פראבאביליטי חלק ב
נשלח: דאנערשטאג מערץ 06, 2014 8:08 pm
פראבאביליטי חלק ב.
איך וועל ממשיך זיין מיט ערקלערן קאמביניטאריקס, ביים דעפינירן א נייע קאנסעפט גערופן ״פאקטאריאל״ (factorial) (אדער אין העברעאיש: ״עצרת״).
די פאקטאריאל פון א נאטורליכע נומער, איז די מולטיפליקעישן פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון איהם. און מען צייכענט עס מיט די באקאנטע צייכן ״!״ ווי למשל:
און אזוי ווייטער.
דאן לאמיר זעהן ווען עס קומט צו נוץ:
״טוישונגען״
לאמיר זאגן אונז האבן מיר n קארטלעך וואס אויף יעדע איינץ שטייט א געוויסע נומער, וויפיל מעגליכקייטן זענען דא צוזאמצושטעלן א סדר פון די אלע קארטלעך.
דער ענטפער איז, נוצנדיג דעם דאבלען פרינציפ, אז אינעם ערשטן שטאפל האבן מיר n מעגליכקייטן, (ווען n קומט דענאטירן יעדע נאטורליכע נומער), אינעם צווייטן שטאפל, האבן מיר שוין נאר n-1 מעגליכקייטן (ווייל מיר האבן דאך שוין אויסגענוצט איינס), ווידער אינעם דריטן שטאפל האבן מיר שוין נאר n-2, און אזוי ווייטער, ביז ביים n'טן שטאפל האבן מיר נאר איין אויסוואל, דאן קומט אויס אז דער סך הכל פון אלע מעגליכקייטן, זענען:
למשל אויב עס זענען דא 7 קארטלעך, דאן וועט דער ענטפער זיין:
״k טוישונג״
לאמיר זאגן אז מיר פארמאגן א באקס וואס עס ליגט דערין n קארטלעך, וואס האבן געוויסע נומערן, און איך וויל ארויסנעמען k קארטלעך פון צווישן די n, (ווען k איז יעדע נאטורליכע נומער וואס איז קלענער פון n, אדער מאטעמאטיש געשריבן k<n ). וויפיל מעגליכקייטן זענען דא?
דער ענטפער איז:
למשל, אויב מיר וועלן לאזן n זיין 12, און k וועט זיין 5. אין אנדערע ווערטער מיר האבן א באקס מיט 12 פארשידענע קארטלעך, און מיר קענען ארויסנעמען 5 קארטלעך פון צווישן זיי, וויפיל מעגליכקייטן זענען דא?
דער ענטפער איז, לויט ווי אויבנדערמאנט:
(איך האף אז דער עולם האט פארשטאנען וואס איך האב דא געטוהן, אנשטאט צו נוצן ריזיגע נומערן, וואס נישט יעדע קאלקעלעיטער קען זיך ספראווען דערמיט).
״רונד טוישונג״
אויב מיר האבן n קארטלעך, יעדע איינס מיט א געוויסע נומער, און מיר ווילן זיי אויסלייגן אין א סירקל, (נישט אזוי ווי אין אנפאנג וואס ס׳איז געווען א אנהייב און א ענד), וויפיל מעגליכקייטן איז דא עס אויסצושטעלן?
אין דעם פאל, איז אונז נישט קיין חילוק, ווער עס איז דער ערשטער, און ווער דער לעצטער. דעמאלטס, לאמיר נעמען די רעזאלטאט פון א געווענליכע טוישונג, וואס ווי פריער דערמאנט, איז !n, און לאמיר איהם צוטיילן אין די נומער וויפיל פלעצער עס זענען דא אינעם סירקל, (וואס איז n), וועלן מיר באקומען:
למשל, אויב מיר וועלן אוועקשטעלן דעם נומער 12 פאר n, דאס הייסט, אז עס איז פארהאן 12 קארטלעך, דאן, וועט דער ענטפער זיין:
____________________________________________________________________
איבונגען:
וויפיל צירופים פון שם הוי״ה זענען דא?
וויפיל פון שם אלקים?
וויפיל מעגליכקייטן זענען דא צו צוזאמשטעלן א ווארט וואס באשטייט פון אלע אלף-בית, (אן איבער נוצן א אות)?
ווען איך האב א נומער-שלאס, וואס באשטייט פון 10 נומערן און 4 בוכשטאבן, און עס נעמט צו אויספראבירן יעדע מעגליכע קאד, 10 סעקונדעס, וויפיל צייט דארף איך אוועק געבן כדי צו אויספראבירן ״אלע״ מעגליכע קאדס, ווען א קאד באשטייט פון 4 נומערן/בוכשטאבן (ווען עס איז דא א חילוק אויף וועלכע סדר, די קאד ווערט געדרוקט)?
א חסידישער קינדער-גארטן מלמד, וואס פלעגט מאכן זיינע 15 תלמידים טאנצן יעדן טאג אין א רינג, נישט ווילנדיג אז די קינדער זאלן זיך קריגן: איך וויל זיין אויף די לינקע זייט פון יענקי! איך וויל זיין אויף די רעכטע זייט פון מוישי! איז ער אויפגעקומען מיט א בריליאנטענע געדאנק: מען גייט יעדן טאג טוישן, אז עס זאל זיין אנדערש ווי נעכטן.
וויפיל אקטיווע טעג דארף אריבער גיין כדי אז יעדער אינגל זאל האבן געהאט די טשאנס צו זיין רעכטס און לינקס צו יעדער אנדערער אינגל?
איך וועל ממשיך זיין מיט ערקלערן קאמביניטאריקס, ביים דעפינירן א נייע קאנסעפט גערופן ״פאקטאריאל״ (factorial) (אדער אין העברעאיש: ״עצרת״).
די פאקטאריאל פון א נאטורליכע נומער, איז די מולטיפליקעישן פון אלע נאטורליכע נומערן קלענער פון איהם. און מען צייכענט עס מיט די באקאנטע צייכן ״!״ ווי למשל:
קוד: וועל אויס אלע
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!=1*2*3*4=24און אזוי ווייטער.
דאן לאמיר זעהן ווען עס קומט צו נוץ:
״טוישונגען״
לאמיר זאגן אונז האבן מיר n קארטלעך וואס אויף יעדע איינץ שטייט א געוויסע נומער, וויפיל מעגליכקייטן זענען דא צוזאמצושטעלן א סדר פון די אלע קארטלעך.
דער ענטפער איז, נוצנדיג דעם דאבלען פרינציפ, אז אינעם ערשטן שטאפל האבן מיר n מעגליכקייטן, (ווען n קומט דענאטירן יעדע נאטורליכע נומער), אינעם צווייטן שטאפל, האבן מיר שוין נאר n-1 מעגליכקייטן (ווייל מיר האבן דאך שוין אויסגענוצט איינס), ווידער אינעם דריטן שטאפל האבן מיר שוין נאר n-2, און אזוי ווייטער, ביז ביים n'טן שטאפל האבן מיר נאר איין אויסוואל, דאן קומט אויס אז דער סך הכל פון אלע מעגליכקייטן, זענען:
קוד: וועל אויס אלע
n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*3*2*1=n!למשל אויב עס זענען דא 7 קארטלעך, דאן וועט דער ענטפער זיין:
קוד: וועל אויס אלע
7!=5,040״k טוישונג״
לאמיר זאגן אז מיר פארמאגן א באקס וואס עס ליגט דערין n קארטלעך, וואס האבן געוויסע נומערן, און איך וויל ארויסנעמען k קארטלעך פון צווישן די n, (ווען k איז יעדע נאטורליכע נומער וואס איז קלענער פון n, אדער מאטעמאטיש געשריבן k<n ). וויפיל מעגליכקייטן זענען דא?
דער ענטפער איז:
קוד: וועל אויס אלע
n!/(n-k)!למשל, אויב מיר וועלן לאזן n זיין 12, און k וועט זיין 5. אין אנדערע ווערטער מיר האבן א באקס מיט 12 פארשידענע קארטלעך, און מיר קענען ארויסנעמען 5 קארטלעך פון צווישן זיי, וויפיל מעגליכקייטן זענען דא?
דער ענטפער איז, לויט ווי אויבנדערמאנט:
קוד: וועל אויס אלע
12!/(12-5)!=12!/7!=(2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12)/(2*3*4*5*6*7)=8*9*10*11*12=95,040(איך האף אז דער עולם האט פארשטאנען וואס איך האב דא געטוהן, אנשטאט צו נוצן ריזיגע נומערן, וואס נישט יעדע קאלקעלעיטער קען זיך ספראווען דערמיט).
״רונד טוישונג״
אויב מיר האבן n קארטלעך, יעדע איינס מיט א געוויסע נומער, און מיר ווילן זיי אויסלייגן אין א סירקל, (נישט אזוי ווי אין אנפאנג וואס ס׳איז געווען א אנהייב און א ענד), וויפיל מעגליכקייטן איז דא עס אויסצושטעלן?
אין דעם פאל, איז אונז נישט קיין חילוק, ווער עס איז דער ערשטער, און ווער דער לעצטער. דעמאלטס, לאמיר נעמען די רעזאלטאט פון א געווענליכע טוישונג, וואס ווי פריער דערמאנט, איז !n, און לאמיר איהם צוטיילן אין די נומער וויפיל פלעצער עס זענען דא אינעם סירקל, (וואס איז n), וועלן מיר באקומען:
קוד: וועל אויס אלע
n!/n=(n-1)!למשל, אויב מיר וועלן אוועקשטעלן דעם נומער 12 פאר n, דאס הייסט, אז עס איז פארהאן 12 קארטלעך, דאן, וועט דער ענטפער זיין:
קוד: וועל אויס אלע
(12-1)!=11!=39,916,800____________________________________________________________________
איבונגען:
וויפיל צירופים פון שם הוי״ה זענען דא?
וויפיל פון שם אלקים?
וויפיל מעגליכקייטן זענען דא צו צוזאמשטעלן א ווארט וואס באשטייט פון אלע אלף-בית, (אן איבער נוצן א אות)?
ווען איך האב א נומער-שלאס, וואס באשטייט פון 10 נומערן און 4 בוכשטאבן, און עס נעמט צו אויספראבירן יעדע מעגליכע קאד, 10 סעקונדעס, וויפיל צייט דארף איך אוועק געבן כדי צו אויספראבירן ״אלע״ מעגליכע קאדס, ווען א קאד באשטייט פון 4 נומערן/בוכשטאבן (ווען עס איז דא א חילוק אויף וועלכע סדר, די קאד ווערט געדרוקט)?
א חסידישער קינדער-גארטן מלמד, וואס פלעגט מאכן זיינע 15 תלמידים טאנצן יעדן טאג אין א רינג, נישט ווילנדיג אז די קינדער זאלן זיך קריגן: איך וויל זיין אויף די לינקע זייט פון יענקי! איך וויל זיין אויף די רעכטע זייט פון מוישי! איז ער אויפגעקומען מיט א בריליאנטענע געדאנק: מען גייט יעדן טאג טוישן, אז עס זאל זיין אנדערש ווי נעכטן.
וויפיל אקטיווע טעג דארף אריבער גיין כדי אז יעדער אינגל זאל האבן געהאט די טשאנס צו זיין רעכטס און לינקס צו יעדער אנדערער אינגל?
