווער פוס/מעטער וכדומה). דאס הייסט, אויב איך ווייס וויפל סקווער פוט, איז דער שטח פונעם סקווער, קען איך אויס רעכענען די לענג אדער ברייט פונעם סקווער, דורכן אויס רעכענען די סקווער-רוט.
און דאס זעלבע איז פארקערט, ווען איך ווייס וויפיל איז דער לענג אדער ברייט פונעם סקווער, קען איך אויס רעכענען די שטח פונעם סקווער, מיט די פעולה וואס ווערט אנגערופן סקווער.

ס׳איז דא א ספעציעלע מאטעמאטישע אנגענומענע סימבול פארן ״רוט״, און דערצו איז אויך דא א כלל, אז סתם ״רוט״ איז א סקווער רוט.
די זעלבע איז מיטן ״סקווער״, ווערט סימבולזירט דורכן שרייבן א קליינע 2 אויף די רעכטע זייט אויבן פונעם נומער. (אדער שרייבט מען ^, און איך וועל דאס נוצן, כאטש וואס ס׳איז ווייניגער באקאנט, ווייל מיין קיבארד ערלויבט מיר נאר דאס, ואתכם הסליחה. ווי למשל: 2^2=4).

אין כמעט יעדע קאלקעלעיטער קען מען טרעפן א קנעפל, וואס וועט אויס רעכענען די סקווער רוט פון די נומער וואס איהר וועט אריינלייגן.

ווען איז עס נוצבאר?

יעדער איינער קען די גמרא, וואס זאגט אז: ״אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא״. דאס הייסט, אז ווען איינער האט א סקווער וואס איז ברייט און לאנג איין אמה, דעמאלטס וועט די לענג פונעם אלכסון (די שיפע ליין וואס גייט פון איין ווינקל צו זיין קעגנזייטיגע ווינקל), זיין גרויס איין אמה מיט צוויי פיפטלעך, (אין היינטיגע שפראך: 1.4).
דער חשבון דערפון איז געבויעט אויף די באקאנטע פיטאגאראס פרינציפ, וואס דער ר״ש ברענגט אין מסכת כלאים פרק ה משנה ה. (איך וועל נישט אריינגיין אין די איינצלהייטן ביי די געלעגנהייט).
און אויב מען רעכנט גוט אויס לויט דער פרינציפ, וועט אויסקומען אז די לענג פון א טרייענגל וואס האט א ווינקל פון 90 דיגריס (א רייט טרייענגל), און דער שוכב (דער ליגעדיגער ליין) איז לאנג 1 מטר, און דער נצב (דער שטייעדיגער ליין), איז לאנג 1 מטר, דעמאלטס איז דער אלכסון פונקט אזוי לאנג ווי דער סקווער רוט פון 2.
אין אנדערע ווערטער, אין די אויבנדערמאנטע גמרא ווען מ׳רעדט פון א סקווער וואס איז ברייט אן אמה אויף אן אמה, איז דער אלכסון לאנג ״די סקווער רוט פון 2״.
און די גמרא האט ווי פארשטענדליך נישט מדייק געווען ביזן סוף, נאר געשריבן אמתא ותרי חומשי, וואס דאס איז (ווי אויבנדערמאנט), קרוב צום סקווער רוט פון 2. תוספות אין עירובין (דף נז עמוד א, ד״ה כל) שטעלט זיך שוין אויף דעם, און רעכנט דארט אויס אז עס איז נישט אזוי פונקטליך.

איז עס א ראציאנאלע נומער אדער א אומ-ראציאנאלע נומער?

בעפאר מיר גייען אריין אין די שאלה, דארפן מיר ערקלערן וואס איז דאס א ראציאנאלע נומער און וואס איז דאס אן אומ-ראציאנאלע נומער.
איז אזוי, יעדע נומער וועלכע קען ווערן אויסגעדרוקט אלס א פראקשן פון צוויי נומערן, נישט קיין חילוק וועלכע נומערן, און ווי גרויס די נומערן, דעמאלטס איז דאס א ראציאנאלע נומער. פארשטייט זיך אז אלע גאנצע נומערן זענען בכלל, (ווייל יעדע גאנצע נומער קען ווערן אזוי געשריבן, ווי למשל 2/1=2, 3/1=3, און אזוי ווייטער), און אויך אסאך נישט גאנצע נומערן, ווערן דערין נכלל, ווי למשל 1/2 3/4 7/9 1253/9783 , און אזוי ווייטער.
אבער נאך אלס זענען דא נומערן וועלכע קענען בשום אופן נישט ווערן געשריבן אלס א פראקשן פון 2 נומערן. (און ס׳איז אינטרעסאנט צו אנמערקן אז ס׳זענען דא אסאך אסאך מער אומ-ראציאנאלע נומערן ווי ראציאנאלע נומערן).
אלזא, וועלן מיר וויסן אויב דער סקווער רוט פון 2 ווערט אריינגערעכנט אין די רשימה פון די ראציאנאלע נומערן אדער נישט.
פארשטייט זיך אז גיין זוכן צווישן אלע נומערן און אויס פראבירן, איז נישט מעגליך, ווייל יכלה הזמן והם לא יכלו, (די ליסט פון ראציאנאלע נומערן צווישן 1 און 2 איז ענדלאז), און אפילו א קאמפיוטער קען עס נישט אויס רעכענען. דעריבער האבן מיר נישט קיין ברירה, נאר צו נוצן די לאגיק, צו אויסגעפונען.
איך וועל זיין נייס, און איך וועל אנטפלעקן די ענטפער בעפאר אונז גייען מיר עס אויפווייזן, דער ענטפער איז: די סקווער רוט פון 2 איז אויסדריקליך אן אומ-ראציאנאלע נומער.
און עס איז אינטרעסאנט צו צולייגן אז דער רמב״ם און פירוש המשנה (עירובין פ״ב מ״ה) שרייבט שוין דער פאקט, (ס׳איז כדאי צו אריינקוקן דארט), כאטש וואס ער ברענגט נישט קיין הוכחה דערצו.
כדאי צו אנקומען צו דער הוכחה, דארפן מיר עטליכע הקדמות.
די הוכחה איז געבויעט אויף א וועג, וואס ווייזט אויף אז אויב מען וועט אננעמען אז דער סקווער רוט פון 2 איז א ראציאנאלער נומער, וועט געשאפן ווערן א סתירה אינערהאלב די אלע פשוטע אין ריכטיגע כללים, וואס מיר וועלן פארלייגן. איז ממילא מוז מען מסיק זיין אז די הנחה וואס מיר האבן אנגענומען אז ס׳איז א ראציאנאלע נומער איז נישט ריכטיג. (אזוי ווי מיר געפונען אין גמרא, דאי אמרת הכי הא וכו׳ אלא וכו׳).
די ערשטע כלל איז, יעדע ראציאנאלע נומער, כאטש וואס ער קען ווערן אויסגעדרוקט אין עטליכע פארמס, ווי למשל א האלב, קען ווערן אויסגעדרוקט אזוי:
1/2, 2/4, 4/8, 3/6,
און אזוי ווייטער, עד אינסוף.
אבער, עס איז דא איין וועג ווי אזוי ער קען ווערן אויסגעדרוקט סימפל. דאס הייסט אז דער אויבערשטער נומער אינעם פראקשן, און דער אונטערשטער נומער, האבן נישט קיין קאממאן דיווייזער.
דאס הייסט, אויב מיר וועלן קוקן אויף די אויבנדערמאנטע ליסט, פון אלע וועגן ווי אזוי א האלב קען ווערן אויסגעדרוקט וועלן מיר זעהן, אז אלע (א חוץ די ערשטע) האבן א קאממאן דיווייזער. דאס הייסט אז דער אויבערשטער מיט דער אונטערשטער קענען ביידע ווערן צוטיילט אין 2.
דעריבער אויב האבן מיר א פרעקשן וואס די אויבערשטע און די אונטערשטע האבן א קאממאן דיווייזער, קענען מיר עס סימפאליזירן, ווי פאלגענד:
6/2=3/1=3
90/20=9/2
40/24=5/3
און אזוי ווייטער…

איז דער ערשטער כלל שטעלט אוועק, אז יעדע פראקשן קען ווערן סימפאליזירט, ביז ער האט נישט קיין קאממאן דיווייזער.

אלזא, גייען מיר צום צווייטן כלל, וואס זאגט אז א סקווער פון א איווען (even) נומער איז אלע מאל איווען, און א סקווער פון א אודד נומער איז אלעמאל אודד.
ווי למשל דער סקווער פון 2 איז 4, דער סקווער פון 3 איז 9. און אזוי ווייטער.
און דאס זעלבע איז פארקערט, ווען א נומער וואס איז א סקווער פון א גאנצע נומער איז איווען, איז זיין סקווער-רוט אויך איווען.

יעצט לאמיר אננעמען אז ״דער סקווער-רוט פון 2״ איז א ראציאנאלע נומער. דאס הייסט אז ס׳זענען דא צוויי גאנצע נומערן, נישט קיין חילוק וועלכע, וואס לאמיר זיי רופן לצורך הענין p און q, וואס דער פרעקשן פון די צוויי נומערן, (נאכן סימפאליזירן, אזוי אז זיי האבן נישט קיין קאממאן דיווייזער), איז דער סקווער רוט פון 2.
ווי אויבן מרמז געווען, דער סקווער פון דער סקווער-רוט פון 2 איז ווידער 2.

דעמאלטס קענען מיר עס אראפשרייבן אזוי:
(p/q)^2=2
(און לאמיר נאכאמאל קלאר מאכן, אז p און q זענען גאנצע נומערן, און זיי האבן נישט קיין קאממאן דיווייזער).

מען קען עס פשוטער שרייבן, אזוי:
(p/q)*(p/q)=2
יעצט נוצנדיג די באוואוסטע כלל ווי אזוי מ׳מאכט מולטיפליקעישן מיט פרעקשנס, וועלן מיר באקומען, אזוי:
p*p/q*q=2
אדער, און אנדערע ווערטער:
p^2/q^2=2

יעצט, לאמיר טוהן וואס מען קען טוהן דערמיט אזוי ווי ביי יעדע דיוויזשן, אזוי:
p^2=2*q^2
לאמיר עס אפטייטשן אין יידיש גערעדט, אז p^2 איז א איווען נומער, ווייל ער קען דאך ווערן אויסגעדרוקט אלס צוויי מאל אן אנדערע נומער.
איז ממילא, לויטן צווייטן פריער דערמאנטן כלל, קומט אויס אז דער נומער p אליינס, איז אויך איווען.
דעמאלטס קענען מיר זאגן אז:
p=2*k
נישט קיין חילוק וועלכער נומער k גייט דענאטירן, איז איינמאל זיכער אז k איז א גאנצע נאטורליכע נומער, נאכן אננעמען די פאקט אז p איז א איווען נומער.
דעמאלטס לאמיר עס אראפ שרייבן אזוי:
p*p=2*k*2*k
=4*k^2=2*q^2
און וויבאלד 2 און 4 האבן א קאממאן דיווייזער וואס איז 2, קען מען דאס אראפנעמען פון ביידע זייטן פונעם גלייכונג, און מיר וועלן באקומען:
2*k^2=q^2
לערנען מיר דערפון אז q^2 איז א איווען נומער. איז ווידער לויטן אויבנדערמאנטן כלל, איז q אויך א איווען נומער.
לערנען מיר פון די גאנצע מאכערייקע, אז p און q, זענען ביידע איווען נומערן.
דאס הייסט אז זיי ביידע האבן א קאממאן דיווייזער וואס איז 2.
אופס… ס׳ווערט יעצט א סתירה, צום אנפאנג, אז p און q האבן נישט קיין קאממאן דיווייזער.
דעמאלטס מוזן מיר קומען צום מסקנא, אז ס׳איז נישטא קיין p און q, און אין אנדערע ווערטער:
״דער סקווער רוט פון 2״ איז א אומ-ראציאנאלע נומער.

איך האף אז איך בין געווען גענוג קלאר און פארשטאנדיג.

ס'כאפט א פחד. א גאנצע וועלט דא וואס איך פארשטיי נישט קיין איין ווארט. און זאג נישט אז איך האב נישט געטרייט. ביז ד"ה "און יעצט לאמיר הערן" האב איך נאך פארשטאנען, (מער ווייניגער), אבער ווייטער איז געוועהן טערקיש

[tag]יידל[/tag], קום שנעלער צוריק. דו האסט קאמפעטישן אדער איז עס עיבור נשמה.

עס איז צו באגריסן די וויליגקייט פון הרב [tag]פארוואס?[/tag] וואס האט זיך גענומען די מיה און אונז געקומען לערנען מאטאמאטיק. אבער עס זעהט אויס אז ער האלט שוין היבש ווייטער פון אונז, ער דארף אנהויבן פון פריער אביסל.
[tag]יידל[/tag] איז איין טאג אנגעקומען מיט א פרישקייט אז ער גייט אויסלערנען מאטעמאטיק פון א' ביז אין סוף, אבער למעשה איז ער געבליבן שטעקן נאך פארן א'. לאמיר האפן אז ער וועט תשובה טוהן און זיך צוריק נעמען צו די מלאכה. און אזוי וועלן מיר קענען פארשטיין די עומק הדברים פון הרב פארוואס.

א גרויסן יישר כוח, שיין מסודרדיג אראפגעלייגט.

____
נישט געוואוסט אז עס קען זיין א גאנצע אשכול איבער סקווער און מנשה זאל גארנישט מגיב זיין

שקויעך פאר אלע מגיבים…
איך האב מיר פארגעשטעלט, אז מאנכע וועלן ווערן ערגעץ וואו אינמיטן סטאק, אבער ביזדערווייל זענען זיי עטוואס געווארן קלוגער.
איך בין גרייט צו ענטפערן אויף ספעציפישע פראגעס, און אומ פארשטענדליכע טערמינען.

זייער שייו געשריבן @פארוואס?

פארוואס? האט געשריבן:דעמאלטס לאמיר עס אראפ שרייבן אזוי:
p*p=2*k*2*k
=4*k^2=2*q^2
און וויבאלד 2 און 4 האבן א קאממאן דיווייזער וואס איז 2, קען מען דאס אראפנעמען פון ביידע זייטן פונעם גלייכונג, און מיר וועלן באקומען:
2*k^2=q^2
לערנען מיר דערפון אז q^2 איז א איווען נומער. איז ווידער לויטן אויבנדערמאנטן כלל, איז q אויך א איווען נומער.

איך האף אז איך בין געווען גענוג קלאר און פארשטאנדיג.

איך האב נאר געוואלט אויפמערקזאם מאכן אז די אויבן דערמאנטע quote איז שווער צי פארשטיין. ווי עס זעט מיר אויס וואלט עס געדארפט זיין אזוי:
p*p=2*k*2*k
4xk ^ 2 = 2 x q ^ 2 =

שקויעך פאר די ארטיקל

[tag]פיש כאפער[/tag] איז כשר גערעכט.
אבער דער פראבלעם איז דער קאמפיוטער, ווען ער טייטשט איבער טעקסט וועלכע זענען געשריבן געווארן פון לינקס צו רעכטס.
און דער x נוץ איך בדוקא נישט, ווייל עס פעלט נישט אויס, און קען צומאל מאכן פראבלעמען, אויסמישנדיג מיטן באהאלטענעם x פון אלגעברא. ואיכמ״ל בזה.

איך האב געמיינט אז דו גייסט באשרייבן די "רוט פון צוויי" (מענער זייט און פרויען זייט) אין סקווער

ברסלבער האט געשריבן:[tag]יידל[/tag] איז איין טאג אנגעקומען מיט א פרישקייט אז ער גייט אויסלערנען מאטעמאטיק פון א' ביז אין סוף, אבער למעשה איז ער געבליבן שטעקן נאך פארן א'. לאמיר האפן אז ער וועט תשובה טוהן און זיך צוריק נעמען צו די מלאכה. און אזוי וועלן מיר קענען פארשטיין די עומק הדברים פון הרב פארוואס.

מאטעמאטיק פון אלף איז אפשר מעגליך.
אבער ביז ת' איז לענ"ד נישט מעגליך.
מאט איז א ענדלאזע תחום.
הפוך בה והפוך בה דכולי בה.

אז מ׳רעדט שוין פונ׳ם פיטאגאריוס טעארעם איז אינטרעסאנט צוצולייגן דערצו צוויי אינטרעסאנטע נקודות.

די ערשטע איז באקאנט אלס פערמאט׳ס לעצטע טעאריעם. דהיינו, ווען מ׳רעדט פון squares, מיינענדיג אז יעדע exponent איז 2 כזה A^2 + B^2 = C^2, איז יתכן אז אלע bases [די נומערן ABC] זאלן זיין גאנצע פאזיטיווע נומערן (למשל A=3 B=4 C=5). פיער דע פערמאט (א פראנצויזישע מאטעמאטיקער) האט געשריבן א נאטיץ אין זיין בוך אין 1637 למספרם, אז אויב די exponents פון ABC זענען אלע די זעלבע (אזוי ווי ביי די פיטאגאריוס טעארעם זענען זיי אלע 2) און זענען העכער פון 2, קענען ABC "נישט" אלע זיין גאנצע פאזיטיווע נומערן. ער האט געשריבן אז ער האט א פרוף פאר דעם, אבער מ׳האט זיך געמוטשעט פאר א צירקע 300 יאר ביז דר. ענדרו וויילס האט דאס געפרופט אין 1995.

מיט דעם קומען מיר אן צום צווייטן נקודה. ענדרו ביעל, א טעקסאס ביליאנער און א קענער פון מאטעמאטיקס, האט דאס גענומען א שטאפל ווייטער און פארמאלירט די ביעל קאנדזעקטשור. ער זאגט אז אויב מ׳נעמט ABC און מ׳גיבט זיי אלע ״אנדערע״ exponents וואס זענען העכער פון 2, איז מעגליך אז ABC זאלן טאקע אלע זיין גאנצע פאזיטיווע נומערן, אבער אין אזא פאל וועלען זיי אלע דריי ״אלעמאל״ האבן אייניגע פריים פאקטארן [מ׳עט זיי אלע קענען דיוויידען ביי אן אייניגע פריים נומער וכו׳]. ער אפפערט $1,000,000 צו איינער וואס ׳עט דאס אויפווייזען אדער ברענגען א ראיה להיפך (חלקים דערפון האט מען שוין אויפגעוואוזען).

אז מ׳האט שוין אויסגעשמועסט עקספאנענטס און ראדיקאלס/רוטס איז אינטרעסאנט צוצולייגן וואס דאס איז לאגעריטמס. דהיינו, אז מ׳טראכט אריין זענען דא דריי באשטיינדלן [נומערן] ביי אן עקספאנענט און עס זעהט אויס כזה:
X^y=z
וואו X איז די בעיס; די נומער וואס איך פאנג אן מיט. y איז די עקספאנענט וואס זאגט מיר וויפיל מאל איך שרייב ארויס די בעיס אין דעם מאלטיפליקעישאן פראבלעם. און z איז די נומער צו וואס איך קום אן נאכ׳ן טוהן דעם גאנצן פראצעדור.

ביי אן עקספאנענט שאלה ווייסן מיר וואס איז X און y און אונז ווילן געוואר ווערן וואס איז z [די ענטפער]. ביי א רוט שאלה ווייסן מיר וואס איז y און z און אונז ווילן געוואר ווערן וואס איז X [די בעיס]. און ביי א לאגעריטם שאלה ווייסן מיר X און z און אונז ווילן געוואר ווערן די y [די עקספאנענט].

דאס שרייבט מען כזה (למשל ווען די בעיס איז 3 און די ענטפער איז 456):
log₃(456)
דאס פרעגט ״וועלכע עקספאנענט ווען איך לייג דאס צו די נומער/בעיס 3, וועט מיר ברענגען צו 456?

ועוד, די בעיס און די ארגומענט [וואו מ׳שרייבט 456 (אין אונזער משל) [די z; ענדגילטיגע ענטפער]] פון א לאגעריטם קענען נישט זיין קיינע נעגאטיווע נומערן. ווייל אן עקספאנענט לכשלעצמו קען נישט מאכן א פאזיטיווע בעיס אין צו א נעגאטיווע ענטפער. (ווי ערווענט דא מיינט א נעגאטיווע עקספאנענט פשוט אז מ׳דיווייד דאס אזויפיל מאל, און עס ווערט א ״פאזיטיווע״ פרעקשאן.) וממילא, הגם עס איז בעצם ״שייך״ אז אויב מ׳האט א נעגאטיווע בעיס און מ׳גיבט דאס אן אדד עקספאנענט וועט עס אנקומען צו א נעגאטיווע ענטפער, ווי אויך טאמער איז די בעיס נעגאטיוו און מ׳גיבט דאס אן איווען עקספאנענט קען עס אנקומען צו א פאזיטיווע נומער [ארגומענט], אבער איך קען דאס נישט אראפלייגן אלס א כלל מיט וועריעבעלס (לגבי גרעפינג וכו׳), ווי ביי א געהעריגע עקספאנענט (ענליך צו דעם אז ביי פאזיטיווע רוטס קען איך נישט האבן א נעגאטיווע נומער אלס די רעדיקענד [די ענדגילטיגע ענטפער פונ׳ם עקספאנענט; די z] און האבן אן ״עכטע נומער״ פאר א בעיס, ועיין כאן). וועגן די סיבה אויך קען די בעיס נישט זיין 1 אדער 0; עס איז נישט דא קיין עקספאנענט וואס גייט טוישן די בעיס פון וואס עס איז (און ביי 0 איז אויך אומעגליך סתם אזוי צו מאכן א נעגאטיווע עקספאנענט, ווייל מ׳קען דאך נישט דיוויידען ביי 0).

אויף א סייענטיפישע קאלקולעיטער טרעפט מען א קנעפל log. דאס מיינט א לאגעריטם מיט א בעיס פון 10. ווי אויך איז דא א ln קנעפל וואס דאס מיינט די נאטורליכע לאגעריטם; א לאגעריטם מיט א בעיס פון די נומער e; אוילער׳ס נומער [2.71828...]. אויב וויל מען געוואר ווערן א לאגעריטם מיט אן אנדערע בעיס קען מען נעמען די ln פונ׳ם ארגומענט וואס מ׳האט און דאס דיוויידען ביי די ln פון די בעיס וואס מ׳האט, און דאס וועט געבן די ענטפער וואס מ׳זוכט. דאס איז א כלל אין לאגעריטמס (וואס מ׳קען אויפווייזן אלגעברעיקלי), וממילא וועט דאס ארבעטן ביי יעדע סארט וואו איך וויל עס מאכן דורכ׳ן דיוויידען די ארגומענט און בעיס ביי אן אנדערע לאגעריטם (פארשטייט זיך אז ביי די דיוויזשאן זענען ביידע לאגעריטמס מיט׳ן זעלבן בעיס), וממילא וועט דאס ארבעטן אויפ׳ן קאלקולעיטאר אויב איך נוץ די log קנעפל פאר די דיוויזשאן (ביי ביידע, סיי די ארגומענט און סיי די בעיס וכנ״ל) אנשטאטס די ln קנעפל.

די לאגעריטם קען זיין זייער נוצבאר אין געוויסע צייטן. למשל אויב וויל מען מולטיפלייען א צאל נומערן, אבער מען קען נישט נוצן די מולטיפליי פונקציע, קען מען עס קאנווערטן צו די לאגעריטם, און מען טוט פשוט צוזאם רעכענען אלע לאגעריטמס, און דערנאך דרייט מען עס צוריק צו די ריזאלטס.

עס איז מיר אמאל געווען נוגע ווען איך האב געדארפט די פעקטאריעל אין SQL. האב איך גענוצט דאס (Oracle).

Select Exp(Sum(Ln(Level))) from Dual connect by Level <= 5

5 איז די וועריבעל פון וואס מען באקומט די פעקטאריעל.

עס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען אין דעם שמועס פון רוּטס דעם אריאמעטיק-דזשיאמעטריק מיִען אינעקוואַליטי. צו מסביר זיין, עס איז באקאנט אז ווי אזוי מ׳רעכענט די מיִען, אלס עוורידזש, פון א (דאטא) סעט פון נומערן איז אז מ׳עדד צוזאם אלע נומערן און מ׳דיווייד דאס נאכדעם ביי וויפיל נומערן מען האט געהאט. למשל אויב האט מען 4,5,2,8 דעמאלטס רעכענט מען דאס אלעס צאם:
4+5+2+8 וואס דאס 19, און מ׳דיווייד דאס ביי 4 [4 אנדערע נומערן וואס מ׳האט געהאט] וואס קומט אויס צו א מיען פון 4.75. דאס רופט זיך די אריאמעטיק מיִען.

די דזשיאמעטריק מיִען איז ענליך (ווען קיין איינע פון די נומערן זענען נישט נעגאטיוו), נאר אנשטאט צאמעדד׳ן די אלע נומערן טוה איך זיי אלע מאָלטיפּלייען, און דערנאך נעם איך די רוט דערפון פון וויפיל נומערן איך האב געהאט. אין אונזער פריערדיגע משל מאך איך:
4x5x2x8
וואס קומט אויס צו 320. דערנאך נעם איך די פערדע [ווייל איך הא געהאט פיר אנדערע נומערן] רוּט דערפון. דהיינו, איך פרעג וועלכע נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער [4 מאל] גייט מיר ברענגען צו 320. די ענטפער דא איז 4.2294......

די אריאמעטיק-דזשיאמעטריק מיִען אינעקוואַליטי לויטעט אז דאס אריאמעטיק מיִען פון א סעט פון נומערן [ווען מעדד צאם די נומערן וכו׳] וועט אלס זיין דאס זעלבע אדער מער ווי די דזשיאמעטריק מיִען [וואו מ׳מאָלטיפּלייט צאם די נומערן וכו׳] פון די זעלבע סעט פון נומערן.

מי אני האט געשריבן:4+5+2+8 וואס דאס 19, און מ׳דיווייד דאס ביי 4 [4 אנדערע נומערן וואס מ׳האט געהאט] וואס קומט אויס צו א מיען פון 4.75. דאס רופט זיך די אריאמעטיק מיִען.

פארוואס ליגט מיר אין קאפ אז דאס איז אן עוורעדש נישט א מיען? א מיען געדענק איך איז אז מ׳שטעלט אויס די נומערן אין א רייע און מ׳נעמט דאס מיטלסטע. משא״כ ביי אן עוורעדש רעכענט מען זיי אלע צוזאם.

די חילוק קלאפט אויס אז א מיען איז אייביג איינע פון די אריגינעלע נומערן, משא״כ אן עוורעדש איז נישט לאו דוקא אן עכטע נומער, ווי למשל מ׳קען זאגן אז אן עוורעדש מענטש פארמאגט 1.99999 פוס.

חתן בחור האט געשריבן:

מי אני האט געשריבן:4+5+2+8 וואס דאס 19, און מ׳דיווייד דאס ביי 4 [4 אנדערע נומערן וואס מ׳האט געהאט] וואס קומט אויס צו א מיען פון 4.75. דאס רופט זיך די אריאמעטיק מיִען.

פארוואס ליגט מיר אין קאפ אז דאס איז אן עוורעדש נישט א מיען? א מיען געדענק איך איז אז מ׳שטעלט אויס די נומערן אין א רייע און מ׳נעמט דאס מיטלסטע. משא״כ ביי אן עוורעדש רעכענט מען זיי אלע צוזאם.

די חילוק קלאפט אויס אז א מיען איז אייביג איינע פון די אריגינעלע נומערן, משא״כ אן עוורעדש איז נישט לאו דוקא אן עכטע נומער, ווי למשל מ׳קען זאגן אז אן עוורעדש מענטש פארמאגט 1.99999 פוס.

נעמען די מיטלסטע איז מידיען. מיען און עווריזש מיינען די זעלבע זאך, עס פשוט נישט די זעלבע סארט ווארט. מען קען זאגן יענער איז אן עווריזש בעל דרשן (אפילו מען האט נישט צוזאם גערכנט אלע בעלי דרשנים...), מיען איז דווקא א מאטעמעטישע עווריזש, למשל די צוויי וועגן וואס מי אני האט געשריבן. (איך מיין עס איז דא נאך סארטן מיענ'ס).

צוויי אנדערע מיענס זענען א געוועגטע מיען און א הארמאניק מיען.

‏א געוועגטע מיען (בתוך דעם אריטמעטיק מיען) איז, למשל, ווען מען האט אן עוורידזש/מיען בתוך אן אנדערע מיען, אבער מ׳דארף/מ׳וויל גיבן איין מיען אין דעם מער שוויית ווי די אנדערע. למשל, די (געהעריגע) עוורידזש/מיען פון אפאר עוורידזשעס וואס איך האב פריער געהאט גענומען האט יעדע איינע פון זיי געהאט אן אנדערע צאל פון דאטא/נומערן, וממילא דארף איך צו געבן מער הערכה פאר די מיען וואס קומט פון די גרעסערע נומער/דאטא צאל ווי די פון די מער קלענערע. איז פאר איך נעם דעם נעקסטן מיען פון די מיענס, ״וועג״ איך מער יעדעס פון די אריגינעלע מיענס און איך מאלטיפּליי יעדעס איינס פון די אריגינעלע מיענס ביי וויפיל נומערן דאס האט אריגינעל געהאט אין איר סעט, און דערנאך טוה איך זיי אלע צאמעדד׳ן און דיוויידען ביי וויפיל מיענס איך האב.

די הארמאניק מיען איז אז מ׳נעמט ערשט די רעסיפּרעקאל פון די נומערן אין די דאטא סעט. א רעסיפּרעקאל מיינט אז ״מ׳פליפּט״ אריבער דעם נומער. דהיינו, ביי א פרעקשאן פון, למשל, 3/5 גייט די רעסיפּרעקאל זיין 5/3. און יעדע גאנצע נומער קען מען בעצם שרייבן אזוי ווי א פרעקשאן. למשל, 6 איז בעצם 6/1 [ווייל געשריבענע פרעקשאנס זענען פשוט׳ע דיוויזשאן פראבלעמס וואס מ׳האט פשוט נישט גומר געווען; 1/2, וואס איז 2÷1 וואס דאס איז 0.5], וממילא איז איר רעסיפּרעקאל 1/6 (ועיין כאן מזה בענין נעגאטיווע עקספּאנענטס). איז עכ״פ נעמט מען די רעסיפּרעקאל פון יעדע פון די נומערן אין די דאטא סעט און מ׳עדד דאס צאם, און דערנאך נעמט מען די רעסיפּרעקאל פון די דיוויזשאן ביי די צאל פון נומערן וואס איך וואלט ווען געטוהן. דהיינו, אנשטאט דיוויידען די צאל ביי די נומער פון וויפיל נומערן/דאטא איך האב געהאט אין די סעט, טוה איך פונקט פארקערט: איך דיווייד די צאל פון וויפיל נומערן איך האב געהאט אין די דאטא סעט ביי די סומע פון די אלע פריער-דערמאנטע רעסיפּרעקאלס.

‏ס׳איז כדי צו דערמאנען אין די סוגיא פון עוורידזשעס די מוֺיד. דאס איז פשוט וועלכע נומער פאסירט דאס מערסטע אין די דאטא סעט (אויב שייך).

*

אין די שמועס פון עוורידזשעס/מיענס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם וויל ראדזשערס פענאמענאן. דאס איז ווען עס איז דא צוויי סעטס פון נומערן, און ווען איך נעם ארויס איין נומער פון איין סעט און איך לייג עס אינ׳ם אנדערן הייבט דאס די עוורידזש פון ביידע סעטס. דאס איז ווען די נומער וואס איך האב ארויסגענומען איז אונטער די עוורידזש פון איר אריגינעלע סעט און העכער דעם עוורידזש פון די סעט צו וואו זי ווערט אריינגעלייגט.

הדסים האט געשריבן:

חתן בחור האט געשריבן:

מי אני האט געשריבן:4+5+2+8 וואס דאס 19, און מ׳דיווייד דאס ביי 4 [4 אנדערע נומערן וואס מ׳האט געהאט] וואס קומט אויס צו א מיען פון 4.75. דאס רופט זיך די אריאמעטיק מיִען.

פארוואס ליגט מיר אין קאפ אז דאס איז אן עוורעדש נישט א מיען? א מיען געדענק איך איז אז מ׳שטעלט אויס די נומערן אין א רייע און מ׳נעמט דאס מיטלסטע. משא״כ ביי אן עוורעדש רעכענט מען זיי אלע צוזאם.

די חילוק קלאפט אויס אז א מיען איז אייביג איינע פון די אריגינעלע נומערן, משא״כ אן עוורעדש איז נישט לאו דוקא אן עכטע נומער, ווי למשל מ׳קען זאגן אז אן עוורעדש מענטש פארמאגט 1.99999 פוס.

נעמען די מיטלסטע איז מידיען. מיען און עווריזש מיינען די זעלבע זאך, עס פשוט נישט די זעלבע סארט ווארט. מען קען זאגן יענער איז אן עווריזש בעל דרשן (אפילו מען האט נישט צוזאם גערכנט אלע בעלי דרשנים...), מיען איז דווקא א מאטעמעטישע עווריזש, למשל די צוויי וועגן וואס מי אני האט געשריבן. (איך מיין עס איז דא נאך סארטן מיענ'ס).

הדסים: מיען און מידיען זענען 2 אנדערע זאכן. מ'קען זאגן אז דער חתן בחור האט געוואלט זאגן .."מידיען". און ר'האט געזאגט..."מיען"...!

ביז אהין האט מיין טאם (מלשון תם) קאפ פארשטאנען. אלע איבעריגע פרטים פון די גאנצע שקלא וטריא לאז איך פאר אונזערע אמת'ע אינטעלעקטואלן און פראפעסארן און מאטעמאטיקער. ווייל (כמעט) דאס אלעס איז קבלה ביי מיר. איך גלייב באמונה שלימה אז ס'איז אזוי. ביזדערווייל. צו ראונדן א קארנער מיט א באס אדער אנאליזירן אן עלעקטריקל פראבלעים האט עס מיר נישט אויסגעפעהלט...בכל אופן. ענדזשוי...ייש"כ...!

עס איז דא אן אינטרעסאנטע פּרוּף אויף דעם אריטמעטיק/דזשיאמעטריק מיען אינעקוואליטי, בפרט אז מ׳האט דערמאנט אין דעם אשכול דעם פּיטאגאריאס טעארעם וואס גייט אן ביי רייט טרייענגעלס, וואו צוויי פון די זייטן מאכן א 90 דעגרי גראדע עק און די דריטע זייט איז די היפּאַטענוּס.

ביי די סארט טרייענגעלס איז דא דעם דזשיאמעטריק מיען טעארעם. דאס לויטעט אז אויב נעם איך דעם עק פון דעם ליין וואס לויפט ארויף פונעם 90 דעגרי ענגעל ביים בּעיס [דעם עלטיטוּד] און דארט אויבן וואו ער באהעפט זיך צום שׁיִפן היפּאַטענוּס, וואס דארט מאכט ער א קלענערע ענגעל ווי 90, ענדיג איך צו זיין ענגעל צו 90 און איך מאך א ליין אראפלויפן פון דארט ביז צום בּעיס, דהיינו איך ״ברייטער אויס״ דעם בּעיס אנצוקומען צו יענעם ליין אינדרויסן פונעם טרייענגעל, וועט די דזשיאמעטריק מיען/עוורידזש פון די צוויי ליינס [די אריגינעלע לענג פונעם בּעיס מיט׳ן ״צוגעקומענעם״] זיין די לענג פונעם עלטיטוּד [די ליין מעיקרא וואס לויפט ארויף פונעם בּעיס ביז׳ן היפּאַטענוּס].

יעצט, אויב נעם איך א רייט טרייענגעל און איך פּאַק אים אריין אין א צירקעל, און איך טוה דארט דעם פראצעדור, וועט די רעידיאוס פונעם צירקעל [א ליין פון פונקט אינדערמיט פונעם צירקעל צו די היקף] זיין די אריטמעטיק [געהעריגע] מיען/עוורידזש פון די צוויי ליינס; די אריגינעלע בּעיס און די ״צוגעקומענע״. ווייל די צוויי צוזאמען זענען דעם דיאמאטאר פונעם צירקעל מקצה אל הקצה; איך וויל נאר דעם רעידיאוס פונעם מיטל-פונקט. משא״כ לעומת זה וועט א טשארד אינעם צירקעל [א ליין וואס גייט פונעם היקף אינעם צירקעל אבער נישט פונקט אינדערמיט] זיין די עלטיטוּד וואס איז די דזשיאמעטריק מיען/עוורידזש פון אט די צוויי ליינס וואס מאכן די געהעריגע עוורידזש פאר׳ן רעידיאוס כנ״ל. און דאס איז בוודאי קלענער ווי די רעידיאוס, שהיא האריטמעטיק מיען כנ״ל, ווייל דארט איז דאך דער היקף קלענער/שמעלער ווי צום מיטעלסטען פונקט.

אבער דאס איז די סקווער רוט פון ״טרי״ [3 - “tree”]...

מי אני: איז זונטאג 'ווערטלעך-טאג'?....

וויצן בנוגע עוורידזשעס:

אויב האט מען איין פיס אין פייער און דאס אנדערע אין פריזער, וועט דיר א סטאטיסטישאן זאגן אז ביי עוורידזש ביסטו קאָמפטערבּל...

ענליך צו דעם צוויי מענטשן מיט א סטאטיסטישאן זענען געגאנגן אויף א יאגד. זיי האבן דערזעהן א הערש. דער ערשטער האט געשאסן דערויף און עס איז געלונגען 5 פיס צו די רעכטע זייט פונעם הערש. דער צווייטער האט געשאסן דערויף און עס איז געלונגען 5 פיס צו די לינקע זייט פונעם הערש. האט זיך דער סטאטיסטישאן אנגערופן ״אונז הא׳מיר אים געכאפט״...

טיפיקלי, פראגרעמינג קורסעס אינקלודן אלעמאל א עקסערסייז צו טרעפן די סקוועררוט פון צוויי נוצענדיג ניוטאנ'ס מעטאד. אט איז איינע פון מיינע פראוון, געשריבן אין גאלאנג, פון מיינע ארכיוון.