[justify]ווען דער ביזנעס-מאן דייוויד הילבערט האט געעפנט די טויערן פון זיין "ענדלאזן האטעל", האט ער זיך אליינס נישט פארגעשטעלט ווי סוקסעספול ער וועט זיין, און ווי געלונגען די נייע געשעפט וועט ווערן. די שמועה איבער די נייע האטעל איז אריבער געלאפן מיט א ליכט-שנעלקייט פון מויל צו אויער, און אינעם ערשטן נאכט האט ער באקומען אן ענדלאזע צאל פון טוריסטן און געסט ביים שוועל פונעם טיהר. עס איז נישט קלאר ווי אזוי עס איז געלונגען צו אויפנעמען אזויפיהל מענטשן אין אזא קליין צייט, אבער א פאקט! דער ערשטער גאסט האט באקומען רום נומער 1, דער צווייטער האט באקומען רום נומער 2, און דער דריטער - רום נומער 3, און אזוי ווייטער... יעדער גאסט נומער x האט באקומען רום נומער x, און אזוי עד אינסוף.
נאכן פארדינען אזוי-פול געלט אין איין נאכט, האט זיך אונזער ביזנעס מאן שוין געקענט ערלויבן צו שמייכלען, אבער דעמאלס איז געשעהן א מורא'דיגע געשעהניש, עס איז אנגעקומען נאך "איין" גאסט, אוי וויי! וואס טוהט מען? וואו לייגט מען איהם?
הילבערט האט זיך נישט געקענט ערלויבן איהם צו אהיים שיקן, ער האט געוואוסט אז ער וועט זיך אויפרעגן און איהם באשמוצן אין אלע ווינקלען, זיין פעיסבוק פעידזש וועט אנגעפולט ווערן מיט שלעכטע פידבעק, און די גאנצע מולטי-מיליאן ביזנעס, וועט אונטערגיין אין איין נאכט. איז ער אויפגעקומען מיט א בריליאנטענע געדאנק. מ'וועט שיקן דעם ערשטן גאס צום צווייטן רום, אבער מ'קען נישט צוזאמשטיפן צוויי געסט אין איין רום, דאן וועלן מיר שיקן דעם צווייטן גאסט צום דריטן רום. און אזוי ווייטער, יעדער גאסט נומבער x וועט גיין צו רום נומבער x+1, און וויבאלד מיר האבן דאך דא א ענדלאזע האטעל, איז דא פלאץ פאר יעדן.
[/justify]
א שיינע מעשה? יא. אבער דא רעדן מיר נישט איבער א ביזנעס-מאן, נאר איבער א דייטשער מאטעמאטיקער וואס מיט זיין כח הדמיון איז ער אויפגעקומען מיט אט דעם געדאנק. ער האט טאקע געהייסן דייוויד הילבערט, געלעבט האט ער אינעם ענדע פונעם 19'טן יאהר הונדערט, און ער האט געהאט א שטארקע איינפלוס אויף די אנטוויקלונג פון מאטעמאטיק אין יענע צייטן.
[center]
דוד הילבערט[/center]
האט איהר שוין אמאל געהערט איבער דעם האטעל? וואס איז אט דער האטעל? וואס סערווט מען דארטן? איז עס א פייוו סטאר האטעל? און נאך....
אלעס איבער דעם האטעל, לייענט אין די פאלגענדע ארטיקל, אבער קודם וועלן מיר מוזן אריבערגיין א איבערזיכט אויף עטליכע מאטעמאטישע אינטרעסאנטע מושגים. אבער איך האף אז יעדער וועט עס קענען פארשטיין, אפילו אזעלכע וואס האבן א שוואכע ידיעה אין מאטעמאטיקס.
מ'האט עס שוין בארירט אין אט דעם אשכול, אבער עס פעלט נאך אסאך פרטים דערין, וואס איך האף צו משלים זיין.
[tag]יאיר[/tag] דערמאנט שוין דארטן דעם האטעל און ער לאדנט איין כל דכפין צו גיין נעכטיגן מיט איהם אין דעם האטעל, ער באריכטעט איבער א שווערע נאכט, אבער גארנישט מער. סתם ולא פירש.
(בדרך אגב, עס איז אינטרעסאנט אז דא אין קאווע שטיבל, פארט אלעס אריבער צו פילאזאפיע און פסיכאלאגיע, פון א ריין מאטעמאטישער אשכול איבער דעם מאטעמאטישן מושג פון אינסוף, איז עס פארפארן צו א פילאסאפישע און א קבליסטישע אינסוף. פליז סטאפ איט!!!)
איך וועל אביסל מער מרחיב זיין איבער דעם ענין, אבער וויבאלד עטליכע פאראגראפן זענען נישט אזוי וויכטיג צום עיקר הענין, האב איך זיי געקאלירט אין גרין, אז אויב איינער וויל קען ער זיי מדלג זיין.
איך פאנג אן מיט די ערשטע שאלה: וואס איז עס "ענדלאז"?
איז קודם לאמיר זאגן וואס איז עס נישט. וויבאלד מיר קענען דעם מושג אינסוף פון חסיד'ישע אדער קבלה ספרים, אדער פון פילאסאפיע, וואס זיי רעדן בשבחו של מקום, און זיי ברענגען ארויס זיין גרויסקייט בתואר השלילה, "אינסוף", מיר קענען עס אלס א מושג פון "העכער ווי אלעס", "שטערקער ווי אלעס", וכו'. דא, לענייננו איז לאו דוקא אזוי, ווען מיר זאגן אינסוף, מיינען מיר נישט צו זאגן עפעס מער ווי דעם אז "עס האט נישט קיין ענד", און דאס מאכט איהם נאכנישט לאו דוקא שטערקער און העכער פון אנדערע, (כל זמן די אנדערע זענען אויך ענדלאז).
דער אמת איז, אז אין מאטעמאטיק איז דא א פונקטליכע דעפינאציע פאר "ענדלאז" (אינפיניטי), וואס דער בארומטער מאטעמאטיקער דזשארדזש קאנטאר (געשטאמט פון אידן), דער טאטע פון די סעט טעארי, האט אהער געשטעלט, אבער לאמיר זיך יעצט באפרידיגן מיטן פשוט פארשטיין וואס מען מיינט מען דערמיט.
דער מוח האט ליב צו באטראכטן אינפיניטי אלס א ריזיגע נומער ווי למשל גוגאל, אבער דער אמת איז אז עס איז נישט קיין נומער בכלל, עס איז מער א קאנסעפט, ווען מיר האבן אינפיניטי עפלעך, וויפיל דו וועלסט נאר נעמען דערפון וועל איך נאך אלס בלייבן מיט אינפינטי עפלעך.
אין קאווע-שטיבליש, וואלט איך עס ערקלערט, אלס דער נומער פון לייקס וואס א מעמבער קען געבן, וויבאלד די אדמיניסטרעיטערס פון קאווע-שטיבל האבן (ביזדערווייל נאך) נישט קובע געווען קיין באגרעניצונג פון וויפיל לייקס איין ניק קען געבן, קומט אויס אז דער צאהל איז אינסוף (אוקעי, ס'איז נישט ממש אזוי, עס איז דאך נישטא קיין ענלאזע צאל פון תגובות).
די חכמה פון מאטעמאטיק איז צו נעמען אט דעם אינסוף - א שרעקעדיגע באשעפעניש וואס אלע גרויסע פריערדיגע חכמים האבן געציטערט עס צו צורירן - און איהם אנכאפן ביים קארג, און זיך ארומשפילן מיט איהם ווי ער וואלט געווען א געהעריגע פייניט נומער, און דאס איז די שטארקייט פון מאטעמאטיק.
ווען כ'זאג אז מ'כאפט איהם אהן ביים קארג, מיין איך צו זאגן, אז וויבאלד מיר קענען גארנישט טוהן מיט ענדלעס, מיר קענען איהם נישט דעפינירן אלס א נומער. פונדעסטוועגן האבן מאטעמאטיקער מצליח געווען צו מוכיח זיין און מפריך זיין כל מיני טענות איבער אינפיניטי, זיך ארויסדרייענדיג פון אונזער לכאורה'דיגע באגרעניצונג צו האנדלען מיט אט דעם באשעפעניש.
כדי צו ארויסברענגן ווי נוצליך דער מושג פון "אינפינטי" קען זיין אין מאטעמאטיק, וועל איך געבן א דוגמא דערפאר, (כאטש עס פעלט אויס אביסל ידיעות אין קאלקולוס דערפאר, וועל איך עס אביסל אומ-פונקטליך מאכן, כדי עס זאל זיין קלאר אויך פאר די וועלכע האבן נאך קיינמאל נישט אנגעקוקט א מאטעמאטישע בוך).
אלזא, לאמיר נעמען דעם ענין פון 1/0, דאס הייסט דער נומער איינס צוטיילן אין זערא. ווי באקאנט, קען מען נישט צוטיילן קיין שום נומער אין זערא, דאס הייסט- די פעולה איז מאטעמאטיש אומדעפינירט, אויב וועט איהר עס אריינלייגן אין א קאלקולעיטער, וועט איהר באקומען אן eror, אדער אויב איהר וועט פראבירן שרייבן א קאמפיוטער-קאוד וואס צוטיילט א נומער אין זערא, וועט איהר באקומען NaN וואס דאס מיינט: Not a Number (נישט קיין נומער).
אבער אין קאלקולוס, איז דא א וועג ווי אזוי מ'ספראוועט זיך דערמיט, און מיר זאגן אז ווען מיר צוטיילן 1 אין זערא, באקומען מיר "אינפיניטי". (כאטש עס ווערט נאך אלס נישט דעפינירט ממש אזוי אלס ∞=1/0).
ווי אזוי קומט מען צו צו אזא מאדנע מסקנא, אז איך נעם נומער 1 און איך צוטייל איהם אין 0, וועל איך באקומען "אינפיניטי"? יא. דאס איז זייער פשוט, נאך מיר וועלן באטראכטן ווי אזוי עס גייען אלע נומערן (לאמיר אנפאנגען) פון הונדערט טויזנט ביז אראפ.
לאמיר נעמען 1 אין איהם צוטיילן אין 100,000 באקומען מיר א הונדערט-טויזנסטל, וואס דאס איז זייער א קליין נומער.
דאן לאמיר נעמען 1 אין צוטיילן אין 1000, באקומען מיר א טויזנסטל, וואס דאס איז אויך קליין, אבער נאך גרעסער ווי א הונדערט-טויזנסטל.
סא לאמיר נעמען ווידער 1 אין איהם צוטיילן אין 100, באקומען מיר א הונדערסטל, שוין אביסל א גרעסערע נומער ווי פריער.
יעצט אין 10, באקומען מיר א צענטל.
און דאן לאמיר איהם צוטיילן אין 1, באקומען מיר 1.
יעצט לאמיר איהם צוטיילן אין 1/2, וועלן מיר באקומען 2.
לאמיר איהם צוטיילן אין 1/100, באקומען מיר 100.
דאן לאמיר איהם צוטיילן אין 1/100,000 באקומען מיר 100,000.
בקיצור, עס איז גענוג אויף צו ווערן קאנווינסד אז, וואס מער מיר וועלן אראפגיין נענטער צו 0, וועלן מיר באקומען א "גרעסערע" נומער. אזש עס זעהט אויס ווען ער קומט אן צו 0, ווערט ער "ענדלעס".
אז מיר ווייסן שוין וואס אינפינטי איז, (אדער לכל הפחות וואס איז עס נישט), קענען מיר ענדליך גיין צום משל וואס דער רבי רב דוד'ל האט ממשיל געווען.
ווי מיר האבן שוין געזעהן אין אנפאנג פון דעם ארטיקל, האט די הילבערט-האטעל זיך גרינגערהייט געקענט ספראווען מיט א פראבלעם, וואס קיין איין האטעל אין די וועלט קען נישט באווייזן. ווען אלע צימערן - בלי יוצא מן הכלל - זענען אנגעפולט, קען אין קיין שום וועג נישט ווערן פלאץ פאר א נייער גאסט. אבער דא, ביי אונזער ענדלעס האטעל, איז מיט א פשוט'ע טריק געווארן פלאץ. מ'האט פשוט געהייסן יעדעם גאסט זיך ארויפרוקן מיט איין צימער ווייטער. דער וואס איז געווען ביז יעצט אין רום נומער 1, איז אריבער צו רום נומער 2, נאך וואס דער וואס איז ביז יעצט געווען אין רום נומער 2 איז אריבער צו רום נומער 3, וכן הלאה. און וויבאלד מיר האבן דאך ענדלעס צימערן, איז נישטא קיין איין גאסט, וואס קען קומען שרייען אז ער האט נישט קיין צימער וואס איז מיט איין נומער גרעסער ווי די וואס ער איז געווען ביז יעצט, ושלום על ישראל, און יעדער איז רואיגערהייט צוריקגעגאנגען שלאפן.
אבער ביקשו צדיקים לישב בשלוה, און פלוצלינג איז געווארן א מהומה אין די מעין אפיס פונעם האטעל, עס איז אנגעקומען א נייע באס פול מיט פאסאזשירן צו אריינפיטן אין די האטעל, אבער נישט סתם א באס, נאר טאקע א באס מיט ענדלעס זיץ-פלעצער, יעדער פאסאזשיר האט געהאט א זיץ-נומער, איינער איז געזעצן אין זיץ נומער 1, און דער צווייטער אין זיץ נומער 2, און אזוי ווייטער עד אין סוף.
וואס טוהט מען מיט אזא באס? אנא יכנס כל הפשתן הזה? איז מען שנעל אריינגעלאפן צו דוד'ן: אדונינו המלך! אין הקומץ משביע את הארי ואין הבור מתמלא מחוליתו. ווי אזוי געבט מען זיך אן עצה. אבער אונזער דוד'ל האט מיט א גאונות אויפגעקומען מיט א פשוטע עצה:
קודם כל, לאמיר קלאר מאכן, אז כאטש עס איז טאקע א ענדלאז באס, איז אבער אלעס מסודר'דיג און קלאר, יעדער פאסאזשיר זיצט אויף איין זיץ, און אויף יעדע זיץ זיצט נאר איין פאסאזשיר, אזוי אז יעדער פאסאזשיר קען ווערן אידענטיפיצירט מיט א נומער: פאסאזשיר נומער 1, פאסאזשיר נומער 2, 3, 4, וכו' עד אינסוף.
אויב אזוי - זאגט רבי דוד'ל - הואיל ובאינסוף עסקינן, קען מען דאך רואיגערהייט בעטן יעדן גאסט וואס איז יעצט אין האטעל, ער זאל ארויפגיין צו די רום נומער וואס איז צוויי מאל אזוי פול ווי זיין יעצטיגע נומער, דהיינו, גאסט נומער 1, וועט גיין צו רום נומער 2, גאסט נומער 2 וועט גיין צו רום נומער 4, גאסט נומער 3 וועט גיין צו רום נומער 6, וכן הלאה עד אינסוף.
יעצט קומט אויס אז אלע איווען-נומערן זענען פארנומערן, און נאר די אודד נומערן זענען ליידיג, (כידוע איז די סעט פון די איווען-נומען ענדלאז, און אזוי אויך די סעט פון די אודד נומערן), יעצט גייט יעדער פאסאזשיר האבן פלאץ אינעם האטעל, פאסאזשיר נומער 1 וועט פלאצירט ווערן אין רום נומער 1, פאסאזשיר נומער 2 וועט פלאצירט ווערן אין רום נומער 3. אין אנדערע ווערטער יעדער פאסאזשיר נומער x, וועט ווערן פלאצירט אין רום נומער x*2-1 (דאס הייסט די נומער זיץ וואס ער זיצט אויפן באס, געדאפלט אין צוויי, און דערנאך אראפגענומען 1, וועט מען אייביג באקומען א אודד נומער), און אזוי קען זיך קיינער נישט אפרעדן אז ער האט נישט קיין פלאץ.
[center]נעם אין באטראכט! במשך דעם גאנצן משל, ווען מיר זאגן אז איינער קען זיך יא אדער נישט אפרעדן אז ער טרעפט נישט קיין פלאץ, דארף עס ווערן אויפגעוויזן מאטעמאטיש, למשל זאל איינער וואס איז געקומען מיטן באס זאגן אז ער טרעפט נישט קיין פלאץ, קען מען איהם אויפווייזן אז ער קען רואיגערהייט טרעפן א ליידיגע רום.
ווי אזוי ווייז איך איהם עס אויף? איך פרעג איהם וואס איז דיין זיץ נומער, און ער געבט מיר עס. יעצט ווייס איך פאר זיכער אז ער איז דער איינציגסטער מענטש וואס זיצט אויף דעם זיץ-פלאץ. דאן נעם איך דעם נומער אין איך דאפל עס אין צוויי, און איך נעם אראפ איינס, וויבאלד דער רעזולטאט-נומער וואס קומט ארויס איז א אודד נומער, ווייס איך פאר זיכער אז קיין איינער פון די פריערדיגע געסט איז נישט דארטן מער. און וויבאלד דער רעזולטאט-נומער קען נאר זיין א רעזולטאט פון איין איינציגע נומער, ווייס איך אז דער רום איז ליידיג און גרייט פאר זיין באנוץ. (עס פאדערט אפשר מאטעמאטישע פרוף, פאר די אלע סטעיטמענטס וואס איך זאג דא, אבער צו אונזער מזל, איז די אלע זאכן אויפגעוויזן מאטעמאטיש).
[/center]
אבער יעצט, ווערט דער פראבלעם נאך אסאך מער קאמפליצירט, עס קומט יעצט אן ענדלאז באסעס מיט ענדלאזע פאסאזשירן, פשוטו כמשמעו, אזוי ווי איהר הערט. דא זענען שוין זיכער די איינגעשטעלטע אז דוד גייט אויפגעבן, ווי אזוי געבט מען זיך אן עצה מיט אזא אויסמישעניש.
אבער ניין. נישט אונזער דוד'ל, ער געבט נישט אזוי שנעל אויף, ער קנייטשט צוזאם זיין שטערן, אההה... ער איז אויפגעקומען מיט א גאונות'דיגע עצה:
קודם, אזוי ווי פריער, לאמיר מאכן סדר דא, לאמיר געבן פאר יעדן פאסאזשיר א נומער ווי ער קען זיך אידענטיפיצירן, סא, לאמיר אנפאנגען מיט די באסעס, באס נומער 1, באס נומער 2, באס נומער 3, באס נומער 4, און אזוי ווייטער...
יעצט, יעדער פאסאזשיר און יעדע באס, ווערט אידענטיפיצירט זייער גרינג: פאסאזשיר נומער 1 פון באס נומער 1, פאסאדזשיר נומער 2 פון באס נומער 1, פאסאדזשיר נומער 3 פון באס נומער 1, וכן הלאה, און די זעלבע מיט באס נומער 2, און 3, וכן הלאה....
קומט אויס אז יעדער פאסאזשיר ווערט אידענטיפיצירט מיט 2 נומערן (וואס יעדע נומער קען האבן וויפיל דיזשיטס עס דארף), 1_1, 1_2, 1_3, ...
דאן איז ער אויפגעקומען מיט א פשוטע עצה, וויבאלד ער ווייסט צוויי פאקטן: 1) די סעט פון אלע פריים נומערן איז ענדלאז. 2) יעדע פריים נומער וואס ווערט געדאפלט אין זיך (דאס הייסט, ארויף צו עני פאוער), וועט קיינמאל נישט זיין די זעלבע ווי אן אנדערע פריים נומער'ס עני פאוער. (געבעיסט אויף די פונדעמאנטאלע געזעץ פון אריטמעטיק).
אויב אזוי קענען מיר זיך אן עצה געבן מיטן ערשטן באס (פון אינפינטי געסט), אז מיר וועלן שיקן דעם ערשטן פאסאדזשיר צו די ערשטע פריים נומער (וואס איז 2) פאוער 1, דעם צווייטן פאסאזשיר 2 פאוער 2 (וואס קומט אויס 4), דעם דריטן פאסאזשיר - 2 פאוער 3 (וואס איז 8), און אזוי ווייטער, ביז מיר ערלעדיגן יעדן גאסט נומער x פונעם ערשטן באס צו רום נומער 2 פאוער x, וכן הלאה עד אינסוף.
האבן מיר זיך נאר אן עצה געגעבן מיטן ערשטן באס, וואס טוהן מיר מיטן צווייטן באס? אלזא, מיר נעמען דעם צווייטן פריים-נומער וואס איז 3, און מיר טוהן די זעלבע זאך, דער ערשטער פאסאזשיר גייט צו רום נומער 3 פאוער 1 (וואס איז 3), דער צווייטער פאסאזשיר גייט צו 3 פאוער 2 (וואס איז 9), און אזוי ווייטער.
און דאס זעלבע טוהט מען מיט יעדן באס, אבער ביי יעדן באס נוצט מען אן אנדער פריים-נומער, איי - וועסטו פרעגן עס איז דאך דא ענדלאזע באסעס, וועל איך דיר ענטפערן אז עס איז דא ענדלאז פריים נומערן.
(טראכט זיך איבער, אויב דו פארשטייסט טאקע, ווי אזוי איך בין זיכער אז קיין איין רום ווערט נישט גענוצט פאר צוויי געסט).
שוין, פראבלעם סאלווד! (כאטש, אז מ'טראכט אריין וועט מען זעהן אז עס זענען נאך פארהאן ענדלאזע ליידיגע רומס, אזוי ווי למשל רום נומער 6, 10, 15, און אזוי ווייטער).
רבי דוד'ל מאכט זיכער אז אלע געסט באקומען זייערע געסט, און הייבט שוין אן זיך צו צוגרייטן צו תיקון-חצות, ווען פלוצלינג הערט ער א גערודער אינדרויסן, עס טוהט זיך א רעש, דער זייגער ווייזט שוין קרוב צו חצות, און עס הערט נישט אויף צו קומען געסט צום האטעל.
וואס איז יעצט געשעהן? יעצט איז אנגעקומען איין ריזיגע לאנגע באס, מיט ענדלאזע צאל פון סיטס, ווען אין יעדע סיט זיצט א פאסאנדשזיר, און יעדער איינער פאדערט א זכות-כניסה אינעם וואונדערבארן האטעל.
רבי דוד'ל גייט אריין אינעם באס, און ער הייבט אהן צו לייענען די נומערן פון די סיטס, און ער זעהט אז יעדע סיט ווערט אידענטיפיצירט מיט אן ענדלאזע נומער, ווי למשל סיט נומער ....1111111, און אזוי ווייטער, פארשטייט זיך אז עס איז נישט פארהאן קיין צוויי סיטס וואס פארמאגן די זעלבע ID'ס, אזוי אז יעדער קען ווערן אידענטיפיצירט (טעארעטיש, ווייל פארשטייט זיך אז פאקטיש אין עולם המעשה, קען מען נישט לייענען קיין ענדלאזע נומער, אבער לאמיר נישט פארגעסן אז אלעס איז דא טעראטיש, ווייל אין עולם המעשה איז דאך נישט פארהאן קיין היילבערט-האטעל).
דא האט רבי דוד געהויבן הענט מיט יאוש, און געזאגט אז ער האט נישט קיין פלאץ מער פאר די געסט.
וואס איז דא געשעהן? פארוואס האט ער דא געהויבן הענט? וועט קומען אין א המשך'דיגע ארטיקל (געוואנדן אין די אינטערעסע פון די לייענער).
) פון זאגן אז 1/0 = אינפיניטי, וויייל 2/0 איז אויך = אינפיניטי וכן הלאה. און טאקע ווען מען נעמט די לימיט פון c/x (א קאנסטענט דיוויידעד ביי X) ווען X דערנענטערט זיך צו זערא, איז דער רעזולטאט אינפיניטי (אדער נעגאטיוו אינפיניטי, געוואנדן פון וועלכע זייט מען דערנענטערט זיך)