בואו חשבון

[יאיר]

אין דעם אשכול וויל איך אנהייבן באשרייבן יסודות פון מאטעמאטיק מיט'ן ציל צו נענטער מאכן די פרעמדע מושגים ולקרבם אל השכל. ווער עס האט אן אינטערעסע דערין איז געלאדנט צו קומען אויף א רואיגער שפאציר אין דעם גן המתמתיקה. בואו ונחשוב חשבונו של עולם!
[center]הקדמה[/center]
מאטעמאטיק איז די שפראך פון דער אוניווערס – אזוי איז ידוע מפי ספרים וסופרים, פון אוקלידוס ביז ניל דייגרעס טיסאן. די סיבה דערצו איז וויבאלד מאטעמאטיק איז די מערסטע יסודות'דיגע חכמה וואס איז פארהאן. ווי נאר דער מענטש וויל זיך ארויסזען פון זיינע קאנקרעטע גרעניצן און אריינשפאצירן אין אינטעלעקטועלע מוח סוגיות איז מאטעמאטיק דער יסוד אויף וואס ער דארף אראפשטעלן זיין בנין.
מהאי טעמא איז מאטעמאטיק די ריינסטע חכמה. דהיינו, עס זענען פארהאן דארטן די ווייניגסטע פלוגתות (אויב בכלל). א סטעיטמענט איז אדער אמת אדער שקר אין מאטעמאטיק, עס איז נישט פארהאן קיין אינצווישן. עס לאזט זיך דעריבער דעבאטירן אויב מאטעמאטיק איז בכלל א חכמה. צו זאגן אז צוויי מיט צוויי איז פיר איז לכאורה אזוי פשוט אז עס איז בכלל נישט קיין חכמה, עס איז ענדערש דער וועג ווי אזוי מיר פראצעסירן אונזער רעאליטעט.
דער רעאליטעט איז אבער אז מאטעמאטיק איז שוין איינמאל א חכמה, כאטש רוב מענטשן זעען נישט קיין גרויסע הנאה דערפון. אבער דאס איז נאר וויבאלד זיי פארשטייען נישט דער באדייט פון מאטעמאטיק. דהיינו, זיי פארשטייען נישט דעם קאנצעפט אז מאטעמאטיק איז אן אבסטראקטע, און גאר בליציגע חכמה.
אלזא, לאמיר צוטרעטן צו די נקודה און פארשטיין וואס איז מאטעמאטיק. לאמיר אנהייבן מיט די ציגל: די נומערן.
ווען איך זאג אז איך האב צוויי פאפירן, פארשטייט יעדער אז איך פארמאג צוויי שטיק פון דעם מאטריאל פאפיר. דהיינו, דער נומער צוויי ווערט אין דעם טאג טעגליכן באנוץ באלד עסאוסיעיטעד מיט דעם בילד פון צוויי זאכן. אבער אין מאטעמאטיק איז דאס נישט אזוי. דער נומער צוויי איז דער "קאנצעפט" צוויי. דאס איז אזא באשעפעניש וואס מיר בויען אויף אין קאפ און מיר באטיטלען עס מיט'ן נאמען "צוויי", וואס מיר קענען טראכטן דערוועגן אלס א בלויזע קאנצעפט, עס דארף נישט רעפרעזענטירן קיין גשמיות'דיגע אביעקטן.
למאי נפקא מינא?
קודם למקח וממכר. אויב איך שרייב אונטער איך גיי דיר פארקויפן פינף הייזער קען איך זאגן אז איך האב געמיינט צו זאגן איך פארקויף דעם קאנצעפט פינף צוזאמען מיט צוויי הייזער.
אבער מיר זענען דאך נישטא פאר ביזנעס, מיר זענען דא צו לערנען. אלזא, די נפקא מינא וועט כאפן אז מיט צוויי פיזישע פאפירן קען מען נישט מאכן קיין חשבונות, מה שאין כן מיט דעם קאנצעפט צוויי קען מען יא. ווען איך האב צוויי פאפירן, פון וואנעט ווייס איך אז אויב איך שטעל צו נאך צוויי פאפירן וועל איך האב פיר? גוט, כ'קען עס אויספרובירן און זען וויפיל עס וועט זיין. אבער איך וויל דאך קענען זיין א חכם הרואה את הנולד, און זאגן פאר א מענטש וואס האט נאך קיינמאל נישט געזען א פאפיר אז טאמער ער וועט האבן צוויי דערפון און צושטעלן נאך צוויי וועט ער האבן פיר?
אויף דעם קומט דא צונוץ דער קאנצעפט פיר. דער מענטשליכער מוח פארשטייט אז צוויי מיט צוויי מוזן בעל כרחך זיין פיר, ווייל דער דעפינישאן פון דעם קאנצעפט צוויי זאגט אז טאמער מען וועט האבן צוויי אזעלכע קאנצעפטן וועט מוזן ווערן פיר. יעצט ווען וועט עס טאקע אויספרובירן למעשה און מען וועט זען אז דאס ארבעט, איז דאס א שטארקע ראיה אז אונזער מוח ארבעט טאקע ריכטיג, און ס'איז נישט סתם עפעס א דמיון, נאר אונזער מוח האט די מעגליכקייט צו דערגיין ממש די סודות הבריאה, וואס האט אין זיך איינגעקריצט א חוק ולא יעבור אז צוויי מיט צוויי וועט אייביג זיין פיר.
אין אנדערע ווערטער, די סיבה פארוואס דער מאטעמאטישער חשבון פון 2+2=4 איז אמת איז נישט וויבאלד יעדער זעט אז צוויי זאכן מיט צוויי זאכן זענען פיר זאכן, נאר פארקערט: דער מציאות אז צוויי מיט צוויי איז פיר איז וויבאלד עס איז דא א מאטעמאטישער געזעץ אז 2+2=4. דער ערשטער חלק קען א בהמה אויך וויסן. שטעל אראפ צוויי מיט צוויי און דער בהמה וועט זען פיר. דער צווייטער חלק איז א מתנה וואס בלויז דער מענטש איז באשאנקען געווארן, דהיינו נעמען דעם מציאות און עס אויסשטעלן לויט מעטאפיזישע כללים וואס זענען אמתיים מפני שהם אמתיים.
(איך גיי נישט יעצט דא אריין אין דער פילאזאפישער נושא אויב נומערן עקזיסטירן באמת וכו', איך רעד נאר לגבי דער מאטעמאטישער שפראך, ווייל דאס איז כו"ע מודה אז בשעת מען מאכט מאטעמאטישע חשבונות באנוצט מען זיך מיט נומערס אלס מושגים בפנ"ע כאילו זיי עקזיסטירן באמת).
איינמאל מען פארשטייט דעם דערהער באקומט גאנץ מאטעמאטיקס א נייער פנים. צום ביישפיל, דער נומער זערא איז ביי רוב מענטשן רעגיסטרירט אלס א ליידיגע זאך. 0 = גארנישט. אפשר אין די גשמיות'דיגע וועלט איז דאס אמת, אבער אין די מאטעמאטישע וועלט איז זערא לכאורה דער וויכטיגסטער נומער, ווי מיר וועלן שפעטער זען.
אזוי אויך אין די גשמיות'דיגע וועלט איז נישט פארהאן אזא זאך ווי א נעגאטיווע נומער (קיינער האט נאך נישט געזען פאפירן אין דער צאל פון נעגאטיוו פינף). אבער אין מאטעמאטיק האט א נעגאטיווע נומער פונקט אזא תוקף ווי א פאזיטיווע נומער. ווער רעדט נאך ווען עס קומט צו דער וואונדערליכער "מספר מדומה", וואס קען אודאי נישט ווערן "געזען" אין די פיזישע וועלט, כאטש עס זענען פארהאן פיזישע מציאות'ן וואס קענען נאר גערעכנט ווערן לויט אזא סארט נומער. אבער לאמיר נישט כאפן הייסע לאקשן.
אין די קומענדיגע תגובה וועלן מיר זיך האפנטליך באקענען אביסל נענטער מיט די נומערן אין דער מאטעמאטישער זין, אויב מיין צייט און געדולד וועט נישט אויסלויפן אינצווישן.

[אפטעמיסט]

ענדליך רעדט איינער מאמע לשון.

איין זאך וויל איך פארשטיין: דאס אז 2+2=4 זאגסטו אויך איז א פשוט'ע זאך וואס מ'זעט פיזיש און ס'איז א פארשטענדליכער אויפגעוויזענער מציאות. איך האב אייביג פארשטאנען אז ווען מ'רעדט וועגן די שווערע מאטאמאטישע עקזעמפעלס, למשל די גמרא אין סוכה (נישט אז ס'איז אזוי שווער, כ'כאפ נאר אן א דוגמא) זענען די תירוצים און נומערן א זאך וואס מ'קען זען און פארשטיין פיזיש און כ'פלעג מיך אלס מוטשענען צו פרובירן מצמצים זיין די מח פרובירענדיג אויסרעכענען אין קאפ צי ס'שטימט טאקע במציאות. וואס דו זאגסט אבער איז אז איינמאל מ'פארשטייט וויאזוי נומערן ארבעט קען מען אננעמען מיט אן אמונה פשוטה אז די כללים פון מאטאמאטיק זאגט נישט קיין שקר, און אפילו אויב די אלע עגולים און שווערע עקזעמפעלס זענען שווער צו פארשטיין פיזיש — איז עס פארט אמת און גערעכט.

[כוכב]

אמן.
ידיד נפש כו'.
(וואס איז געבליבן שכר מצוה בהאי עלמא איכא אדער ליכא? )

[יאיר]

בבקשה פון אלע מגיבים דא (אריינגערעכנט די גרויסע שטערנס) נישט אריינצושטעלן דא תגובות וואס ענטהאלטן דברים של מה בכך און העלפן נישט ארויס דער ציל פון דעם אשכול. תודה.

[יאיר]

ענדליך רעדט איינער מאמע לשון.

איין זאך וויל איך פארשטיין: דאס אז 2+2=4 זאגסטו אויך איז א פשוט'ע זאך וואס מ'זעט פיזיש און ס'איז א פארשטענדליכער אויפגעוויזענער מציאות. איך האב אייביג פארשטאנען אז ווען מ'רעדט וועגן די שווערע מאטאמאטישע עקזעמפעלס, למשל די גמרא אין סוכה (נישט אז ס'איז אזוי שווער, כ'כאפ נאר אן א דוגמא) זענען די תירוצים און נומערן א זאך וואס מ'קען זען און פארשטיין פיזיש און כ'פלעג מיך אלס מוטשענען צו פרובירן מצמצים זיין די מח פרובירענדיג אויסרעכענען אין קאפ צי ס'שטימט טאקע במציאות. וואס דו זאגסט אבער איז אז איינמאל מ'פארשטייט וויאזוי נומערן ארבעט קען מען אננעמען מיט אן אמונה פשוטה אז די כללים פון מאטאמאטיק זאגט נישט קיין שקר, און אפילו אויב די אלע עגולים און שווערע עקזעמפעלס זענען שווער צו פארשטיין פיזיש — איז עס פארט אמת און גערעכט.

ריכטיג. דער קונץ פון מאטעמאטיק איז אוועקצושטעלן כללים (געבויט אויף ריינע לאגיק) וואס לויט זיי וועט מען קענען אויסרעכענען די שווערסטע חשבונות און מ'וועט נישט דארפן טשעקן פיזיש אויב ס'שטימט.
אודה ולא אבוש אז צומאל ווען איך לעז (המכונה סאלוון) א פארפלאנטערטע עקוועישאן כאפט זיך אריין א הרהור כפירה אין מיר, ווער זאגט אז די כללים וואס איך האב אוועקגעשטעלט אין אנהויב עקספייערן נישט ערגעץ וואו אין די הויכע ציפערן.
למעשה זעט מען אבער אז סייענטיסטן רעכענען נאטורליכע פענאמענע אין די וועלט אין די גרעסטע ציפערן, און פונדעסטוועגן שטימט עס שטענדיג אויפ'ן האר. ממילא אויב ס'איז דא איין זיכערע זאך אין די אוניווערס איז עס בלי ספק מאטעמאטיק.

[כוכב]

אויפגעוועקט

[ראש הישיבה]

איז נישט מאטעמאטיק א בריאה ווי יעדער בריאה?

[מאטי]

גרויסע מחלקות הפסוקים, יאיר בארירט דאס אינעם אשכול.

[ראש הישיבה]

יעדער סברא איז א בריאה. דאס אז מען פארשטייט אז איינס מיט איינס איז צוויי איז זיכער א מוגבל'דיגע בריאה.

[מאטי]

קוק דורך דעם אשכול וואס יאיר האט געלינקט.

[יאיר]

לאמיר אנהייבן זען וואס דאס איז א נומער אין מאטעמאטיק. די ערשטע זאך דארף מען זיך פארשטעלן א "נומער ליניע", וואס אויף דעם וועלן זיין אויפגעשריבן אלע נומערן פון אויס ביז אויס. דער נומער ליניע איז איינגעטיילט אין צוויי חלקים. עס הייבט זיך אן אינמיטן ביים נומער זערא. ומשם יפרד והיה לשתי ראשים: אויף די רעכטע זייט געפינען זיך די פאזיטיווע נומערן, אויף די לינקע זייט די נעגאטיווע נומערן.


כדי עס זאל זיין גרינגער קענט איר זיך פארשטעלן אנשטאט א ליניע פון רעכטס אויף לינקס, זאל זיין א געביידע פון אויבן אויף אראפ. דער נומער זערא איז דער גראונד וואו איר קומט אריין אין דעם בנין המתמתיקה. אויב ווילט איר אנקומען צו נומער פינף דארפט איר ארויפפארן פינף שטאק מיט'ן עלעוועיטאר, אויב ווילט איר אנקומען צו 5- דארפט איר אראפפארן פינף שטאק.
ווי הויך איז דער בילדונג? כד הוינא טליא האב איך געהערט מבית אבותי ורבותי אז דער העכסטער נומער איז גוגל. ומימי היה קשה לי, וואס איז מיט גוגל און איינס, איז עס נישט א העכערער נומער ווי גוגל? בין איך אויפגעוואקסן בין איך געוואויר געווארן אז גוגל איז טאקע גאר ספעציעל, כמעט וואס עס גרייכט צום אין סוף ב"ה, אבער עס איז פארט נישט די העכסטע נומער.
אלזא דער בנין איז וראשו מגיע השמימה, עס פארט העכער און העכער און עס פארט נאכאלס בשעת איך שרייב די שורות. וויבאלד עס איז נישטא קיין נומער וואו עס שטעלט זיך אפ, נמנו וגמרו אז מען גייט באצייכענען דעם דאך פון דעם בילדונג אלס אין סוף, וואס איז אין מאטעמאטיק דער סימבאל ∞ . אזוי אויך מיט דעם עלעוועיטאר אויף אראפ קען מען פארן ביז אונטן עד אין סוף ועד אין קצבה, ביז די אונטערשטע טשערעפאכע. דער סאמע סוף פון די אונטערשטע שטאקן ווערט באצייכנט אלס ∞- .
יעצט לאמיר זען: אויב איר באגעגנט דעם חשבון 2+2, וואס באדייט דאס אין מאטעמאטיק? באלד ווען איר באטראכט דעם חשבון שטייט איר מיט צוויי פיס אויף דער ערד, לאמיר עס רופן גראונד זערא. איר באקומט א באפעל "2". אויב עס פארמאגט נישט א - סימבאל אויף די לינקע זייט איז פשט אז דאס איז א פאזיטיווע נומער. דאס באדייט אז איר דארפט אריינשפרינגען אין דעם עלעוועיטאר און ארויפפארן צוויי שטאק. איר קומט אן אויבן און איר באקומט א פרישע אינסטרוקציע: +. דאס מיינט אז איר זענט נאכנישט אנגעקומען צו אייער דעסטינאציע, איר דארפט נאך פארן נאך עטליכע שטאק. אבער וויפיל שטאק? ארויף אדער אראפ? אויף דעם באקומט איר די דריטע אינסטרוקציע: 2. און איר פארט ארויף מיט חשק נאך צוויי שטאק. איר דערזעט זיך אויפ'ן פערטן שטאק. מאכט איר דעם חשבון: ארויפפארן צוויי שטאק און נאכדעם פארן נאך צוויי שטאק איז די זעלבע ווי פארן אויף איינמאל פיר שטאק. גיבט איר א שרייב צו: 4 = . וואס דאס באדייט: זאויב מען רוקט זיך אויף דעם פאזיטיוון זייט צוויי שטאק, איינמאל און נאכאמאל, דאן קומט מען אן אויף דעם זעלבן ארט ווי ווען מען רוקט זיך איינמאל פיר שטאק אויף ארויף. דער סארט פעולה וואס איר האט איצט געטון ווערט אנגערופן addition.
אויב איר באקומט דעם חשבון 2-3 וואס טוט איר? קודם פארט איר ארויף צוויי שטאק. יעצט קוקט איר ווייטער און איר באקומען דעם מעסעזש 3-. אלזא זייט מוחל און רוקט זיך אראפ דריי שטאק. איר קומט צו איין שטאק אונטער דער ערד, וואס איז אודאי 1-. דער פעולה, דאס פארן קודם ארויף און נאכדעם אראפ, ווערט אנגערופן subtraction. באמת איז דאס די זעלבע געדאנק ווי addition, דהיינו, אין ביידע פעלער פארט מען צוויי (אדער מער מאל), דער חילוק איז נאר, אין דעם ערשטן פאל פארט מען צוויי מאל אויף ארויף, בעת אין דעם צווייטן פאל פארט מען קודם אויף ארויף און נאכדעם אויף אראפ. אויף דעם טעכנישן שפראך מיינט דאס אז יעדן מאל מען subtract א נומער איז דאס פונקט ווי מען לייגט צו א נעגאטיווע נומער. אכט מיינוס פיר באשטייט פון צוזאמרעכענען צוויי נומערן: דער פאזיטיווער נומער אכט און דער נעגאטיווער נומער פיר.
וואס טוט זיך אויב איר באקומט דעם חשבון: 2-2? אין אזא פאל פארט איר קודם ארויף צוויי שטאק, דערנאך פארט איר אראפ צוויי שטאק. איר קומט אן צוריק צו גראונד זערא. און איר באצייכנט דאס אלס 0 =. דהיינו, דאס פארן ארויף און אראפ די זעלבע צאל שטאקן, איז די זעלבע ווי ווען מען רירט זיך בכלל נישט פון ארט.
אין אזא פאל באקומען די צוויי נומערן א לומדי'שן טערמין: 2 און 2- זענען opposites. דעם זעלבן טיטל באקומען די נומערן 3 און 3-, 4 און 4-, און אזוי ווייטער. דער כלל גדול איז אז יעדע צוויי נומערן וואס אויב מען רעכנט ביידע צוזאמען באקומט מען א זערא, זענען זיי opposites. איר קענט זיך דאס אויך גרינג מצייר זיין דורכ'ן באטראכטן דעם נומער ליניע, וועט איר זען אז אלע opposite נומערן זענען די זעלבע מרחק איינער פון דעם צווייטן.
יעצט לאמיר זען נאך א חשבון: 1 + 3. איר פארט ארויף דריי שטאק, דערנאך נאך א שטאק, און איר פארצייכנט אייער דעסטינאציע: 4. וואס טוט זיך אויב איר זענט אן אויבער חכם און איר ווילט קודם ארויפפארן 1 שטאק און ערשט נאכדעם 3 שטאק, דהיינו איר ווילט ענדערש מאכן דעם חשבון 3 + 1? וועט איר באקומען די זעלבע רעזולטאטן ווי דעם פאריגן חשבון? דער ענטפער איז אזוי לאנג ווי איר נוצט ביידע נומערן קענט איר עס ארומדרייען ווי אזוי איר ווילט, און איר וועט שטענדיג אנגעקומען צו דעם זעלבן דעסטינאציע. דער כלל איז גילטיג ביי addition.
ווי איז אבער ביי subtraction (אדער מיינוס, כרגיל בפי העם)? למשל, 1 - 3, האבן מיר דאך געשמועסט אז מען פארט קודם ארויף דריי שטאק דערנאך אראפ איין שטאק. וואס טוט זיך אויב איר ווילט טוישן, און פארן אויף אראפ דריי שטאק און אויף ארויף איין שטאק, דהיינו 3 - 1? נו, רעכנט אויס ביידע חשבונות און איר וועט זען אז איר קריגט גאנץ אנדערע רעזולטאטן. דעם ערשטן חשבון גיבט אייך צוויי, בעת דער צווייטער חשבון גיבט אייך 2-. אלזא, מען קען נישט ארומדרייען די נומערן ביי subtraction, נאר מען מוז פונקטליך פאלגן די אנווייזונגען אין א סדר, טאמער נישט וועט מען אנקומען צו די ראנג אפיס און דער בעל הבית וועט אייך ארויסווארפן.
אבער טאמער איר ווילט דוקא זיך עקשנ'ען און טון עפעס אנדערש ווי מען האט אייך געהייסן, איז פארהאן אן אויסוועג. איר קענט נעמען דעם גאנצן צווייטן חלק, דהיינו, נעמט דעם נומער 1 צוזאמען מיט דעם מיינוס סימבאל, וואס דאס באדייט אז עס איז א נעגאטיווע נומער, און שטעלט עס אין פארנט כזה: 3 + 1-. קודם פארט איר אראפ איין שטאק, דערנאך פארט איר ארויף דריי שטאק. וואו קומט איר אן? צוויי! גענוי ווי דעם אריגינעלן חשבון.
המשך יבוא, להיות לעזר למבקשים חשבונות רבים.

[אפטעמיסט]

נאכאמאל ייש"כ דר. יאיר פאר'ן נעמען די מי אונז אויסצולערנען פלאס & מיינעס.

זיי מיר מוחל אויב כ'וועל פרעגן באבע קשיות אויפ'ן רייזע, ווייל לצערי ולחרפתי הרב בין איך נישט באהאווענט אפילו אין די יסודות און עיקרים פון מאטאמאטיק. איך טראכט אז דו קענסט מעגליך מאכן געלט פון די רעגירונג מיט'ן אריינגעבן אז דו לערענסט טייטל וואן מיט צוריקגעבליבענע סטודענטען אויף קאווע שטיבל.

הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

[יאיר]

הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

אסאך זאכן וואס זעען אויס זייער פשוט אין אנהויב ווערן שפעטער גענוצט אין שווערערע חשבונות. למשל ווי אזוי רעכנט מען אויס דעם חשבון: (1-(2-1)-1) - 1? איינער וואס ווייסט נישט וואס דאס מיינט א נעגאטיווע נומער און וואס איז די מאטעמאטישע דעפיניציע פון subtraction ווייסט אפילו נישט פון וועלכע זייט אנצוהייבן ליינען דעם חשבון. אבער אויב איך וועל גלייך גיין צו די עכטע חידושים וועל איך אויסזען ווי "פארוואס?"

[אפטעמיסט]

איך בין טאקע צעמישט מיט דעם עקזעמפל. וואס זענען די ברעקעטס (סוגריים)?

[יאיר]

איך וועל מערצעשעם צוקומען דערצו.

[טאמבל סאס]

נאכאמאל ייש"כ דר. יאיר פאר'ן נעמען די מי אונז אויסצולערנען פלאס & מיינעס.

זיי מיר מוחל אויב כ'וועל פרעגן באבע קשיות אויפ'ן רייזע, ווייל לצערי ולחרפתי הרב בין איך נישט באהאווענט אפילו אין די יסודות און עיקרים פון מאטאמאטיק. איך טראכט אז דו קענסט מעגליך מאכן געלט פון די רעגירונג מיט'ן אריינגעבן אז דו לערענסט טייטל וואן מיט צוריקגעבליבענע סטודענטען אויף קאווע שטיבל.

הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

זייער גוט זאגסטו, מכח פשטותם כאפט מען עס נישט. עס איז דא דער טעכניק, דער פארמולא וויאזוי צו לעזן פראבלעמען און נאכדעם איז דא די פארשטאנד פארוואס דער טעכניק ארבעט, פון וויפיהל נאך וועגן קען מען אנקומען צום זעלבן ענטפער? וועלכע ארבעט די בעסטע פאר מיר? וויזשועלייזן די טעכניק, עס פרובירן אפלייען אין פראקטישען לעבן, אליינס אויפקומען מיט א היכי תמצא וואו דער חשבון קען זיין אקטועל אא"וו. רוב גייען אדורך מאטעמאטיקס אהן גרונטליך פארשטיין די קאנצעפטן און בלייבן בלויז מיט די יכולת צו קענען פארענטפערן פראגן ווען פארגעשטעלט אין די זעלבע נאטעישן אדער קאנטעקסט ווי זיי האבן געלערנט אין סקול.

נישט די זכרון אדער שנעלע תפיסה איז וואס מאכט א גוטע מאטעמאטישן. נאר די גרוטליכע אדורכנעמענדע הבנה פון די קאנצעפטן וואס גיבט דעם מענטש די מעגליכקייט צו פארענטפערן א מאטאמעטיקאל פראבלעם אין סיי וואספארא קאנטעקסט, משל, דאמענסטראציע פארגעשטעלט. לבי אומר לי אז ס'איז נישט א אייגנשאפט וואס מ'קען זיך לערנען אזוי לייכט. מ'דארף דערמיט געבוירן ווערן.

אבער נאכאלס איז דא אן ארט פאר יעדעם. איך האב אליינס וויטנעסד ווי שיין און בעיוטיפול חשבון איז. ווי ווייט איך האב געמיינט אז "דאס קען איך נישט" בין איך נאכאלס געוואויר געווארן אז פאר מיר איז אויך דא אן ארט. די מער פראקטיס און די קאפ עפנט זיך אויף ביסלעכווייז. ס'נישטא נאך אזא גוטן טעם ווי ענטפערן (מיט א פענע) א ליסטע פראגן אין חשבון און נאכדעם טשעקן זיך אין די קאלקוליעטער און זען אז דער מאשין האט אויך צוגעטראפן דעם ענטפער. דו ווייסט אז קיינער אין די וועלט קען זיך נישט קריגן מיט דיר. דו ענטפערסט אויף א בחינה אויף וועמען דו דארפסט נישט קיינעמ'ס הסכמה מער צו די ענטפער וואס דו גיבסט איז ריכטיג אדער נישט. ס'איז כתוב וחתום אזוי לאנג ווי אייביגקייט עקזעסטירט אז דער ענטפער איז אמת ויציב. נאך א שאלה און נאך א פראגע איז ווי א קאמף אין א ביטערע מלחמה אבער א מלחמה בלי שונאים, א קאמף אהנע בלוט אנטקעגן קיינעם. א מלחמה וואס ווילאנג דו האסט נישט אראפגעשריבן דעם ריכטיגן ענטפער איז קלאר ווי דער טאג אז דו ביסט נישט גערעכט. א מלחמה אין וואו זיגן מיינט אז דו מאכסט פולשטענדיג שלום מיט'ן שונא און ביידע מוזן זיך פאראייניגן אויף א לעזונג וואס מוז שטימען אויפ'ן האר די זעלבע. ווען טוהן מעטס איז די וויכטיגסטע ארייננעמען יעדע פיצינקע דעטאל אין קאפ און גיין מיט א אויסגערעכנטע מעטעדאלידזשי. אראפשרייבן דעם ענטפער סטעפ ביי סטעפ. און פונקט ווען די מיינסט אז דו האסט שוין זיכער דעם ענטפער, גיי נאכאמאל איבער אויף דעם צו פארזיכערן אז ס'איז טאקע אזוי. ביי מיר האב איך געזען אז טוהן מעטס העלפט זייער אין מסדר זיין דעם מוח צו קענען שטענדיג טראכטן אין א מסודר'דיגן ארדער. אפילו זייענדיג עוסק אין אנדערע ענינים וואס האבן לאו דוקא צוטוהן מיט נומערן.

[יאיר]

עס קומט אן א איד מיט'ן נאמען געצל אין דעם מאטעמאטיקס וואלקנקראצער, און ער וויל אנקומען צו זיין דעסטינאציע וואס געפינט זיך אויפ'ן 87'סטן שטאק. דארט ווארט אויף אים אן אינטערוויוער פאר א פרישע מעגליכע זשאב. עס ווערט אים שלעכט פאר די אויגן, ער וועט דארפן ארויפפארן אזויפיל שטאקן?
ער באגעגנט דעם וועכטער און ער לייגט אים פאר זיין פראבלעם, נעמליך ער איז שוין צען מינוט שפעט און דא דארף ער ארויפקריכן אזויפיל שטאקן. נישט גע'דאגה'ט! זאגט אים דער וועכטער. מיר האבן דא אן עלעוועיטער ממש דערנעבן, אויף די לינקע זייט פון דעם געווענליכן עלעועיטאר, וועלכע פארט ארויף צען שטאק אויף אמאל און ווערט גערופן דער צענער עלעוועיטער, בעת די געווענליכע עלעוועיטער וואס שטעלט זיך אפ ביי יעדן שטאק ווערט אנגערופן דער איינסער עלעוועיטער, על שם דעם איינעם שטאק וואס עס פארט ביי יעדן סטאפ. יעדע צען שטאק ביי דעם צענער עלעוועיטער איז ווי איין שטאק ביי דעם איינסער.
אלזא, געצל פארט ארויף אכט שטאק אויף דעם צענער עלעוועיטער, דערנאך פארט ער נאך זיבן אין דעם איינסער עלעוועיטאר און ער קומט אן א צופרידענער כמעט באצייטנס.
אויפ'ן וועג אראפ באגעגנט ער אן אנדערער איד מיט'ן נאמען גרונם. גרונם דארף אנקומען צום 245'סטן שטאק. דא איז שוין געצל געווען א בקי, און ער באמערקט אז לינקס פון דעם צענער עלעוועיטער איז פארהאן א הונדערטער עלעוועיטער, וואס אין יעדע שטאק זענען דא צען מאל צען שטאק. זאגט ער פאר גרונם, פאר ארויף מיט'ן הונדערטער 2 שטאק, דערנאך פאר פיר שטאק מיט'ן צענער, און נאך פינף מיט'ן איינסער און דו קומסט אן צו דיין דעסטינאציע.

אט ממש דאס איז וואס שפילט זיך אפ ווען מיר שרייבן נומערן. אנשטאט מיר זאלן דארפן מייחד זיין א באזונדערער נאמען און בוכשטאב פאר'ן יעדן נומער, האבן חכמינו ז"ל מתקן געווען אז איינמאל מען קומט אן אויף דעם צענטן שטאק זאל מען מער נישט געבן קיין נייע נומערן, נאר מען זאל דאס רופן 10, דהיינו, איין צענער און זערא איינסערס. אויף די רעכטע זייט איז דער איינסער ארט און אויף די לינקע זייט איז דער צענער ארט. אכצן וועט זיין איין צענער און אכט איינסערס. אויף לינקס פון דעם צענער איז דער הונדערטער ארט, און אן 1 דארט באדייט איין מאל צען מאל צען, וואס איז הונדערט, און אזוי ווייטער.

לאמיר צוריקגיין צו געצל. צום מזל האט ער גוט אויסגענומען ביים אינטערוויו און ער האט געקריגן דעם זשאב. דער נייער באס האט אים געבעטן א טובה אז ער זאל אראפגיין אכצן שטאק צו שטאק נומער 69, דארטן זאל ער איבערגעבן עפעס א מעסעזש. געצל מאכט זיך א פשוט'ער חשבון. אכצן באדייט דאך אכצן איינסערס און איין צענער. קומט אויס אז איך האב זיכער איין צענער וואס איך דארף אראפגיין.
ווי אזוי קום אים אן צום צענער? איך בין דאך יעצט בין תנור לכיריים, אויף דעם זיבעטן שטאק. דער צענער סטאפט נישט דא. געצל מאכט א שנעלער חשבון, אויב איך בין אויפ'ן 87'סטן שטאק באדייט דאס אז איך בין זיבן איינסער שטאקן און אכט צענער שטאקן הויך. אין אנדערע ווערטער, איך בין זיבן שטאק אוועק פון דעם צענער עלעוועיטאר, דארף איך פארן זיבן שטאק מיט'ן איינסער עלעוועיטער אנצוקומען צום צענער. דארט וועל איך נעמען דעם צענער אראפ איין שטאק, קום איך אן צום 70'סטן שטאק. בין איך שוין אראפגעפארן זיבן מיט צען שטאק, וואס איז זיבעצן, דארף איך יעצט אראפפארן נאך איין שטאק מיט'ן איינסער עלעוועיטער צו גרייכן גאנצע אכצן שטאק אויף אראפ.
דאס זעט אפשר אויס ווי אביסל א קאמפליצירטע וועג צו רעכענען, אבער פאקטיש איז דאס גאר גרינג איינמאל מען געוואוינט זיך צו דערצו. יעדן מאל וואס מען דארף רעכענען א חשבון פון addition אדער subtraction איז מען זיך מסדר אין מוח וויפיל צענערס און איינסערס עס זענען דא און לויט דעם רעכנט מען דעם חשבון.
באמת וואלט דער ארכיטעקט נישט געמוזט בויען דעם בנין המתמתיקה אויף דעם אופן. ער וואלט געקענט למשל מאכן אז עס זאל זיין א צוועלפער עלעוועיטער אנשטאט א צענער, און איין שטאק אין דעם צוועלפער עלעוועיטער זאל זיין צוועלף שטאק אויפ'ן איינסער. דערנאך האט ער געקענט מאכן א צוועלף מאל צוועלף שטאק עלעוועיטער, וואו יעדער שטאק ענטהאלט צוועלף מאל צוועלף שטאק אנשטאט צען מאל צען. אבער ער האט גענוצט צען שטאק אקעגן די צען פינגער, און מיר וועלן נישט משנה זיין פון די מסורה.

לאמיר יעצט גיין צו די אנדערע צוויי פון די מערסט אפט גענוצטע אפעראציעס אין מאטעמאטיק – multiplication און division.
וואס מיינט multiplication? גאנץ פשוט. פונקט ווי דעם ארכיטעקט אין דעם וואלקנקראצער, בוי איך מיינע אייגענע עלעוועיטארס לויט מיין געברויך. למשל, 3*2 באדייט אז איך האב צוויי "דרייער" שטאקן. יעדער איינער פון די צוויי שטאקן האט אין זיך דריי שטאקן. צוזאמען איז דאס אודאי זעקס איינסערס. 6*5 מיינט אז איך האב פינף זעקסער שטאקן. איך פאר ארויף איין מאל א זעקסער שטאק, צוויי מאל, און אזוי ווייטער ביז פינף מאל, און דארט קום איך אן צו מיין דעסטינאציע.
פריער האבן מיר געשמועסט אז אין addition קען מען ארומטוישן דעם סדר פון די נומערן און דאס איז נישט משנה פון דעם חשבון. וואס טוט זיך מיט Multiplication, צו קען מען דא אויך ארומטוישן? דער ענטפער איז אז יא. וואס א חילוק אויב איך פארמאגט צוויי דרייער שטאקן אדער דריי צווייער שטאקן? אין ביידע פעלער וועט אייביג זיין דער זעלבער צאל שטאקן. ממילא אויב איר באגעגנט א חשבון ווי 7*3*2*7, ווערט נישט פארלוירן. נאר זייט דאס מסדר אזוי: 7*7*3*2. 3*2 ווייסט איר דאך איז זעקס, און 7*7 ווייסט איר אויך ווי א גוטער חדר יונגל איז 49. יעצט 6 מאל 49 שטאק איז כמעט ווי מען זאל בויען 6 מאל 50 שטאק, וואס איז אודאי 300. דער חילוק איז נאר אז אין אונזער חשבון פעלט איינס פון יעדן שטאק. אזוי ווי מיר האבן זעקס שטאק מיינט דאס אז אין יעדן שטאק פעלט איינעם כדי צוצוקומען צו די פולע דריי הונדערט שטאק, צוזאמען פעלן זעקס שטאק, דאס מיינט אז דער חשבון איז 300-6, וואס איז גרינג אויסצורעכענען.

וואס מיינט division? איך בוי נאכאמאל מיינע אייגענע עלעוועיטערס, אבער אנשטאט צו מאכן אן עלעוועיטער וואס יעדער שטאק באשטייט פון עטליכע שטאקן, טו איך פונקט דאס פארקערטע. איך נעם איינס, אדער עטליכע שטאקן, און איך צוטייל זיי אויף קלענערע שטאקן. למשל, ½ איז פשט אז איך נעם איין שטאק און איך פארוואנדל עס אין צוויי שטאקן. איך האב יעצט פרישע שטאקן, וואס איינס פון מיינע פרישע שטאקן איז בלויז האלב פון אן איינסער שטאק. אזוי אויך 3/5 איז פשט אז אין דריי שטאק האב איך אריינגעקוועטשט פונקטליך פינף שטאקן. דאס מיינט אז אין יעדן פון מיינע שטאקן איז פארהאן דריי פיפטלעך פון א געווענליכע שטאק.

וואס טוט זיך מיט 2/1? אין אזא פאל האב איך גענומען צוויי שטאק און עס פארוואנדלט אין איין שטאק. אויב האב איך איינע פון מיינע שטאקן דאן האב איך צוויי איינסער שטאקן. מהאי טעמא איז דער כלל אז אויב איך פאר ארויף 2 געווענליכע שטאקן איז דאס פונקט ווי איך פאר ארויף איין 2/1 שטאק. אויף דער מאטעמאטישער שפראך: דער דעפיניציע פון א נומער איז יענער נומער צוטיילט אין איינס.
אבער מיינט נישט אז division מוז אלעמאל פראדוצירן צעשניטענע איינסער שטאקן. דאס פאסירט נאר טאמער מען צעטיילט א קלענערער נומער אין א גרעסערער נומער. ווייל אויב איך צוטייל א קליינע צאל שטאקן אין א גרעסערע צאל שטאקן איז פשוט אז יעדע שטאק וועט זיין קלענער ווי איין שטאק אויף דעם איינסער עלעוועיטער. אויב אבער איך צוטייל א גרויסער נומער אין א קלענערער נומער, דאן ווערט יעדער שטאק גרעסער ווי איין שטאק אויף דער איינסער עלעוועיטער. למשל, אויב איך צוטייל 4/2, דאן באשטייט יעדער פון מיינע שטאקן פון צוויי שטאק.
יעצט, לאמיר זאגן אז איך מאך דיוויזיע, און איך צוטייל זעקס שטאק אין צוויי שטאק. יעדער שטאק באשטייט יעצט פון דריי שטאקן. היות איך האב דאך נאר איין שטאק פון 6/2, (אנשטאט צו האבן איין 6/1 שטאק) בין איך יעצט אראפגעפאלן דריי שטאק און איך בין אנגעקומען צום דריטן שטאק. דערנאך מאך איך מולטיפליקאציע, 2 מאל 6/2, און איך פאר ארויף צוויי פון מיינע דרייער שטאקן. וואו קום איך אן? אויפ'ן זעקסטן שטאק – דארט וואו איך האב אנגעהויבן.
דאס מיינט אז אויב איך נעם סיי וועלכער נומער (לאמיר עס רופן דעם ערשטן נומער), און איך צוטייל עס אין א צווייטער נומער (לאמיר עס רופן דעם צווייטן נומער), דערנאך וועל איך עס מולטיפלייען דעם רעזולטאט פון דעם חשבון ביי דעם צווייטן נומער, וועל איך צוריקבאקומען דעם ערשטן נומער. איר קענט דאס אויספרובירן מיט סיי וועלכע נומערן איר ווילט. למשל, צוטיילט צען ביי צוויי, און יעדער שטאק איז א פינפער. יעצט פארט ארויף צוויי פון די פינפער שטאקן, און איר קומט אן צוריק צו נומער צען.
אויף דער מאטעמאטישער שפראך מיינט דאס אז multiplication און division זענען inverse איינער פון דעם צווייטן, זיי טוען פארקערטע פעולות. אויב איך וועל נעמען סיי וועלכער צוויי נומערן און איך וועל זיי קודם דאפלען און נאכדעם צוטיילן וועל איך אלץ צוריקבאקומען דעם נומער מיט וועלכע איך האב אנגעהויבן. בדוק ומנוסה. אזוי אויך זענען addition און subtraction די Inverse איינער פונעם צווייטן. אויב מען וועט נעמען סיי וועלכער נומער, מען וועט צולייגן א צווייטער נומער און דערנאך אראפנעמען דעם זעלבן נומער (מען וועט צולייגן דער opposite) וועט מען אלס איבערבלייבן מיט דעם ערשטן נומער.

זה כלל גדול במתמתיקה: כל באיה ישובון. יעדע פעולה וואס מען טוט מיט א נומער און מען קריגט אן אנדער נומער אלס רעזולטאט, איז אלס דא אן אנדער פעולה וואס מען קען טון מיט דעם רעזולטאט אזוי אז מען זאל צוריק באקומען דעם אלטן נומער. עס איז אייביג דא א וועג אויף צוריק, עס איז קיינמאל נישט צו שפעט. אין דעם איז אריינגערעכנט אויב מען האט נישט געלערנט מאטעמאטיק אין די יונגע יארן.

[ברסלבער]

זייער שיין יאיר, איך האב גרויס הנאה געהאט. איך האב נישט וואס צוצולייגן אבער איך מוז מגיב זיין ווייל אויב נישט וועסטו מיינען אז מען הערט דיך נישט אויס.

אויב מיין צייט און געדולד וועט נישט אויסלויפן אינצווישן.

נאר נישט דאס. עטליכע האבן שוין אנגעהויבן און זענען געבליבן שטעקן אינדערמיט, איך האף אז דו וועסט גיין עד הסוף.

[פארוואס?]

זייער שיין. באמת א שיינע ארבעט. ענדליך נעמט זיך איינער צו די מלאכה לקרבה אל הלב.
איך האב אסאך וואס צו שרייבן, ובזה החלי:

הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

אסאך זאכן וואס זעען אויס זייער פשוט אין אנהויב ווערן שפעטער גענוצט אין שווערערע חשבונות. למשל ווי אזוי רעכנט מען אויס דעם חשבון: (1-(2-1)-1) - 1? איינער וואס ווייסט נישט וואס דאס מיינט א נעגאטיווע נומער און וואס איז די מאטעמאטישע דעפיניציע פון subtraction ווייסט אפילו נישט פון וועלכע זייט אנצוהייבן ליינען דעם חשבון. אבער אויב איך וועל גלייך גיין צו די עכטע חידושים וועל איך אויסזען ווי "פארוואס?"

קודם לאמיר הערן וויזוי זעהט אויס ״פארוואס?״?
און ביני ובינך, בין איך קרח מכאן ומכאן, ווייל כ׳האלט נאכנישט ביי די עכטע חידושים אויך נישט.

[פארוואס?]

אזוי אויך אין די גשמיות'דיגע וועלט איז נישט פארהאן אזא זאך ווי א נעגאטיווע נומער (קיינער האט נאך נישט געזען פאפירן אין דער צאל פון נעגאטיוו פינף). אבער אין מאטעמאטיק האט א נעגאטיווע נומער פונקט אזא תוקף ווי א פאזיטיווע נומער.

איך ווייס נישט פארוואס דו זאגסט אז אין די גשמיות׳דיגע וועלט איז פארהאן א פאזיטיווע נומער מער ווי א נעגעטיווע נומער.
לדעתי, עקזיסטירן ביידע די זעלבע.
ווייל אזוי ווי דו האסט געשריבן, אז ווען מיר זעהן צוויי פאפירן זעהן מיר נישט דעם נומער.
בקיצור, א נומער איז א קאנסעפט. א פאזיטיווע פונקט ווי א נעגעטיווע.
איז נישט נאטורליך צו פארשטיין אז איינער האט מיינוס 1000 דאלער אין באנק?
איז נישט נאטורליך צו פארשטיין אז די ים המלח איז מיינוס 427 קילאמעטער אונטער די ים-לעוול?

[טאמבל סאס]

איז עס ווייטער נישט גשמיות'דיג. דו קענסט נישט אנכאפן די מיינוס וואס ער איז אין דעביט. די מיינוס אין טעמפעארטור איז עפעס וואס מיר האבן אטריביוט צו קעלט אין רעלאטיווע צו היץ (אפשר ווייל היץ גייט ארויף און קעלט ערשט אראפ/אונטן) כדי אז מענטשן זאלן עס קענען איידענטעפייען און מעסטן ווען אין פאקט איז עס דער זעלבער נעגעטיווער נומער קאנצעפט וואס ווען מ'וויל עס ממשש זיין פיזיקלי לאזט זיך עס נישט. מ'וואלט פונקט אזוי געקענט זאגן, "ס'איז צוואנציג די גראד אין קעלט."

[טאמבל סאס]

סורי, ביי דער ים המלח איז דאך עס אינגאנצן נישט דער קאנצעפט. זוי מיין איך.

[פארוואס?]

איך זאג נישט אז א נעגעטיווע נומער איז ממשות׳דיג. איך זאג אז עס עקזיסטירט נאך אזוי פול ווי דער פאזיטיווער נומער.
אין אנדערע ווערטער: די פאזיטיווע נומער איז אויך נישט ממשות׳דיג, עס איז א קאנסעפט. אזוי ווי יאיר האט מסביר געווען, און אזוי ווי יידל האט געברענגט פונעם חזון-איש.