קאווע שטיבל

[center]אריינפיהר[/center]

[center]די צוויי קריטיש וויכטיגע שליסלעך פון מאטעמאטיק[/center]

ס'איז שוין אריבער עטליכע חדשים, נאך וואס מיינע אלטע אשכולות איבער אריטמעטיק זענען באגראבן געווארן, און אצינד האלטן מיר שוין ביי הקמת המציבה, איך וועל נישט איבערמאכן די מיסטעיק פון אראפברענגען טרוקענע באורונג פאקטן און כללים, ווייל ווי ס'זעהט זיך אויס האט דער עולם נישט קיין סאך אינטערעסע דערין, (אין אביסל מיט רעכט, ווייל ווער עס איז אינטרעסירט זיך צו ברעכן די קאפ, קען גיין לייענען א טעקסט בוק דערפאר).

על כל פנים, יעצט וועל איך נישט אריינגיין אין קיין דעטאלן, איך וועל נאר ארויסברענגען די קריטיש וויכטיגסטע געדאנקען, וואס מען ברויך צו אנערקענען כדי מען זאל אנפאנגען צו פארשטיין מאטעמאטיק. זעלבסט פארשטענדליך, אז מאטעמאטיק ענדיגט זיך נישט נאך אט די געדאנקען, נאר אדרבה, מאטעמאטיק איז א פעלד וואס איז אינסוף פשוטו כמשמעו, עס האלט אין איין זיך דעוועלעפן, עס ווערט טיפער און טיפער יעדע מינוט פון אונזער עקזיסטענץ, און ס'איז נאך אלס דא פלאץ פאר נייע געדאנקען.

כ'האב שוין עטליכע מאל זיך באגעגענט מיט גוטע געריבענע קעפ, פון אונזער מחנה, אזעלכע וואס זענען געוואוינט צו נוצן די קאפ, און זיי ענדזשויען צו טראכטן און רעכענען כל מיני קאמפליצירטע רעכענונגען, אבער עס קומט איינמאל ווען כ'הייב אן צו נוצן x'ס, דאן ווערן זיי אינגאנצן פארלוירן, ווי כאילו איך גיי זיי יעצט משוגע מאכן מיט קבלה מעשית.

סא, לאמיר איינמאל פאר אלעמאל קלאר מאכן, מאטעמאטיק איז נישט געמאכט געווארן צו רעכענען חשבונות, פארדעם איז דא קאלקעלעיטערס (אדער מענטל קאלקעלעיטערס). מאטעמאטיק איז געקומען צו אוועקשטעלן סיסטעמאטישע רולן ווי אזוי צו נוצן ריין און ריכטיג לאגיק. דעריבער ווען עס קומט צו מאכן כל מיני חשבונות, כאטש עס איז דא אזעלכע וואס קענען עס מאכן אויפן קאפ, וועלן זיי דערפאר נישט ווערן אנגערופן אלס גוטע מאטעמאטישנס, נאר דוקא, דער וואס וועט אויפקומען מיט א סיסטעמאטישע וועג (אן אלגאריטאם) ווי אזוי צו אויסרעכענען אט דעם חשבון, אויפגעבויט אויף די כללים פון לאגיק, ער וועט ווערן באטראכט אלס א מאטעמאטיקער.

דערשרעקט זיך נישט, נישט פאר יעדע נארישע רעכענונג וועט איהר דארפן אויפקומען מיט א סיסטעם, ס'איז שוין דא פאר יעדע חשבון וואס וועט אייך קומען צו נוץ, א מסודר'דיגע פונקטליכע וועג.
און דא קומט אריין די צוויי הויפט שליסלען פון מאטעמאטיק, די ערשטע שליסל, איז צו נעמען א סיטואציע, און עס איבערטייטשן אין טרוקענע סימבאלן, אז עס זאל ווערן ערמעגליכט צו טוהן מיט דעם מאטעמאטישע מאניפולאציעס.

למשל, נעם אין באטראכט די פאלגענדע סיטואציע: איך האב הונדערט דאלער, און איך פלאן צו נוצן דערפון אין די ענדע פון מיין טאג 35 דאלער פאר סאפער, יעצט וויל איך גיין איינקויפן, וויפיל מעג איך ספענדן כדי איך זאל נאך בלייבן מיט 35 דאלער פון די הונדערט דאלער.

איך בין זיכער אז רוב פון די לייענער קענען אויסרעכענען דער ענטפער אין איין מינוט, אבער יעצט וויל איך נוצן די סיסטעם וואס איז אוועקגעשטעלט פאר אזעלכע צוועקן, וואס איינמאל מ'ווייס עס, קען עס צונוץ קומען אויך אין מער קאמפליצירטע פעלער, סא, ווי פריער געזאגט, די ערשטע זאך, דארפן מיר עס אראפשרייבן קלאר.

איז לאמיר טראכטן פשוט ווי אזוי מיר דיסקרייבן אט אזא סיטואציע, אונז האבן מיר 100 דאלער, שרייבן מיר די ערשטע זאך אראפ די נומער 100 (אויף די לינקע זייט), דערנאך ווילן אונז אז מען זאל קענען אראפרעכענען דערפון עפעס א סכום פון געלט וואס אונז ווייסן נישט ביזדערווייל וואס איז עס, און אונזער ציהל איז טאקע צו אויסגעפונען וואס ער איז, אבער ביזדערווייל מוזן מיר איהם דאך א נאמען געבן, איז דא זייער א גרינגע עצה, לאמיר איהם רופן x, כלומר פלוני אלמוני וואס איך ווייס נאכנישט ווער עס איז. און נאכן אראפנעמען דעם x, זאלן מיר בלייבן מיט 35. בקיצור, שרייבן מיר אראפ אזוי אונזער סיטואציע:
[center][/center]
אזא סטעיטמענט ווערט אנגערופן א עקוועישן (א גלייכונג, אדער עקוואטיאן -גוגל), און עס איז גאנץ גרינג צו פארשטיין וואס דא שטייט, דער נומער 100 אראפגערעכנט דער נומער x איז ווערד 35.
אבער לאמיר נישט פארגעסן פון אונזער ציהל, אונזער ציהל איז נישט צו וויסן דער 100 און נישט 35, אונז ווילן מיר וויסן ווער איז אט דער באהאלטענער x?

[center][/center]
דערפאר נוצן מיר די צווייטע שליסל פון מאטעמאטיק, און דאס איז וויכטיגער פון אלעס, מיר באטראכטן יעדע עקוועישן אלס א "וואגשאהל" (סקעיל) , וואס ווען ביידע זייטן אנטהאלטן דאס זעלבע וואג, שטייען ביידע זייטן גראד, און אויב לייגט מען צו צו איין זייט, און דערנאך לייגט מען צו צו די אנדערע זייט די זעלבע סכום, בלייבט עס ווייטער גראד.

די זעלבע זאך לעניננו, אויב זאלן מיר טוישן איינע פון די זייטן פונעם סקעיל, און אין די זעלבע צייט גייען מיר טוישן די אנדערע זייט מיט פונקטליך דאס זעלבע טויש, דאן וועט די עקוועישן בלייבן ריכטיג.
לאמיר נעמען א משל, מיט אט דעם עקוועישן:

[center][/center]
יעצט לאמיר צולייגן צוויי, צו ביידע זייטן:
[center][/center]
אויב מיר רעכענען דאס אויס, וועלן מיר זעהן אז די עקוועישן בלייבט ריכטיג (כאטש יעצט איז עס שוין מער נישט דרייצן נאר פופצן, איז די עקוועישן נאך אלס ריכטיג, ווייל ביידע זייטן זענען פופצן).

יעצט לאמיר צוריק גיין און טרייען צו אראפנעמען צוויי פון ביידע זייטן:
[center][/center]
ווידער, ביידע זייטן זענען דאס זעלבע, ביידע זייטן זענען 11.

און דאס זעלבע איז מיט יעדע פעולה וואס מיר וועלן טוהן מיט ביידע זייטן אייניג (!!!), וועט די עקוועישן בלייבן ריכטיג אייביג. ביי מולטיפליקעישן און דיוויזשן, און יעדע אנדערע פעולה.

די לאגיק וואס ליגט אונטער דעם איז ווידער זייער פשוט, ווייל אויב ביידע זייטן זענען טאקע גלייך, דאן רעדן מיר פון די זעלבע נומער, (נאר עקספרעססט אין אן אנדער פארם), און וואס מיר וועלן טוהן מיט אט דעם נומער וועלן מיר אייביג באקומען די זעלבע רעזולטאט.

אט דאס איז די קריטיש וויכטיגסטע שליסל פון מאטעמאטיק, צו באטראכטן יעדע עקוועישן אויף אזא סארט וועג, און יעצט וועלן מיר זעהן ווי אלע פראבלעמען ווערן סיסטאמאטיש געסאלווט נאכן גיין מיט אט דעם געדאנק.

סא, אנגעלאדנט מיט אט דעם טאקטיק, קענען מיר יעצט צוריק גיין צום אויבנדערמאנטן פראבלעם וואס מיר האבן נאכנישט געסאלווט, לאמיר זיך דערמאנען ווי אזוי עס זעהט אויס:
[center][/center]

יעצט לאמיר צולייגן דעם x צו ביידע זייטן אייניג, וועט עס אויסזעהן אזוי:
[center][/center]

נאכנישט קלאר וואס האבן מיר אויפגעטוהן, סא לאמיר געבן א נענטערע בליק אויף דעם עקוועישן, און לאמיר זיך קאנצעטרירן אויף די לינקע זייט, מיר זעהן דעם נומער 100, אראפגענומען x און צוגעלייגט x. אז מיר טראכטן אריין, זעהן מיר אז עס איז נישטא קיין סיבה צו צולייגן א נומער און עס צוריק אראפנעמען, מיר קענען עס לאזן כאילו גארנישט איז נישט געווען, (כאטש אונז ווייסן נאכנישט וואס דער נומער איז, אבער עס איז נישט באמת קיין נפקא מינה, ווייל אט דער לאגיק אפעלירט דאס זעלבע צו אלע נומבערס). אויב אזוי, באקומט דער עקוועישן א נייע פנים:
[center][/center]

יעצט גייען מיר ווידער טוהן אזא טריק, מיר גייען אראפנעמען דעם נומער 35 פון ביידע זייטו, וועט עס אויסוקקן ווי פאלגענד:
[center][/center]

יעצט לאמיר זיך קאנצעטרירן אינעם רעכטן זייט פונעם עקוועישן, און ווידער אמאל אנערקענען אז צולייגן און ווידער אראפנעמען די זעלבע נומער איז נישט קיין עסק, סא, לאמיר עס שרייבן אזוי:
[center][/center]

דאס איז עס, מיר האבן שוין געענדיגט און יעצט ווייסן מיר שוין קלאר אז:
[center][/center]
האבן מיר שוין באקומען דעם סאלושן פאר אונזער פראגע, מיר דארפן נישט מער ווי אראפרעכענען 35 פון 100 און מיר באקומען 65. און דא ענדיגט זיך עס און מיר ווייסן שוין אז:


ווי פריער ערווענט, אין אונזער פאל איז עס נישט וויכטיג צו נוצן, אבער אין מער קאמפליצירטע פעלער, מוזן מיר נוצן אט די סיסטעם וואס מיר קענען גרינגערהייט באקומען סאלושנס פון אלע אזעלכע סארטן פראגעס.

------------------------------------
אינעם קומענדיגן פרק (אינעם זעלבן אשכול), וועלן מיר באהאנדלען א פאל, ווי א מוסד וואס צאהלט 30 פראצענט פאר זייערס א פאנדרייזער, און זיי ווילן אויסרעכענען וויפיל נדבות דארף אריינקומען, כדי די מוסד זאל באקומען א מיליאן דאלער, נאכן אראפגעבן די 30 פראצענט פארן פאנדרעיזער.

Wow! זה היום קיווינו לו, ברוך שהחיינו והגיענו.

שכוח פארוואס?.

ונבנתה העיר האט געשריבן:
שכוח פארוואס?.

ונבנתה העיר האט געשריבן:
שכוח פארוואס?.

נישטא פארוואס.

א גרויסן דאנק פאר'ן עפענען דעם טויער מיט א זעלטענע הסברה און קלארקייט.
אויב שוין יא עפענען טויערן, האלט איך אז מען וואלט געדארפט אנהייבן פריער, ביי יסודות פון פשוט'ע אריטמאטיק וואס קענען זיין זייער וויכטיג בכלל אין לעבן, בפרט בעפאר מען גייט צו אלגעברא. אויב איך וועל האבן כח צייט און געדולד וועל איך אנהייבן שפעטער.

יאיר האט געשריבן:א גרויסן דאנק פאר'ן עפענען דעם טויער מיט א זעלטענע הסברה און קלארקייט.
אויב שוין יא עפענען טויערן, האלט איך אז מען וואלט געדארפט אנהייבן פריער, ביי יסודות פון פשוט'ע אריטמאטיק וואס קענען זיין זייער וויכטיג בכלל אין לעבן, בפרט בעפאר מען גייט צו אלגעברא. אויב איך וועל האבן כח צייט און געדולד וועל איך אנהייבן שפעטער.

איך האב שוין עפעס געשריבן אמאל, אויב דו געדענקסט נאך. אבער כ'מיין אז עס איז נאך דא א מקום עס צו אראפלייגן מער קלארער און פראפעסיאנעל, ומקום הנחתי לך להתגדר בו.

פארוואס האב איך אנגעפאנגען אזוי, ווייל איך האב באמערקט אז די אפעטיט פונעם עולם לויפט אוועק ווען מ'לייגט פלעין אראפ טרוקענע כללים.

זייער שיין!

א משל צו א גלייכע עקוועישן:

פאר + ? = פארוואס

הייליגע ארבעט, פארוואס. אפשר וועל איך איצט משלים זיין וואס כ'האב פארפאסט אין חדר.

האסט נישט געגעבן קיין משל ווען מ'דארף ניצען די טאקטיק. סתם אזוי ביסטו דאך מודה אז ס'איז גרינגער צו רעכענען פשוט 8 + 5 =13, אפשר, אויב אזוי, גיבסטו א ביישפיל ווען דער גאנצער געשעפט מאכט גרינגער די מאטעמאטיק.

אז מ'רעדט שוין. העליך זאגן א מליצה.
+ = + +
- = + -
+ = - -
- = - +

הסבר:
אז:
גוטע זאכן פאסירן צו גוטע מענטשן איז גוט.
שלעכטע זאכן פאסירן צו גוטע מענטשן איז שלעכט.
שלעכטע זאכן פאסירן צו שלעכטע מענטשן איז גוט.
גוטע זאכן פאסירן צו שלעכטע מענטשן איז שלעכט.

+ = - - ווייל אז איך זאג למשל, "מיין רבי איז נישט נישט א בעל עבירה" מיינט עס אז ער איז יא א בעל עבירה. משא"כ, + + כמובן.

אפטעמיסט האט געשריבן:הייליגע ארבעט, פארוואס. אפשר וועל איך איצט משלים זיין וואס כ'האב פארפאסט אין חדר.

האסט נישט געגעבן קיין משל ווען מ'דארף ניצען די טאקטיק. סתם אזוי ביסטו דאך מודה אז ס'איז גרינגער צו רעכענען פשוט 8 + 5 =13, אפשר, אויב אזוי, גיבסטו א ביישפיל ווען דער גאנצער געשעפט מאכט גרינגער די מאטעמאטיק.

ניין, מיין מטרה איז נישט אז דו זאלסט משלים זיין דאס וואס דו האסט פארפאסט אין חדר, נאר דאס וואס וואס דו האסט פארפאסט אין קאלעדזש. (עוד חזון למועד...)

8+5=13 האב איך נישט געברענגט קיין מעטאד צו אויסרעכענען, (און כמדומני אז עס איז נישטא קיין מעטאד דערפאר חוץ פון נוצן די קאפ, און אויב עס איז נישט גענוג, נוצט מען די פינגער פון די הענט, און אויב עס איז נישט גענוג נוצט מען די פינגער פון די פיס, און אויב נאך אלס נישט נוצט מען א קאלקעלעליטאר), איך האב נאר געברענגט א דוגמא, אז יעדע עקוועישן וואס מיר וועלן נאר טוהן צו ביידע זייטן אייניג, וועט די עקוועישן בלייבן ריכטיג, וואס דאס איז א וויכטיגע יסוד פאר מאטעמאטיק בכלל און אלגעברא בפרט.
ווען עס קומט צונוץ? אדרבה, כ'האב שוין געשריבן וואס איך גיי רעדן אינעם קומענדיגן פרק, ביזט געלאדנט צו אויסרעכענען דעם ענטפער אויפן קאפ.

איז דא א גרינגערע וועג עס צו רעכענען ווי פשוט רעכענען וויפיל דרייסיג פראצענט פון א מיליאן איז, און צולייגן יענע סכום? (און אונזער פאל 1.3 מיליאן).

אפטעמיסט האט געשריבן:איז דא א גרינגערע וועג עס צו רעכענען ווי פשוט רעכענען וויפיל דרייסיג פראצענט פון א מיליאן איז, און צולייגן יענע סכום? (און אונזער פאל 1.3 מיליאן).

ניין. דאס איז נישט די ריכטיגע ענטפער, ווייל אויב וועט דער פאנדרעיזער אראפנעמען 30 פראצענט פון 1.3 מיליאן, וועט די מוסד האבן ווייניגער ווי א מיליאן.

70.÷1000000

טאמבל סאס האט געשריבן:אז מ'רעדט שוין. העליך זאגן א מליצה.
+ = + +
- = + -
+ = - -
- = - +

הסבר:
אז:
גוטע זאכן פאסירן צו גוטע מענטשן איז גוט.
שלעכטע זאכן פאסירן צו גוטע מענטשן איז שלעכט.
שלעכטע זאכן פאסירן צו שלעכטע מענטשן איז גוט.
גוטע זאכן פאסירן צו שלעכטע מענטשן איז שלעכט.

+ = - - ווייל אז איך זאג למשל, "מיין רבי איז נישט נישט א בעל עבירה" מיינט עס אז ער איז יא א בעל עבירה. משא"כ, + + כמובן.

דו מיינסט לכאורה צו ערקלערן פארוואס א פאזיטיוו נומער טיימס א פאזיטיוו איז פאזיטיוו, און א נעגעטיוו טיימס א נעגעטיוו איז נעגיטיוו.

באותו ענין, האב איך אמאל געלייענט אן אינטרעסאנטן סיפור טאקע אינעם ביכל וואס [tag]יידל[/tag] האט אמאל רעקאמאנדירט:
[left]

The eminent linguistic philosopher J. L. Austin of Oxford once gave a lecture in which he asserted that there are many languages in which a double negative makes a positive but none in which a double positive makes a negative—to which the Columbia philosopher Sidney Morgenbesser, sitting in the audience, sarcastically replied, Yeah, yeah.

[/left]

פארוואס? האט געשריבן:

יאיר האט געשריבן:א גרויסן דאנק פאר'ן עפענען דעם טויער מיט א זעלטענע הסברה און קלארקייט.
אויב שוין יא עפענען טויערן, האלט איך אז מען וואלט געדארפט אנהייבן פריער, ביי יסודות פון פשוט'ע אריטמאטיק וואס קענען זיין זייער וויכטיג בכלל אין לעבן, בפרט בעפאר מען גייט צו אלגעברא. אויב איך וועל האבן כח צייט און געדולד וועל איך אנהייבן שפעטער.

איך האב שוין עפעס געשריבן אמאל, אויב דו געדענקסט נאך. אבער כ'מיין אז עס איז נאך דא א מקום עס צו אראפלייגן מער קלארער און פראפעסיאנעל, ומקום הנחתי לך להתגדר בו.

פארוואס האב איך אנגעפאנגען אזוי, ווייל איך האב באמערקט אז די אפעטיט פונעם עולם לויפט אוועק ווען מ'לייגט פלעין אראפ טרוקענע כללים.

איך רעד נישט פון טרוקענע כללים, נאר פון די לאגיק אונטער די כללים. איך געדענק נישט פונקטליך וואס דו האסט געדעקט און וואס נישט, אבער אסאך מאל אפילו אויב מען קען אלע כללים איז עיקר חסר מן הספר אויב מען פארשטייט נישט קלאר "פארוואס?" די כללים ארבעטן. עס זענען דא אן א שיעור שטרויכלונגען וואס וועלן שטיין אין וועג פאר איינעם וואס הייבט אן לערנען מאטעמאטיק איידער ער פארשטייט ווי אזוי נומערן ארבעטן. מהאי טעמא האב איך שטארק הנאה פון דעם אשכול וויבאלד עס הייבט אן מיט די סברות פארוואס מיר דארפן האבן אלגעברא און וואס איז די לאגיק אונטער דעם.

@פארוואס? זעט אויס דער הויכגעשעצטער פראפעסאר ווייסט נישט פון "אין ריבוי אחר ריבוי אלא למעט".

יאיר האט געשריבן:איך רעד נישט פון טרוקענע כללים, נאר פון די לאגיק אונטער די כללים. איך געדענק נישט פונקטליך וואס דו האסט געדעקט און וואס נישט, אבער אסאך מאל אפילו אויב מען קען אלע כללים איז עיקר חסר מן הספר אויב מען פארשטייט נישט קלאר "פארוואס?" די כללים ארבעטן. עס זענען דא אן א שיעור שטרויכלונגען וואס וועלן שטיין אין וועג פאר איינעם וואס הייבט אן לערנען מאטעמאטיק איידער ער פארשטייט ווי אזוי נומערן ארבעטן. מהאי טעמא האב איך שטארק הנאה פון דעם אשכול וויבאלד עס הייבט אן מיט די סברות פארוואס מיר דארפן האבן אלגעברא און וואס איז די לאגיק אונטער דעם.

לאגיק אונטער כללים?!?!
ווידער קומען אונז אן צו אונזער אור-אלטער מיספארשטענדעניש איבער וואס לאגיק איז.
([tag]ונבנתה העיר[/tag])

פארוואס? האט געשריבן:

יאיר האט געשריבן:איך רעד נישט פון טרוקענע כללים, נאר פון די לאגיק אונטער די כללים. איך געדענק נישט פונקטליך וואס דו האסט געדעקט און וואס נישט, אבער אסאך מאל אפילו אויב מען קען אלע כללים איז עיקר חסר מן הספר אויב מען פארשטייט נישט קלאר "פארוואס?" די כללים ארבעטן. עס זענען דא אן א שיעור שטרויכלונגען וואס וועלן שטיין אין וועג פאר איינעם וואס הייבט אן לערנען מאטעמאטיק איידער ער פארשטייט ווי אזוי נומערן ארבעטן. מהאי טעמא האב איך שטארק הנאה פון דעם אשכול וויבאלד עס הייבט אן מיט די סברות פארוואס מיר דארפן האבן אלגעברא און וואס איז די לאגיק אונטער דעם.

לאגיק אונטער כללים?!?!
ווידער קומען אונז אן צו אונזער אור-אלטער מיספארשטענדעניש איבער וואס לאגיק איז.
([tag]ונבנתה העיר[/tag])

די לאגיק (בעסער געזאגט: אינטואיציע) אונטער כללים איז דער סוד ווי אזוי ס'איז בכלל איינגעפאלן פאר איינעם אז די כללים קענען ארבעטן.

ניין! אין מועט אחר מועט אלא לרבות. א דאפלט נעגעטיוו , בזה אחר זה, מאכט נישט א פאזיטיוו?

[center]פרק א[/center]

אין דעם פרק וועל איך געבן א דוגמא, ווי אזוי מ'קען נוצן די אויבנדערמאנטע טאקטיק, און אין צווישן וועט לכאורה זיין חידושים, וואס איך וועל אנמערקן און וואס איך וועל נישט אנמערקן, איך בעט בתחנונים ביי יעדן איינעם וואס לערנט עס ערנסט אדורך, אויב פיהלסטו אז א געוויסע זאך איז נישט 100% קלאר, דאן האלט זיך נישט צוריק פון צו אנמערקן.

אלזא, גייען מיר יעצט פראבירן צו טרעפן א סיסטעם ווי אזוי צו אויסרעכענען די פאלגענדע שאלה:

א מוסד וואס צאהלט פאר זייער פאנדרייזער 30 פראצענט, פון יעדן סכום וואס ער ברענגט אריין. יעצט וויל די מוסד וויסן: וויפיל געלט וועט דער פאנדרייזער דארפן מאכן, כדי אז נאכן אראפנעמען זיינע 30%, זאל בלייבן פאר די מוסד א גאנצע מיליאן?

לאמיר זיך נעמען צו די ארבעט. די ערשטע זאך וואס מיר דארפן טוהן איז, נעמען די ווערטער-פראגע, און עס איבערטייטשן אין טרוקענע מאטעמאטישע סימבאלן.
אלזא, מיר ווילן וויסן וואס גייט זיין דער סכום וואס אויב וועט מען אראפנעמען פון איהם 30 פראצענט וועלן מיר באקומען 1,000,000. דאן לאמיר א נאמען געבן דעם סכום x, אזוי אויך די דרייסיג פראצענט, אויב ווילן מיר איהם שרייבן מאטעמאטיש, דארפן מיר איהם שרייבן אלס 0.30 מאל x. סא, לאמיר עס שרייבן אזוי:

[center][/center]

כדי אביסל צו קלארער מאכן, וועל איך טוישן דעם 0.3 פון א דעצימאל אויסלייג צו א פרעקשן, נעמענדיג און באטראכט אז , לאמיר עס בעסער שרייבן אלס:

[center][/center]

יעצט לאמיר טוישן א קלייניקייט, וואס איז בעצם נישט משנה, ווייל נעמענדיג אין באטראכט אז , קענען מיר אראפשרייבן די אויבנדערמאנטע עקוועישן, אזוי:

[center][/center]

לאמיר זיך האלטן ביים קאנצעטרירן אינעם לינקן זייט פונעם עקוועישן, ווען מיר אנערקענען אז בעצם: , אויב אזוי קענען מיר אראפשרייבן די אויבנדערמאנטע עקוועישן אזוי:
[center][/center]

אקעי, גענוג זיך ארומגעשפילט מיט סימבאלן, לאמיר קלאר מאכן פאר די וועלכע זענען געווארן צומישט, צו וואו מיר זענען אצינד אנגעקומען. מיר זאגן יעצט אזוי, זיבן צענטלעך פון דעם סכום וואס דער פאנדרעיזער דארף פאנדן איז א מיליאן דאלער. (טראכט אריין אויב עס מאכט דיר סענס).

יעצט האבן מיר באקומען זייער א פשוטע עקוועישן, וואס עס זייער גרינג צו ארויספאנגען דעם x, אז מיר וועלן צוטיילן ביידע זייטן פון די עקוועישן אין , און עס וועט אויס זעהן אזוי:

[center][/center]

יעצט לאמיר ווידער באטראכטן דעם לינקן זייט פונעם עקוועישן, און מיר וועלן אנערקענען אז דער עקס, איז געווארן געדאפלט און צוטיילט אין נו, ווי אויבן געזאגט דאפלען און דערנאך צוטיילן אינעם זעלבן נומער, איז איבעריג, אויב אזוי קענען מיר שוין שרייבן דעם x אליינס, אזוי:

[center][/center]

שוין, אצינד ווייסן מיר שוין וואס דער x איז. (און אזוי ווי [tag]מאטי[/tag] האט מיר שוין אויסגעכאפט, מ'קען עס אריינלייגן אינעם קאלקעלעיטער אלס א מיליאן צוטיילן אין 0.7), אבער מיר קענען איהם אביסל פארשענערן, ווי פאלגענד:

[center][/center]

שוין יעצט איז עס שוין פשוט 10 מיליאן זיבעטלעך, אדער: 1428571.43 דאלער. (גאנץ א שיינע סכום, ותזכו למצוות).

טאמבל סאס האט געשריבן:ניין! אין מועט אחר מועט אלא לרבות. א דאפלט נעגעטיוו , בזה אחר זה, מאכט נישט א פאזיטיוו?

ס׳איז גראדע משמע פונ׳ם מלבי״ם (מלכים א ח ט), אז דאס וואס מ׳דרש׳נט אין מיעוט [שלילה] אחר מיעוט [שלילה] אלא לרבות [לחייב] איז מכח כללי הגיון/לאגיק ע״ש. משא״כ דאס פון אין ריבוי אחר ריבוי אלא למעט איז נאר מכח כללי הדרש בתלמוד.

פארוואס? האט געשריבן:8+5=13 האב איך נישט געברענגט קיין מעטאד צו אויסרעכענען.

ס׳איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען אז ס׳האט גענומען אלפרעד נארט ווייטהעד און בערטראנד רוססעל איבער 360 זייטן אין זייער בוך Principia Mathematica צו פרווון (אין סימבאלן וכו׳) אז 2=1+1 (איינמאל עדישאן ווערט דעפיינט). (זיי האבן דארט צוגעשריבן ״אז דאס איז נוצליך פון צייט צו צייט״...)

א זיסע וויץ אין דעם:

מ׳האט געגעבן א טעסט פאר א מאטעמאטיקער, א פיזיקער, און אן ענדזשיניִר. די בחינה האט געהאט איין שאלה: ״וואס איז 1+1?״

נאך א פאר שעה מיט א טוץ פאפירן פירט אויס דער מאטעמאטיקער, ״איך האב אויפגעוואוזן אז דאס איז א נעטשורעל נומער.״

דער פיזיקער נאכ׳ן טשעקן פאר פּערעלעקס עראָר און זיינע קוואנטום טעיבּלס זאגט, ״ס׳איז זיכער צווישן 1.9999999 און 2.0000001 ״

דער ענדזשיניִר האט געזאגט, ״אָהה. ס׳איז 2. איין מינוט! צו זיין פארזיכערט לא׳מיר עס בעסער מאכן 3.״